Approximating Scheduling Machines with Capacity Constraints
在有能力约束的机器排序问题中，给定k台相同的机器，每台机器最多只能处理m_i个工件。还给出了M个工件，其中工件j具有非负的处理时间长度t_j >= 0。任务是找到一个时间表，使最大完工时间最小化，并满足能力约束。本文对Jain提出的迭代舍入法进行了推广，提出了一种3-近似算法。据作者所知，这是第一次尝试将迭代舍入法应用于有能力约束的排序问题。
2009-06-17 cs.DS
Lift-and-Round to Improve Weighted Completion Time on Unrelated Machines
研究了以极小化加权完工时间之和为目标的不相关机器上工件排序问题。我们的主要结果是针对某些固定的$c>0$的$(3/2-c)$近似算法，改进了长期存在的3/2界限（独立归功于Skutella，Journal of the ACM，2001，以及Sethuraman & Squillante，SODA，1999）。为了做到这一点，我们首先引入一个新的升降机和项目为基础的SDP放松的问题。这是必要的，因为先前的凸规划松弛具有$3/2$的完整性间隙。其次，我们给出了一个新的一般的二分舍入过程，产生一定的强负相关特性的分配。
2015-12-01 cs.DS
Improved Approximations for Unrelated Machine Scheduling
我们重新审视两个良好的研究调度问题中的不相关的机器设置，每个工作可以有一个不同的处理时间在每台机器上。为了最小化总加权完成时间，我们给出了1.45近似，这改进了之前的1.488近似[Im and Shadloo SODA 2020]。这一改进的关键技术因素在于一个新的舍入方案，该方案提供了较强的负相关性和较少的限制。为了最小化机器负载的$L_k$ -范数，受[Kalaitzis et al. SODA 2017]的启发，我们给出了更好的近似算法。特别地，我们给出了$L_2$ -范数的$\sqrt {4/3}$ -近似，它改进了[Azar-Epstein STOC 2005]和[Kumar et al. JACM 2009]的前$\sqrt 2$ -近似。
2022-11-18 cs.DS
Cross-Shift Analysis for Unrelated-Machine Weighted Completion Time A (1.3168+epsilon)-Approximation
School of Computing, Georgia Southern University（佐治亚南方大学计算学院）
本研究针对与机器无关权重的无关并行机总加权完成时间问题，改进近似保证至接近1.3168，通过调整几何类比率优化配置-LP与迭代舍入框架，经交叉偏移分析及计算机辅助证书验证实现突破。
2026-08-18 cs.DS
Nearly-Linear Time LP Solvers and Rounding Algorithms for Scheduling Problems
本文针对无关机器和带优先约束的同构机器调度，基于近线性规模 LP、Young 求解器、舍入及 MWU 预言机，给出匹配最佳多项式时间近似比的近线性时间算法。
2023-06-05 cs.DS
Approximating Operator Norms via Generalized Krivine Rounding
我们考虑$(\ell_p,\ell_r)$问题，它寻求最大化双线性形式$y^T A x$的输入矩阵$A$在向量$x,y$与$\|x\|_p=\|y\|_r=1$ .这个问题等价于计算$A$的$p \to r^*$算子范数。$p=r=\infty$的情况下对应于经典的格罗滕迪克问题。我们的主要结果是一个算法的任意$p,r \ge 2$的逼近比$(1+ε_0)/(\sinh^{-1}(1)\cdot γ_{p^*} \,γ_{r^*})$的一些固定的$ε_0 \le 0.00863$。与Krivine的$(π/2)/\sinh^{-1}(1)$的原始Grothendieck问题的近似比相比，我们的保证是从$(γ_{p^*} γ_{r^*})^{-1}$的最佳已知的硬度因子的问题的一个类似Krivine的缺陷。我们的近似如下由边界的自然向量松弛的问题，这是凸时$p,r \ge 2$的值。我们给出了随机超平面舍入的推广，并将此舍入的性能与某些超几何函数相关联，这些超几何函数规定了在舍入之前对向量解进行必要的变换。不像Krivine的四舍五入的相关超几何函数$\arcsin$，我们必须研究一个家庭的超几何函数。然后，我们的大部分技术工作涉及复分析方法，以获得有关这些超几何函数的逆的泰勒级数系数的详细信息，然后决定我们的近似因子。我们的结果还意味着改进的边界“因子分解通过$\ell_{2}^{…
2019-11-06 cs.DS math.FA
Approximating Max-Cut on Bounded Degree Graphs: Tighter Analysis of the FKL Algorithm
本文给出了度为$\leq d$的加权图上最大割的一个$α_{GW} + \tildeΩ(1/d^2)$ -因子近似算法.这里，$α_{GW}\approx 0.878$是最大切割的Goemans-Williamson舍入的最差情况近似比。这改进了Feige，Karpinski，Langberg和Florén以前的结果。我们的保证是通过更严格的分析，通过应用自然的局部改进程序得到的解决方案，以加强与三角形不等式的基本SDP的Goemans-Williamson舍入。
2022-06-18 cs.CC cs.DS
Stochastic Load Balancing on Unrelated Machines
本文研究了工件尺寸随机时不相关机器的最小完工时间问题。目标是找到一个固定的分配工作的机器，以最小化的期望值的最大负载在所有的机器。对于所有机器上工件大小相同的同机种特殊情况，常因子近似算法早已为人们所知。我们的主要结果是第一个常数因子近似算法的一般情况下，不相关的机器。这是通过以下方式实现的：（i）使用可有效计算的指数大小的线性规划来制定下限，以及（ii）在仅满足仍然足以约束预期完工时间的约束的特定子集的情况下舍入该线性规划。我们还考虑两个概括。第一个是预算最大完工时间最小化问题，目标是在调度目标数量（或奖励）的工件的情况下，最小化预期的最大完工时间。我们推广了我们的主要结果，得到了这个问题的一个常数因子的近似算法。第二个问题涉及$q$范数目标，我们希望最小化机器负载的期望q范数。这里我们给出了一个$O(q/\log q)$ -近似算法，它是对任何固定的$q$的常数因子近似。
2019-04-15 cs.DS
