Dynamic cycles in edge-colored multigraphs
设$H$是一个可能有环的图，$G$是一个无环的重图. $G$的$H$ -着色是一个函数$c: E(G) \rightarrow V(H)$。当我们对$G$进行固定的$H$ -染色时，我们称$G$是$H$ -染色的重图.具有端顶点$u$和$v$的所有边的集合将由$E_{uv}$表示。我们将说$W=(v_0,e_0^1, \ldots, e_0^{k_0},v_1,e_1^1,\ldots,e_1^{k_1},v_2,\ldots,v_{n-1},e_{n-1}^1,\ldots,e_{n-1}^{k_{n-1}},v_n)$，其中对于$\{0,\ldots,n-1\}$中的每个$i$，对于每个$j \in \{1,\ldots, k_i \}$，$k_i \geq 1$和$e_i^j \in E_{v_iv_{i+1}}$是动态$H$ -游动当且仅当对于每个$i \in \{0,\ldots,n-2\}$，$c(e_i^{k_i})c(e_{i+1}^1)$是$H$中的边.只要$v_0=v_n$和$c(e_{n-1}^{k_{n-1}})c(e_0^1)$是$H$中的边，我们就说动态$H$-游动是封闭的动态$H$ -游动。此外，对于每个$\{i,j\}\subseteq \{0,\ldots,v_{n-1}\}$，当$v_i\neq v_j$时，封闭的动态$H$ -行走被称为动态$H…
2023-03-05 math.CO
Vertex-disjoint properly edge-colored cycles in edge-colored complete graphs
证明了在$n$顶点上满足$Δ^{mon}(G)\leq n-3k+1$的边着色完全图$G$中含有$k$顶点不交的正常边着色圈.我们证实了这一猜想的$k=2$，证明了几个额外的较弱的结果一般$k$，我们建立了结构性质的可能最小反例的猜想。我们还揭示了边着色完全图中的适当边着色圈与多部竞赛图中的有向圈之间的密切关系。利用这个关系和我们关于边着色完全图的结果，我们得到了Bermond和Jassen关于有向图中不相交圈的猜想的几个部分解.
2017-08-29 math.CO
Properly colored short cycles in edge-colored graphs
边有色图中的适当着色圈与定向图中的有向圈密切相关。作为著名的Caccetta-Häggkvist猜想的一个类比，我们研究了边着色图中有界长度的正常着色圈的存在性。首先证明了对所有整数$s$和$t$有$t\geq s\geq2$，每个没有适当着色的$K_{s,t}$的边着色图$G$都包含一个生成子图$H$，它允许一个定向$D$使得$D$中的每个有向圈都是$G$中的适当着色圈.利用这个结果，我们证明了对于$r\geq4$，如果Caccetta-Häggkvist猜想成立，则每一个最小色度至少为$n/r+2\sqrt{n}+1$的$n$阶边着色图都包含一个长度至多为$r$的适当着色圈.此外，我们还得到了一个渐近紧的全色度条件，该条件确保了正确着色（或彩虹）$K_{s,t}$。
2021-08-24 math.CO
Decompositions of the authomorphism groups of edge-colored graphs into the direct product of permutation groups
本文讨论了置换群乘积的图复杂度，M. Grech，A. Jez，A. Kisielewicz证明了边有色图的自同构群的直积本身就是边有色图的自同构群。本文研究了两个置换群的直积，使得至少有一个置换群不能成为边有色图的自同构群。本文给出了边有色图的直积是其自同构群的充要条件。对于边着色有向图也解决了同样的问题。
2019-03-18 math.CO
Odd Properly Colored Cycles in Edge-Colored Graphs
Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）
本文研究边着色图中奇数正常着色圈的存在性判定，并作为副产品给出检测给定边集中具有偶数或奇数条边的图中完美匹配的方法。
2026-09-23 math.CO
Obstructions to Total Rainbow Forests in Edge-Colored Graphs
Binghamton University（宾汉姆顿大学）
本文利用全彩虹森林存在的充要条件，构造了大量极小障碍图，证明其存在性。
2026-07-01 math.CO
