Towards a Unified Theory of Fractional and Nonlocal Vector Calculus
非局部和分数阶模型捕捉经典偏微分方程无法描述的效应;因此，它们适用于具有多尺度或异常行为的广泛工程和科学应用。这推动了一个矢量演算，包括非局部和分数梯度，发散和拉普拉斯型算子，以及工具，如格林恒等式，模拟地下运输，湍流和守恒定律的愿望。在文献中，已经提出了几个独立的定义和理论的非局部和分数向量微积分。其中一些已经得到了严格和深入的研究，而另一些则是针对特定应用而特别引入的。本文的目标是通过以下几个方面为统一向量演算提供基础：（1）将分数阶向量演算作为非局部向量演算的一种特殊情况加以巩固;（2）通过引入等价核将加权拉普拉斯算子与非加权拉普拉斯算子联系起来;（3）证明一种形式的格林恒等式，从而统一相应的变分框架，用于求解非局部体积约束问题。所提出的框架超越了非局部方程的分析，支持新的模型发现，建立理论和广泛的一类运营商的解释，并提供有用的模拟标准工具，从经典的向量微积分。
2021-10-07 math.AP math.FA
Local and nonlocal Poincaré inequalities on Lie groups
在具有次黎曼结构的非紧李群上证明了一个局部$L^p$不等式$1\leq p < \infty$.我们表明，所涉及的常数增长最多指数相对于球的半径，如果该集团是nondoubling，那么它的增长确实是，在一般情况下，指数。我们还证明了一个非局部的$L^2$ -Poincaré不等式关于适当的有限测度。
2021-07-19 math.AP math.CA math.FA
The singular sets of degenerate and nonlocal elliptic equations on Poincaré-Einstein manifolds
本文针对庞加莱-爱因斯坦流形上自然出现的退化与非局部椭圆算子，建立定量分层和Minkowski型估计，并结合新的$ε$-正则性结果，得到奇异集的一致Hausdorff测度估计，揭示了几何与椭圆理论之间的精细协同。
2023-09-18 math.AP math.DG
Nonlocal Gagliardo-Nirenberg-Sobolev type inequality
本文在非局部Sobolev空间中建立Gagliardo-Nirenberg-Sobolev型不等式，导出Sobolev嵌入及紧嵌入，并揭示其与Poincaré型不等式的互反关系，经典分数阶情形作为特例。
2024-12-18 math.AP
Symmetry results for a nonlocal nonlinear Poincaré-Wirtinger inequality
本文研究了$(a,b)\nsubset\boldsymbol{\rm R}$上非局部非线性庞加莱-维尔廷格不等式的最优常数，通过变分方法证明存在临界值$α_C$，确定了极小值函数在$α\nleα_{C}$时为偶且常符号、$α\ngtrα_{C}$时为奇的对称性结果。
2025-08-20 math.AP
Functional Inequalities involving Nonlocal Operators on Complete Riemannian Manifolds and Their Applications to The Fractional Porous Medium Equation
本文在完备黎曼流形上研究了涉及分数阶拉普拉斯算子的多种非局部泛函不等式，并据此分析了分数阶多孔介质方程解的渐近行为，同时证明了该方程在任意完备黎曼流形上的整体适定性。
2021-06-18 math.AP
Nonlocal gradients in bounded domains motivated by Continuum Mechanics: Fundamental Theorem of Calculus and embeddings
在本文中，我们开发了一套新的结果的基础上的非局部梯度联合启发的Riesz s-分数梯度和Peridendics，在这个意义上说，它的积分域取决于一个球的半径δ> 0（地平线的粒子之间的相互作用，在Peridendics的术语），同时保持在同一时间的奇异性的里斯位势在其积分内核。相应地，我们定义了一个适用于变分法和偏微分方程中的非局部模型的函数空间。我们的动机是开发适当的泛函分析框架，以解决连续介质力学中的非局部模型，这需要使用有界域，同时保留Riesz s-分数阶梯度的良好数学性质。该函数空间的定义与Sobolev和Bessel分式空间一致：我们考虑光滑函数在自然范数下的封闭性，该自然范数是函数及其非局部梯度的Lp范数之和。在这次调查中显示的结果中，我们强调了微积分基本定理的非局部版本（即，一个函数可以从其非局部梯度中恢复的表示公式），这使我们能够证明Poincaré，Morrey，Trudinger和Hardy的精神中的不等式以及相应的紧嵌入。这些结果足以证明在凸性假设下一般能量泛函极小解的存在性。建立了这种非局部情形下的平衡条件，这些平衡条件可以看作是有界区域上一类新的非局部偏微分方程。
2022-11-04 math.AP math.FA math.OC
Nonlocal Trace Spaces and Extension Results for Nonlocal Calculus