Better Unrelated Machine Scheduling for Weighted Completion Time via Random Offsets from Non-Uniform Distributions
本文考虑工件有释放时间时，不相关机器上最小化加权完工时间之和的经典排序问题，即采用三域表示法的$R | r_{ij} | \sum_j w_j C_j$。对于这个问题，已知基于新的凸规划的2-近似（J. ACM 2001，Skutella）。它一直是一个长期存在的开放问题，如果可以改善后，这2-近似（开放问题8日在J。Schuurman和Woeginger的1999）。我们通过给出1.8786的近似值来肯定地回答这个问题。我们通过一个令人惊讶的简单的线性规划，但一个新的舍入算法和分析。我们的算法的一个关键组成部分是使用从非均匀分布采样的随机偏移。我们还考虑了问题的抢先版本，即$R | r_{ij},pmtn | \sum_j w_j C_j$。我们再次使用非均匀分布的采样偏移的想法，给出这个问题的第一个优于2的近似。这种改进还需要使用配置LP，其中包含每个作业的完整调度的变量以及更仔细的分析。对于非抢占式和抢占式版本，我们第一次打破了近似障碍2。
2016-06-28 cs.DS
Generalized Unrelated Machine Scheduling Problem
我们研究了广义负载平衡（GLB）问题，在这里，我们给$n$工作，其中每一个需要被分配到一个$m$不相关的机器与处理时间$\{p_{ij}\}$。在作业分配$σ$下，每个机器的负载$i$是$ψ_i(\mathbf{p}_{i}[σ])$，其中$ψ_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}$是对称单调范数，$\mathbf{p}_{i}[σ]$是$n$维向量$\{p_{ij}\cdot \mathbf{1}[σ(j)=i]\}_{j\in [n]}$ .我们的目标是最小化广义完工时间$ϕ(\mathsf{load}(σ))$，其中$ϕ:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}$是另一个对称单调范数，$\mathsf{load}(σ)$是$m$维机器负载向量.该问题显著地推广了许多经典优化问题，例如，最大完工时间最小化，集覆盖，最小范数负载平衡等，我们得到了一个多项式时间的随机算法，实现了一个近似因子$O(\log n)$，匹配的集合覆盖的下界常数因子。我们实现这一点，通过四舍五入一个新的配置LP松弛指数的变量。为了近似求解配置LP，我们为其对偶程序设计了一个近似分离预言机。特别是，分离预言可以减少到范数最小化与线性约束（NormLin）的问题，我们设计了一个多项式时间近似方案（PTAS），这可能是独…
2022-02-13 cs.DS
Approximating Minimum-Cost Connected T-Joins
我们设计并分析了最小代价连通T-连接问题的近似算法：给定一个无向图G =（V;E），G的边都是非负代价的，且G是一个节点子集T，找到（如果存在）一个最小代价的生成连通子图H，使得T中的每个节点都是奇数度，不在T中的每个节点都是偶数度; H可以有G的任意边的多个副本.两个著名的特例是TSP（|T| = 0）和s-t路径TSP（|T| = 2）。最近，An，Kleinberg和Shmoys [STOC 2012]改进了后一个问题的长期5/3近似保证，并提出了一种基于LP舍入的算法，该算法实现了（1+sqrt（5））/2 < 1.6181的近似保证。我们证明了安等人的方法。扩展到最小成本连接的T-连接问题。他们提出了一个新的证明，保证了s-t路径TSP的5/3近似;他们的证明很容易扩展到最小成本连接T-join问题。接下来，我们通过扩展他们的LP舍入算法来改进5/3的近似保证，以获得对于所有|T| >= 4的13/8 = 1.625的近似保证。最后，我们专注于奖品收集版本的问题，并提出了一个原始-对偶算法，是“拉格朗日乘子保持”，并实现了近似保证3 - 2/（|T| -1）时，|T| >= 4。我们的原始-对偶算法是一个推广已知的原始-对偶2-近似的奖品收集的s-t路径TSP。此外，我们表明，我们的分析是紧密的，提出的实例与|T| >= 4，这样的算法找到的解决方案的成本正好是3 - 2…
2012-07-24 cs.DS
An EPTAS for Scheduling on Unrelated Machines of Few Different Types
在经典的不相关平行机排序问题中，一组工件必须分配给一组机器。工件的加工时间取决于机器，目标是最小化完工时间，即最大机器负载。众所周知，这个问题是NP难的，并且不允许近似保证小于$1.5$的多项式时间近似算法，除非P $=$ NP。我们考虑的情况下，只有一个常数$K$的机器类型。如果两台机器的所有工件的加工时间相同，则它们具有相同的类型。对于$K=1$，这个问题的变体已经是强NP难的。我们提出了一个有效的多项式时间近似方案（EPTAS）的问题，即对于任何$\varepsilon > 0$的最大完工时间的长度最多$(1+\varepsilon)$倍的最优分配可以在多项式时间内找到的输入长度和指数是独立的$1/\varepsilon$。特别地，我们实现了$2^{\mathcal{O}(K\log(K) \frac{1}{\varepsilon}\log^4 \frac{1}{\varepsilon})}+\mathrm{poly}(|I|)$的运行时间，其中$|I|$表示输入长度。此外，我们研究了其他三个问题的变种，并提出了一个EPTAS为他们每一个：圣诞老人的问题，其中最小的机器负载已被最大化的情况下，不相关的平行机与一个常数数量的统一类型，其中相同类型的机器表现得像一致相关的机器调度;和多维向量调度问题的变体，其中机器类型的维度和数量都是常数。对于圣诞老人问题，我们实现了相同的运行时…
2017-12-06 cs.DS
Approximating Bin Packing within O(log OPT * log log OPT) bins
对于装箱，输入由大小为s_1，.，s_n在[0，1]中，其必须被分配给最小数量的大小为1的仓。1982年的开创性Karmarkar-Karp算法产生了最多OPT + O（log^2 OPT）bin的解。我们提供了第一个改进，在现在的30年，并表明，可以找到一个解决方案的成本OPT + O（日志OPT * 日志日志OPT）在多项式时间。这是通过使用来自差异理论的熵方法将分数解舍入到Gilmore-Gomory LP松弛来实现的。通过Bansal和Lovett-Meka的算法，结果是建设性的。
2014-03-10 cs.DS math.CO
Approximating maximum integral multiflows on bounded genus graphs