Rainbow vertex pair-pancyclicity of strongly edge-colored graphs
本文研究了强边染色图的彩虹顶点对泛圈性，证明了阶数为$n$且最小度数$\delta \geq \frac{2n}{3}+1$的强边染色图必然具有该性质。
2023-05-05 math.CO
Rainbow spanning structures in strongly edge-colored graphs
Central China Normal University（华中师范大学）；Jianghan University（江汉大学）
本文研究了强边着色图中彩虹哈密尔顿回路的存在条件，证明了在足够大的n下，满足最小度数要求的图中必然存在彩虹哈密尔顿回路，并探讨了彩虹路径和完美匹配的最优条件。
2026-01-22 math.CO
Rainbow triangles and cliques in edge-colored graphs
对于边着色图，如果一个子图的所有边都有不同的颜色，则称该子图为彩虹图.我们证明了：如果$G$是一个边着色图，其序为$n$，大小为$m$，且$G$的边的颜色为$c$，且$m+c\geq \binom{n+1}{2}+k-1$是一个非负整数$k$，则$G$至少包含$k$彩虹三角形.对于$n\geq 3k$，我们表明，这一结果是最好的可能性，我们完全描述了类的边缘有色图，这一结果是尖锐的。进一步证明了边着色图$G$至少包含$k$彩虹三角形，如果$\sum\limits_{v\in V(G)} d^c_G(v)\geq \binom{n+1}{2}+k-1$，其中$d_G^c(v)$表示入射到顶点$v$的不同颜色的个数.最后，我们刻画了边-有色图，它没有大小至少为6的彩虹团，并且最大化边和颜色之和$m+c$。我们的结果回答了Fujita，Ning，Xu和Zhang的两个问题[关于边着色图中彩虹圈的充分条件，arXiv：1705.03675，2017]
2018-10-11 math.CO
Partitioning 3-edge-colored complete equi-bipartite graphs by monochromatic trees under a color degree condition
$r$边有色图$G$的单色树划分数，记为$t_r(G)$，是最小整数$k$，使得只要$G$的边用$r$颜色着色，$G$的顶点最多能被$k$顶点不相交的单色树覆盖.一般来说，确定这个数字是非常困难的。对于2-边着色完全多部图，Kaneko，Kano和Suzuki给出了$t_2(K(n_1,n_2,...,n_k))$的精确值.本文证明了：若K（n，n）是3-边着色的，使得每个顶点的色度为3，则$t_3(K(n,n))=3.$
2008-01-03 math.CO
On the number of proper paths between vertices in edge-colored hypercubes
给定一个整数$1\leq j <n$，定义$n$维超立方体$H_{n}$的$(j)$ -着色为$H_{n}$的边的$2$ -着色，其中维度$i$，$1\leq i \leq j$中的所有边都具有颜色$1$，所有其他边都具有颜色$2$ . Cheng et al. [Proper distance in edge-colored hypercubes，Applied Mathematics and Computation 313（2017）384-391.]确定了$(1)$着色超立方体的一对顶点之间不同的最短正确着色路径的数量。考虑$(j)$着色的数$j\geq 2$是很自然的.本文研究了任意$j$的$(j)$着色超立方体中不同最短真路的个数.
2017-08-09 math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs with given average color degree
边有色图中的彩虹匹配是指没有两条边具有相同颜色的匹配。顶点v的颜色度是入射到v的边上的不同颜色的数量。27（2020）]研究了平均色度至少为2k的边有色图G中彩虹匹配的存在性，并证明了G中存在大小为k的彩虹行进的若干充分条件。其充分条件包括：|V（G）|>=12k^2+4k，或G是一个适当边-有色图，|V（G）|>=8k。本文证明了任意边-有色图G| V（G）|>=4k-4且平均色度至少为2k-1，包含大小为k的彩虹匹配。此外，我们还证明了每一个平均度至少为2k-1的强边有色图G都包含一个大小至少为k的彩虹匹配。对于完全图，该界是尖锐的.
