面向大规模并行相关性聚类的全范数同时近似

大型矩阵谱和的Chebyshev逼近

Approximating the Spectral Sums of Large-scale Matrices using Chebyshev Approximations

矩阵函数的迹的计算在许多科学计算应用中起着重要作用，包括在机器学习、计算物理（例如，晶格量子色动力学），网络分析和计算生物学（例如，蛋白质折叠），仅举几个应用领域。提出了一种线性时间的随机算法，用于逼近大型对称矩阵的矩阵函数的迹。我们的算法是基于耦合函数近似使用Chebyshev插值与随机跟踪估计（哈钦森的方法），因此只需要隐式访问矩阵，在一个函数的形式，映射一个向量的矩阵和向量的产品。我们提供严格的近似误差的输入矩阵的极值特征值，和伯恩斯坦椭圆，对应于手头的功能。基于我们的一般计划，我们提供了算法与重要的矩阵计算，包括对数行列式，矩阵逆的迹，埃斯特拉达指数，Schatten p-范数，和测试正定性可证明的保证。我们实验评估我们的算法，并证明其有效性上千万维矩阵。

2017-03-09cs.DS

基于简化的文本-模式距离近似算法

Approximating Text-to-Pattern Distance via Dimensionality Reduction

文本到模式的距离是字符串匹配中的一个基本问题，给定一个长度为$m$的模式和一个长度为$n$的文本，在一个整数字母表上，我们被要求计算模式和文本之间的距离。距离函数可以是例如针对某个参数$p > 0$的汉明距离或$\ell_p$距离。在过去的$\sim 40$年中，几乎所有最先进的精确和近似算法都使用FFT作为黑盒。在这项工作中，我们提出了$\widetilde{O}(n/\varepsilon^2)$时间算法的$(1\pm\varepsilon)$ -近似的$\ell_2$距离，和$\widetilde{O}(n/\varepsilon^3)$算法近似的汉明和$\ell_1$距离，所有不使用FFT。这与Chan等人最近的发展无关。[STOC 2020]，其中提出了不使用FFT的汉明距离的$O(n/\varepsilon^2)$算法-尽管他们的算法更具“组合性”，但我们的技术适用于汉明以外的其他范数。

2020-05-01cs.DS

逼近矩阵p-模

Approximating Matrix p-norms

我们考虑计算矩阵A的q->p范数的问题，它定义为p，q \ge 1，|A| _{q->p} = max_{x !=0 } |Ax| _p / |x| _q.这通常是一个非凸优化问题，并且是计算奇异值（对应于p=q=2）的充分研究问题的自然推广。不同的参数设置会引起各种已知的有趣的问题（例如当p=1和q= \infty时的Grothendieck问题）。然而，很少有人了解问题的可逼近性为不同的p，q值。我们的第一个结果是一个有效的算法计算q->p范数的矩阵与非负元素，当q \ge p \ge 1。我们分析的算法是基于一个自然的不动点迭代，这可以看作是一个模拟的幂迭代计算特征值。然后，我们提出了一个应用程序，我们的技术的问题，构建一个计划的不经意路由的L_P规范。这使得建设性的一个最近存在的结果Englert和Räcke [ER] O（log n）-竞争遗忘路由计划（他们使建设性的只有p=2）。另一方面，当我们没有任何限制的条目（如非负性），我们证明了问题是NP-困难的近似任何常数因子，2 < p \le q，和p \le q < 2（这些正是p，q的范围与p \le q，其中常数因子近似是未知的）。在这个范围内，我们的技术还表明，如果NP没有准多项式时间算法，对于任何\eps >0，q->p不能近似为因子2^{（log n）^{1-eps}}。

