Eccentric graph of trees and their Cartesian products
本文研究了树及其笛卡尔积的离心图结构，证明了其围长取值范围并给出全面分类，最后确定了树的笛卡尔积离心矩阵可逆的条件。
2023-09-12 math.CO
Internally-disjoint directed pendant Steiner trees with three terminal vertices in Cartesian product digraphs
School of Mathematics and Statistics, Ningbo University（宁波大学数学与统计学院）
本文研究了Cartesian积有向图中三个终端顶点的内部不相交悬垂Steiner树的连通度下界，并提出了一种多项式时间算法来寻找达到该下界的树。
2026-02-14 cs.DM math.CO
Cartesian powers of graphs and consecutive radio labelings
对于简单连通图$k\in\mathbb{Z}^+$和$G$，$G$的$k$ -无线电标号$f:V_G\to\Z^+$要求所有不同顶点对$u$和$v$满足$|f(u)-f(v)|\geq k+1-d(u,v)$ .当$k=1$时，这个要求产生了称为顶点着色的熟悉的标记，对于该标记，图的每个顶点被标记为使得邻顶点具有不同的“颜色”。我们认为$k$-$G$的放射性标记时，$k=\diam(G)$。在这种情况下，没有两个顶点可以有相同的标签，所以具有连续整数的无线电标签的图是可能性频谱上的一个极端。这样的大直径图形的例子是特别罕见和可取的。我们构造任意高直径的例子，并进一步探索我们用来做这件事的工具--图的笛卡尔积--及其对无线电标签的影响。
2012-12-10 math.CO
Completely Independent Spanning Trees in Some Regular Graphs
设$k\ge 2$为整数，$T_1,\ldots, T_k$为图$G$的生成树.如果对于$V(G)$的任何一对顶点$(u,v)$，每个$T_i$中从$u$到$v$的路径$1\le i\le k$不包含公共边和公共顶点，除了顶点$u$和$v$，则$T_1,\ldots, T_k$是$G$中完全独立的生成树。对于$2k$ -连通的$2k$ -正则图，如$2k-1$阶完全图与一个圈的笛卡尔积图和某些三个圈的笛卡尔积图（对于$k=3$），确定了这些图中包含的完全独立生成树的最大数，并且证明了这个最大数不一定是$k$ .
2014-09-21 cs.DM math.CO
Dimensionally Exponential Lower Bounds on the $L^p$ Norms of the Spherical Maximal Operator for Cartesian Powers of Finite Trees and Related Graphs
设$T$是一个有限树图，$T^N$是$T$的笛卡尔幂图，$d^N$是$T^N$上的图距离度量.又设\[ \mathbb S_r^N(x) := \{v \in T^N: d^N(x,v) = r\} \]是以$x$为中心的半径为$r$的球面，$M$是由\[ Mf(x) := \sup_{\substack{r \geq 0 \\ \mathbb S_r^N(x) \neq \emptyset}} \frac{1}{|\mathbb S_r^N(x)|} |\sum_{\mathbb S_r^N(x)} f(y)|. \]给出的$T^N$上的球面最大平均算子。我们将证明，对于任何固定的$1 \leq p \leq \infty$，$M$的$L^p$算子范数，即\[ \|M\|_p := \sup_{\|f\|_p = 1} \|Mf\|_p, \]，在$N$维上呈指数增长。特别地，如果$r$是$T$的随机顶点是叶子的概率，则$\|M\|_p \geq r^{-N/p}$，尽管这不是一个明确的界限。这种指数增长现象扩展到一类严格大于树的图，我们称之为\emph{global antipode graphs}。这一增长结果与Greenblatt、Harrow、Kolla、Krause和Schulman的工作相反，他们证明了球形最大$L^p$边界（对于$p > 1$）对于有限团是维数无关的…
2015-09-09 cs.DM math.CA math.CO
Optimal radio labeling for the Cartesian product of square mesh networks and stars
本文将通信网络信道分配问题转化为图标号问题，通过构造笛卡尔积研究了方形网格网络与星图的拓扑结构，并获得了 $G=P(m,m)\Box K_{1,n}$（$m\geq 2$）最优无线电标号的 lower bound 和精确值。
2024-06-28 math.CO
Constructing Internally Disjoint Pendant Steiner Trees in Cartesian Product Networks