2021-05-22 math.CO
Color Degree Condition for Large Heterochromatic Matchings in Edge-Colored Bipartite Graphs
由于证明中的错误，这篇论文已被作者撤回。
2007-11-30 math.CO
On $(k,l,H)$-kernels by walks and the H-class digraph
设$H$是一个可能有环的有向图，$D$是一个没有环的有向图，其弧用$H$的顶点着色（$D$称为$H-$着色有向图）.如果$W=(x_{0},\ldots,x_{n})$在$D$和$i\in \{1,\ldots,n-1\}$中是开放行走，我们说如果$(color(x_{i-1},x_{i}),color(x_{i},x_{i+1}))\notin A(H)$在$x_{i}$上有阻塞。如果$S\subseteq V(D)$，我们说$S$是一个$(k,l,H)$ -内核行走，如果对于$S$中的每一对不同的顶点，它们之间的每一次行走都至少有$k-1$障碍，并且对于每个$x\in V(D)\setminus S$，都存在一个$xS$ -行走，最多有$l-1$障碍。如果$D$是$H$着色有向图，则$H$类划分是$A(D)$的划分$\mathscr{F}$，使得对于每个$\{(u,v),(v,w)\}\subseteq A(D)$，$(color(u,v),color(v,w))\in A(H)$当且仅当存在$\mathscr{F}$中的$F$，使得$\{(u,v),(v,w)\}\subseteq F$ .相对于$\mathscr{F}$的$H$类有向图，记为$C_{\mathscr{F}}(D)$，是使得$V(C_{\mathscr{F}}(D))=\mathscr{F}$，和$(F,G)…
2022-12-22 math.CO
Best lower bound for the maximum heterochromatic matchings in edge-colored bipartite graphs
由于证明中的错误，这篇论文已被作者撤回。
2007-11-30 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的顶点$v$的颜色度被定义为与$v$关联的边的颜色的数量。$G$的颜色数定义为$G$中边的颜色数。彩虹三角形是每对边都有不同颜色的三角形。本文从色度、色数和边数三个方面给出了边有色图中彩虹三角形存在的充分条件。作为推论，李和王提出的一个猜想（边有色图中的着色度和异色圈，European J. Combin. 33（2012）1958- 1964）得到证实。
2013-09-25 math.CO
Properly colored $C_{4}$'s in edge-colored graphs
当许多颜色出现在边有色图中时，期望彩虹子图出现是很自然的。这个反拉姆齐问题已被彻底研究，但在文献中仍然存在许多空白。扩展后，经典和最近的结果迫使彩虹三角形出现，我们考虑类似的条件，迫使存在一个适当的彩色副本的$C_{4}$。
2019-05-29 cs.DM math.CO
Rainbow Matchings of size δ(G) in Properly Edge-colored Graphs
边有色图中的{ \it彩虹匹配}是所有边都具有不同颜色的匹配。Wang询问是否存在一个函数f（δ）使得具有最小度δ且阶至少为f（δ）的适当边有色图G必须具有大小为δ的彩虹匹配。我们对这个问题的回答是肯定的; f（δ）= 6.5δ就足够了。并且证明了一个O（δ（G））|V（G）|生成这种匹配的^2）-时间算法。
2011-08-11 math.CO
Turán Density of $2$-edge-colored Bipartite Graphs with Application on $\{2, 3\}$-Hypergraphs
考虑$2$边着色图的Turán问题.一个$2$ -边着色图$H=(V, E_r, E_b)$是一个三元组，由顶点集$V$、红边集$E_r$和蓝边集$E_b$组成，其中$E_r$和$E_b$不必不相交.定义$H$的图兰密度$π(H)$为$\lim_{n\to\infty} \max_{G_n}h_n(G_n)$，其中$G_n$是从$n$顶点上所有可能的$2$ -边着色图中选出的，$n$顶点上不含$H$作为子图，$h_n(G_n)=(|E_r(G)|+|E_b(G)|)/{n\choose 2}$是度量$G_n$边密度的公式.我们将确定所有$2$ -边着色二部图的图兰密度。我们还给出了我们的研究在$\{2, 3\}$ -超图的Turán问题上的一个重要应用.
2020-12-11 math.CO
Decomposing edge-colored graphs under color degree constraints
对于边有色图$G$，$G$的最小色度是指与$G$的每个顶点相邻的边上颜色的最小数目.证明了如果$G$是一个边有色图，其最小色度至少为$5$，则$V(G)$可被划分为两部分，使得每一部分导出一个最小色度至少为$2$的子图.我们通过证明一个更强的形式来证明这个定理。此外，我们还指出了我们的定理与有向图中的Bermond-Schlassen猜想之间的一个重要关系。
2017-01-11 math.CO
On Odd Rainbow Cycles in Edge-Colored Graphs
设$G = (V, E)$是一个$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了，如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有不同颜色的边相关联，则$G$允许彩虹三角形.我们证明，同样的假设，确保彩虹$\ell$周期$C_{\ell}$每当$n \ge 432 \ell$。这一结果对所有奇数$\ell \geq 3$都是尖锐的，并推广了作者早期的工作，当$\ell$是偶数时.