我们设计了第一个常数因子近似算法，以寻找一个完整的多商品流的最大总价值的情况下，供应图与需求的边缘可以嵌入在有界亏格的定向表面。这扩展了平面实例的最新结果。我们的技术包括一个uncrossing算法，这是显着更困难的比在平面的情况下，一个分区的循环在LP解决方案的支持到自由同伦类，和一个新的舍入程序自由同伦非分离周期。
2021-05-31 cs.CG cs.DM cs.DS
Simpler and Better Algorithms for Minimum-Norm Load Balancing
最近，查克拉巴蒂和斯瓦米（STOC 2019）介绍了不相关机器上的{ \em最小范数负载平衡}问题，其中我们给出了一组需要在一组$m$不相关机器上调度的作业的$J$，以及单调对称范数;我们寻求一个分配$\sg:J\mapsto[m]$，它使得到的负载向量$\lvec_\sg\in\R_+^m$的范数最小化，其中，$\lvec_\sg(i)$是分配$\sg$下机器$i$上的负荷。除了捕获所有$\ell_p$范数之外，对称范数还捕获其他感兴趣的范数，包括顶$\ell$范数和有序范数。Chakrabarty和Swamy（STOC 2019）通过他们为最小范数优化开发的一般框架给出了这个问题的$(38+\ve)$近似算法，该框架首先仔细地将这个问题（在一系列步骤中）简化为一个称为\minmax有序负载均衡的问题，然后为有序负载均衡设计了一个所谓的确定性不经意LP舍入算法。我们给出了一个直接的，简单的$4$近似算法的最小范数负载均衡的基础上舍入（近最优）的解决方案，一个新的凸规划松弛的问题。而自然凸程序编码最小范数负载均衡问题有一个大的非常数完整性差距，我们表明，这个问题可以得到补救，包括一个关键的约束，约束的“范数的作业成本向量。“我们的技术还产生了（本质上）$4$ -近似：（a）{ \em多范数负载均衡}，其中我们给出了多个单调对称范数，并且我们寻求关于每个范数的给定预算的分配;（b）对…
2019-04-30 cs.DS
Approximating Non-Uniform Sparsest Cut via Generalized Spectra
我们给出了一个非均匀稀疏割的近似算法，保证了：对于任意的$ε,δ\in (0,1)$，给定代价图和需求图，边权分别为$C, D$，我们可以找到一个集合$T\subseteq V$，其中$\frac{C(T,V\setminus T)}{D(T,V\setminus T)}$至多是最优非均匀稀疏割值的$\frac{1+ε}δ$倍，在时间上$2^{r/(δε)}\poly(n)$提供了$λ_r \ge Φ^*/(1-δ)$ .这里，$λ_r$是成本和需求图的拉普拉斯矩阵的第$r$个最小广义特征值; $C(T,V\setminus T)$（分别为$D(T,V\setminus T)$）是穿过成本削减的$(T,V\setminus T)$的边的权重（分别为需求）图，$Φ^*$是最优切割的稀疏性。换句话说，我们表明，非均匀稀疏割问题是很容易的广义谱增长适度快。据我们所知，在这项工作之前，没有基于非均匀稀疏切割的高阶光谱的结果。即使对于均匀稀疏的切割，我们的结果的定量方面比以前的方法更强。类似的结果也适用于其他扩展措施，如边缘扩展，归一化切割，电导，与$r$的归一化拉普拉斯算子的最小本征值发挥作用的$λ_r$在后两种情况下。我们的证明是基于L1-嵌入向量从半定程序从拉塞尔层次。然后使用标准阈值舍入将嵌入的向量舍入为切割。我们希望将$\ell_1$ -嵌入与Lasserre SDP连接起来的想法…
2012-12-17 cs.DS
The Dirichlet Mechanism for rounding with strong negative correlation, with applications
University of Maryland（马里兰大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
提出狄利克雷机制，通过狄利克雷随机变量实现比现有算法更强的负相关舍入，用于解决二分图分配问题，并在 oblivious 在线依赖舍入和无关机调度问题中分别改进了近似比至 0.68 和 1.387。
2026-08-17 cs.DS
Improved Online Load Balancing in the Two-Norm
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）；Centrum Wiskunde & Informatica（荷兰数学与计算机科学研究学会）
本文针对无关机器上的在线负载均衡问题，提出首个突破竞争比5的算法，达到4.9843，并通过新的原始-对偶框架统一证明了多个相关算法的最优性。
2026-10-21 cs.DS
Approximating Minimum-Cost k-Node Connected Subgraphs via Independence-Free Graphs
对于最小代价$k$ -结点连通生成子图问题，在结点数至少为$k^3(k-1)+k$的条件下，给出了一个6-近似算法.我们应用组合预处理，基于Frank-Tardos算法的$k$ -outconnectivity，将任何输入转换为一个实例，这样的迭代舍入方法给出了2-近似保证。这是第一个常数因子近似算法，即使在渐近设置的问题，也就是说，限制的情况下，节点的数量是下界的函数$k$。
2012-12-17 cs.DM cs.DS math.CO
A note on rounding fractional matchings with constant-factor strong negative correlation
University of Maryland（马里兰大学）
针对二分图提出新的依赖取整算法，将分数匹配转化为整数解，实现强负相关性质，常数因子改进至0.79751。
2026-07-27 cs.DS math.PR
A sub-constant improvement in approximating the positive semidefinite Grothendieck problem
半定松弛是近似求解组合优化问题如MAX-CUT和Grothendieck问题的有力工具。通过利用半定锥中端点的有界秩性质，我们对此类问题的逼近比进行了亚常数改进。准确地说，我们描述了一个多项式时间算法的半正定Grothendieck问题-四舍五入的基础上，从标准的放松-实现的比率为$2/π+ Θ(1/{\sqrt n})$，而以前最好的是$2/π+ Θ(1/n)$。我们进一步证明了$2/π+\tilde{O}(1/n^{1/3})$的完整性缺口。
2014-08-10 cs.CC cs.DS math.OC
