The saddle-node-transcritical bifurcation in a population model with constant rate harvesting
研究了一类具有代表收获或迁移的常数项的Lotka-Volterra模型中鞍结分岔和跨临界分岔的相互作用。由于模型的某些平衡点位于一个不变的坐标轴上，因此鞍结分岔和跨临界分岔都是余维1分岔。它们的相互作用可以与单零或双零本征值相关联。我们表明，在前一种情况下，局部分歧图是由一个非线性展开的尖点分歧，而在后一种情况下，它是一个非线性展开的退化Bogdanov-Takens分歧。我们提出了一个简单的模型，这两种情况下，以说明可能的展开。我们分析的后果，通用的Lotka-Volterra系统的相图。
2010-02-22 math.CA math.DS
Asymptotic expansion of the Dulac map and time for unfoldings of hyperbolic saddles: Coefficient properties
我们考虑具有双曲鞍的平面向量场的$\mathscr C^\infty$族$\{X_{\hatμ}\}_{\hatμ\in\hat W}$，并且我们研究了从稳定分界线的横截面到不稳定分界线的横截面的Dulac映射$D(s;\hatμ)$和Dulac时间$T(s;\hatμ)$，两者都在距鞍的任意距离处.由于双曲比$λ$的鞍起着重要的作用，我们认为它作为一个独立的参数，使$\hatμ=(λ,μ)\in \hat W=(0,+\infty)\times W$，其中$W$是一个开放的子集$\mathbb R^N.$对于每个$\hatμ_0\in\hat W$和$L>0$，功能$D(s;\hatμ)$和$T(s;\hatμ)$有一个渐近展开在$s=0$和$\hatμ\approx\hatμ_0$其余的是一致的$L$ -平坦的参数。这两个渐近展开的主要部分是在一个单项规模包含变形的对数，所谓的Ecalle-Escherisarie补偿。在本文中，我们感兴趣的是这些单项式的系数，这些单项式是依赖于$\hatμ$的函数，这些函数可以在它们各自的域中被证明是$\mathscr C^\infty$并且“通用”定义，这意味着它们的存在性在固定平坦性$L$和展开参数$\hatμ_0.$之前被建立。每个系数都有自己的域并且它的形式是$((0,+\infty)\setminus D)\times W$，其中~…
2021-05-20 math.DS
New Numerical Invariants of an Unfolding of a Polycycle "Tears of the Heart"
HSE University（高等经济大学）；Brook Institute of Electronic Control Machines（布鲁克电子控制机器研究所）
本文提出了一种新的拓扑不变量，用于分类受扰动和未受扰动的算术级数，并利用改进的渐进行为研究平面内结构不稳定向量场的不变量。
2026-02-22 math.CA math.DS
Unfolding homoclinic connections formed by corner intersections in piecewise-smooth maps
分段光滑映射的不变集的稳定流形和非稳定流形都是分段光滑的。因此，当分段光滑映射的参数变化时，当不变集的稳定流形与其非稳定流形的不可微点相交时，不变集可以形成同宿联络（反之亦然）。这是一个余维一分叉，类似于光滑映射的同宿切线，这里称为同宿角。本文给出了平面分段光滑连续映射鞍不动点的通有同宿角点的开折。结果表明，边界碰撞分岔序列仅限于一个同宿角，附近的所有周期解都是不稳定的。
2016-03-16 math.DS
Modulus of analytic classification for unfoldings of resonant diffeomorphisms