2010-05-02cs.CCcs.DS

滑动窗口上的对称模估计与回归

Symmetric Norm Estimation and Regression on Sliding Windows

滑动窗口模型概括了标准流模型，并且通常在最近的数据比在某个时间之前到达的数据更重要或更准确的应用中表现得更好。我们研究了滑动窗口模型中近似对称范数（$\mathbb{R}^n$上的范数，在符号翻转和坐标置换下是不变的）的问题，其中只有$W$最近的更新定义了潜在的频率向量。滑动窗口的标准范数估计算法依赖于Braverman和Ostrovsky（FOCS 2007）的平滑直方图框架，而分析一般对称范数的平滑性似乎是一个具有挑战性的障碍。相反，我们观察到，对称规范流算法的布雷弗曼等。（STOC 2017）可以简化为识别和近似许多子流中重量级人物的频率。我们引入了一个重量级的算法，给出了一个$(1+ε)$ -近似的滑动窗口模型中的每个报告的频率，从而获得第一个算法的一般对称模估计的滑动窗口模型。我们的算法是一个通用的草图，同时近似所有的对称规范在一个参数化类，也提高了平滑直方图框架估计$L_p$规范，大$p$的范围。最后，我们考虑了损失函数是Orlicz范数的情况下的过约束线性回归问题，Orlicz范数是一种对称范数，可以解释为$M$ -估计的尺度不变版本。我们给出了第一个次线性空间算法，产生$(1+ε)$近似解的线性回归问题的损失函数是Orlicz规范的流和滑动窗口模型。

2021-09-03cs.DS

逼近MAX-CUT的最优空间下界

An Optimal Space Lower Bound for Approximating MAX-CUT

我们考虑的问题，估计值的最大切割图中的流模型的计算。在一个极端情况下，对于该问题存在仅使用$O(\log n)$空间的平凡$2$近似，即，对边缘的数量进行计数并输出该值的一半作为MAX-CUT的大小的估计。在另一个极端，对于任何固定的$ε> 0$，如果允许$\tilde{O}(n)$空间，则可以通过存储基本上保留MAX-CUT值的$\tilde{O}(n)$大小的稀疏化器来获得MAX-CUT值的$(1+ε)$近似解。我们的主要结果是，任何（随机）单通流算法，打破$2$近似障碍需要$Ω(n)$ -空间，从而解决了空间复杂度的任何非平凡的近似的MAX-CUT值内的单通流模型的多对数因子。我们实现的结果，提出了一个紧密的分析隐式隐藏分区问题引入Kapralov等人。[SODA[17]对于任意数量的玩家。在这个问题中，许多参与者接收$Ω(n)$大小的随机匹配以及边缘上的随机位，并且他们的任务是确定这些位是否对应于某个隐藏的二分区的奇偶校验，或者仅仅是均匀随机的。与所有以前的傅立叶分析通信下界不同，我们的分析不直接使用在任何给定的权重水平下的典型消息的傅立叶系数的$\ell_2$范数上的界，该界遵循超压缩性。相反，我们使用的事实，即球员收到的图是稀疏的（匹配），以获得强上界的$\ell_1$规范的傅立叶系数的消息的个别球员，然后认为，使用卷积定理，类似的强界的$\ell_1$规范基本上保留一…