Improved Approximations for Vector Bin Packing via Iterative Randomized Rounding
该研究针对d维向量装箱问题，首次将迭代随机舍入应用于该领域，提出改进的渐近近似算法，在一般维度和二维特殊情形下均刷新了此前的最优近似比。
2023-04-28 cs.DS
Approximating Hereditary Discrepancy via Small Width Ellipsoids
一个超图的离散度是其顶点的两种着色上，任何超边的最大绝对不平衡度的可达到的最小值。超图的遗传离散度是超图复杂性的一个度量，它定义为超图对顶点子集的约束的最大离散度。Lovasz，Spencer和Vesztergombi（1986）将这个量自然地扩展到矩阵与线性规划的舍入算法联系起来，并给出了一个基于行列式的遗传差异下界。Matousek（2011）表明，这个界限紧到一个多对数因子，留下了实际计算这个界限的问题。Nikolov，Talwar和Zhang（2013）最近的工作显示了多项式时间$\tilde{O}(\log^3 n)$ -近似遗传差异，作为他们差分隐私工作的副产品。本文给出了该问题的一个直接简单的$O(\log^{3/2} n)$ -近似算法。我们表明，到这个近似因子，遗传差异的矩阵$A$的特点是简单的几何凸规划，旨在最大限度地减少最大$\ell_{\infty}$规范的任何一点在椭圆包含列的$A$的最优值。这一特征有望成为差异理论的一个有用工具。
2014-07-23 cs.DS
On $(1,ε)$-Restricted Assignment Makespan Minimization
无关机上的最小化最大跨度问题是近似算法中的一个经典问题。对于常数$δ> 0$的问题，没有多项式时间$(2-δ)$近似算法是已知的。即使在某些特殊情况下也是如此，最明显的是限制分配问题，其中每个作业在任何机器上具有相同的负载，但可以分配给指定子集中的一个。最近，在一个突破性的结果中，Svensson [Svensson，2011]证明了对于限制性分配问题，特定配置LP松弛的完整性间隙由$1.95$上界;然而，舍入算法不知道在多项式时间内运行。本文考虑了一类$(1,\varepsilon)$ -限制指派问题，其中每个工件都是重工件（$p_j = 1$）或轻工件（$p_j = \varepsilon$），且参数为$\varepsilon > 0$ .我们的主要结果是一个$(2-δ)$ -近似多项式时间算法的$(1,ε)$ -限制分配问题的固定常数$δ> 0$。即使在这种特殊情况下，迄今为止已知的最佳多项式时间近似因子也是2。我们得到这个结果，通过四舍五入的配置LP松弛这个问题。从顶点覆盖的一个简单的减少表明，这种特殊情况下仍然是NP-困难的近似比7/6的一个因素。
2014-10-28 cs.DS
New SDP Roundings and Certifiable Approximation for Cubic Optimization
针对单位球面与超立方体上的三次多项式最大化，提出基于多项式重加权和击中集压缩的新型 SDP 舍入，获得 O(√(n/k)) 时间-近似权衡及最优值证书。
2023-09-30 cs.CC cs.DS
Online Covering with Convex Objectives and Applications
我们给出了一个算法框架，用于最小化一般凸目标（可微和单调非递减）在一组覆盖约束到达在线。这实质上扩展了先前关于线性目标的在线覆盖的工作（Alon { \em et al.}，STOC 2003）和具有离线包装约束的在线覆盖（Azar { \em et al.}，SODA 2013）。据我们所知，这是第一个结果，在一般的非线性目标在线优化;特殊情况下，这样的目标以前已经考虑过，特别是能量最小化。作为一个特定的问题，在这种类型中，我们认为无关的机器调度问题的启动成本和任意$\ell_p$规范的机器负载（包括令人惊讶的非平凡的$\ell_1$规范表示总的机器负载）。这个问题之前已经研究过离线（Khuller~{ \em et al.}，SODA 2010; Li和Khuller，SODA 2011）和在线设置（Azar { \em et al.}，SODA 2013）。我们适应两阶段的方法，获得一个分数的解决方案，然后将其四舍五入在线（成功地用于许多线性目标）的非线性目标。分数算法使用我们上面描述的一般框架中的思想（但由于约束矩阵中的非正项而不完全适合框架）。舍入算法使用来自具有非线性目标的LP的离线舍入的想法（Azar和Epstein，STOC 2005; Kumar { \em et al.}，FOCS 2005）。我们的竞争力之比接近对数系数。最后，对于总负载（$\ell_1$范数…
2014-12-11 cs.DC cs.DS
A New Approach to Online Scheduling: Approximating the Optimal Competitive Ratio
通过引入竞争比近似方案的新概念，提出了一种在线调度中竞争分析的新方法。这样的方案在算法上构造具有任意接近于任何在线算法的最佳可能竞争比的竞争比的在线算法。我们研究的问题调度作业在线，以尽量减少加权和的完成时间的并行，相关和无关的机器，我们得出确定性和随机算法，这几乎是最好的所有在线算法的各自的设置。我们还推广我们的技术，任意单项成本函数，并将其应用到最大完工时间目标。我们的方法依赖于在线算法的抽象表征，结合各种简化和变换。我们还贡献算法手段来计算最佳可能的竞争比的实际值达到任意精度。这与所有以前手动获得的算法竞争力结果形成强烈对比，最重要的是，它将对最佳竞争比的搜索减少为计算机可以回答的问题。我们相信，我们的概念也可以应用到许多其他问题，并产生一个新的角度在线算法一般。
2012-10-31 cs.DS
Scheduling with Outliers
在经典排序问题中，给定工件和机器，必须对所有工件进行排序，使某个目标函数最小。如果每个作业都有一个指定的利润，我们不再需要处理所有的作业-我们可以调度任何子集的作业，其总利润至少是一个（硬）目标利润要求，同时仍然近似最小化目标函数？我们把这类问题称为离群值调度问题。该模型是由Charikar和Khuller（SODA'06）在广播调度中关于最小最大响应时间的基础上提出的。我们考虑其他三个研究的调度目标：广义分配问题，平均加权完成时间，平均流动时间，并提供基于LP的近似算法。对于同类机器上的最小平均流时间问题，在单位利润的情况下，基于线性规划松弛的舍入，给出了一个对数近似算法，并给出了一个匹配的完整性缺口.对于不相关机器上的加权平均完工时间问题，我们给出了一个常数因子近似。该算法是基于随机舍入的时间索引LP松弛加强背包覆盖不等式。对于带野值的广义指派问题，我们将无野值的GAP简化为最大完工时间不超过最优完工时间的3倍，而代价不超过最优代价的（1 + ε）倍.