我们提供了一个完整的系统解析不变量的非线性共振复解析同胚的展开以及它的几何解释。为了实现这一目标，我们开发了Fatou坐标的扩展，其在不动点附近具有受控的渐进行为。经典的结构是基于找到的动态的展开是拓扑稳定的区域。我们引入了一个概念的无穷小稳定导致Fatou坐标更忠实地反映了分析性质的展开。这些改进使我们能够控制共轭映射的定义域及其幂级数展开。
2006-08-22 math.DS
Generic unfolding of an antiholomorphic parabolic point of codimension $k$
本文对余维为~ $k$（即~）的抛物点的反全纯单同态芽的通有开折进行了分类多重不动点$k+1$）。这样的通用展开依赖于$k$实参数的实解析。解折叠的制备允许鉴定真正的分析\emph{canonical parameters}，其通过两个制备的通用解折叠之间的任何共轭性来保留。定义了一个解析分类模，它是赋给反全纯抛物点的模的一个开折。由于这类芽的第二阶模是全纯抛物点的实开折，因此模是反全纯抛物芽的第二阶模的Écalle-Voronin模的开折的特殊形式。我们还解决了全纯抛物芽的通有解析开折的芽的反全纯平方根的存在性问题。
2023-01-27 math.DS
Unfolding globally resonant homoclinic tangencies
整体共振是一种机制，通过这种机制，光滑映射的同宿切线可以有无穷多个渐近稳定的单轮周期解。为了理解分岔结构，人们会期望看到这样的切线附近，在本文中，我们研究了典型的全球共振同宿切线的单参数扰动。我们假设切线由二维映射鞍不动点的稳定流形和非稳定流形构成。我们证明了扰动显示两个无穷序列的分歧，一个鞍结，另一个倍周期，在这之间的单轮周期解是渐近稳定的。一般来说，这些缩放像$|λ|^{2 k}$，如$k \to \infty$，其中$-1 < λ< 1$是与不动点相关的稳定特征值。如果微扰与余维1同宿相切的曲面相切，则它们的标度类似于$\frac{|λ|^k}{k}$。我们还表明，慢标度律是可能的，如果微扰承认进一步简并。
2021-08-17 math.DS nlin.CD
Characterization of the generic unfolding of a weak focus
本文给出了一般实解析族对原点具有弱焦点的实解析向量场展开的叶理的几何描述，并证明了两个这类族是轨道解析等价的当且仅当对奇点的复化Poincaré映射展开的复同态族是共轭的.此外，通过沿着一个方便的复横截面的纤维变换，在爆破（拟共形手术）中移动形式正规形的叶子，可以构造一个复维为2的抽象流形，该流形配备有一个椭圆全纯叶理，其单值映射与一个给定的可容许的复同态族相一致。
2010-09-15 math.DS
Breakdown of a 2D heteroclinic connection in the Hopf-zero singularity (II). The generic case
本文证明了在Hopf-零奇性的开折中，对应于两个鞍焦点的二维稳定和非稳定流形的破裂。该方法包括在此流形之间的差异，变成指数小的展开参数获得一个渐近公式。得到的公式是显式的，但依赖于所谓的Stokes常数，Stokes常数是在研究原始向量场时产生的，对应于奇异扰动理论中的所谓内方程。
2016-08-03 math.DS
Analytic normal forms for convergent saddle-node vector fields
给出了复平面上具有收敛形式分界线的鞍结点型孤立奇点邻域内全纯向量场芽的唯一解析“规范形”。我们专门解决了显式计算范式的问题。
2013-07-26 math.DS
Analytic Classification of Generic Unfoldings of Antiholomorphic Parabolic Fixed Points of Codimension 1
本文对具有余维为1的抛物点（即双不动点）的反全纯单同态芽的通有开折进行了分类。这些通用展开依赖于一个实参数。分类是通过分配给每个这样的芽一个弱模和一个强模来完成的，它们是分配给反全纯抛物点的模的展开。弱模和强模是芽的第二阶的Écalle-Voronin模的开折，芽的第二阶是全纯抛物点的实开折。展开的准备允许确定一个真正的解析正则参数，并且两个准备好的通用展开之间的任何共轭保持正则参数。我们还解决了实现问题，给出了充要条件，充分条件强模实现。这是与解决全纯抛物芽的通有解析开折的芽的反全纯平方根的存在性问题同时进行的。作为第二个应用，我们建立了实解析不变曲线存在的条件。