2021-02-23 math.CO
Asymptotic number of edge-colored regular graphs
本文推导了边着色正则图的渐近数量公式，并应用该结果计算了大随机k-正则图的c-边着色期望数量。
2026-01-26 math.CO
Decompositions of Edge-Colored Digraphs: A New Technique in the Construction of Constant-Weight Codes and Related Families
我们证明了某些约翰逊型的界限是渐近准确的各种类别的代码，即，恒定的组合码，非二进制的恒定重量的代码和乘恒定重量的代码。这是通过边着色有向图分解理论的一个有趣应用实现的。
2014-01-19 math.CO
Proper vertex-pancyclicity of edge-colored complete graphs without joint monochromatic triangles
在边着色图$(G,c)$中，$d^c(v)$表示与$G$的顶点$v$关联的边上的颜色数，$δ^c(G)$表示$d^c(v)$在所有顶点$v\in V(G)$上的最小值.如果$(G,c)$的循环的任何两个相邻边具有不同的颜色，则该循环被称为真循环。一个$n\geq 3$的顶点被边着色，如果对于每个$\ell$，$(G,c)$的每个顶点都包含在一个长度为$\ell$的真圈中，并且$(G,c)$的每个顶点都有$3 \le \ell \le n$ . Fujita和Magnant证明了$n\geq 3$顶点上的边着色完全图都是点泛圈图，且其顶点数为$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$. Chen，Huang和Yuan通过增加一个额外的条件，即$(G,c)$不包含任何单色三角形，部分地解决了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想是正确的，如果边着色完全图不包含联合单色三角形。
2020-07-28 math.CO
Vertex Alternating-Pancyclism in 2-Edge-Colored Graphs
2-二边着色图中的交替圈是使得任意两个相邻边具有不同颜色的圈。设$G_1, \ldots, G_k$是两两点不相交的2-边有色图的集合. $G_1, \ldots, G_k$的着色广义和，记为$ \oplus_{i=1}^k G_i$，是所有2-边有色图$G$的集合，使得：（i）$V(G)=\bigcup_{i=1}^k V(G_i)$，（ii）$i=1,\ldots, k$的$G\langle V(G_i)\rangle\cong G_i$为边有色图，其中$G\langle V(G_i)\rangle$与$G_i$具有相同的着色，以及（iii）在$G$的不同和中的每对顶点之间恰好有一条边，具有任意但固定的颜色.图$G$在$\oplus_{i=1}^k G_i$中称为着色广义和（c.g.s.）我们说$e\in E(G)$是一条外边当且仅当$e\in E(G)\setminus \left(\bigcup_{i=1}^k E(G_i)\right)$。外部边缘的集合将由$E_\oplus$表示。一个着色图$G$称为顶点交错泛圈图，只要对$G$中的每个顶点$v$，对每个$l\in\{3,\ldots, |V(G)|\}$，$G$中存在一个长度为$l$的交错圈通过$v$ .泛环和顶点泛环的问题已经被许多作者深入而广泛地研究过。2-边有色图的交错圈的存在性由于其广泛的应用而得到了研究.本文…
2019-10-03 math.CO
On Edge-Colored Saturation Problems
设$\mathcal{C}$是一类边着色图.一个$t$ -边着色图$G$是$(\mathcal{C}, t)$ -饱和的，如果$G$在$\mathcal{C}$中不包含任何图，但是在$[t]$中添加任何颜色的任何边都会创建$\mathcal{C}$中某个图的副本.与经典饱和函数类似，定义$\mathrm{sat}_t(n, \mathcal{C})$为$(\mathcal{C},t)$饱和图中的最小边数。设$\mathcal{C}_r(H)$是由$H$的每个边缘着色副本组成的族，该$H$完全使用$r$颜色。在本文中，我们考虑了各种彩色饱和度问题。我们确定了所有$r$的$\mathrm{sat}_t(n, \mathcal{C}_r(K_k))$的数量级，当$r\geq \binom{k-1}{2}+2$。这个定理的一个特例证明了Barrus，Ferrara，Vandenbussche和Wenger的一个猜想。我们精确地确定了$\mathrm{sat}_t(n, \mathcal{C}_2(K_3))$，并确定了极图。此外，我们记录了一些有趣的不规则性的彩色饱和度函数。
2017-12-01 math.CO
Proper Hamiltonian Cycles in Edge-Colored Multigraphs
一个$c$ -边着色多重图的每条边都用$c$可用的颜色之一着色，并且没有两条平行边具有相同的颜色。一个正常的Hamilton圈是包含重图的所有顶点的圈，使得没有两个相邻的边具有相同的颜色。在这项工作中，我们建立了充分条件的多重图有一个适当的哈密尔顿圈，取决于几个参数，如边的数量和彩虹度。
2017-02-13 cs.DM math.CO
Long properly colored cycles in edge colored complete graphs
