Rainbow Matchings of size δ(G) in Properly Edge-colored Graphs
边有色图中的{ \it彩虹匹配}是所有边都具有不同颜色的匹配。Wang询问是否存在一个函数f（δ）使得具有最小度δ且阶至少为f（δ）的适当边有色图G必须具有大小为δ的彩虹匹配。我们对这个问题的回答是肯定的; f（δ）= 6.5δ就足够了。并且证明了一个O（δ（G））|V（G）|生成这种匹配的^2）-时间算法。
2011-08-11 math.CO
Rainbow cycles in properly edge-colored graphs
本文证明了每一个平均度至少为$100(\log n)^2$的适当边着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹圈，改进了Tomon的$(\log n)^{2+o(1)}$界.我们还证明了每一个至少有$10^5 k^2 n^{1+1/k}$边的适当着色的$n$ -顶点图都包含一个彩虹$2k$ -圈，这改进了Janzer所得到的$2^{ck^2}n^{1+1/k}$界.我们的方法使用同态不等式和一个不平衡的正则引理也提供了一个简单的方法来证明Erdens-Simonovits过饱和定理的偶数周期，这可能是独立的利益。
2022-11-07 math.CO
Long rainbow cycles and Hamiltonian cycles using many colors in properly edge-colored complete graphs
本文证明了两个关于适当边有色图中圈的结果。首先，我们对Alon，Pokrovskiy和Sudakov最近的突破性工作做了一个小的改进，证明了$G$在至少$n - O(\log n \sqrt{n})$顶点上有彩虹圈，从而证明了每个在$n$顶点上的适当边着色的完全图$G$在至少$n - O(n^{3/4})$顶点上有彩虹圈.其次，通过修改Hatami和Shor给出的拉丁方部分断面长度的下界，证明了每一个正常着色的完全图都有一个Hamilton圈，其中至少有$n - O((\log n)^2)$不同的颜色出现.对于大的$n$，这是对Andersen的$n - \sqrt{2n}$的先前最佳已知下界的改进。
2017-06-15 math.CO
Coloring Graphs to Produce Properly Colored Walks
对于一个连通图，我们定义了正确行走连接数，它是使图的每对顶点之间都有行走，而没有两条连续的边具有相同颜色所需要的最少颜色数.我们证明了所有循环图的正确行走连接数至多为3，无桥图的正确行走连接数至多为2。我们还刻画了正确行走连接数等于2的二部图，并证明了这种刻画也适用于类似的问题，其中一个被限制为正确着色的道路。
2017-04-21 math.CO
Minimal colorings for properly colored subgraphs in complete graphs
令$pr(K_{n}, G)$为在没有$G$的正确着色副本的情况下$K_{n}$的边着色中的最大颜色数。在本文中，我们表明，$pr(K_{n}, G)-ex(n, \mathcal{G'})=o(n^{2}), $其中$\mathcal{G'}=\{G-M: M \text{ is a matching of }G\}$。此外，我们确定了$l\ge 27$和$n\ge 2l^{3}$的$pr(K_{n}, P_{l})$值以及$pr(K_{n}, G)$的精确值，其中$G$分别为$C_{5}, C_{6}$和$K_{4}^{-}$。并给出了$pr(K_{n}, K_{2,3})$的上界和下界.