2021-05-21 math.CV math.DS
Breakdown of heteroclinic connections in the analytic Hopf-Zero singularity: Rigorous computation of the Stokes constant
考虑三维保守Hopf零奇点的解析通有开折。在决定奇异性的参数的开放条件下，当开折参数足够小时，开折具有两个鞍焦点。其中一个是一维稳定流形和二维非稳定流形，另一个是一维非稳定流形和二维稳定流形. Baldomá，Castejón和Seara [BCS 13]给出了一维不变流形在适当横截面上的距离的一个渐近公式.这个距离相对于微扰参数是指数小的，并且它取决于通常所谓的斯托克斯常数。这个常数的非零性意味着在截面处的不变流形之间的距离不为零。然而，到目前为止，还没有分析技术来检查该条件。在本文中，我们提供了一种方法来获得精确的严格的计算机辅助边界的斯托克斯常数。我们将其应用到两个具体的展开的霍普夫零奇点，获得计算机辅助证明，常数是非零的。
2022-06-28 math.DS
Analytic normal forms for planar resonant saddle vector fields
本文给出了复平面上全纯向量场芽在p：q共振鞍孤立奇点邻域内的基本唯一的“正规形”。因此，每一个这种类型的向量场是共轭的，通过一个芽的双全纯映射在奇点，一个优选元素的一个明确的家庭的向量场。这些模型的向量场是谐振单项式的多项式。这项工作是一个类似的结果的后续抛物型同胚是切线的身份，并解决了长期存在的问题，找到明确的局部解析模型的共振鞍向量场。
2022-12-08 math.DS
Hopf-Zero singularities truly unfold chaos
我们提供的条件，以保证发生Shilnikov分歧的分析展开的一些霍普夫零奇点通过一个超越所有秩序的现象：指数小故障的不变流形，符合在任何顺序的正规形程序。这些条件是可计算的，并由一般奇点和一般开折满足。在$\mathcal{C}^r$情形中Shilnikov分叉的存在性已经由Guckenheimer在$80$的文章中论证过了。大约在同一时间，Broer和Vegter在1984年证明了Shilnikov现象的拓扑、持久性和稠密性。然而，由于证明涉及使用平坦扰动，这种方法在分析背景下是无效的。更重要的是，没有提到的方法提供一个可计算的标准来决定是否一个给定的展开展品Shilnikov分叉或没有。这项工作结束了整个讨论表明，在通用和可检查的假设下，任何分析展开的适当类内的一个霍普夫零奇点包含Shilnikov同宿轨道，并作为一个结果混沌动力学。
2019-03-21 math.DS
Analytic classification of families of linear differential systems unfolding a resonant irregular singularity
本文给出了复线性微分方程组参数族芽的解析等价性的一个完整分类，该方程组在$n = 2$维上展开一个Poincare秩为1且导矩阵为Jordan块的广义共振奇点.用形式不变量的元组和由单值迹得到的单个解析不变量来描述解析等价类的模空间，并给出解析范式。我们还解释了两个简单的奇点和一个转折点的汇合，相关的斯托克斯几何的基本现象，以及依赖于一个复杂的参数的形式解的Borel求和顺序的变化。
2020-01-23 math.CA math.DS
Moduli space for generic unfolded differential linear systems
