微分中心单代数的微分伽罗瓦群及其射影表示
Differential Galois Groups of Differential Central Simple Algebras and their Projective Representations
AI总结：
本文研究微分中心单代数的分裂性与微分伽罗瓦群表示，证明分裂等价于 Picard-Vessiot 扩张的嵌入，并建立分裂代数同构类与代数群在 PGL_n 中表示类之间的双射，进而用 δ-右理想刻画群的约化性与可解性。
摘要：
设 $F$ 是一个特征为零的 $δ$-域（微分域），其常数域 $F^δ$ 是代数闭域，$A$ 是一个 $δ$-$F$-中心单代数，$K$ 是 $δ$-$F$-模 $A$ 的 Picard-Vessiot 扩张，$\mathscr G(K|F)$ 是 $K$ 在 $F$ 上的 $δ$-伽罗瓦群。我们证明：一个以 $F^δ$ 为其常数域的 $δ$-域扩张 $L$ 分裂该 $δ$-$F$-中心单代数 $A$，当且仅当 $δ$-域 $K$ 能嵌入到 $L$ 中。随后，我们将 Magid 与 Juan（2008）提出的关于 $δ$-域 $F$ 上 $δ$-$F$-矩阵代数的理论推广到任意的 $δ$-$F$-中心单代数。特别地，我们建立了由 $δ$-域 $K$ 分裂的、$F$ 上维数为 $n^2$ 的 $δ$-$F$-中心单代数的同构类与代数群 $\mathscr G(K|F)$ 在 $\mathrm{PGL}_n(F^δ)$ 中的不等价表示类之间的自然双射对应。我们证明：$\mathscr G(K|F)$ 是约化代数群或可解代数群，当且仅当 $A$ 具有某些特定类型的 $δ$-右理想。
英文摘要：
Let $F$ be a $δ-$field (differential field) of characteristic zero with an algebraically closed field of constants $F^δ$, $A$ be a $δ-F-$central simple algebra, $K$ be a Picard-Vessiot extension for the $δ-F-$module $A$ and $\mathscr G(K|F)$ be the $δ-$Galois group of $K$ over $F.$ We prove that a $δ-$field extension $L$ of $F,$ having $F^δ$ as its field of constants, splits the $δ-F-$central simple algebra $A$ if and only if the $δ-$field $K$ embeds in $L.$ We then extend the theory of $δ-F-$matrix algebras over a $δ-$field $F,$ put forward by Magid & Juan (2008), to arbitrary $δ-F-$central simple algebras. In particular, we establish a natural bijective correspondence between the isomorphism classes of $δ-F-$central simple algebras of dimension $n^2$ over $F$ that are split by the $δ-$field $K$ and the classes of inequivalent representations of the algebraic group $\mathscr G(K|F)$ in $\mathrm{PGL}_n(F^δ).$ We show that $\mathscr G(K|F)$ is a reductive or a solvable algebraic group if and only if $A$ has certain kinds of $δ-$right ideals.
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