2009-06-10 cs.DS
Simultaneously Approximating All Norms for Massively Parallel Correlation Clustering
本文针对相关性聚类的同时近似问题，通过归约到top-k范数并构造12.66近似分数聚类，结合5近似舍入算法，将单调对称范数下的近似比从6348大幅提升至63.3，并进一步给出近线性时间和MPC模型下的高效实现。
2024-10-22 cs.DS
Approximating Optimum Online for Capacitated Resource Allocation
本文研究容量资源分配问题，提出多项式时间在线算法，相对最优在线算法达到(1/2+0.0115)近似比，并揭示了在线舍入中正相关性对突破1/2界限的关键作用。
2024-06-11 cs.DS
Approximating Upper Degree-Constrained Partial Orientations
在上度约束的部分定向问题中，我们给出了一个无向图$G=(V,E)$，以及两个度约束函数$d^-,d^+ : V \to \mathbb{N}$。目标是定向尽可能多的边，使每个顶点$v \in V$进入$v$的弧数最多为$d^-(v)$，而离开$v$的弧数最多为$d^+(v)$。这个问题是由Gabow [SODA'06]提出的，他证明了它是MAXSNP困难的（因此也是APX困难的）。在同一文件Gabow提出了一个基于LP的迭代舍入$4/3$ -近似算法。由于问题是一个特殊的情况下，经典的3维匹配，这反过来又是一个特殊的情况下，$k$ -集包装问题，这是合理的，问是否最近的改进近似算法后两个问题[Cygan，FOCS'13; Sviridenko & Ward，ICALP'13]允许一个改进的近似上度约束的部分方向。我们遵循这条推理路线，并提出了一个多项式时间的局部搜索算法的近似比$5/4+\varepsilon$。我们的算法使用两种类型的规则的组合：从最近的$4/3+\varepsilon$ -近似算法3-Set Packing [Cygan，FOCS'13]，和一个简单的规则量身定制的部分方向的设置改进有界路径宽度集。特别是，我们利用这样一个事实，即人们可以在多项式时间内检查是否有可能定向给定图的所有边[Gyárfás & Frank，Combinatorics'76]。
2014-10-10 cs.DS
Approximating Metrics by Tree Metrics of Small Distance-Weighted Average Stretch
我们研究的问题，以及如何树度量是能够保持任意度量的两两距离之和。这个问题与低拉伸度量嵌入密切相关，并且从文献中提出的研究路线来看，它自己的味道很有趣。由于树的结构对成对距离施加了很大的约束，已知将度量嵌入到树度量中具有$Ω(\log n)$的最大成对拉伸。然而，我们表明，从平均性能的角度来看，存在树度量保持给定度量的成对距离的总和到一个小的常数因子，我们也表明，不差于两倍，我们可能期望。我们用来解决这个问题的方法比[4]以前的结果更直接，也导致了可证明的更好的保证。其次，当给定的度量是从有限维的欧氏点集$d$，我们证明了存在的生成树的给定的点集，使得两两距离的总和被保存到一个常数，这只取决于$d$。我们的两个证明都是有建设性的。在我们的结果的主要成分是一个特殊的点集分解，它涉及两个完全无关的量。
2013-01-15 cs.DS
On Approximating (Sparse) Covering Integer Programs
我们考虑覆盖整数规划的形式min $\langle c, x \rangle $在$x \in \mathbb{N}^n $受到$A x \geq b $和$x \leq d$的近似算法，其中$A \in \mathbb{R}_{\geq 0}^{m \times n}$，$b \in \mathbb{R}_{\geq 0}^m$，和$c, d \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$都有非负的条目。我们把这个问题称为$\operatorname{CIP}$，没有多重性约束的特殊情况称为$x \le d$，称为$\operatorname{CIP}_{\infty}$。这些问题是集覆盖问题的推广。我们做了两个算法上的贡献。首先，我们表明，一个简单的算法的基础上随机四舍五入与改变改善或匹配的最佳已知的近似算法$\operatorname{CIP}$和$\operatorname{CIP}_{\infty}$在广泛的参数设置，这些界限基本上是最佳的。作为变更算法和分析的简单性的副产品，我们可以去随机化算法，而不会在近似保证或效率方面有任何损失。Chen，Harris和Srinivasan [12]先前的工作获得了近紧边界，该工作基于基于分析复杂的基于重采样的随机算法。$\operatorname{CIP}$的非平凡近似算法基于求解用背包覆盖（KC）不等式加强的自然LP松弛[…
2018-11-18 cs.DS
Approximating Small Sparse Cuts
本文针对稀疏割和小集扩张问题，提出基于样本集扩展与割匹配博弈的多项式时间近似算法，达到 polylog k 近似，并改进相关推论。
2024-03-13 cs.DS
Comparison of Hyperplane Rounding for Max-Cut and Quantum Approximate Optimization Algorithm over Certain Regular Graph Families
本文针对小规模 Max-Cut 难例，比较 Goemans-Williamson 算法与深度 p=1 的 QAOA 在特定正则图族上的近似比，并公开扰动边权重生成的实例。
2025-09-28 cs.DS math.CO quant-ph
Malleable scheduling beyond identical machines