本文在解析等价的条件下，给出了原点具有Poincaré秩$k$的非共振线性微分系统的一般开折芽的模空间.在\cite{HLR}中确定了一个给定族的模：它包括一个依赖于参数的解析形式部分和一个由斯托克斯矩阵的展开给出的解析部分。这些展开给出的“Douady-Sentenac”（DS）域的参数空间中覆盖的一般值的参数对应的Fuchsian奇点。在这里，我们确切地确定哪些模量可以实现。解析部分的一个必要条件，称为相容性条件，是说对于DS域的交叉点上的模的不同表示，开折定义了相同的单值群（直到共轭）。加上相应的上圈在DS域的某些边界点处是平凡的和良好的极限行为，这个条件就变得充分了。特别是，我们表明，任何模可以实现由一个$k$参数家庭的有理线性微分方程系统在$\mathbb C\mathbb P^1$与$k+1$，$k+2$或$k+3$奇点（与多重性）。在不可约的通有条件下，恰好存在$k+2$奇点，它们是Fuchsian的，并且是单的.这反过来又意味着任何庞加莱秩$k$的不规则奇点的展开在分析上等价于形式为$y'=\frac{A(x)}{p_ε(x)}\cdot y$的有理系统，其中$A(x)$多项式的次数至多为$k$，而$p_ε(x)$是多项式$x^{k+1}$的一般展开。
2016-06-15 math.DS
Jacobson's Theorem near saddle-node bifurcations
讨论了具有负Schwarzian导数的单峰映射的单参数族的鞍结分支。以前的研究表明，当分岔点的Lebesgue密度为正时，映射具有吸引的高周期轨道。我们证明了在分支处也存在一个正密度的参数集，对于该参数集，映射表现出在最大可能区间上支持的绝对连续的不变测度。我们证明了这些措施弱收敛到一个原子措施支持的轨道上的鞍结点。使用这些措施，我们分析了间歇性的时间序列，导致从破坏的周期性吸引子的鞍结分岔和证明渐近公式的频率与轨道访问的区域以前所占据的周期性吸引子。
2001-05-29 math-ph math.DS math.MP
On the number of limit cycles which appear by perturbation of two-saddle cycles of planar vector fields
本文证明了平面解析向量场的解析有限参数族中的每一个异宿鞍环（一个双鞍环）在族中只能生成有限个极限环.
2012-12-12 math.DS
Multisummability of unfoldings of tangent to the identity diffeomorphisms
证明了1维局部复解析同态的有限余维切于单位元的开折的无穷小生成元的多和性。我们还证明了与这些展开相关的Ecalle-Voronin不变量的Fatou坐标和扩展的多和性。准解析性质与参数变量有关。作为应用，我们证明了解析共轭问题的一个孤立零点定理。该证明基于Fatou坐标的良好渐进性和引入新的辅助工具，即所谓的多横向流。它们提供了通常与可求和性相关的扇区的估计和组合。该方法是基于研究的无穷小稳定性的展开。
2010-09-17 math.CV math.DS
Doubly-resonant saddle-nodes in $(\mathbb{C}^{3},0)$ and the fixed singularity at infinity in the Painlevé equations (part III): local analytic classification
本文在[Bit 15]和[Bit 16 a]的基础上，考虑了原点为孤立双共振鞍结型奇点的$(\mathbb{C}^{3},0)$中的解析奇异向量场.这样的向量场来自具有两个相反的非零特征值的不规则二维微分系统，并且例如在研究Painlev{é}方程（Pj），j=I. V表示参数的通用值。在适当的假设下，我们提供了一个分析分类下的纤维的同态的作用下，通过比较连续的扇形正规化映射{à} la Martinet-Ramis / Stolovitch的Stokes同态的研究的基础上。在[Bit 16 a]的主要定理中得到了扇形域上的这些正规化映射，它类似于Hukuhara-Kimura-Matuda关于$\mathbb{C}^{3}$中鞍节点的经典定理.我们还证明了这些映射实际上是形式正规化映射的Gevrey-1和，形式正规化映射的存在性已在[Bit 15]中得到证明。