2019-11-11 math.CO
Properly colored $C_{4}$'s in edge-colored graphs
当许多颜色出现在边有色图中时，期望彩虹子图出现是很自然的。这个反拉姆齐问题已被彻底研究，但在文献中仍然存在许多空白。扩展后，经典和最近的结果迫使彩虹三角形出现，我们考虑类似的条件，迫使存在一个适当的彩色副本的$C_{4}$。
2019-05-29 cs.DM math.CO
The absence of monochromatic triangle implies various properly colored spanning trees
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
研究探讨了在无单色三角形的完全图中存在适当着色生成树的条件，证明了星型树的猜想，并探讨了相关Ramsey数的量化估计。
2024-04-15 math.CO
A revisit to Bang-Jensen-Gutin conjecture and Yeo's theorem
如果连续的边具有不同的颜色，则路径（循环）是正确着色的。1997年，Bang-Jensen和Gutin给出了边着色完全图中Hamilton路存在的一个充要条件.这一猜想在2006年被Feng，Giesen，Guo，Gutin，Jensen和Rafley证实，后来在Lo关于适当着色Hamilton圈的Bollobás-Erdés猜想的渐近证明中发挥了重要作用。1997年，Yeo得到了不含正常着色圈的边-有色图的一个结构刻画.这个结果是研究边有色图的一个基本工具。本文首先通过两个新颖的吸收引理给出了Bang-Jensen-Gutin猜想的一个更短的证明。我们还证明了一个新的充分条件，存在一个适当的着色圈，然后推出Yeo定理，从这个结果和封闭的概念，边有色图。
2022-07-18 math.CO
Optimal proper connection of graphs
一个边有色图$G$称为恰当着色图，如果在$G$中没有两个邻边共享同一颜色.一个边着色连通图$G$称为恰当连通图，如果在每对不同的顶点之间存在一条恰当着色的路。本文讨论了如何有效地使一个连通图正确连通。更确切地说，我们考虑的问题，转换成适当连接的$p$边缘与$q$颜色，使$p+q$是尽可能小的给定的单色图。我们讨论了如何有效地做到这一点的一些限制图，如树，完全二部图和图的独立数$2$。
2019-03-08 math.CO
Long rainbow path in properly edge-colored complete graphs
设$G$是边着色图. $G$的彩虹（异色或多色）路径是这样一种路径，其中没有两条边具有相同的颜色。设顶点$v$的颜色度是在关联到$v$的边上使用的不同颜色的数量，并将其表示为$d^c(v)$。证明了若$G$的每个顶点$v$都有$d^c(v)\geq k$，则$G$有一条长度至少为$\min\{\lceil\frac{2k+1}{3}\rceil,k-1\}$的彩虹路.本文只考虑完全图$K_n$的适当边着色，并改进了最长彩虹路长度的下界，证明了若$n\geq 20$，必有一条长度不小于$\displaystyle \frac{3}{4}n-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{n}{2}-\frac{39}{11}}-\frac{11}{16}$的彩虹路.
2015-03-16 math.CO
Long properly colored cycles in edge colored complete graphs
设$K_{n}^{c}$表示一个完全图，它的$n$顶点的边可以任意着色.令$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})$表示与$K_{n}^{c}$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。$K_{n}^{c}$中正确着色的循环（路径）是相邻边具有不同颜色的循环（路径）。B. Bollobás和P. Erdös（1976）提出了如下猜想：如果$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})<\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，则$K_{n}^{c}$包含一个适当着色的哈密顿圈。Li，Wang和Zhou证明了，如果$Δ^{\mathrm{mon}} (K_{n}^{c})< \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$，则$K_{n}^{c}$包含一个长度至少为$\lceil \frac{n+2}{3}\rceil+1$的适当着色圈.本文改进了$\lceil \frac{n}{2}\rceil + 2$的界。
2014-02-24 cs.DM math.CO
Properly colored and rainbow copies of graphs with few cherries
设G是一个包含线性多个樱桃的n-顶点图（即，设c是完全图K_n的边的着色，使得在每个顶点上每种颜色只出现多次。在1979年，Shearer证明了这样的着色c必须包含G的正确着色副本。我们建立了这个猜想的一个强形式，证明了它甚至对樱桃数为O（n^（4/3））的图G也成立，而且樱桃数的这个界在一个常数因子下是最佳可能的。我们还证明了在K_n的每一个边染色中都可以找到这样的G的彩虹拷贝，其中所有的颜色出现有界的次数。我们的证明结合了一个框架，陆和Szekely使用不平衡的Lovasz局部引理在空间中的随机双射与一些额外的想法。
2016-07-14 math.CO
Many edge-disjoint rainbow spanning trees in general graphs
边着色图中的彩虹生成树是其中每条边都是不同颜色的生成树。Carraher、Hartke和Horn证明，对于足够大的$n$和$C$，如果$G$是$K_n$的边着色副本，其中每个颜色类的大小最多为$n/2$，则$G$至少有$\lfloor n/(C\log n)\rfloor$边不相交的彩虹生成树。在这里，我们加强这一结果表明，如果$G$是任何边着色图的$n$顶点，其中每种颜色出现在大多数$δ\cdotλ_1/2$边，其中$n$和$C$的$δ\geq C\log n$足够大，$λ_1$是第二个最小的特征值的规范化拉普拉斯矩阵的$G$，那么$G$包含至少$\left\lfloor\frac{δ\cdotλ_1}{C\log n}\right\rfloor$边不相交的彩虹生成树。
2017-03-31 math.CO
Note on vertex disjoint rainbow triangles in edge-colored graphs
本文通过构造反例否定了关于边着色图中 proper $mK_3$ 存在条件的猜想，并给出一般图中顶点不交彩虹 $K_k$ 子图及完全图中 proper $mK_3$ 的存在性结果。
2024-02-28 math.CO
What percent of the plane can be properly 5- and 6-colored?