Hager在1985年提出了树连通性的概念。对于图$G=(V,E)$和至少两个顶点的集合$S\subseteq V(G)$，\emph{an $S$-Steiner tree}或\emph{a Steiner tree connecting $S$}（或简称\emph{an $S$-tree}）是$G$的这样的子图$T=(V',E')$，其是具有$S\subseteq V'$的树。对于$S$ -Steiner树，如果$S$中每个顶点的度都等于1，则此树称为\emph{pedant $S$-Steiner tree}。两个pedant $S$-Steiner树$T$和$T'$被称为\emph{internally disjoint}，如果$E(T)\cap E(T')=\varnothing$和$V(T)\cap V(T')=S$ .对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，\emph{local pedant tree-connectivity} $τ_G(S)$是$G$中内部不相交的$S$-Steiner树的最大数目.对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，\emph{pedant tree $k$-connectivity}定义为$τ_k(G)=\min\{τ_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$。本文证明了对任意…
2015-08-28 math.CO
Hamiltonicity of Cartesian products of trees with odd paths
University of Maribor, FME（马里博尔大学，FME）；IMFM（斯洛文尼亚数学与物理研究所）
研究树与奇数路径笛卡尔积的哈密顿性问题，通过构造最大度为\(4\)且有\(\{P_2,P_3\}\)-因子的树\(T\)，证明对于奇数\(n\)，\(T\Box P_n\)不是哈密顿图，反驳了Kao和Weng的猜想。
2026-07-13 math.CO
Sharp upper and lower bounds on the number of spanning trees in Cartesian product of graphs
设$G_1$和$G_2$是简单图，设$n_1 = |V(G_1)|$，$m_1 = |E(G_1)|$，$n_2 = |V(G_2)|$和$m_2 = |E(G_2)|.$本文给出了$G_1$和$G_2$的笛卡儿积$G_1 \square G_2$中生成树$τ$个数的精确上界和下界.我们表明：$$ τ(G_1 \square G_2) \geq \frac{2^{(n_1-1)(n_2-1)}}{n_1n_2} (τ(G_1) n_1)^{\frac{n_2+1}{2}} (τ(G_2)n_2)^{\frac{n_1+1}{2}}$$和$$τ(G_1 \square G_2) \leq τ(G_1)τ(G_2) [\frac{2m_1}{n_1-1} + \frac{2m_2}{n_2-1}]^{(n_1-1)(n_2-1)}.$$我们还刻画了图的等式成立。作为一个副产品，我们推导出一个公式的生成树在$K_{n_1} \square K_{n_2}$这原来是$n_{1}^{n_1-2}n_2^{n_2-2}(n_1+n_2)^{(n_1-1)(n_2-1)}.$
2012-10-23 math.CO
The Turán number of the Cartesian product of trees via star-flip
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；ECOPRO, Institute for Basic Science（基础科学研究所 ECOPRO）；School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences（中国地质大学数理学院）
该研究证明了两棵非平凡树笛卡尔积的Turán数量级猜想，引入r-星翻转图类并推导其Turán数上界，还通过该框架给出Füredi定理的新证明。
2026-08-05 math.CO
On decycling and forest numbers of Cartesian products of trees
本文研究了树的笛卡尔积的去环数和森林数，证明了相关不等式并解决了相关猜想。
2025-09-08 math.CO
Constructing edge-disjoint Steiner trees in Cartesian product networks
Xidian University（西安电子科技大学）；Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）；Qinghai Normal University（青海师范大学）；China Jiliang University（中国计量大学）；Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文针对笛卡尔积网络$G\Box H$，给出其广义$k$-边连通度$\lambda_k(G\Box H)$的精确上下界，丰富了边不相交斯坦纳树相关的网络连通性研究成果。
2026-08-24 math.CO
The damage number of the Cartesian product of graphs
本文研究图的笛卡尔积的损伤数，给出一般上界，并分析树或环的乘积及小损伤数图的情况。
2024-12-18 cs.DM math.CO
The Turán number of the Cartesian product of graphs
最近，Domagoj Bradaimi，Oliver Janzer，Benny Sudakov和István Tomon证明了$2$维网格的Turán数是$Θ(n^{3/2})$，或者更一般地，$\mathrm{ex}\left(n,T\square{P}\right)=Θ(n^{3/2})$，其中$T$是非平凡树，$P$是非平凡路，$T\square{P}$表示笛卡儿积。在他们的证明中，他们展示了一种使用张量幂幂技巧的新方法，该技巧在图兰型问题中具有很大的潜力。在证明的最后，他们证明了非平凡树的$\mathrm{ex}\left(n,T\square{R}\right)=Θ(n^{3/2})$为$T$和$R$。本文是在他们工作的基础上的扩展，我们采用他们的方法成功地证明了上述猜想。