设$K_{n}^{c}$表示一个完全图，它的$n$顶点的边可以任意着色.令$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})$表示与$K_{n}^{c}$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。$K_{n}^{c}$中正确着色的循环（路径）是相邻边具有不同颜色的循环（路径）。B. Bollobás和P. Erdös（1976）提出了如下猜想：如果$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})<\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，则$K_{n}^{c}$包含一个适当着色的哈密顿圈。Li，Wang和Zhou证明了，如果$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})< \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，则$K_{n}^{c}$包含一个长度至少为$\lceil \frac{n+2}{3}\rceil+1$的适当着色圈.本文改进了$\lceil \frac{n}{2}\rceil + 2$的界。
2014-02-24 cs.DM math.CO
Rainbow cycles in properly edge-colored graphs
本文证明了每一个平均度至少为$100(\log n)^2$的适当边着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹圈，改进了Tomon的$(\log n)^{2+o(1)}$界.我们还证明了每一个至少有$10^5 k^2 n^{1+1/k}$边的适当着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹$2k$ -圈，这改进了Janzer所得到的$2^{ck^2}n^{1+1/k}$界.我们的方法使用同态不等式和一个不平衡的正则引理也提供了一个简单的方法来证明Erdens-Simonovits过饱和定理的偶数周期，这可能是独立的利益。
2022-11-07 math.CO
The chromatic number of 2-edge-colored and signed graphs of bounded maximum degree
2-边有色图或带号图是具有两种边的单图。从2-边有色图$G$到2-边有色图$H$的同态是将$G$中的每条边映射到$H$中相同类型的边的映射$φ: V(G) \rightarrow V(H)$.切换2边着色或带符号图的顶点$v$对应于将每个边的类型更改为$v$。如果在交换$G$的顶点的某个子集之后，存在从$G$到$H$的2-边着色同态，则存在从符号图$G$到符号图$H$的同态。2-边着色的（分别为）的色数。符号）图$G$是最小2-边着色（分别为有符号）图$H$，使得存在从$G$到$H$的同态。一类图的色数是该类图的色数的最大值。本文研究了给定有界最大度的2-边着色符号图（连通图和不一定连通图）的色数。更确切地说，我们提供了最大度为2的图的精确界。然后，我们提出了具体的下限和上界的最大程度的图3，4，和5。最后，我们提出了一般的界限，最大程度的图$k$，每$k$。
2020-09-11 cs.DM math.CO
On the Number of Rainbow Spanning Trees in Edge-Colored Complete Graphs
一个正确边着色的完全图$K_n$的生成树是彩虹树，只要它的每条边都有不同的颜色。在1996年，Brualdi和Hollingsworth提出，如果$K_{2m}$是正确的$(2m-1)$ -边着色，那么$K_{2m}$的边可以被划分成$m$彩虹生成树，除了当$m=2$。本文通过一种显式的构造性方法，对$m$的任意正值，构造了$\lfloor \sqrt{6m+9}/3 \rfloor$的边不相交彩虹生成树.不仅产生了彩虹树，而且每个彩虹生成树的一些结构也在这个过程中被确定。这改进了文献中迄今为止最好的建设性结果，该结果恰好产生了三棵彩虹树。
2018-05-08 math.CO
Counting edge-Kempe-equivalence classes for 3-edge-colored cubic graphs
一个图的两个边着色是{ \em edge-Kempe等价}的，如果一个边着色可以通过一系列的边-Kempe交换从另一个边着色得到.本文给出了三次图的边-Kempe等价类个数的一些结果。特别地，我们证明了每个2-连通平面二部三次图恰好有一个边-Kempe等价类。此外，我们展示了无限多个非平面二部三次图的边Kempe等价类的数量范围。技术的发展，将是有用的分析其他类别的图形以及。
2012-09-08 math.CO
Chinese Postman Problem on Edge-Colored Multigraphs
众所周知，无向图和有向图上的中国邮递员问题是多项式时间可解的。我们将这个结果推广到边着色重图。我们的结果与混合图上的中国邮递员问题形成鲜明对比，即，有向边和无向边的图，其问题是NP-困难的。
2016-09-12 cs.DS math.CO
Monochromatic connected matchings in 2-edge-colored multipartite graphs
图$G$中的匹配$M$是连通的，如果$M$的所有边都在$G$的相同分量中。继Jubuczak之后，已经有许多结果使用簇图中关于大图的规则划分的大连通匹配的存在性来证明这些图中存在长路径和其他结构。证明了$2$ -边着色多部图中单色连通匹配的大小的Ramsey型精确界。此外，我们证明了这样的匹配的稳定性定理。
2021-10-13 math.CO
A note on heterochromatic cycles of length 4 in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的异色循环是其中每两个边缘具有不同颜色的循环。对于顶点$v\in V(G)$，令$CN(v)$表示分配给与$v$关联的边的颜色集合。本文证明了$G$包含一个长为4的异色圈，如果对$G$的每对顶点$u$和$v$，$G$都有$n\geq 60$顶点和$|CN(u)\cup CN(v)|\geq n-1$.这扩展了Broersma等人关于存在长度为3或4的异色圈的结果。
2012-01-18 math.CO