我们提出了一个平铺超过99.985698%的欧几里得平面与六种颜色，减少了以前的记录为未覆盖的部分的平面约12.8%。我们还提出了一个平铺超过95.99%的平面与五种颜色。由此证明了平面上任意阶数至多为6992和24的单位距离图都可以分别适当地是6色图和5色图。
2020-10-23 math.CO math.MG
Above-Guarantee Algorithm for Properly Colored Trees
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics（西安-布达佩斯组合学联合研究中心）；MTA-ELTE Matroid Optimization Research Group（MTA-ELTE拟阵优化研究组）；HUN-REN–ELTE Egerváry Research Group, Department of Operations Research, ELTE Eötvös Loránd University（匈牙利研究与创新网络-罗兰大学埃格瓦里研究组，运筹学系，罗兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与创新网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文提出一种多项式时间算法，用于在连通的边着色图中构造至少订单为min{|V(G)|, 2δ^c(G)+1}的正确着色生成树。
2026-06-29 cs.DS math.CO
Rainbow spanning trees in properly coloured complete graphs
本文研究了正常边着色完全图中的成对边不相交彩虹生成树，其中如果图的边具有不同的颜色，则该图是彩虹图。Brualdi和Hollingsworth证明了每一个用$n-1$颜色适当地边着色的$K_n$都有$n/2$边不相交的彩虹生成树。Kaneko、Kano和Suzuki后来建议，这应该适用于每一个边缘颜色合适的$K_n$。改进以前最好的已知的界限，我们表明，每一个正确的边着色$K_n$包含$Ω(n)$成对边不相交的彩虹生成树。Pokrovskiy和Sudakov最近独立地证明了每一个正确的边着色的$K_n$都包含$Ω(n)$同构的成对边不相交的彩虹生成树。
2017-04-24 math.CO
Quasitoric manifolds and Small covers over properly colored polytopes: Immersions and Embeddings
我们在$n$维简单多面体上构造了小覆盖和拟素流形，使得小平面可以用$n$颜色进行适当的着色。我们计算这些流形的Stiefel-Whitney类作为浸入和嵌入到欧几里得空间的障碍。在$n$是2的幂的情况下实现嵌入所需的最大维度。
2016-04-28 math.AT math.CO
How many randomly colored edges make a randomly colored dense graph rainbow hamiltonian or rainbow connected?
本文研究了在任意随机边着色稠密图上添加随机边得到的随机边有色图。特别是，我们问有多少颜色和多少随机边缘需要，使所得的图包含一个固定数量的边缘不相交的彩虹汉密尔顿周期。我们还问，在结果图中，每对顶点都由彩虹路径连接。
2018-02-01 math.CO
Approximating maximum-size properly colored forests
该研究提出最大规模正常着色森林与树两类优化问题，针对不同图类和颜色数给出多项式时间近似算法及不可近似性结果，证明正常着色树近似难度更高，为边着色图优化问题提供了新的算法思路。
2024-02-01 cs.DM cs.DS math.CO
Properly colored even cycles in edge-colored complete balanced bipartite graphs
本文研究边着色完全平衡二部图中的正常着色偶圈存在性，先证明满足最小色度条件的图含长圈PC 2-因子，再结合概率与吸收技术证明大阶数图在更高色度条件下是正常顶点偶泛圈的。
2023-10-08 math.CO
Density of rainbow triangles and properly colored $K_4$'s
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
本文利用无计算机的旗代数方法，给出了具有红、绿、蓝边数的图中正确3边着色 $K_4$ 数量的尖锐上界，并推广到任意完全图 $K_k$ 的固定彩虹着色，同时提供了经典计数和熵方法的证明。
2026-06-23 math.CO
Nearly tight bound for rainbow clique subdivisions in properly edge-colored graphs and applications
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文证明了在正确边着色图中存在雨色K_t子图的近似界限，并应用于加性组合学、数论和编码理论。
2026-02-09 math.CO
On the Number of Rainbow Spanning Trees in Edge-Colored Complete Graphs
一个正确边着色的完全图$K_n$的生成树是彩虹树，只要它的每条边都有不同的颜色。在1996年，Brualdi和Hollingsworth提出，如果$K_{2m}$是正确的$(2m-1)$ -边着色，那么$K_{2m}$的边可以被划分成$m$彩虹生成树，除了当$m=2$。本文通过一种显式的构造性方法，对$m$的任意正值，构造了$\lfloor \sqrt{6m+9}/3 \rfloor$的边不相交彩虹生成树.不仅产生了彩虹树，而且每个彩虹生成树的一些结构也在这个过程中被确定。这改进了文献中迄今为止最好的建设性结果，该结果恰好产生了三棵彩虹树。
2018-05-08 math.CO
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Proper vertex-pancyclicity of edge-colored complete graphs without joint monochromatic triangles