2022-03-24 math.CO
Enumeration of perfect matchings of a type of Cartesian products of graphs
设$G$是一个图，Pm $(G)$表示$G$的完美匹配数.我们用$P_m$表示具有$m$顶点的路，用$G\times H$表示图$G$和$H$的笛卡尔积。本文作为文[19]的继续，利用Kasteleyn发现的Pfalian方法，给出了一类笛卡儿积图的完美匹配.以下是我们的一些结果：1.令$T$是树，并令$C_n$表示具有$n$顶点的圈。则Pm $(C_4\times T)=\prod (2+α^2)$，其中乘积在$T$的所有特征值$α$上变化。证明了Pm $(C_4\times T)$总是平方或双平方. 2.让$T$成为一棵树。则Pm $(P_4\times T)=\prod (1+3α^2+α^4)$，其中乘积的范围在$T$的所有非负特征值$α$上。3.让$T$是一个完美匹配的树。则Pm $(P_3\times T)=\prod (2+α^2),$，其中乘积在$T$的所有正特征值$α$上的范围内。此外，我们还证明了PM $(C_4\times T)=[{Pm}(P_3\times T)]^2$。
2005-11-12 math.CO
Grid Minors and Products
本文研究图乘积中网格子式的存在性，证明任意两个连通 n 顶点图的笛卡尔积必含 Ω(√n)×Ω(√n) 网格子式，并借助星形图与树的字典序乘积证明该界是紧的。
2025-05-09 cs.DM math.CO
$γ$-Graphs of Trees
对于图$G = (V, E)$，$G$的$γ$ -图，记为$G(γ) = (V(γ), E(γ))$，是其顶点集是$G$的最小控制集或$γ$ -集的集合的图，并且如果两个$γ$ -集相差一个顶点，并且这两个不同的顶点在$G$中相邻，则这两个$γ$ -集在$G(γ)$中相邻.本文考虑树的$γ$ -图。我们开发了一个算法来确定树的$γ$ -图，刻画了哪些树是树的$γ$ -图，并进一步评论树的$γ$ -图的结构及其与笛卡尔积图的关系，笛卡尔积图是一组可以从至少二阶图的笛卡儿积得到的图。
2019-07-06 math.CO
Structural Properties of Graph Products
Dujmović，Joret，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]建立了每个可平面图都是树宽有界图的强积和路的子图，受此结果的启发，本文系统地研究了图的直积、强积和强积的各种结构性质.特别地，我们证明了当这些图的乘积包含一个给定的完全多部子图时，确定了它们的退化的紧界，建立了新的树宽的下界，并且证明了当它们有界树宽和有界路宽时，它们是有界的。
2021-10-02 math.CO
Clique Minors in Cartesian Products of Graphs
图G中的“团子图”可以被认为是G中的一组连通子图，它们是两两不相交的，两两相邻的。Hadwiger数h（G）是G中团子式的最大基数。本文研究了笛卡儿积G*H中的团子式.我们的主要结果是有界Hadwiger数的笛卡儿积的一个粗略的结构特征定理。它意味着，如果产品的两个足够大的图有界Hadwiger数，那么它是以下图形之一：-一个平面网格与有界宽度的涡流在outerface，-一个圆柱形网格与有界宽度的涡流在每两个'大'面，或-一个环形网格。研究图的Hadwiger数的动机包括Hadwiger猜想，该猜想指出色数chi（G）<= h（G）。Hadwiger猜想是否对任何笛卡儿积都成立是一个未知数。证明了：当|V（H）|-1>= chi（G）>= chi（H）则Hadwiger猜想对G*H成立。另一方面，我们证明了Hadwiger猜想对所有的笛卡儿积成立当且仅当它对所有的G * K_2成立。然后我们证明了h（G * K_2）与G的树宽有关。我们还开发了连接与伪消色差着色和连接的控制集，这意味着近紧边界上的Hadwiger数的网格图（笛卡儿积的路径）和Hamming图（笛卡儿积的派系）。
2011-09-23 cs.DM math.CO
Optimal orientations of vertex-multiplications of cartesian products of graphs
Koh和Tay证明了$G$顶点乘法的基本分类，分为三类$\mathscr{C}_0, \mathscr{C}_1$和$\mathscr{C}_2$。本文证明了图$G\times H$（$\mathscr{C}_0\cup \mathscr{C}_1$）的笛卡儿积的点乘在$\mathscr{C}_0$中.如果是$G^{(2)}\in \mathscr{C}_0$（分别为$\mathscr{C}_1$），$d(G)\ge 2$和$d(G\times H)\ge 4$。我们还专注于笛卡儿积涉及树，路径和周期，并表明，他们中的大多数在于$\mathscr{C}_0$。
2022-03-16 math.CO
Lower bounds for the spanning tree numbers of two graph products
对于任何阶为$n$的图$G$，生成树堆积数\emph{$STP(G)$}是$G$中包含的边不相交生成树的最大数目。本文给出了笛卡儿积图和字典积图的生成树数的几个精确的下界。