2018-11-27cs.DS

关于非负L1逼近多项式的一个注记

A Note on Non-Negative $L_1$-Approximating Polynomials

Yale University（耶鲁大学）；Stanford University（斯坦福大学）

研究了在高斯分布下非负L1逼近多项式的存在性，证明了有限高斯表面面积的集合可通过特定次数的非负多项式实现L1逼近，结果与当前最佳的高斯L1逼近次数界相符。

2026-05-08cs.DScs.LGmath.ST

具有最少Steiner点的{0，1，2}-生存网络的逼近

Approximating {0,1,2}-Survivable Networks with Minimum Number of Steiner Points

我们考虑具有最小Steiner点数的可生存网络（SN-MSP）问题的低连接性变体：给定度量空间（M，d）中终端的有限集合$R$、“不稳定”终端的子集$B \subseteq R$以及连接性要求{ r_{uv}：u，v \in R}，找到附加点的最小大小集合$S \subseteq M$，使得$R \cup S$的单位圆盘图包含成对内部边不相交的$r_{uv}$和$(B \cup S)$，disjoint PDMATHBMU-所有PDMATHBMV的路径。当针对所有$u,v \in R$的$r_{uv}=1$是{具有最小数目的斯坦纳点的\sf斯坦纳树}（ST-MSP）问题时的情况，并且$r_{uv} \in \{0,1\}$是{具有最小数目的斯坦纳点的\sf斯坦纳森林}（SF-MSP）问题。令$Δ$为单位球中任意两个点之间的距离大于1的最大点数。已知$\mathbb{R}^2$中的$Δ=5$。先前已知的{ \sf ST-MSP}的近似比在任意赋范空间\cite{NY}中是$\lfloor (Δ+1)/2 \rfloor+1+ε$，在欧几里得空间$\mathbb{R}^2$中是$2.5+ε$ \cite{cheng2008relay}。我们的近似比ST-MSP是$1+\ln(Δ-1)+ε$在任意赋范空间，在$\mathbb{R}^2$减少到$1+\ln 4+ε< 2.3863 +ε$。…

2013-04-29cs.DS

通过图归一化近似最大边2-着色

Approximating Maximum Edge 2-Coloring by Normalizing Graphs

本文研究最大边2-着色问题（ME2C），针对具有完美匹配、无爪图及次三次图等特殊图类，分别给出了1.625和1.5近似比的多项式时间算法，突破了此前1.5的UG困难界限。

2025-03-05cs.DMcs.DS

利用广义Krivine舍入逼近算子范数

Approximating Operator Norms via Generalized Krivine Rounding

我们考虑$(\ell_p,\ell_r)$问题，它寻求最大化双线性形式$y^T A x$的输入矩阵$A$在向量$x,y$与$\|x\|_p=\|y\|_r=1$ .这个问题等价于计算$A$的$p \to r^*$算子范数。$p=r=\infty$的情况下对应于经典的格罗滕迪克问题。我们的主要结果是一个算法的任意$p,r \ge 2$的逼近比$(1+ε_0)/(\sinh^{-1}(1)\cdot γ_{p^*} \,γ_{r^*})$的一些固定的$ε_0 \le 0.00863$。与Krivine的$(π/2)/\sinh^{-1}(1)$的原始Grothendieck问题的近似比相比，我们的保证是从$(γ_{p^*} γ_{r^*})^{-1}$的最佳已知的硬度因子的问题的一个类似Krivine的缺陷。我们的近似如下由边界的自然向量松弛的问题，这是凸时$p,r \ge 2$的值。我们给出了随机超平面舍入的推广，并将此舍入的性能与某些超几何函数相关联，这些超几何函数规定了在舍入之前对向量解进行必要的变换。不像Krivine的四舍五入的相关超几何函数$\arcsin$，我们必须研究一个家庭的超几何函数。然后，我们的大部分技术工作涉及复分析方法，以获得有关这些超几何函数的逆的泰勒级数系数的详细信息，然后决定我们的近似因子。我们的结果还意味着改进的边界“因子分解通过$\ell_{2}^{…

2019-11-06cs.DSmath.FA

用小宽度椭球逼近遗传离散

Approximating Hereditary Discrepancy via Small Width Ellipsoids

一个超图的离散度是其顶点的两种着色上，任何超边的最大绝对不平衡度的可达到的最小值。超图的遗传离散度是超图复杂性的一个度量，它定义为超图对顶点子集的约束的最大离散度。Lovasz，Spencer和Vesztergombi（1986）将这个量自然地扩展到矩阵与线性规划的舍入算法联系起来，并给出了一个基于行列式的遗传差异下界。Matousek（2011）表明，这个界限紧到一个多对数因子，留下了实际计算这个界限的问题。Nikolov，Talwar和Zhang（2013）最近的工作显示了多项式时间$\tilde{O}(\log^3 n)$ -近似遗传差异，作为他们差分隐私工作的副产品。本文给出了该问题的一个直接简单的$O(\log^{3/2} n)$ -近似算法。我们表明，到这个近似因子，遗传差异的矩阵$A$的特点是简单的几何凸规划，旨在最大限度地减少最大$\ell_{\infty}$规范的任何一点在椭圆包含列的$A$的最优值。这一特征有望成为差异理论的一个有用工具。