在边着色图$(G,c)$中，$d^c(v)$表示与$G$的顶点$v$关联的边上的颜色数，$δ^c(G)$表示$d^c(v)$在所有顶点$v\in V(G)$上的最小值.如果$(G,c)$的循环的任何两个相邻边具有不同的颜色，则该循环被称为真循环。一个$n\geq 3$的顶点被边着色，如果对于每个$\ell$，$(G,c)$的每个顶点都包含在一个长度为$\ell$的真圈中，并且$(G,c)$的每个顶点都有$3 \le \ell \le n$ . Fujita和Magnant证明了$n\geq 3$顶点上的边着色完全图都是点泛圈图，且其顶点数为$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$. Chen，Huang和Yuan通过增加一个额外的条件，即$(G,c)$不包含任何单色三角形，部分地解决了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想是正确的，如果边着色完全图不包含联合单色三角形。
2020-07-28 math.CO
Edge-colorings of $K_{m,n}$ which Forbid Multicolored Cycles
边着色图中的一个子图是多色的，如果它的所有边都有不同的颜色.本文研究了完全二部图$K_{m,n}$的不允许多色圈的正常边染色。主要证明了：（1）对任意整数$k\geq 2$，若有$n\geq 5k-6$，则任意正$n$ -边着色的$K_{k,n}$包含一个多色$C_{2k}$;（2）确定了禁止多色$C_6$的正边着色完全二部图的阶.
2014-06-30 math.CO
Partitioning 3-edge-colored complete equi-bipartite graphs by monochromatic trees under a color degree condition
$r$边有色图$G$的单色树划分数，记为$t_r(G)$，是最小整数$k$，使得只要$G$的边用$r$颜色着色，$G$的顶点最多能被$k$顶点不相交的单色树覆盖.一般来说，确定这个数字是非常困难的。对于2-边着色完全多部图，Kaneko，Kano和Suzuki给出了$t_2(K(n_1,n_2,...,n_k))$的精确值.本文证明了：若K（n，n）是3-边着色的，使得每个顶点的色度为3，则$t_3(K(n,n))=3.$
2008-01-03 math.CO
Rainbow Turán Problem for Even Cycles
一个边有色图是彩虹图，如果它的所有边都用不同的颜色着色.对于固定图$H$，彩虹图兰数$\mathrm{ex}^{\ast}(n,H)$定义为在没有$H$彩虹副本的情况下，$n$顶点上的正确边有色图中的最大边数.本文研究了偶数圈的彩虹Turán数，证明了对每一个固定的$\varepsilon > 0$，存在一个常数$C(\varepsilon)$，使得每一个在$n$顶点上具有至少$C(\varepsilon) n^{1 + \varepsilon}$边的适当边有色图至多包含一个偶数长的彩虹圈$2 \lceil \frac{\ln 4 - \ln \varepsilon}{\ln (1 + \varepsilon)} \rceil$ .这部分回答了Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte的一个问题，他们问一个图在没有任何长度的彩虹周期的情况下可以有多密集。
2012-05-14 math.CO
Partitioning complete graphs by heterochromatic trees
{ \it异色树}是边-有色树，其中任意两个边具有不同的颜色。一个$r$边有色图$G$的{ \it异色树划分数}，记为$t_r(G)$，是最小正整数$p$，使得只要图$G$的边用$r$着色，$G$的顶点最多能被$p$顶点不相交异色树覆盖.本文确定了$r$ -边着色完全图的异色树划分数。
2007-11-19 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored complete graphs
设$G$是一个具有边着色$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小色度.如果$G$的子图$F$的任意两条边具有不同的颜色，则称之为彩虹图.关于边着色完全图中的彩虹三角形，现有的文献中已有很多结果。Fujita和Magnant证明了对一个阶为$n$的边着色完全图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$的每个顶点都包含在一个彩虹三角形中.本文证明了如果$δ^c(G)\geq \frac{n+k}{2}$，则$G$的每个顶点至少包含在$k$彩虹三角形中，这可以看作是他们结果的推广. Li证明了对一个阶为$n$的边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$包含一个彩虹三角形.证明了如果$G$是完备的，且$δ^c(G)\geq \frac{n}{2}$，则$G$包含彩虹三角形且边界是尖锐的. Hu等人证明了对于$n\geq 20$阶边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+2}{2}$，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.证明了若$G$是序$n\geq 8$和序$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$完备的，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.此外，我们将Hu等人的结果从$n\geq 20$改进为$n\geq 7$，这是可能的最佳结果。
2020-12-03 math.CO
On the number of proper paths between vertices in edge-colored hypercubes
给定一个整数$1\leq j <n$，定义$n$维超立方体$H_{n}$的$(j)$ -着色为$H_{n}$的边的$2$ -着色，其中维度$i$，$1\leq i \leq j$中的所有边都具有颜色$1$，所有其他边都具有颜色$2$ . Cheng et al. [Proper distance in edge-colored hypercubes，Applied Mathematics and Computation 313（2017）384-391.]确定了$(1)$着色超立方体的一对顶点之间不同的最短正确着色路径的数量。考虑$(j)$着色的数$j\geq 2$是很自然的.本文研究了任意$j$的$(j)$着色超立方体中不同最短真路的个数.