2013-07-09 math.CO
The generalized 3-connectivity of Cartesian product graphs
图的广义连通性是最近由Chartrand等人提出的，是顶点连通性概念的推广。设$S$是$G$的一个非空顶点集，$G$中的树的集合$\{T_1,T_2,...,T_r\}$称为连接$S$的内部不交树，如果对于任何一对不同的整数$i,j$，有$E(T_i)\cap E(T_j)=\emptyset$和$V(T_i)\cap V(T_j)=S$，其中$1\leq i,j\leq r$ .对于具有$2\leq k\leq n$的整数$k$，$G$的$k$ -连通性$κ_k(G)$是最大正整数$r$，对于该最大正整数，$G$至少包含连接$S$的$S$的$k$顶点的任何集合的$S$的$r$内部不相交树。显然，$κ_2(G)=κ(G)$是$G$的连通性。Sabidussi证明了对任意两个连通图$G$和$H$都有$κ(G\Box H) \geq κ(G)+κ(H)$.本文首先研究了图$G$和树$T$的笛卡儿积的3-连通性，证明了$(i)$如果$κ_3(G)=κ(G)\geq 1$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)$ ; $(ii)$如果$1\leq κ_3(G)< κ(G)$，则$κ_3(G\Box T)\geq κ_3(G)+1$ .此外，对于任何两个连通图$G$和$H$，如果$κ(G)>κ_3(G)$，则$κ_3(G\Box H)\geq κ_3(G)+κ_3(H)$ ;如果…
2011-05-03 math.CO
Results on Cartesian $1$-capacity of graphs
University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Rhodes College（罗兹学院）；University of Split（斯普利特大学）
研究图的笛卡尔 $1$-容量，即每步仅一个智能体移动时图能容纳的最大智能体数，通过结构性质给出上下界，并得到树的精确结果，揭示了分支和桥结构的作用。
2026-06-26 math.CO
Parameters Tied to Treewidth
树宽是算法和结构图论的一个基本重要的图形参数。本文综述了与树宽相关的几个图参数，包括分离数、缠结数、良好链接数和笛卡尔树乘积数。我们回顾了文献中的许多结果，表明这些参数与树宽有关。在一些情况下，我们还提高了已知的界限，提供更简单的证明，并表明，提出的不等式是紧的。
2016-01-28 math.CO
Moving through Cartesian products, coronas and joins in general position
本文研究移动一般位置问题在笛卡尔积、冠状积与并图中的表现，给出一般图的上下界及网格、圆柱等族的精确值。
2025-10-15 math.CO
Alternative proof of upper bound of spanning trees in a graph
利用线性代数证明了生成树个数的精确估计，并将此界推广到多重图。此外，我们还证明了对于完全图，这个界是紧的。此外，我们还对某些特殊类型的图，如图的乘积图或两个图的笛卡儿积图，给出了生成树个数的估计。
2022-11-30 math.CO
Arithmetic subtrees in large subsets of products of trees
Furstenberg-Weiss将Szemerédi关于等差数列的定理推广到树上，证明了树的一个大子集包含任意长的等差子树。我们研究高维版本，类似的多维Szemerédi定理证明存在某些算术结构的大子集的一个笛卡儿积的树木。
2021-11-02 math.CO math.DS
Extending partial edge colorings of cartesian products of graphs
考虑图的笛卡儿积的部分边染色的扩张问题。更具体地说，我们提出了下面的Evans型猜想：如果$G$是一个图，其中至多$k$条预着色边的每个预着色都可以扩展为一个真$χ'(G)$ -边着色，那么$G \square K_2$的至多$k+1$条边的每个预着色都可以扩展为$G \square K_2$的一个真$(χ'(G) +1)$ -边着色.本文证明了这个猜想对树、完全和完全二部图以及最大度较小的图都成立。我们还证明了版本的猜想一般正则图的预着色的边缘是独立的。
2023-03-09 math.CO
A lower bound for the radio number of graphs
图$G$的无线电标号是映射$\vp : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2,...\}$，使得对于$G$的每对不同顶点$u,v$，$|\vp(u)-\vp(v)|\geq \diam(G) + 1 - d(u,v)$，其中$\diam(G)$和$d(u,v)$分别是$G$的直径和$G$中$u$和$v$之间的距离。$G$的无线电编号$\rn(G)$是使得$G$具有$\max\{\vp(v):v \in V(G)\}$ = $k$的无线电标记的最小编号$k$。本文对Das \emph{et al.}在[5]中给出的图的无线数的下界作了一些改进，并给出了达到这个下界的充要条件.利用这一结果，我们确定了路$P_{n}$与Peterson图$P$的卡图积的无线电数.本文给出了Kim \emph{et al.}在[6]中给出的路$P_{n}$与完全图$K_{m}$的卡积的无线电数的一个简短证明.