2014-07-23cs.DS

用Carathéodory定理的近似形式逼近Nash平衡和稠密子图

Approximating Nash Equilibria and Dense Subgraphs via an Approximate Version of Carathéodory's Theorem

我们提出的算法应用的近似版本的Carathéodory定理。该定理指出，给定$\mathbb{R}^d$中的一组向量$X$，对于$X$的凸包中的每个向量，存在一个$\varepsilon$ -闭（对于$2\leq p < \infty$，在$p$ -范数距离下）向量，该向量可以表示为$X$的至多$b$向量的凸组合，其中，约束$b$取决于$\varepsilon$和范数$p$，并且与维度$d$无关。这个定理可以通过实例化Maurey引理来推导，早期的参考文献可以在Pisier（1981）和Carl（1985）的工作中找到。然而，在本文中，我们提出了一个独立的证明这一结果。利用这个定理，我们建立了在一个具有$ n \times n$支付矩阵$A, B$的双矩阵博弈中，如果$A+B$的任何一列中的非零元素的个数至多为$s$，那么这个博弈的$\varepsilon$ -纳什均衡可以在时间上计算出$n^{O\left(\frac{\log s }{\varepsilon^2}\right)}$ .这，特别是，给我们一个多项式时间近似计划纳什均衡在游戏中固定列稀疏$s$。此外，对于任意双矩阵游戏-因为$s$最多可以是$n$ -我们算法的运行时间与Lipton，Markakis和Mehta（2003）获得的最著名的上限相匹配。近似Carathéodory定理也导致了一个加性近似算法的规范化den…

2015-04-12cs.DScs.GT

图的谱逼近

Approximating the Spectrum of a Graph

具有邻接矩阵$A$的网络或图$G=(V,E)$的谱由归一化拉普拉斯算子$L= I - D^{-1/2} A D^{-1/2}$的特征值组成。这组特征值封装了图的结构的许多方面，包括图在多个尺度上支持社区结构的程度。我们研究的问题，近似的频谱$λ= (λ_1,\dots,λ_{|V|})$，$0 \le λ_1,\le \dots, \le λ_{|V|}\le 2$的$G$在政权的图形太大，明确计算的频谱。我们提出了一个次线性时间算法，给定查询图中的随机节点和选择给定节点的随机邻居的能力，计算近似$\widetilde λ= (\widetilde λ_1,\dots,\widetilde λ_{|V|})$，$0 \le \widetilde λ_1,\le \dots, \le \widetilde λ_{|V|}\le 2$的简洁表示，使得$\|\widetilde λ- λ\|_1 \le ε|V|$。我们的算法具有查询复杂度和运行时间$exp(O(1/ε))$，独立于图的大小，$|V|$。我们证明了我们的算法在斯坦福大学大型网络数据集的15个不同的现实世界的图形，包括社交网络，学术合作图和道路网络的实际可行性。对于这些图中最小的图，我们能够通过显式计算真实光谱来验证算法的准确性;对于较大的图，这样的计算在计算上是禁止的。此外，我们研究了我们的算法的影响，在有界度图模型的属…

2017-12-05cs.DS

利用近似低维空间的嵌入逼近低秩图的稀疏割

Approximating Sparsest Cut in Low Rank Graphs via Embeddings from Approximately Low-Dimensional Spaces

研究了满足$\ell_2^2$三角不等式的有限点集$\{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{R}^d$在近似低维的情况下嵌入到$\ell_1$中的问题. Goemans（未发表，出现在[Magen和Moharammi，2008]的工作中）表明，驻留在\emph{exactly} $d$维中的这些点可以嵌入到$\ell_1$中，最多失真$\sqrt{d}$。我们证明了下面的强大的类似的这一说法：如果存在一个$r$维子空间$Π$，使到这个子空间上的投影满足$\sum_{i,j \in [n]}\Vert Πx_i - Πx_j \Vert _2^2 \geq Ω(1) \sum_{i,j \in [n]}\Vert x_i - x_j \Vert _2^2$，然后有一个嵌入的点到$\ell_1$与$O(\sqrt{r})$平均失真。这个结果的一个后果是，著名的Goemans-Linial SDP松弛的均匀稀疏割问题的完整性差距是$O(\sqrt{r})$上的图$G$，其$r$的拉普拉斯算子的最小归一化本征值满足$λ_r(G)/n \geq Ω(1)Φ_{SDP} (G)$。我们的结果改进了先前已知的$O(r)$对平均失真的界，以及在相同前提下Goemans-Linial SDP的完整性间隙，在[Deshpande和Venkat，2014]和[Deshpande…