2017-08-09 math.CO
Cycles of length 3 and 4 in edge-colored complete graphs with restrictions in the color transitions
本文研究$H$-染色完全图中$H$-圈的存在性，给出保证每个顶点均含于长度3和4的$H$-圈的条件，并推广了正常染色游走的经典定理。
2023-05-11 math.CO
Bounded colorings of multipartite graphs and hypergraphs
设$c$是完全$n$ -顶点图$K_n$的边染色.在$c$中寻找适当着色和彩虹Hamilton圈的问题是由Bollobás和Erd \H os于1976年提出的，从那时起就得到了广泛的研究。最近它被Dudek，Frieze和Rucibrski扩展到超图的设置。我们推广了这些结果，给出了充分的局部（分别）。全局）对着色的限制，这保证了适当着色的（相应地，彩虹）给定超图$G$的副本。我们还研究了这些问题的多方类似物。本文给出了完全平衡$m$ -部图的着色$c$包含一个最大度为$Δ$的给定图$G$的适当着色或彩虹拷贝的最优充分条件（直到一个常数因子）.我们的边界表现出一个令人惊讶的过渡增长率，表明该问题是根本不同的制度$Δ\gg m$和$Δ\ll m$我们的主要工具是陆和Székely的框架空间的随机双射，我们扩展到产品空间。
2016-10-26 math.CO
Complexity Results for Rainbow Matchings
边着色图中的彩虹匹配是边具有不同颜色的匹配。我们解决以下问题的复杂性问题，\mrbm：给定一个边着色图$G$，多大是最大的彩虹匹配$G$？我们提出了几个鲜明的对比，在这个问题的复杂性。我们表明，除其他外，* 可以近似的多项式算法的近似比$2/3-\eps$。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$5$ -顶点路径的正确边着色的线性森林时，并且对于没有$4$ -顶点路径的边着色的森林，在关于边着色的$m$ -边的多项式时间上的%时间$O(m^{3/2})$内可解。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$8$ -顶点路径的正确边着色的树时，并且对于没有$7$ -顶点路径的边着色树，在边着色$n$ -顶点多项式时间上的%时间$O(n^{7/2})$内可解。这些结果提供了一个二分法定理的复杂性问题的森林和树木的禁止路径。后者有些令人惊讶，因为据我们所知，在我们的结果之前，没有（未加权）图问题是NP-难的简单路径。我们还解决了问题的参数化的复杂性。
2013-12-27 cs.DM math.CO
Linearly many rainbow trees in properly edge-coloured complete graphs
边色完全图的一个子图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹分解的研究有着悠久的历史，可以追溯到欧拉对拉丁方的研究。本文讨论了将完全图分解为彩虹树的三个问题：Brualdi-Hollingsworth猜想、Constantine猜想和Kaneko-Kano-Suzuki猜想。证明了在$K_n$的每一个真边着色中，都存在$10^{-6}n$边不交的生成同构彩虹树.这同时改善了所有这些假设的最佳已知界限。使用我们的方法，我们还表明，每一个正确的$(n-1)$ -边着色的$K_n$有$n/9$边不相交的彩虹树，给Brualdi-Hollingsworth猜想的进一步改进。
2018-03-19 math.CO
Multicolored Isomorphic Spanning Trees in Complete Graphs
本文首先证明了如果$K_{2m}$的边被$2m-1$颜色适当地着色，使得任意两种颜色诱导一个2-因子，其中每个因子是一个4-圈，则$K_{2m}$可以分解为$m$同构的多色生成树.因此，我们证明了对于$m\geq 14$，在任意（2 $m-$ 1）-边着色的$K_{2m}$中存在三棵不相交的同构多色生成树.