对于给定的Lipschitz整环$Ω$，$W^{1,p}(Ω)$的迹空间是$W^{1-1/p,p}(\partialΩ)$是一个经典的结果，即任何$W^{1,p}(Ω)$函数在其余维1的边界$\partialΩ$上都有一个定义良好的$W^{1-1/p,p}(\partialΩ)$迹，并且$\partialΩ$上的任何$W^{1-1/p,p}(\partialΩ)$函数都可以扩张为一个$W^{1,p}(Ω)$函数.最近，Dyda和Kassmann（2019）描述了涉及具有无限相互作用范围的积分微分算子的非局部狄利克雷问题的迹空间，其中边界数据在给定域$\mathbb{R}^d\backslashΩ$的整个补上提供。在这项工作中，我们研究了非局部狄利克雷问题与有限范围的非局部相互作用的函数空间，这自然服务于经典的局部偏微分方程问题和无限的相互作用范围的非局部问题之间的桥梁作用。对于这些非局部的狄利克雷问题，边界条件通常施加在一个区域上，该区域具有有限厚度的体积，位于域外。我们在体积边界区域上引入一个函数空间作为这些非局部问题的迹空间，并研究了相关的延拓结果。此外，我们还讨论了当非局部相互作用的大小趋于零时，新的非局部迹空间与经典的$W^{1-1/p,p}(\partialΩ)$空间的一致性。在建立这种联系时，我们对较大区域上的非局部相互作用与其子域上的诱导相互作用之间的关系进行了研究。…
2021-07-15 math.AP math.FA
Nonlocal equations with degenerate weights
该研究引入带退化权的分数阶加权Sobolev空间，推导其嵌入与Poincaré不等式，证明对应非局部积分微分方程解的正则性，将经典结果推广到非线性非局部场景。
2024-09-18 math.AP
Functional Analysis and Exterior Calculus on Mixed-Dimensional Geometries
我们感兴趣的混合维几何的微分形式，在这个意义上的域包含集的$d$维流形，层次结构，使每个$d$维流形包含在边界的一个或多个$d + 1$维流形。在任何给定的$d$维流形上，我们考虑与流形相切的微分算子以及与流形正交的离散微分算子（跳跃）。这些算子的组合作用导致了不同维数的半离散微分算子耦合流形的概念。我们将所得的方程系统称为混合维，这已经成为一种流行的建模技术，用于包括断裂和复合材料在内的物理应用。我们建立了混合维情形下的分析工具，包括合适的内积、微分算子和余微分算子、Poincaré引理和Poincaré-Friedrichs不等式.文章最后定义了与Hodge-Laplacian算子相对应的混合维极小化问题，并证明了该极小化问题是适定的。
2019-10-28 math.AP
Hölder regularity for nonlocal equations governed by measures and non-standard growth
Universität Bielefeld（比勒费尔德大学）
该研究在加倍度量测度空间上，针对带非标准(p,q)-Orlicz增长的非局部算子，证明了齐次非局部方程弱解的局部Hölder正则性，相关结果在欧氏情形下也属首次。
2026-08-31 math.AP
Nonlocal quadratic forms with visibility constraint
给定欧几里得空间的一个子集$D$，研究考虑元组$(x,y) \in D \times D$的非局部二次型当且仅当$x$和$y$之间的线段包含在$D$中.我们讨论了相应的Dirichlet型的正则性导致存在一个具有可见性约束的跳跃过程。我们的主要目的是研究相应的Poincaré不等式及其标度性质。对于哑铃形区域，我们证明了形式满足扩散标度的庞加莱不等式。这涉及到奇摄动域中特征值的收敛速率。
2018-10-29 math.AP math.FA math.PR
Study of fractional Poincaré inequalities on unbounded domains
本文的主要目的是研究无界域上满足有限球条件的（区域）分数Poincaré型不等式.存在性和不存在性的结果建立依赖于各种条件的域和$s \in (0,1)$的范围。对带状区域$(ω\times \mathbb{R}^{n-1})$，刻画了区域分数阶和分数阶Poincaré不等式的最佳常数，所得结果与局部情形类似.这解决了K. [ \textit{Asymptotic behavior of elliptic nonlocal equations set in cylinders, Asymptot. Anal. 89, (2014), no 1-2} ]中的耶雷西安人。
2020-05-07 math.AP
Sensitivity analysis for solutions to heterogeneous nonlocal systems
本文提出了一个收集的结果连续依赖的数据和系统参数扰动下的非局部问题的解决方案。出现在系统中的积分算子通过表现出不同类型的弱奇异性，空间依赖性，甚至零相互作用区域的异构内核捕获相互作用。的稳定性结果显示明确的界限，涉及的测量域和相互作用的衣领的大小，非本地庞加莱常数，和其他参数。在非线性设置的界限量化在不同的$L^p$规范的灵敏度的解决方案，在不同的非线性配置文件。数值模拟显示间断解，相互作用的变化范围，对称和异构内核的结果进行了验证。