2017-06-21cs.DS

多维欧氏空间中机器学习数据集直径近似的贪心算法

Greedy Algorithms for Approximating the Diameter of Machine Learning Datasets in Multidimensional Euclidean Space

Mutah University（穆塔大学）

在多维欧氏空间中找到数据集的直径是一个公认的问题，具有众所周知的算法。然而，文献中的大多数算法不能很好地适应大的数据维数，因此在大多数情况下时间复杂度呈指数增长，这使得这些算法不实用。因此，我们实现了4种简单的贪心算法，用于近似多维数据集的直径;这些算法分别基于最小/最大l2范数、爬山搜索、禁忌搜索和束搜索方法。所实现的算法的时间复杂度接近线性，因为它们随着数据大小及其维度而接近线性地扩展。实验的结果（在不同的机器学习数据集上进行）证明了所实现的算法的效率，并且因此可以被推荐用于在需要时找到要由不同的机器学习应用使用的直径。

2018-08-10cs.DScs.LGstat.ML

近似具有任意成本的组合合约

Approximating Combinatorial Contracts with Arbitrary Costs

City University of Hong Kong（香港城市大学）；Peking University（北京大学）；Chinese Academy of Sciences（中国科学院）

本文针对线性支付下的单智能体组合合约，提出一种与成本无关的确定性近似算法，通过收益侧尺度证书和几何搜索，以 $O(n\log(n+1)/\varepsilon)$ 次供给查询实现 $(1-\varepsilon)$ 近似，去除了对成本函数的结构假设。

2026-09-30cs.DScs.GT

凸优化层级在离散与连续优化问题中的若干应用与局限性

Some Applications and Limitations of Convex Optimization Hierarchies for Discrete and Continuous Optimization Problems

本论文研究凸松弛层级在离散与连续优化中的能力边界，证明 CSP 的 LP 松弛二分性、多项式优化的 SoS 权衡以及矩阵范数逼近的 NP 困难性与算法结果，并揭示几何方法在其中的核心作用。

2025-08-29cs.CCcs.DS

用Nyström方法逼近Hamilton动力学

Approximating Hamiltonian dynamics with the Nyström method

INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；University College London（伦敦大学学院）；Rahko Ltd.（拉赫科有限公司）；University of Texas at Austin（得克萨斯大学奥斯汀分校）；University of Oxford（牛津大学）；IIT（意大利理工学院）

模拟量子力学系统的时间演化是BQP困难的，预计将成为量子计算机最重要的应用之一。我们认为经典算法的近似哈密顿动力学使用随机数值线性代数的子采样方法。我们推导出一种模拟技术，其运行时间在量子位数和Frobenius范数的哈密尔顿多项式尺度。作为一个直接的应用程序，我们表明，基于样本的量子模拟，一种类型的演化，其中的哈密顿量是一个密度矩阵，可以有效地在特定的结构条件下进行经典模拟。我们的主要技术贡献是一个随机算法近似厄米矩阵指数。该证明利用了通过Nyström方法的低秩对称近似。我们的结果表明，在强采样假设下，存在经典的多对数时间模拟的量子计算。

2020-02-17cs.DScs.LGquant-ph

测度变换方法、块Lewis权重与矩阵块范数近似

The Change-of-Measure Method, Block Lewis Weights, and Approximating Matrix Block Norms

本文推广了测度变换方法并利用块Lewis权重，证明了存在可高效计算的稀疏权重向量来近似矩阵块范数，改进了最小化欧几里得范数和问题的线性系统求解迭代复杂度。

2024-09-26cs.DSmath.FAmath.PR