2019-03-13 math.CO
Radio labelling of two-branch trees
本文研究双分支树的无线电标号问题，给出改进的紧下界及达到该下界的充要条件，并确定两类逐层正则双分支树的无线电数。
2024-10-10 cs.DM math.CO
Minimum length word-representants of graph products
本文研究了图积的最短词代表词问题，通过形态和基于发生次数的函数方法，解决了构造任意词可表示图笛卡尔积词的问题。
2024-02-27 cs.DM math.CO
Factorizations of some weighted spanning tree enumerators
我们给出了完全图的笛卡儿积的加权生成树枚举数的因子分解，并跟踪与度序列和边方向相关的细权。我们的方法结合基尔霍夫的矩阵树定理与技术的因素识别。
2003-09-02 math.CO
Optimal Radio Labellings of Block Graphs and Line Graphs of Trees
图$G$的无线电标记是映射$f$：$V(G) \rightarrow \{0, 1, 2,...\}$，使得$|f(u)-f(v)| \geq diam(G) + 1 - d(u,v)$对每对顶点$u$和$v$成立，其中$diam(G)$是$G$的直径，$d(u,v)$是$G$中$u$和$v$之间的距离。由$rn(G)$表示的$G$的无线电数是最小的$t$，使得$G$允许用$t=\max\{|f(v)-f(u)|: v, u \in V(G)\}$进行无线电标记。块图是使得每个块（导出的最大2连通子图）是完全图的图。本文给出了块图的无线数的一个下界。达到该界的块图称为下界块图。我们证明了下界块图的三个充分必要条件。此外，我们给出了一个图是下界块图的三个充分条件。应用所建立的界和条件，我们证明了几类块图是下界块图，包括水平正则块图和块的扩展星。图$G(V,E)$的线图以$E(G)$为顶点集，其中两个顶点相邻，如果它们是$G$中的关联边。我们将结果推广到树，树的线图是块图。我们证明了，如果一棵树是一个下界块图，那么在一定条件下，它的线图也是一个下界块图，反之亦然。因此，我们证明了许多已知的下界树的线图，不包括路径，是下界块图。
2021-08-29 cs.DM math.CO
Treewidth of Products of Graphs with High Treewidth
Monash University（莫纳什大学）
研究乘积图的树宽与其因子树宽的关系，改进了关于树宽乘积的界，还证明了路径宽等相关参数的乘积不等式，并应用结果表明扩张图乘积有大的子图是扩张图。
2026-07-21 cs.DM math.CO
Graphs which satisfy a Vizing-like bound for power domination of Cartesian products
权力支配是一个两步的观察过程，用于监测电力网络，可以被视为支配和零强迫的组合。给定一个图$G$，一个子集$S\subseteq V(G)$，它可以观察到$G$的所有顶点使用这个过程被称为$G$的一个功率控制集，和$G$的功率控制数，$γ_P(G)$，是在一个功率控制集中的顶点的最小数目。我们在图的顶点上引入一种新的划分，从而给出了幂控制数的一个下界。我们还考虑了两个图的笛卡儿积$G \Box H$的幂控制数，并证明了某些图满足关于幂控制数的类Vizing界。特别地，我们证明了对于任意两棵树$T_1$和$T_2$，$γ_P(T_1)γ_P(T_2) \leq γ_P(T_1 \Box T_2)$ .