2014-10-02 math.CO
Turán Density of $2$-edge-colored Bipartite Graphs with Application on $\{2, 3\}$-Hypergraphs
考虑$2$边着色图的Turán问题.一个$2$ -边着色图$H=(V, E_r, E_b)$是一个三元组，由顶点集$V$、红边集$E_r$和蓝边集$E_b$组成，其中$E_r$和$E_b$不必不相交.定义$H$的图兰密度$π(H)$为$\lim_{n\to\infty} \max_{G_n}h_n(G_n)$，其中$G_n$是从$n$顶点上所有可能的$2$ -边着色图中选出的，$n$顶点上不含$H$作为子图，$h_n(G_n)=(|E_r(G)|+|E_b(G)|)/{n\choose 2}$是度量$G_n$边密度的公式.我们将确定所有$2$ -边着色二部图的图兰密度。我们还给出了我们的研究在$\{2, 3\}$ -超图的Turán问题上的一个重要应用.
2020-12-11 math.CO
Anti-Ramsey numbers for vertex-disjoint triangles
一个边有色图称为彩虹图，如果它的边上的所有颜色都是不同的.给定一个正整数n和一个图G，反Ramsey数ar（n，G）是图G中没有彩虹拷贝的K_{n}的边染色的最大颜色数.用kC_{3}表示C_{3}的k个顶点不相交副本的并集。本文分别对n= 3 k和n \geq 2k^{2}-k+2确定了反Ramsey数ar（n，kC_{3}）.当3 k \leq n \leq 2 k ^{2}-k+2时，我们给出了ar（n，kC_{3}）的上界.
2022-01-10 math.CO
Generalized rainbow Turán problems
Alon和Shikhelman首先系统地研究了以下广义Turán问题：对于固定图$H$和$F$以及一个整数$n$，在一个$n$-顶点$F$-free图中，$H$的最大拷贝数是多少？一个边有色图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色. $F$的彩虹图兰数定义为在没有$F$的彩虹拷贝的情况下，$n$顶点上的正确边着色图中的最大边数.彩虹图兰问题的研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte发起。受上述问题的启发，我们研究了以下问题：在没有$F$彩虹拷贝的情况下，$n$顶点上的适当边着色图中，$F$的最大拷贝数是多少？我们建立了几个结果，包括当$F$是一个路径，循环或树。
2019-11-15 math.CO
2-Colored Matchings in a 3-Colored K^{3}_{12}
设$K_{n}^{r}$表示顶点为$n$的完全$r$ -一致超图.超图中的匹配$M$是成对顶点不相交的边的集合。最近的拉姆齐型结果依赖于关于单色匹配的大小的引理。本研究的出发点来自Alon、Frankl和Lovász（1986）的一个著名结果。我们的动机是找到最小的$n$，使得$K_{n}^{r}$的每个$t$ -着色都包含大小为$k$的$s$ -着色匹配.已经证实，在$K_n^r$的边缘的每一个着色中，如果$n \geq kr + \lfloor \frac{k-1}{r+1} \rfloor$具有3种颜色，则存在大小至少为$k$的2种颜色匹配。最小测试用例为$r=3$和$k=4$。我们证明了在$K_{12}^3$的边的每一个3-着色中，存在一个尺寸为4的2-色匹配。
2012-09-13 math.CO
Anti-Ramsey number of edge-disjoint rainbow spanning trees
边有色图$G$称为彩虹图，如果$G$的每条边都有不同的颜色. $t$边不相交彩虹生成树的反Ramsey数，记为$r(n,t)$，定义为不含$t$边不相交彩虹生成树的$K_n$的边着色中的最大颜色数. Jahanbekam和West [J.图论，2014]阐明，对于任何固定的$t$，无论何时$n\geq 2t+2 \geq 6$，$r(n,t)=\binom{n-2}{2}+t$。本文证明了这一猜想。我们还确定$r(n,t)$时，$n = 2t+1$。与以前的结果一起，这给出了所有$n$和$t$值的$t$边不相交彩虹生成树的反拉姆齐数。
2019-11-16 math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs with given average color degree
边有色图中的彩虹匹配是指没有两条边具有相同颜色的匹配。顶点v的颜色度是入射到v的边上的不同颜色的数量。27（2020）]研究了平均色度至少为2k的边有色图G中彩虹匹配的存在性，并证明了G中存在大小为k的彩虹行进的若干充分条件。其充分条件包括：|V（G）|>=12k^2+4k，或G是一个适当边-有色图，|V（G）|>=8k。本文证明了任意边-有色图G| V（G）|>=4k-4且平均色度至少为2k-1，包含大小为k的彩虹匹配。此外，我们还证明了每一个平均度至少为2k-1的强边有色图G都包含一个大小至少为k的彩虹匹配。对于完全图，该界是尖锐的.