2021-09-13 math.AP
Nonlocal Differential Operators with Integrable, Nonsymmetric Kernels: Part I--Operator Theoretic Properties
本文研究了有界区域上具有紧支撑可积核的非局部微分算子，在无对称性假设下建立了非局部到局部收敛、分部积分及紧性刻画等理论性质，为非局部变分问题分析奠定基础。
2024-08-27 math.AP
Compactness results for a Dirichlet energy of nonlocal gradient with applications
本文证明了半空间非局部梯度有限Dirichlet能量函数空间的两个紧性结果，给出了核函数序列的充分条件保证渐近紧嵌入，并应用于证明一致Poincaré型不等式及非局部扩散与最优控制问题的收敛性。
2024-08-22 math.AP
Symmetry properties for solutions of nonlocal equations involving nonlinear operators
我们追求的一维对称性的非线性方程的解决方案，涉及非局部运营商的研究。我们考虑了一个巨大的类的非线性算子，在一个特定的情况下，它涵盖了分数$p-$拉普拉斯算子。类似于经典的De Giorgi猜想，我们建立了Poincaré不等式和线性Liouville定理，给出了一维对称性结果在二维中的两种不同证明.这两种方法都有各自的利益。此外，我们提供了一定的能量估计层的解决方案和Liouville定理稳定的解决方案。大多数的方法和思想适用于当前的文章是适用于非本地运营商的一般内核著名的扩展问题，由Caffarelli和西尔维斯特，不一定是已知的。
2018-07-17 math.AP
Functional inequalities for a class of nonlocal hypoelliptic equations of Hörmander type
我们考虑一类二阶Hörmander型偏微分算子$\mathscr A$，它包含Kolmogorov在30年代引入的一个研究得很好的算子作为原型.分析了由$\mathscr A$的分数幂驱动的非局部算子的性质，并引入了与之相关的插值空间.我们还建立了与扩张算子相关的半群的Harnack型的点态估计。此外，我们证明了适应底层几何的庞加莱不等式的全球和局部版本。
2019-06-30 math.AP
Least gradient functions in metric random walk spaces
本文研究了度量随机游动空间中的最小梯度函数，其中包括局部有限加权连通图上的最小梯度函数和$\mathbb{R}^N$上的非局部最小梯度函数.在满足Poincaré不等式的条件下，研究了与最小梯度问题相关的Euler-Lagrange方程.我们还证明了Poincaré不等式在一些设置。
2019-12-29 math.AP
Remarks on a nonlinear nonlocal operator in Orlicz spaces
研究了分数$p$ -Laplacian算子型积分算子$\mathcal{L}u(x)=\int_{\mathbb{R^N}}ψ(u(x)-u(y))J(x-y)\,dy$，以及相应的Orlicz和Sobolev-Orlicz空间的性质.特别是，我们显示了庞加莱不等式和Sobolev不等式，取决于奇异性在原点的内核$J$考虑，这可能是非常弱的。这两个不等式导致紧包含。然后，我们使用这些属性来研究相关的椭圆问题$\mathcal{L}u=f$在有界域$Ω$，和边界条件$u\equiv0$ $Ω^c$ ;这两种情况$f=f(x)$和$f=f(u)$被认为是，包括广义特征值问题$f(u)=λψ(u)$。
2018-09-04 math.AP
Magnetic fractional Poincaré inequality in punctured domains
本文研究了磁性分数阶 Sobolev 空间中的 Poincaré-Wirtinger 型不等式，证明了局部穿孔区域的结果无法直接推广至非局部情形，并给出了非局部情形的替代表述及离散特征值结论。
2023-09-13 math.AP math.FA
Nonlocal Green theorems and Helmholtz decompositions for truncated fractional gradients
本文进一步发展具有有限相互作用支撑域的奇异分数阶型算子相关的非局部微积分理论，推导向量恒等式、分部积分型定理与Helmholtz-Hodge分解，为该框架的后续理论研究与数值实现奠定基础。
2023-11-09 math.AP
A class of elliptic equations involving a general nonlocal integrodifferential operators with sign-changing weight functions