2022-09-08 math.CO
Extending partial edge-colorings of bounded size in Cartesian products of graphs
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究图笛卡尔积中的边预着色扩展问题，提出猜想并证明在特定条件下，边预着色可扩展为适当着色。
2026-04-03 math.CO
Radio number of trees
图$G$的无线电标号是映射$f: V(G) \rightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}$，使得对于$G$的每对不同顶点$u, v$，$|f(u)-f(v)|\geq d + 1 - d(u,v)$，其中$d$是$G$的直径，$d(u,v)$是$G$中$u$和$v$之间的距离。$G$的无线电编号是最小整数$k$，使得$G$具有带有$\max\{f(v) : v \in V(G)\} = k$的无线电标记$f$。我们给出了树的无线电数的下界要达到的一个充分必要条件，另外两个充分条件相同的约束要达到的树，和树的无线电数的上界。使用这些，我们确定了三个家庭的树的无线电号码。
2016-09-10 math.CO
Graphs with total mutual-visibility number zero and total mutual-visibility in Cartesian products
如果$G$是一个图，$X\subseteq V(G)$是一个图，则$X$是一个全互见集，如果$G$的每一对顶点$x$和$y$都有一条最短的$x,y$ -路$P$与$V(P) \cap X \subseteq \{x,y\}$ . $G$的最大总互见性集合的基数是$G$的总互见性数$μ_{\rm t}(G)$。具有$μ_{\rm t}(G) = 0$的图被刻画为没有顶点是凸$P_3$的中心点的图。证明了笛卡儿积的总互可见数有界，并证明了几个精确结果。例如，$μ_{\rm t}(K_n\,\square\, K_m) = \max\{n,m\}$和$μ_{\rm t}(T\,\square\, H) = μ_{\rm t}(T)μ_{\rm t}(H)$，其中$T$是树，$H$是任意图。还证明了$μ_{\rm t}(G\,\square\, H)$可以任意大于$μ_{\rm t}(G)μ_{\rm t}(H)$。
2022-12-14 math.CO
Approximate Fixed Point Property for Digital Trees and Products
我们添加到我们的知识的近似不动点属性（AFPP）在数字拓扑。我们表明，一个数字图像，是一棵树的AFPP。给定两幅具有近似不动点性质的数字图像（X，κ）和（Y，λ），它们的笛卡儿积是否具有AFPP？我们探索产生肯定答案的条件。在撰写本报告时，还不知道对这个问题的一般答案。
2020-04-06 math.CO math.GT
Power domination in cubic graphs and Cartesian products
功率控制问题的重点是寻找相位测量单元（PMU）的最佳位置来监控电力网络。在图的上下文中，图$G$的幂控制数，表示为$γ_P(G)$，是根据特定的观察规则集观察图中每个顶点所需的最小顶点数。在\cite{ZKC_cubic}中，Zhao等人证明了：如果$G$是$n$阶的连通无爪三次图，则$γ_P(G) \leq n/4$ .本文证明了：如果$G$是$n$阶的无爪无钻石三次图，则有$γ_P(G) \le n/6$，并且这个界是尖锐的.我们还提供了新的界限$γ_P(G \Box H)$，其中$G\Box H$是图$G$和$H$的笛卡尔积。在$G$和$H$是幂控制数和控制数相等的树的特殊情况下，证明了类Vizing不等式成立和$γ_P(G \Box H) \ge γ_P(G)γ_P(H)$成立.