在可延展作业调度中，作业可以在多台机器上同时执行，处理时间取决于分配的机器数量。在这种情况下，要求作业非抢占式地一致执行，也就是说，作业在执行过程中在所分配集合的所有机器上占用相同的时间间隔。在这项工作中，我们研究的启发，标准调度无关的机器上的延展性作业调度的推广。具体来说，我们引入一个一般模型的延展性作业调度，其中每台机器有一个（可能不同）的速度为每个作业，和一组分配的机器$S$上的作业$j$的处理时间取决于$S$的总速度相对于$j$。对于机器与无关的速度，我们表明，最佳的完工时间不能近似的一个因素小于$\frac{e}{e-1}$，除非$P = NP$。在积极的一面，我们提出了多项式时间算法的近似比$\frac{2e}{e-1}$的机器与不相关的速度，$3$的机器与均匀的速度，和$7/3$的限制分配相同的机器。我们的算法是基于确定性的LP舍入。它们会导致稀疏调度，也就是说，每台机器最多与其他机器共享一个作业。我们还证明了$1+φ$的不相关的速度（$φ$是黄金比例）和$2$的统一速度和限制分配的完整性差距的下界。为了表明我们的方法的一般性，我们表明，它也产生恒定因子近似算法的一个变种，我们确定一组分配的机器的有效速度的基础上，他们的速度的$L_p$规范。
2020-04-07 cs.DS math.CO
Approximating Min-Cost Chain-Constrained Spanning Trees: A Reduction from Weighted to Unweighted Problems
研究了{ \em最小代价链约束生成树}（简称\mcst）问题：在一个嵌套的节点集族上，在满足度约束的图中寻找最小代价生成树.我们设计的{ \em first} polytime算法，找到一个生成树，（i）违反度约束的最多一个常数因子{ \em和}（ii）其成本是在一个常数因子的最佳。以前，只有一种用于{ \em unweighted} \cst的算法是已知的\cite{olver}，其满足（i）但不产生任何成本界限。这也产生了第一个结果，获得了一个$O(1)$ -因子{ \em两者}的成本近似和违反度约束的任何生成树问题与一般的度边界上的节点集，其中一个边缘参与一个超常数数量的度约束。我们的算法的一个显着的特点是，我们{ \em减少} \mcst的不加权\cst（然后利用\cite{olver}）通过一个新的应用程序{ \em拉格朗日对偶}简化的{ \em成本结构}的基本问题，并获得分解成某些统一的成本子问题。我们表明，这种拉格朗日松弛为基础的想法实际上是更普遍适用的，对于任何成本最小化问题与包装侧约束，产生一个减少加权的未加权的问题。我们认为，这一削减是独立的利益。作为我们的技术的另一个应用，我们考虑{ \em $k$ -预算拟阵基}问题，其中我们建立在\cite{BansalN16}的最近舍入算法上，以获得改进的$n^{O(k^{1.5}/ε)}$时间算法，该算法返回完全满足（…
2016-05-10 cs.DS
A unified approach to quantum de Finetti theorems and SoS rounding via geometric quantization
本文通过几何量子化统一了量子 de Finetti 定理与 HSoS 舍入算法，提出量子化-舍入及逆过程的新框架，并给出新证明、应用及误差界。
2024-11-06 cs.DS quant-ph
Approximating Generalized Network Design under (Dis)economies of Scale with Applications to Energy Efficiency
在广义网络设计（GND）问题中，一组资源被分配给多个通信请求。每个请求将其权重贡献给它所使用的资源，然后通过资源特定的成本函数将资源上的总负载转换为它所产生的成本。例如，请求可以是建立虚拟电路，从而有助于电路中的每个边缘上的负载。受能源效率应用的启发，最近，人们越来越关注使用表现出规模经济（（D）oS）的成本函数的GND，即，对于小负载表现出次加性而对于较大负载表现出超加性的成本函数。本文在多个方面改进了已有的关于（D）oS代价函数的GND问题的近似算法：（1）提出了一个通用的近似框架，该框架对有向图和无向图中更广泛的一类请求都能得到近似结果;（2）我们的框架允许不相关的权重，（3）我们的框架是完全组合的，并且在强多项式时间内运行;（4）本文中考虑的（D）oS成本函数族比现有文献中考虑的成本函数族更一般，为实际节能场景提供了更准确的抽象;以及（5）我们使用（D）oS成本函数获得GND的第一近似比，该成本函数仅取决于资源技术的参数并且不随着资源的数量而增长，请求的数量或它们的权重。我们框架的设计在很大程度上依赖于Roughgarden的平滑工具箱（JACM 2015），从而证明了该工具箱在近似算法领域的可能有用性。
2018-03-14 cs.DS cs.GT
Approximating Unsplittable Capacitated Vehicle Routing: Analysis via Factor-Revealing LPs
Kyung Hee University（庆熙大学）；University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）
本文提出两种改进的近似算法，分别针对固定和一般车辆容量，提高了不可拆分有容量车辆路径问题的近似比。
2026-10-15 cs.DS
Beating Greedy For Approximating Reserve Prices in Multi-Unit VCG Auctions