Complete Edge-Colored Permutation Graphs
我们引入了完全边着色置换图的概念，即完全图是“经典”置换图的边不交并。我们证明了图$G=(V,E)$是完全边着色置换图当且仅当$G$的每个单色子图是“经典”置换图且$G$不包含具有~ $3$不同颜色的三角形.以模分解为框架，证明了完全边色置换图的强素模刻画，从而导出了完全边色置换图.这导致了一个$\mathcal{O}(|V|^2)$时间识别算法。此外，我们表明，完全边着色置换图形成一个超类的所谓的符号超度量，这种图的着色总是一个Gallai着色。
2020-04-15 cs.DM cs.DS math.CO
The wild number of an edge-colored graph
本文引入边着色图的野数概念，证明确定野数是NP完全问题，给出其界限，并求出特定图族的精确野数，同时提出适合本科生的开放问题。
2025-08-08 math.CO
Decompositions of edge-colored infinite complete graphs into monochromatic paths
图或超图$G=(V,E)$的$r$ -边染色是映射$c:E\to \{0, \dots, r-1\}$ .推广了Rado的结果，回答了Rado，Gyárfás和Sárközy的问题，证明了（1.）每个$r$ -边着色的可数无限完全$k$ -一致超图的顶点集可被划分为具有不同颜色的$r$单色紧路（$k$ -一致超图中的紧路是不同顶点的序列，使得每个$k$连续顶点的集合形成边），（2.）对于所有自然数$r$和$k$，存在一个自然数$M$，使得每个$r$ -边着色的可数无限完全图的顶点集可以被划分为除有限集之外的路径的$M$单色$k^{th}$幂（路径的$k^{th}$幂是不同顶点的序列$v_0, v_1, \dots$，使得$1\le|i-j| \le k$暗示$v_iv_j$是边），（3）每个$2$ -边着色的可数无限完全图的顶点集都可以划分为$4$单色路平方，但不一定划分为$3$，（4）$ω_1$上的每个$2$ -边着色完全图的顶点集都可以被划分为具有不同颜色的$2$单色路.
2016-01-06 math.CO
The Aldous chain on cladograms mixes in order $n^2$ steps
Université de Lorraine, CNRS, IECL（洛林大学、法国国家科学研究中心、IECL）
本文针对枝序图上的Aldous马尔可夫链，通过引入并行跟踪彩色子树的耦合，并利用彩色分量大小平方和的漂移性质，证明了其混合时间为$n^2$阶，解决了Aldous的猜想。
2026-11-04 math.CO math.PR
Long rainbow cycles and Hamiltonian cycles using many colors in properly edge-colored complete graphs
本文证明了两个关于适当边有色图中圈的结果。首先，我们对Alon，Pokrovskiy和Sudakov最近的突破性工作做了一个小的改进，证明了$G$在至少$n - O(\log n \sqrt{n})$顶点上有彩虹圈，从而证明了每个在$n$顶点上的适当边着色的完全图$G$在至少$n - O(n^{3/4})$顶点上有彩虹圈.其次，通过修改Hatami和Shor给出的拉丁方部分断面长度的下界，证明了每一个正常着色的完全图都有一个Hamilton圈，其中至少有$n - O((\log n)^2)$不同的颜色出现.对于大的$n$，这是对Andersen的$n - \sqrt{2n}$的先前最佳已知下界的改进。
2017-06-15 math.CO
Edge colored hypergraphic arrangements
由编织排列的超平面的交叉定义的子空间排列可以由边着色超图编码。证明了这种子空间排列的特征多项式是由伴随边着色超图的广义色多项式给出的。本文的主要结果提供了子空间排列复补的非平凡Massey积存在的一个充分条件。这是通过研究一个谱序列相关的李余代数辛哈和沃尔特。
2009-03-25 math.AT math.CO
A revisit to Bang-Jensen-Gutin conjecture and Yeo's theorem
如果连续的边具有不同的颜色，则路径（循环）是正确着色的。1997年，Bang-Jensen和Gutin给出了边着色完全图中Hamilton路存在的一个充要条件.这一猜想在2006年被Feng，Giesen，Guo，Gutin，Jensen和Rafley证实，后来在Lo关于适当着色Hamilton圈的Bollobás-Erdés猜想的渐近证明中发挥了重要作用。1997年，Yeo得到了不含正常着色圈的边-有色图的一个结构刻画.这个结果是研究边有色图的一个基本工具。本文首先通过两个新颖的吸收引理给出了Bang-Jensen-Gutin猜想的一个更短的证明。我们还证明了一个新的充分条件，存在一个适当的着色圈，然后推出Yeo定理，从这个结果和封闭的概念，边有色图。
2022-07-18 math.CO
Long rainbow path in properly edge-colored complete graphs
设$G$是边着色图. $G$的彩虹（异色或多色）路径是这样一种路径，其中没有两条边具有相同的颜色。设顶点$v$的颜色度是在关联到$v$的边上使用的不同颜色的数量，并将其表示为$d^c(v)$。证明了若$G$的每个顶点$v$都有$d^c(v)\geq k$，则$G$有一条长度至少为$\min\{\lceil\frac{2k+1}{3}\rceil,k-1\}$的彩虹路.本文只考虑完全图$K_n$的适当边着色，并改进了最长彩虹路长度的下界，证明了若$n\geq 20$，必有一条长度不小于$\displaystyle \frac{3}{4}n-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{n}{2}-\frac{39}{11}}-\frac{11}{16}$的彩虹路.