2021-05-22 math.CO
Rainbow vertex pair-pancyclicity of strongly edge-colored graphs
本文研究了强边染色图的彩虹顶点对泛圈性，证明了阶数为$n$且最小度数$\delta \geq \frac{2n}{3}+1$的强边染色图必然具有该性质。
2023-05-05 math.CO
Strengthening strong immersions with Kempe chains
每一个正确有色图与$χ(G)=k$颜色有边不相交的Kempe“骨干”，Kempe链锚定的颜色临界顶点的每对颜色。某些颜色排列将这些骨干排列成一个类似于cnc的结构，这是对完全图的强浸入的加强。这种加强浸泡建议作为一个模板，用于识别不相交的子图，包括Hadwiger的收缩的$K_k$未成年人存在于$k$ -色图。
2018-05-09 math.CO
Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares
本文考虑了边着色图，即两条边不能有一个端点，所以每一个颜色类都是一个匹配。如果匹配的边具有不同的颜色，则称为\it彩虹\rm。图的最小度记为$δ(G)$。我们证明了具有$|V(G)|\ge 4δ(G)-3$的适当边着色图$G$具有大小为$δ(G)$的彩虹匹配，这对Wang最近提出的一个问题给出了最好的估计.由于显然至少需要$2δ(G)$顶点来保证大小为$δ(G)$的彩虹匹配，我们研究当$|V(G)|\ge 2δ(G)$。我们证明了任何具有$|V(G)|\ge 2δ$的正确边着色图$G$都包含大小至少为$δ- 2δ(G)^{2/3}$的彩虹匹配。这个结果扩展了（具有较弱的误差项）众所周知的结果，即完全二分图$K_{n,n}$的因子分解具有大小为$n-o(n)$的彩虹匹配，或者等价地，每个拉丁方的顺序$n$具有大小为$n-o(n)$的部分横截（Ryser - Brualdi猜想的渐近版本）。在这个方向上，我们还表明，每一个拉丁方的顺序$n$有一个{ \em无圈部分断面}的大小为$n-o(n)$。
2012-08-28 math.CO
Counting colored planar maps: algebraicity results
本文证明当 q 为特定形式（含 q=2,3）时，适当 q 着色平面地图及 Potts 加权地图的生成函数是代数的，并推广至三角剖分，首次求解了带两个催化变量的非线性方程。
2010-11-18 math.CO
Dynamic cycles in edge-colored multigraphs
设$H$是一个可能有环的图，$G$是一个无环的重图. $G$的$H$ -着色是一个函数$c: E(G) \rightarrow V(H)$。当我们对$G$进行固定的$H$ -染色时，我们称$G$是$H$ -染色的重图.具有端顶点$u$和$v$的所有边的集合将由$E_{uv}$表示。我们将说$W=(v_0,e_0^1, \ldots, e_0^{k_0},v_1,e_1^1,\ldots,e_1^{k_1},v_2,\ldots,v_{n-1},e_{n-1}^1,\ldots,e_{n-1}^{k_{n-1}},v_n)$，其中对于$\{0,\ldots,n-1\}$中的每个$i$，对于每个$j \in \{1,\ldots, k_i \}$，$k_i \geq 1$和$e_i^j \in E_{v_iv_{i+1}}$是动态$H$ -游动当且仅当对于每个$i \in \{0,\ldots,n-2\}$，$c(e_i^{k_i})c(e_{i+1}^1)$是$H$中的边.只要$v_0=v_n$和$c(e_{n-1}^{k_{n-1}})c(e_0^1)$是$H$中的边，我们就说动态$H$-游动是封闭的动态$H$ -游动。此外，对于每个$\{i,j\}\subseteq \{0,\ldots,v_{n-1}\}$，当$v_i\neq v_j$时，封闭的动态$H$ -行走被称为动态$H…
2023-03-05 math.CO
Rainbow cycles vs. rainbow paths
边着色图$F$是{ \it rainbow}，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的{ \it彩虹图兰数} $\mathrm{ex}^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究是由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte介绍的。Johnson和Rombach引入了以下彩虹版本的广义图兰问题：对于固定图$H$和$F$，令$\mathrm{ex}^*(n,H,F)$表示在没有彩虹副本$F$的$n$ -顶点正确边着色图中$H$的最大彩虹副本数。本文研究了$\mathrm{ex}^*(n,C_\ell,P_\ell)$的情形，给出了$\ell = 3,4,5$的一般上界和精确结果.在此过程中，我们建立了一个新的最佳上界$\mathrm{ex}^*(n,P_5)$。我们的主要动机来自于试图提高$\mathrm{ex}^*(n,P_\ell)$的界限，这一直是最近几个手稿的主题。