本文研究了一类含有一般非局部积分微分算子$\mathscr{L}_{\mathcal{A}K}$、两个实参数和两个变号权函数的椭圆型方程（$\mathscr{P}$）非平凡弱解的存在性.考虑到问题（$\mathscr{P}$）中涉及的非线性增长的不同情况，我们证明了两个非平凡的不同解的存在性和特征值的连续族的存在性.主要结果的证明是基于使用Nehari方法，Ekelands变分原理，和变分学的直接法的基态解。困难来自于算子$\mathscr{L}_{\mathcal{A}K}$是非齐次的，并且非线性项是未定义的。
2020-03-30 math.AP
Non-constant functions with zero nonlocal gradient and their role in nonlocal Neumann-type problems
本文研究了有限视域分数阶梯度消失的函数，证明其构成无限维向量空间，并利用伪微分算子理论刻画其特征，进而提出非局部Poincaré不等式等工具，用于研究非局部Neumann型问题的适定性与局部极限。
2024-02-17 math.AP
Nonlocal equations with kernels of general order
本文研究由一般函数 $ϕ$ 刻画核阶的非线性积分微分方程，建立 Sobolev–Poincaré 不等式，并证明弱解的 Hölder 正则性、Harnack 不等式及局部极限下估计的稳定性。
2025-06-14 math.AP
Fundamental solution of kinetic Fokker-Planck operator with anisotropic nonlocal dissipativity
利用概率方法（Malliavin演算）证明了具有各向异性非局部耗散的退化动力学Fokker-Planck方程光滑基本解的存在性，其中耗散项是各向异性Lévy过程的生成元，漂移项允许是立方增长的.
2013-01-01 math-ph math.AP math.MP
Sharp Truncated Difference Estimates for Nonlocal Nonconvex Functionals Defined by Superlevel Sets
本文为非局部非凸泛函族建立了尖锐Poincaré不等式，确定了成立条件为γ≤-1，推广了Nguyen的结果，并应用于Γ-收敛、Sobolev与BV空间刻画及VMO正则性判据。
2026-10-20 math.AP math.CA math.FA
Neumann problems for $p$-harmonic functions, and induced nonlocal operators in metric measure spaces
本文遵循Caffarelli和Silvestre在~ \cite{CS}中的思想，利用双曲填充的最新进展，在任意紧的双度量测度空间$(Z,d,ν)$上定义了分数阶$p$ -Laplacian $(-Δ_p)^θ$和$0<θ<1$，并证明了非齐次非局部方程$(-Δ_p)^θu =f.$的存在性、正则性和稳定性。在测度度量空间的有界域中，我们证明了$p$ -Laplacians $Δ_p$，$1<p<\infty$的Neumann问题的全局Hölder正则性和稳定性定理，该测度度量空间具有支持Poincaré不等式的加倍测度。我们的工作还扩展到了紧的设置，并包括作为特殊情况下，以前的结果由其他作者在欧几里德，黎曼和卡诺组设置。与其他最近的贡献度量测度空间的背景下，我们的工作不依赖于假设$(Z,d,ν)$支持庞加莱不等式。
2022-04-01 math.AP math.MG
Poincare-Einstein Holography for Forms via Conformal Geometry in the Bulk
我们研究了爱因斯坦流形上的高阶形式的Proca方程，其边界数据沿共形无穷远。我们解决这些拉普拉斯型边界问题正式，并为所有订单，通过构建一个运营商的项目任意形式的解决方案。我们还开发了解决这些渐近问题的一般产品公式。我们的方法的中心工具是（一）的共形几何的微分形式和相关的外部拖拉机演算，以及（二）一个广义的概念规模编码的基础几何和它的边界之间的连接。后者还控制打破共形不变性在一个非常严格的方式耦合共形不变方程的规模拖拉机与广义规模。由此，我们得到了一个从现有的解决方案到新的交换狄利克雷和诺依曼边界条件的映射。一起，规模牵引机和外部结构扩展的解决方案生成代数[31]的共形不变，庞加莱-爱因斯坦演算（牵引机）微分形式。这种演算导致了[9]中加权微分形式、微分复形和Q-算子上的所有高阶共形算子的显式全息公式。这补充了Aubry和Guillarmou [3]的结果，其中相关的共形调和空间参数化光滑解。
2013-07-23 gr-qc hep-th math.AP
Fractional gradients and nonlocal PDEs in variable exponent spaces
Universidade de Coimbra（科英布拉大学）；Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
本文在变指数Lebesgue空间中发展了Riesz分数阶梯度理论，引入非局部Sobolev空间，建立多种不等式和分数阶微积分基本定理，并应用于非线性变分问题，证明极小元存在性及Euler-Lagrange方程。