2015-03-16 math.CO
Acyclicity in Edge-Colored Graphs
边着色图中的行走$W$称为适当着色（PC），如果$W$中的每对相邻边都是不同的颜色.在边着色图中引入并研究了五种类型的PC无圈性，使得$i$型PC无圈图是$i+1$型、$i=1,2,3,4.$型PC无圈图的真超集。前三种类型分别等价于不存在PC圈、PC迹和PC游动。虽然可以在多项式时间内识别类型1、2和3的图，但是令人惊讶的是，识别类型4的图的问题甚至对于2-边着色图（即，当仅使用两种颜色时）。关于类型5的相同问题对于所有边着色图都是多项式时间可解的。利用这五种类型，我们研究了求两个顶点之间内部顶点不交PC路的最大数目和满足两个顶点之间所有PC路的顶点的最小数目问题的难处理性和易处理性之间的边界。
2016-09-12 cs.DM math.CO
Colored unavoidable patterns and balanceable graphs
研究了边着色完全图的Turán型问题。我们证明了对于任何$r$和$t$，任何充分大的$r$ -边着色完全图在$n$顶点上且$Ω(n^{2-1/tr^r})$边在每种颜色中都包含一个来自$r$ -边着色完全图的有限族$\mathcal{F}_t^r$的成员.我们推测，$Ω(n^{2-1/t})$边缘在每种颜色是足够的，以找到一个成员从${\mathcal{F}}_t^r$。Girão和Narayanan的一个结果证实了这个猜想时，$r=2$。接下来，我们研究一个相关的问题，其中相应的图兰阈值是线性的。我们称一条路的边着色为$P_{rk}$平衡的，如果每种颜色在着色中出现$k$次。我们证明了一个大的完全图的任何$3$ -边染色都包含一个平衡的$P_{3k}$，其中每种颜色都有$kn+o(n)$边。这是紧到$2$的常数因子。对于更多的颜色，问题变得令人惊讶地更加微妙。已经为$r=7$，我们表明，即使从每种颜色的$n^{2-o(1)}$边缘不保证存在一个平衡的$P_{7k}$。
2021-07-15 math.CO
The Rank-Width of Edge-Colored Graphs
图宽是有向图和无向图的复杂性度量。秩宽是无向图的一个等价的复杂性度量，具有良好的算法和结构性质。它特别与顶点-子关系有关。我们讨论了边着色图的秩宽度的概念的扩展。C-着色图是其中弧用集合C中的颜色着色的图。C-着色图的秩宽度没有一个自然的概念。我们定义了两个概念的秩宽度为他们，都是基于编码的C-着色图的边着色图，其中每个边缘有一个颜色从字段F和命名分别为F-秩宽度和F-双秩宽度。这两个概念等价于candle-width。然后，我们提出了一个概念的顶点子的F-着色图，并证明了F-着色图的有界的F-秩宽度的特征在于一个有限的列表的F-着色图排除作为顶点子。决定F色图是否具有F秩宽度（分别）的立方时间算法F-双秩宽度），且k为固定值。给出了检查秩宽度有界的F-着色图的MSOL可定义性质的图操作。所有这些概念的专业化（有向）图没有边的颜色，这表明我们的结果推广的无向图。
2014-07-08 cs.DM math.CO
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Partitioning complete graphs by heterochromatic trees
{ \it异色树}是边-有色树，其中任意两个边具有不同的颜色。一个$r$边有色图$G$的{ \it异色树划分数}，记为$t_r(G)$，是最小正整数$p$，使得只要图$G$的边用$r$着色，$G$的顶点最多能被$p$顶点不相交异色树覆盖.本文确定了$r$ -边着色完全图的异色树划分数。
2007-11-19 math.CO
Rainbow matchings in edge-colored graphs
本文研究一般边着色图中在边数与颜色数之和条件下大小为 k 的彩虹匹配的存在性，并证明所用条件是紧的。
2025-11-06 math.CO
Complexity Results for Rainbow Matchings
边着色图中的彩虹匹配是边具有不同颜色的匹配。我们解决以下问题的复杂性问题，\mrbm：给定一个边着色图$G$，多大是最大的彩虹匹配$G$？我们提出了几个鲜明的对比，在这个问题的复杂性。我们表明，除其他外，* 可以近似的多项式算法的近似比$2/3-\eps$。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$5$ -顶点路径的正确边着色的线性森林时，并且对于没有$4$ -顶点路径的边着色的森林，在关于边着色的$m$ -边的多项式时间上的%时间$O(m^{3/2})$内可解。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$8$ -顶点路径的正确边着色的树时，并且对于没有$7$ -顶点路径的边着色树，在边着色$n$ -顶点多项式时间上的%时间$O(n^{7/2})$内可解。这些结果提供了一个二分法定理的复杂性问题的森林和树木的禁止路径。后者有些令人惊讶，因为据我们所知，在我们的结果之前，没有（未加权）图问题是NP-难的简单路径。我们还解决了问题的参数化的复杂性。