2020-08-31 math.CO
The Eternal Game Chromatic Number of a Graph
游戏着色是一个研究得很好的两人游戏，其中每个玩家每次正确地着色图的一个顶点，直到所有顶点都着色。本文介绍了一种“永恒”的版本的游戏着色，其中的顶点着色和重新着色的颜色集在一个序列的回合。在给定的轮中，每个顶点被着色或重新着色一次，以便保持适当的着色。参与人1希望永远保持正确的着色，而参与人2希望强制着色过程失败。图$G$的永恒博弈色数被定义为使得参与者1总是能够在$G$上赢得博弈的颜色集合中所需的最小颜色数。我们认为这个新的游戏的几个变化，并显示其行为的一些基本类的图。
2019-04-16 math.CO
Anti-Ramsey number of edge-disjoint rainbow spanning trees in all graphs
边着色图$G$称为\textit{rainbow}，如果$G$的每条边接收不同的颜色.给定任意一个主图$G$，$G$中$t$边不相交彩虹生成树的\textit{anti-Ramsey}个数，记为$r(G,t)$，定义为不含$t$边不相交彩虹生成树的$G$的边着色中的最大颜色数.对于任何顶点划分$P$，令$E(P,G)$是$G$中关于$P$的非交叉边的集合。在本文中，我们确定$r(G,t)$的所有主机图$G$：$r(G,t)=|E(G)|$，如果存在一个分区$P_0$与$|E(G)|-|E(P_0,G)|<t(|P_0|-1)$ ;和$r(G,t)=\max_{P\colon |P|\geq 3} \{|E(P,G)|+t(|P|-2)\}$否则。作为推论，我们确定了$r(K_{p,q},t)$的所有值的$p,q, t$，改进了贾，陆和张的结果。
2021-04-27 math.CO
On Colorful Kruskal--Katona Theorems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
该研究利用熵技术确定了边染色图中彩虹三角形的最大数量上界，并揭示了最优构造与仿射平面的关联，同时探讨了更大团计数的奇偶性差异。
2026-10-02 math.CO
Matching, Path Covers, and Total Forcing Sets
图$G$的顶点的动态着色从着色顶点的初始子集$S$开始，所有剩余的顶点是未着色的。在每个离散时间间隔，一个着色顶点与恰好一个非着色邻居迫使这个非着色邻居着色。初始集合$S$被称为$G$的强制集合，如果通过迭代地应用强制过程，$G$中的每个顶点都被着色。如果初始集$S$具有导出$G$的无孤立点子图的附加性质，则称$S$为$G$的全强制集.在$G$中，总强迫集的最小基数是它的总强迫数，记为$F_t(G)$。$G$的路径覆盖数，记为$\pc(G)$，是使得每个顶点属于覆盖中的路径的顶点不相交路径的最小数目，而$G$的匹配数，记为$α'(T)$，是$G$的最大匹配中的边的数目。设$T$是一棵至少为2阶的树。我们观察到，$\pc(T) + 1 \le F_t(T) \le 2\pc(T)$，我们证明，$F_t(T) \le α'(T) + \pc(T)$。此外，我们的特征的极值树实现平等，在这些界限。
2018-01-14 math.CO
Vertex Alternating-Pancyclism in 2-Edge-Colored Graphs
2-二边着色图中的交替圈是使得任意两个相邻边具有不同颜色的圈。设$G_1, \ldots, G_k$是两两点不相交的2-边有色图的集合. $G_1, \ldots, G_k$的着色广义和，记为$ \oplus_{i=1}^k G_i$，是所有2-边有色图$G$的集合，使得：（i）$V(G)=\bigcup_{i=1}^k V(G_i)$，（ii）$i=1,\ldots, k$的$G\langle V(G_i)\rangle\cong G_i$为边有色图，其中$G\langle V(G_i)\rangle$与$G_i$具有相同的着色，以及（iii）在$G$的不同和中的每对顶点之间恰好有一条边，具有任意但固定的颜色.图$G$在$\oplus_{i=1}^k G_i$中称为着色广义和（c.g.s.）我们说$e\in E(G)$是一条外边当且仅当$e\in E(G)\setminus \left(\bigcup_{i=1}^k E(G_i)\right)$。外部边缘的集合将由$E_\oplus$表示。一个着色图$G$称为顶点交错泛圈图，只要对$G$中的每个顶点$v$，对每个$l\in\{3,\ldots, |V(G)|\}$，$G$中存在一个长度为$l$的交错圈通过$v$ .泛环和顶点泛环的问题已经被许多作者深入而广泛地研究过。2-边有色图的交错圈的存在性由于其广泛的应用而得到了研究.本文…
2019-10-03 math.CO