2016-11-18 math.DS
Doubly-resonant saddle-nodes in (C^3,0) and the fixed singularity at infinity in Painlev{é} equations: analytic classification
本文考虑了（C^3，0）中解析奇异向量elds的芽，其原点具有孤立的双共振鞍结型奇异性.这样的矢量elds来自具有两个相反的非零特征值的不规则二维双曲系统，并且例如在研究Painlev{é}方程（Pj）j=I，. V表示参数的通用值。在适当的假设下，我们证明了扇形域上的解析正规化定理，类似于Hukuhara-Kimura-Matuda关于（C^2，0）中鞍节点的经典定理。我们还证明了这些映射实际上是形式正规化映射的Gevrey-1和，形式正规化映射的存在性已在以前的文章中得到证明。最后，我们提供了一个分析分类的作用下的bered dieomorphisms，研究的基础上得到的所谓的Stokes dieomorphisms通过比较连续的扇形归一化映射{à} la Martinet-Ramis / Stolovitch 1-共振向量场。
2017-09-28 math.DS
On the number of limit cycles which appear by perturbation of Hamiltonian two-saddle cycles of planar vector fields
我们找到了解析向量场的哈密顿双鞍环在解析变形下分叉的最大极限环个数的上界。
2009-09-29 math.DS
Automated computation of robust normal forms of planar analytic vector fields
我们构造了一个自动验证算法，计算一个接近身份的变量变量变换，使一般的鞍点到一个正常的形式。该变换在基础向量场中是鲁棒的，并且在鞍点的可计算邻域上是解析的。规范形式适用于计算鞍点附近的流动，以及轨迹通过鞍点所需的时间。几个例子说明了这种方法的有效性。
2008-10-29 math.DS
On the flat remainder in normal forms of families of analytic planar saddles
本文给出了一类平面鞍形或向量场的解析正规形约化后的（X）平坦余项的显式表达式。我们区分一个合理的或不合理的比例之间的模的特征值在鞍为一定值的参数。
2008-02-26 math.CA math.DS
Doubly-resonant saddle-nodes in $(\mathbb{C}^{3},0)$ and the fixed singularity at infinity in the Painlevé equations (part II): sectorial normalization
在本文中，继[Bit 15]，我们考虑解析奇异向量场在$(\mathbb{C}^{3},0)$与孤立和双共振的鞍结型奇点在原点。这样的向量场来自具有两个相反的非零特征值的不规则二维微分系统，并且例如在研究Painlev{é}方程（Pj），j=I. V表示参数的通用值。在适当的假设下，我们证明了扇形域上的一个解析正规化定理，类似于Hukuhara-Kimura-Matuda [HKM 61]关于$(\mathbb{C}^{2},0)$中鞍点的经典定理.我们还证明了正规化映射本质上是唯一的和弱Gevrey-1可和的。
2016-11-18 math.DS
The moduli space of germs of generic families of analytic diffeomorphisms unfolding a parabolic fixed point