本文研究了在相关购买者参与的多单位渴望VCG拍卖中，为单位需求购买者寻找个性化保留价的问题。这个问题的输入是一组拍卖中$n$买家提交的出价的数据集。目标是找到一个保留价向量，每个买家一个，最大化所有拍卖的总收入。Roughgarden和Wang（2016）证明了这个问题是APX困难的，但允许贪婪的$\frac{1}{2}$ -近似算法。后来，Derakhshan，Golrezai和Paes Leme（2019）给出了一个基于LP的算法，实现了一个$0.68$ -近似的（重要的）特殊情况下的问题与一个单一的项目，从而击败贪婪。我们表明，在本文中，Derakhshan等人的算法。实际上并不击败贪婪的一般多项问题。这就提出了一个问题，即一般问题是否允许一个比$\frac{1}{2}$更好的近似。在本文中，我们肯定地回答这个问题，并提供了一个多项式时间算法与一个显着更好的近似因子$0.63$。我们的解决方案是基于一个新的线性规划制定，我们提出了两种不同的舍入方案。我们证明了这两个最好的和无储备的情况下（全零向量）是一个$0.63$近似。
2020-07-24 cs.DS cs.GT
A Note on Approximating Weighted Nash Social Welfare with Additive Valuations
本文首次为具有可加估值的加权纳什社会福利问题给出近似比为 e^{1/e}+ε≈1.445+ε 的 O(1) 近似算法，通过配置 LP 与 Shmoys-Tardos 随机化舍入实现，并借助 EF1 分配差距分析匹配未加权情形的最佳近似比。
2025-08-13 cs.DS cs.GT
A Water-Filling Primal-Dual Algorithm for Approximating Non-Linear Covering Problems
获得强大的线性松弛的能力覆盖问题构成了一个重大的技术挑战，即使是简单的设置。对于最基本的情况之一，背包覆盖（最小背包）问题，基于背包覆盖不等式的松弛实现了2的完整性差距。这些不等式已被利用在更一般的环境中，其中许多承认原始-对偶近似算法。从电力和运输系统的问题的启发，我们引入了一个新的一般设置中，项目可以采取分数，以满足给定的需求。一个项目所产生的成本由所选分数的任意非递减函数给出。我们将背包覆盖不等式推广到这种情况，并利用它们得到一个$(2+\varepsilon)$ -近似原始-对偶算法。我们的程序有一个自然的解释为桶填充算法，它有效地平衡了成本函数中具有不同斜率的困难：当一个项目的一些上级部分呈现出低斜率时，它有助于提高下级部分的优先级。我们还提出了一个舍入算法的近似保证为2。我们将我们的算法推广到一条线上的不可分割流覆盖问题，也适用于项目可以分数取的设置。对于这个问题，我们得到一个$(4+\varepsilon)$近似算法在多项式时间，几乎匹配的$4$近似已知的经典设置。
2019-12-27 cs.DS math.OC
Mean-field approximation, convex hierarchies, and the optimality of correlation rounding: a unified perspective
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
自由能是伊辛模型中的一个关键量，但不幸的是，计算它通常是计算困难的。用于估计一般伊辛模型自由能的两种流行（变分）近似方案（特别是，即使在相关衰减不成立的情况下）是：（i）统计物理学中的根平均场近似，它从下面估计自由能，以及（ii）理论计算机科学中的根凸松弛层次，它从上面估计自由能。令人惊讶的是，我们表明，这两种方法来计算自由能领导秩序的紧政权是相同的。更准确地说，我们表明，平均场近似是在$O((n\|J\|_{F})^{2/3})$的自由能，其中$\|J\|_F$表示的伊辛模型的相互作用矩阵的Frobenius范数。这同时包含了Basak和Mukherjee的突破性工作，他们证明了当$\|J\|_{F} = o(\sqrt{n})$时，平均场近似在$o(n)$内的严密结果，以及Jain，Koehler和Mossel的工作，他们给出了以前最著名的$O((n\|J\|_{F})^{2/3}\log^{1/3}(n\|J\|_{F}))$的非渐近界。我们给出了一个简单的，算法证明这一结果使用一个凸松弛Risteski提出的Sherali-亚当斯层次结构的基础上，自动给出次指数时间近似计划的自由能在这整个政权。我们的算法结果在Gap-ETH下是紧的。此外，我们结合我们的技术与自旋玻璃理论证明（在很强的意义上）的最优相关舍入，驳斥了最近的猜想艾伦，奥唐纳和周。最后，我们给出了所有这些结果的紧…
2018-08-29 cs.DS cs.LG math.PR
Structural Rounding: Approximation Algorithms for Graphs Near an Algorithmically Tractable Class
我们开发了一个新的框架，用于从结构图算法文献中概括近似算法，以便它们适用于与该类有点接近的图（我们期望在使用真实网络时常见的情况），同时仍然保证近似比。其思想是通过顶点删除或边删除对给定图进行$\textit{edit}$，将图放入算法上易于处理的类中，对该类应用已知的近似算法，然后将$\textit{lift}$的解决方案应用于原始图。当一个优化问题是服从这种方法，我们给出了一个一般的表征，并表明它包括许多研究良好的图形问题，如独立集，顶点覆盖，反馈顶点集，最小最大匹配，色数，（$\ell$-）支配集，边（$\ell$ -）支配集，连通支配集。为了实现这个框架，我们开发了新的编辑算法，找到了将给定的图形带入几个重要图形类之一所需的近似最少的编辑（在某些情况下，也近似于家庭的目标参数）。对于有界退化，我们得到一个双准则$(4,4)$ -近似，也扩展到一个更平滑的双准则权衡。对于有界树宽，我们得到了一个双准则$(O(\log^{1.5} n), O(\sqrt{\log w}))$ -近似，对于有界路宽，我们得到了一个双准则$(O(\log^{1.5} n), O(\sqrt{\log w} \cdot \log n))$ -近似.对于树深度$2$（也与有界扩展有关），我们得到了一个$4$ -近似。我们还证明了互补的硬度近似结果假设$\mathrm{P} \neq \mathrm{N…