2022-09-08 math.CO
Further results on the radio number of trees
设$G$是一个直径为$diam(G)$的有限连通无向图，$d(u,v)$表示$G$中$u$和$v$之间的距离.图$G$的无线电标号是映射$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2,...\}$，使得对于$G$的每对不同顶点$u, v$，$|f(u)-f(v)| \geq diam(G) + 1 - d(u,v)$。由$rn(G)$表示的$G$的无线电编号是最小整数$k$，使得$G$具有带有$\max\{f(v) : v \in V(G)\} = k$的无线电标记$f$。本文对给定的树或树族进行图运算，得到了三个树族的无线数。
2018-05-25 math.CO
Hamiltonicity of Cartesian products of graphs
本文针对Kao和Weng提出的关于图笛卡尔积哈密顿性的猜想，证明了对任意最大度Δ≥3，存在含路径因子的Δ度图G，使得所有n<4Δ-2的偶数对应的G与Pₙ的笛卡尔积均非哈密顿图。
2024-08-13 math.CO
Some techniques to find large lower bound trees for the radio number
对于一个简单有限连通图$G$，令$diam(G)$和$d_{G}(u,v)$分别表示$G$的直径以及$G$中$u$和$v$之间的距离.图$G$的无线电标记是映射$f$：$V(G) \rightarrow \{0, 1, 2,...\}$，使得$|f(u)-f(v)| \geq diam(G) + 1 - d_{G}(u,v)$对于$G$的每对不同的顶点$u,v$都成立。$G$的无线电编号$rn(G)$是最小编号$k$，使得$G$具有无线电标记$f$，其中max $\{f(v):v \in V(G)\}$ = $k$。Bantva等人在[引理3.1，离散应用数学。，217（2017），110 -122]，以及[Theorem 3.2，Discrete Applied Math.，217（2017），110 -122]。表示在[引理3.1，离散应用数学，217（2017），110 -122]，作者：$lb(T)$。如果$rn(T)$ = $lb(T)$，则树$T$被称为无线电号码的下界树。本文利用已知的下界树，构造了无线数的一些大的下界树。
2023-03-11 math.CO
Some progress on $t$-tone coloring
本文研究图的 $t$-tone 染色，为大最大度数的树和图的笛卡尔幂证明了新结果，并对树提出猜想。
2025-10-15 cs.DM math.CO
Comparing Wiener complexity with eccentric complexity
图$G$的顶点$v$的传输是从$v$到$G$中所有其他顶点的距离之和。$G$的维纳复杂度是其顶点的不同传输的数量。类似地，$G$的偏心复杂度被定义为其顶点的不同偏心度的数目。在本文中，这两个复杂性进行了比较。首先研究了笛卡儿积图的复杂性。传输不可分图和算术传输图的引入，以证明清晰的上，下界的维纳复杂度，分别。结果表明，几乎所有图的Wiener复杂度都不小于偏心复杂度.这个性质证明了树，平等持有的中心正规树。构造了几类复杂度相等的图。利用笛卡儿积证明了偏心复杂度可以任意大于Wiener复杂度。通过将泛直径图与中心正则树相结合，构造了具有此性质的其他无限图族。
2020-11-14 math.CO
Extremal Spanning Trees in Product Grid Graphs
EPFL（洛桑联邦理工学院）
研究固定体积生成树极值性在乘积网格边界类型（自由、周期、混合）下的变化，发现二维情形下自由/自由和周期/周期服从最近正方形原则，而混合圆柱体则不同，其优化周长尺度为N^{1/3}；高维时通过热迹Schur凹性定理证明纯自由和纯周期乘积的成对平衡定理，得到唯一极值结构。
2026-09-29 cs.DM math.CO math.SP
Optimal radio labelings of graphs
设$\mathbb{N}$是正整数的集合。图$G$的无线电标号是一个映射$φ: V(G) \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}$，使得不等式$|φ(u)-φ(v)| \geq diam(G) + 1 - d(u,v)$对$G$的每对不同顶点$u,v$成立，其中$diam(G)$和$d(u,v)$分别是$G$的直径和$G$中$u$和$v$之间的距离。$G$的无线电编号$rn(G)$是最小编号$k$，使得$G$具有无线电标记$φ$，其中$\max\{φ(v) : v \in V(G)\}$ = $k$。Das等人[Discrete Math. $\mathbf{340}$（2017）855-861]给出了一种找到图的无线电数的下界的技术。在[Algorithms and Discrete Applied Mathematics：CALDAM 2019，Lecture Notes in Computer Science $\mathbf{11394}$，Springer，Cham，2019，161-173]中，Bantva修改了这种技术，用于找到图的无线电数的改进下界，并给出了实现改进下界的充分必要条件。本文给出了图的无线数下界的一个改进的充要条件。利用这个结果，确定了路图和轮图的笛卡尔积的无线电数。