本文描述了开闭余维为1的抛物型不动点的解析同态的一般族的芽的模空间。在[MRR]（以及[R]）中，证明了Ecalle-Voronin模可以展开以给出此类芽的完整模。模定义在正则扰动参数$\eps$的分歧扇区上。与Ecalle-Voronin模数的情况一样，模数被定义为仅取决于$\eps$的线性比例。在这里，我们的模空间的特点，这样的展开找到的相容性条件的模是必要的和充分的实现作为一个展开的模。通过考虑$\eps$ -空间中的扇形重叠区域，得到了相容性条件。这是在Glutsyuk部门的两个不动点是双曲和连接的轨道的同胚。在这个区域中，我们有两个代表性的模量，描述相同的动力学。我们确定这两个代表之间的必要的兼容性条件，通过比较他们都与他们共同的Glutsyuk模量。相容性条件意味着存在一个线性标度，其模在$\eps$中是1/2可和的，其不可和方向与实乘子在不动点的方向一致。相反，我们表明，相容性条件（这意味着求和性质）是足够的实现模来自一个解析展开，从而给出了一个完整的描述空间的模。
2008-09-12 math.CV math.DS
Topological rigidity of unfoldings of resonant diffeomorphisms
通过对未扰动参数的限制，证明了1-变元复解析共振同胚的两个通有1-参数开折的拓扑同胚是全纯的或反全纯的。我们提供的例子表明，泛型假设是必要的。此外，我们刻画了一般情况下未扰动参数的共轭性的可能行为。特别是，它们总是在原点之外的真正的分析。我们描述的结构的极限的轨道时，我们接近未扰动参数。刚性结果的证明是基于研究拓扑共轭对轨道极限的作用。
2012-10-08 math.CV math.DS
On the universal unfolding of vector fields in one variable: A proof of Kostov's theorem
本文给出了复解析$1$维向量场抛物点的抛物变形的Kostov定理的变形.首先，我们提供了一个自包含的证明Kostov定理，连同证明，这一变形确实是普遍的。然后，我们推广到真正的分析和正式的情况下，我们显示的普遍性，并在$C^\infty$的情况下，我们表明，只有多样性是可能的。
2020-02-19 math.CA math.DS
Initiation to mould calculus through the example of saddle-node singularities
本文提出了一个启动Écalle的模具演算，一个强大的组合工具，产生令人惊讶的明确公式的规范化系列附加到一个分析胚芽奇异向量场。这是说明的情况下，鞍结奇点，所产生的二维向量场是正式共轭欧拉的向量场$x^2\frac{\pa}{\pa x}+(x+y)\frac{\pa}{\pa y}$，并为正式规范化证明是复苏的$1/x$。
2008-01-12 math.DS
Mould expansions for the saddle-node and resurgence monomials
这篇文章是一个介绍的某些方面Écalle的模具演算，一个强大的组合工具，产生令人惊讶的明确公式的规范化系列附加到一个分析胚芽的奇异向量场或地图。这是说明的情况下的鞍节点，一个二维向量场，这是正式共轭欧拉的向量场$x^2\frac{\pa}{\pa x}+(x+y)\frac{\pa}{\pa y}$，并为正式的规范化显示复苏$1/x$。作为模演算的另一个应用，本文还描述了适用于异形演算的复苏单项式。
2007-12-14 math.DS
Topological rigidity for holomorphic foliations
研究复射影平面$\mathbb{C}P(2)$上全纯叶理的解析变形与开折。设$\{\mathcal{F}_t\}_{t \in \mathbb{D}_ε}$是$\mathbb{C}^2$上叶理$\mathcal{F}_0$的拓扑平凡（在$\mathbb{C}^2$中）解析变形.我们发现，在一些动力学的$\mathcal{F}_0$的限制下，我们有两种可能性：$\mathcal{F}_0$是达布（对数）叶状，或$\{\mathcal{F}_t\}_{t \in \mathbb{D}_ε}$是一个展开。我们以这种方式获得的分析分类之间的联系的展开和它的一个芽在奇点上的无穷线。证明了$\mathrm{Diff}(\mathbb{C}^n,0)$的多项式增长子群是可解的.