2018-12-09 cs.CC cs.DS math.CO
New Convex Programming Technique for Nash Social Welfare and Scheduling
Nanjing University（南京大学）
本文提出了一种新的凸编程方法，用于解决加权纳什社会福利问题，通过Feng和Li的舍入算法达到(e^{1/e})近似比。该方法将指数规模的配置线性规划转换为多项式规模的紧凑线性规划，解决了标准线性规划求解问题。
2026-04-27 cs.DS
Constant Approximation for Weighted Nash Social Welfare with Submodular Valuations
研究次模估值下最大化加权纳什社会福利的分配问题，提出基于 Configuration LP 的首个常数近似算法，通过区分大小物品并借鉴无关机器调度舍入技术解决了该领域的开放问题。
2025-11-04 cs.DS cs.GT
Faster quantum and classical SDP approximations for quadratic binary optimization
本文给出了求解二次优化正则半定规划松弛问题的量子加速算法。这类用于组合优化的松弛到目前为止还没有实现量子加速。我们的方法结合量子吉布斯采样和矩阵指数更新的想法。该算法的去量化也导致更快的经典求解器。对于一般的情况下，我们的量子求解器提供了一个接近二次的速度比国家的最先进的算法。这样的例子包括近似自旋玻璃的基态和埃尔德什-雷尼图上的MaxCut。我们还提供了一个有效的随机舍入过程，近似最优的SDP解决方案转化为近似的原始二次优化问题。
2022-01-10 cs.DS quant-ph
Approximation Algorithm for Cycle-Star Hub Network Design Problems and Cycle-Metric Labeling Problems
我们考虑一个单一的分配轴辐网络的设计问题，分配每个非枢纽节点的确切一个给定的枢纽节点，以最大限度地减少总的运输成本。本文讨论了一个枢纽位于一个环内的情况，称之为环星枢纽网络设计问题。这个问题本质上等价于一个周期度量标记问题。本文提出了一个$2(1-1/h)$ -近似算法，其中$h$表示枢纽节点的数目。我们的算法解决了线性松弛问题，并采用了相关的舍入过程。我们分析我们的算法，通过近似一个给定的周期度量矩阵的凸组合的蒙赫矩阵。
2016-12-09 cs.DM cs.DS
On the Configuration-LP of the Restricted Assignment Problem
我们考虑经典的不相关机器排序问题。在这个问题中，一组工作是分配给一组机器和最大负载（完工时间）是要最小化。作业$j$的处理时间$p_{ij}$取决于作业分配到的计算机$i$。Lenstra，Shmoys和Tardos给出了这个问题的多项式时间$2$ -近似。在本文中，我们专注于一个突出的特殊情况下，限制分配问题，其中$p_{ij}\in\{p_j,\infty\}$。配置LP是一个线性规划松弛的限制性分配问题。Svensson证明了积分解和分数解之间的乘法间隙，即积分间隙，至多为$2 - 1/17 \approx 1.9412$。在本文中，我们显着简化他的证明，并获得了一个界的$2 - 1/6 \approx 1.8333$。作为一个直接的后果，这提供了一个多项式$(2 - 1/6 + ε)$估计算法的限制分配问题，通过近似的配置LP。已知完整性间隙的最佳下限是$1.5$，并且不存在具有比$1.5$更好的保证的估计算法，除非$\mathrm{P} = \mathrm{NP}$。
2017-01-13 cs.DS
Local search breaks 1.75 for Graph Balancing
图平衡是指对一个加权多重图的边进行定向，使其最大加权入度最小化的问题。由于引入的问题，已知的最好的算法实现了近似比$1.75$，它是基于舍入线性规划与这个确切的完整性差距。还已知不存在$(1.5 - ε)$ -近似算法，除非$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$。我们能做得比$1.75$更好吗？我们证明了一个不同的LP制定，配置LP，具有严格较小的完整性差距。图平衡是最后一组相关的问题，从文献中，它是开放的配置LP是否比以前更强，简单的LP松弛。我们的证明基础上的本地搜索方法，已成功地应用到更一般的限制性分配问题，这反过来又是一个突出的特殊情况下，不相关的机器上的最大完工时间最小化。与一些技术的新颖性，我们能够得到一个界的$1.749$的情况下，图平衡。目前还不清楚我们提出的局部搜索算法是否在多项式时间内终止，这意味着该界是非构造性的。然而，这是一个强有力的证据，一个更好的近似算法是可能的，使用配置LP，它允许最优估计在一个因子优于$1.75$。我们的技术的一个特别有趣的方面是我们在局部搜索中处理小边缘的方式。我们设法利用LP中的小边缘上执行的配置约束。这可能对其他问题也有意义，例如限制性分配。
2018-11-02 cs.DS
Solving the Correlation Cluster LP in Sublinear Time
本文提出一种在$\widetilde O(2^{\text{poly}(1/ε)} n)$时间内求解关联聚类cluster LP可行解的新方法，并在同等时间界限内实现舍入，从而实现快速的$(1.485+ε)$-近似算法。
2025-11-04 cs.DS
Simpler constant factor approximation algorithms for weighted flow time -- now for any $p$-norm
本文针对单机加权流时间问题提出了一个简单直接的 $(6+ε)$-近似算法，避免了以往方法中复杂的归约和动态规划，并进一步推广到任意 $p$-范数流时间最小化及常数台无关机器上的 QPTAS。
2023-08-11 cs.DS