2022-12-27 cs.DM math.CO
On the spanning trees of the hypercube and other products of graphs
给出了$n$维超立方体生成树个数的一个优美乘积公式的两个组合证明。第一个证明是基于这样的断言，即如果选择超立方体的均匀随机根生成树，并且从父到子定向每个边，则超立方体的平行边得到彼此独立的方向。这种独立性实际上在更一般的背景下成立，并具有有趣的后果。第二个证明使用了一些“杀对合”，以确定乘积公式中的因子。导出了对角边增广的$n$维超立方体的生成树的计数公式，并根据每种类型的边数进行计数。我们还讨论了更一般的公式，得到使用矩阵树的方法，笛卡儿积的完全图的生成树的数量。
2012-07-12 math.CO
On embeddings of CAT(0) cube complexes into products of trees
Laboratoire d’Informatique Fondamentale, Université d’Aix-Marseille（马赛大学基础信息学实验室）；Department of Mathematics University of Michigan（密歇根大学数学系）
本文证明了二维CAT(0)立方复形的最大度数Δ的接触图可被最多MΔ^26种颜色着色，从而证明该复形可嵌入到有限个树的积中，同时给出了无法嵌入到有限树积中的五维立方复形的例子。
2026-04-22 math.CO math.MG
Bounds of the Radio Number of Stacked-Book Graphs with Odd Paths
由星图Sm和路Pn的笛卡儿积得到一个叠书图Gm，n，其中m和s分别是星图和路的阶数.求图的无线电数是一个严格的过程，它依赖于G的直径和G的顶点集V（G）中任意两个u，v所对应的非负整数标号f（u）和f（v）的正差。本文得到了路Pn为奇数阶的Gm，n的无线电数的紧上界和下界.研究了Pn为偶数阶的情形。
2022-09-09 math.CO
The Radio Number of $C_n \square C_n$
无线电标记是Hale信道分配问题的一个变体，其中一个试图将正整数分配给图$G$的顶点，该顶点受到涉及顶点之间距离的某些约束。具体地，连通图$G$的无线电标记是函数$c:V(G) \rightarrow \mathbb Z_+$，使得对于$G$的每两个不同顶点$u$和$v$，$$d(u,v)+|c(u)-c(v)|\geq 1+\text{diam}(G)$$（其中$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离）。单选标签的跨度是分配给顶点的最大整数。图形$G$的无线电编号是最小跨度，涵盖$G$的所有无线电标记。本文建立了圈图与自身的笛卡儿积的无线数（即，的$C_n\square C_n$。）
2010-07-29 math.CO
Consecutive Radio Labeling of Hamming Graphs
对于图$G$，$G$的$k$ -无线电标记是将正整数分配给$G$的顶点，使得图上的两个顶点越接近，需要的标记差异越大。具体来说，是$\vert f(u)-f(v)\vert\geq k + 1 - d(u,v)$，其中$f(u)$是$G$中顶点$u$上的标签。在这里，我们考虑的情况下，当$G$是完全图的笛卡儿积。具体来说，我们希望找到使用连续整数的最佳标记，并确定何时可能。我们建立了Amanda Niedzialomski的一篇论文，并构建了一个框架，用于发现汉明图的连续无线电标记，从最小的未知图，$K_3^4$，我们提供了一个最佳的标签使用我们的建设。
2020-10-18 math.CO
On the Medianwidth of Graphs
中值图是连通图，使得对于任何三个顶点$u,v,w$，恰好有一个顶点$x$同时位于最短$(u,v)$ -路径、最短$(v,w)$ -路径和最短$(w,u)$ -路径上。我们介绍和研究的树分解，被称为中位数分解，而不是分解一个图形$G$在一个树状的方式，我们使用一般的中位数图作为底层图的分解。我们证明了相应的宽度参数$\text{mw}(G)$，即$G$的中值宽度等于图的团数，而它的一个适当的变化等于$G$的色数.我们详细研究了$i$ -medianwidth $\text{mw}_i(G)$的一个图，我们限制了潜在的中位数图的分解是等距嵌入的笛卡尔积的$i$树。对于$i\geq 1$，参数$\text{mw}_i$构成从树宽开始并收敛到团数的层次结构。我们的特点是$i$ -medianwidth的一个图，粗略地说，最大的“交集”的最佳选择的$i$许多树分解的图。最后，我们扩展了树和中值分解的概念，并提出了一个一般的框架，如何分解一个图$G$在任何固定的graphlike时尚。
2016-01-28 cs.DM math.CO
Graph Sensitivity of Cartesian Products with Matched Bridges
Anhui University of Finance & Economics（安徽财经大学）
该论文将 Huang 定理从超立方体推广到带匹配桥的二分图笛卡尔积，证明树积的灵敏度等于根号 k 的上取整，并确定路径积的灵敏度，解决偶数路径情形，同时给出超立方体 f_2 的精确值。
2026-10-08 math.CO