2007-09-13 math.CV math.DS
Analytic and algebraic conditions for bifurcations of homoclinic orbits I: Saddle equilibria
研究了一类四维系统的同宿轨到双曲鞍点平衡点的分支，这些系统可以是Hamilton系统，也可以是非Hamilton系统。在哈密顿系统中，只需要一个参数就足以处理这些类型的分叉，而在一般系统中需要两个参数。我们应用一个版本的Melnikov的方法，由于Gruendler获得鞍结和干草叉类型的同宿轨道的分歧结果。进一步证明了如果这些分支发生，那么在同宿轨道位于解析不变流形上的假设下，围绕同宿轨道的变分方程在微分伽罗瓦论意义下是可积的.我们用一个耦合实Ginzburg-Landau偏微分方程定态的例子来说明我们的理论，并通过数值计算来证明理论结果。
2010-09-07 math-ph math.DS math.MP
On integral conditions for the existence of first integrals analytic saddle singularities
本文研究了$2\times(n-2)$型复鞍点奇点在原点$0 \in \mathbb C^2\times \mathbb C^{n-2}$上的芽的单参数解析可积变形。这样的变形写为$ω^t=d(xy) + \sum\limits_{j=1}^\infty t^j ω_j$，其中$t\in \mathbb C,0$是变形的参数，并且系数$ω_j$在原点$0\in \mathbb C^n$的某个邻域中是全纯一形式。我们证明了，在非退化条件下的奇异集的变形，相对于纤维化$d(xy)=0$，存在一个全纯的第一个积分为每个元素$ω^t$的变形是相当于消失的某些线积分$\oint_{γ_c}ω^t=0, \forall γ_c, \forall t$计算周期$γ_c$包含在纤维$xy=c, \,0 \ne c \in \mathbb C,0$。这一结果对于奇异集的条件和积分在循环中的消失是十分尖锐的。它也不适用于分叉鞍，即，对于$x^ny^m=c$形式的鞍座变形，其中$n+m>2$ .作为应用，我们得到了二次解析中心柱型奇异点的可积余维1变形的首次积分存在的一个判据，即一些易于计算的线积分的消失.
2021-06-16 math.CV math.DS
Complete system of analytic invariants for unfolded differential linear systems with an irregular singularity of Poincaré rank 1
本文给出了在固定邻域$D_r$上原点具有Poincaré秩为1的非共振线性微分系统的开折的一个完整的解析不变量系.展开参数$ε$取在指向比复平面中的$2 π$大的开口的原点的扇区S中，从而覆盖原点的整个邻域。对于S中的每个参数值，我们用两个扇区覆盖$D_r$，并且在每个扇区上，我们构造展开线性微分系统的解的良好选择的基础。这个基础是用来找到解析不变量链接到周围的奇点所选择的基础的monodromy。解析不变量对$ε=0$中著名的斯托克斯矩阵给出了完整的几何解释：这包括$ε=0$中解的发散与解中展开参数共振值的对数项之间的联系（至少在一般情况下存在）。最后，我们给出了满足一个充要条件的完备解析不变量系的一个实现定理，从而确定了模的集合。
2011-05-11 math.CA math.DS
Analytic and algebraic conditions for bifurcations of homoclinic orbits II: Reversible systems
在第一部分中，我们考虑一类可逆系统，研究了同宿轨到双曲鞍点平衡点的分支。在这里，我们集中在同宿轨道是对称的情况下，只有一个控制参数是足够的治疗他们的分歧，如在哈密顿系统。首先，我们对第一部分的论点作了修改和扩展，以一种适用于一般系统的形式证明了：如果这种分支发生在四维系统中，那么围绕同宿轨道的变分方程在微分伽罗瓦论意义下是可积的。其次，我们将第一部分的Melnikov方法推广到可逆系统，得到了对称同宿轨道的鞍结分岔、跨临界分岔和叉状分岔定理。我们阐述了我们的理论为四维系统，并证明了理论结果的数值。
2021-07-26 math.DS
Normal forms for saddle-node bifurcations: Takens' coefficient and applications in climate models
我们表明，一维微分方程依赖于一个参数$μ$与鞍结分岔在$μ=0$可以模拟由一个扩展的规范形式$\dot y = ν(μ)-y^2+a(μ)y^3$，其中的功能$ν$和$a$是解决方案，可以明确地写下来的方程。与原方程的等价性是参数区域内驻点的吸引和排斥盆上的局部可微共轭，否则是整个局部区间上的可微共轭。（回想一下，在标准方法中，局部等价是拓扑的而不是可微的。）值$a(0)$是来自标准形理论的Takens系数。结果解释了规范形从歧点向外延伸的意义，并提供了一个新的和更详细的鞍结分歧的特征。一维系统可以使用中心流形理论从高维方程导出。我们说明了这两个例子，从气候科学和展示如何的功能$ν$和$a$可以确定在某些设置和数值在其他。
2022-08-20 math.DS