2026-10-14 math.AP math.FA
Maz'ya-type bounds for sharp constants in fractional Poincaré-Sobolev inequalities
Università di Genova（热那亚大学）；Alma Mater Studiorum Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文通过非局部容量扩展inradius提出新的Maz'ya-Poincaré不等式，推导出分数Poincaré-Sobolev不等式中精确常数的估计，并给出了齐次Sobolev空间嵌入L^q(Ω)的新准则。
2026-02-17 math.AP
Stability of Gaussian Poincaré inequalities and Heisenberg Uncertainty Principle with monimial weights
该研究利用Bakry-Émery准则与Γ-演算建立单项式高斯测度庞加莱不等式，通过对偶方法研究其改进与梯度稳定性，构建尺度依赖不等式并用于推导带单项式权重的海森堡不确定性原理的稳定性，还得到经典情形下的相关稳定性结果。
2025-03-21 math.AP math.FA
On the best constant in fractional $p$-Poincaré inequalities on cylindrical domains
本文研究柱形域上两类分数阶 $p$-Poincaré 不等式的最佳常数，并分析域在多个方向无界时非局部 Dirichlet $p$-Laplacian 第一特征值的渐近行为。
2021-09-26 math.AP math.FA
Log-Sobolev and Beckner inequalities and stability of Poincaré inequality with weighted Gaussian measures
School of Science and the Environment, Grenfell Campus, Memorial University of Newfoundland（纪念大学格伦菲分校科学与环境学院）；Department of Mathematics, University of Connecticut（康涅狄格大学数学系）
本文基于马尔可夫半群与Γ-微分算子，推导加权高斯测度下的广义贝克纳不等式及皮卡德不等式稳定性，进一步研究其梯度和L^2稳定性，并应用至海森堡不确定性原理分析及对数Sobolev不等式构建。
2026-04-18 math.AP math.FA math.PR
Elliptic Harnack inequalities for mixed local and nonlocal $p$-energy form on metric measure spaces
National University of Defense Technology（国防科技大学）
本文在度量测度空间中提出混合局部和非局部 $p$-能量形式的公理化框架，并利用泊松不等式和截断塞伯里格不等式建立了弱和强椭圆哈纳克不等式，扩展了狄利克雷形式和欧几里得空间上混合能量形式的结果。
2026-03-05 math.AP math.FA
Local boundary conditions in nonlocal hyperelasticity via heterogeneous horizons
本文研究含非局部梯度的积分泛函变分问题，通过空间依赖且在边界处消失的相互作用范围实现非局部建模与局部边界条件的融合，建立相关Sobolev空间理论并证明极小元存在性。
2025-09-03 math.AP math.FA
Hörmander's hypoelliptic theorem for nonlocal operators
在本文中，我们证明了Hörmander次椭圆定理的非局部运营商的一个纯粹的概率方法：Malliavin演算。粗略地说，在一般的Hörmander的李括号条件下，我们证明了间断Lévy噪声对可能退化的带跳随机微分方程的正则化效应。为了处理大的跳跃，我们使用扰动参数与插值技巧和半群的一些短时间渐近估计。作为应用，我们证明了算子$\partial_t-\mathscr{K}$基本解的存在性，其中$\mathscr{K}$是非局部动力学算子：$$ \mathscr{K} f(x,{\rm v}):={\rm p.v}\int_{\mathbb{R}^d}(f(x,{\rm v}+w)-f(x,{\rm v}))\frac{κ(x,{\rm v},w)}{|w|^{d+α}}{\rm d} w +{\rm v}\cdot\nabla_x f(x,{\rm v})+b(x,{\rm v})\cdot\nabla_{\rm v} f(x,{\rm v}). $$这里$κ_0^{-1}\leq κ(x,{\rm v},w)\leqκ_0$属于$C^\infty_b(\mathbb{R}^{3d})$，在$w$中是对称的，p.v.代表Cauchy主值，$b\in C^\infty_b(\mathbb{R}^{2d};\mathbb{R}^d)$ .
2019-01-20 math.AP math.PR