2013-12-27 cs.DM math.CO
Note on rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是一个边着色为$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小着色度. $G$的一个子图$F$称为彩虹图，如果$F$的所有边都有两两不同的颜色.关于边有色图的彩虹圈，已有很多结果.本文证明了：（i）若$δ^c(G)>\frac{3n-3}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹三角形中;（ii）若$δ^c(G)>\frac{3n}{4}$，则$G$的每个顶点都包含在彩虹$C_4$中;（iii）若$G$是完备的，$n\geq 8k-18$和$δ^c(G)>\frac{n-1}{2}+k$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹圈.同时也发现并纠正了以往出版物中的一些不足之处。
2020-10-22 math.CO
Short rainbow cycles in edge-colored graphs
本文扩展了Guo关于Aharoni彩虹圈猜想的研究，证明了当边着色图中超过半数的颜色类为大小为2的匹配或三角形时，必然存在长度为 $O(\log n)$ 的短彩虹圈，并验证了该对数界的数量级正确性。
2023-11-21 math.CO math.PR
Relative Tutte polynomials of tensor products of colored graphs
图$G_1$和点图$G_2$（包含一个区别边）的张量积$(G_1,G_2)$是通过用$G_2$的单独副本的区别边标识$G_1$的每条边，然后去除所标识的边来获得的。计算图的张量积的Tutte多项式的公式最初是由Brylawski给出的。这个公式最近被推广到有色图和Bollobás和Riordan引入的广义Tutte多项式。本文将着色张量积公式推广到含有零边的相对图的相对Tutte多项式，通常的删除-收缩规则不适用于这些图。正如我们在最近的一篇论文中所示，相对Tutte多项式可用于计算虚拟结的琼斯多项式。
2012-02-20 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored complete graphs
设$G$是一个具有边着色$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小色度.如果$G$的子图$F$的任意两条边具有不同的颜色，则称之为彩虹图.关于边着色完全图中的彩虹三角形，现有的文献中已有很多结果。Fujita和Magnant证明了对一个阶为$n$的边着色完全图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$的每个顶点都包含在一个彩虹三角形中.本文证明了如果$δ^c(G)\geq \frac{n+k}{2}$，则$G$的每个顶点至少包含在$k$彩虹三角形中，这可以看作是他们结果的推广. Li证明了对一个阶为$n$的边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$包含一个彩虹三角形.证明了如果$G$是完备的，且$δ^c(G)\geq \frac{n}{2}$，则$G$包含彩虹三角形且边界是尖锐的. Hu等人证明了对于$n\geq 20$阶边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+2}{2}$，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.证明了若$G$是序$n\geq 8$和序$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$完备的，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.此外，我们将Hu等人的结果从$n\geq 20$改进为$n\geq 7$，这是可能的最佳结果。
2020-12-03 math.CO
