New upper bounds on the order of mixed cages of girth 6
本文研究围长为6的混合笼的阶，提出了一族无限混合图，在部分情况下改进了已有结果的上界。
2025-06-24 math.CO
New families of small regular graphs of girth 5
在本文中，我们感兴趣的{ \it{Cage Problem} }，包括在给定的周长$g$和最低阶的正则图的建设。我们专注于周长$g=5$，其中笼只知道度$k \le 7$。我们使用Funk [Note di Matematica. 29 suppl.1，（2009）91 - 114]和Abreu等人[Discrete Math.312（2012），2832 - 2842]，以获得迄今已知的最佳上界。介绍中给出的表格显示了我们的结果所获得的改进。
2015-08-06 math.CO
On the order-diameter ratio of girth-diameter cages
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库拉-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）
研究围长-直径笼的阶数与直径之比的渐近界，并确定小参数下的精确阶数和计数，提出穷举生成算法。
2026-08-21 cs.DM math.CO
Regular and biregular planar cages
研究了正则和双正则可平面图的笼问题。$(k,g)$ -图是围长为$g$的$k$ -正则图. $(k,g)$ -笼是最小阶的$(k,g)$ -图。我们不难断定，平面正笼就是柏拉图立体。$(\{r,m\};g)$ -图是围长$g$的图，其顶点具有度$r$和$m.$。$(\{r,m\};g)$ -笼是最小阶的$(\{r,m\};g)$ -图。在这种情况下，我们确定三元组的值$(\{r,m\};g)$，存在平面$(\{r,m\};g)$ -图，对于所有这些值，我们构建的例子。此外，对于许多三联体$(\{r,m\};g)$，我们构建了$(\{r,m\};g)$ -笼。
2018-11-19 math.CO
Bipartite Biregular Cages and Block Designs
二部双正则$(n,m;g)$ -图$G$是具有度集$\{n,m\}$的偶数围长$g$的二部图，并且满足同一部集中的顶点具有相同度的附加性质.一个$(n,m;g)$ -二部双正则笼是一个二部双正则最小阶$(n,m;g)$ -图.在他们2019年的论文中，Filipovski，Ramos-Rivera和Jajcay给出了二分双正则$(n,m;g)$ -图的阶的下界，并将达到这些界的图称为{ \em二分双正则摩尔笼}。与著名的经典结果有关的存在$k$ -正规摩尔图的偶数围长$g = 6,8 $和$12$的存在的射影平面，广义四边形，广义六边形，我们证明了存在的$S(2,k,v)$ -施泰纳系统产生的存在的二分双正规$(k,\frac{v-1}{k-1};6)$ -摩尔笼。此外，在Steiner三元系的特殊情况下（即，在$k=3$）的情况下，我们完全解决了对所有整数$m\geq 4$的$(3,m;6)$ -二部双正则笼的存在性问题。考虑围长大于$6$和素数幂$s$，我们将广义多边形（四边形、六边形和八边形）的存在性分别与$(n+1,n^2+1;8)$、$(n+1,n^3+1;12)$和$(n+1,n^2+1;16)$ -二分双正则Moore笼的存在性联系起来.使用这种连接，我们得到改进的上界的订单的二部双正则笼周长$8$，$12$和$14$。
2019-07-26 math.CO
On balanced biregular cages
im.unam.mx（墨西哥国立自治大学数学研究所）；ttk.elte.hu（布达佩斯罗兰大学理论物理与化学研究所）
本文研究了平衡双正则笼子，即具有相同顶点数的双正则图，并给出了某些度数和圈长的上下界，通过构造有限射影、仿射和双仿射平面的 incidence 图得到了较小的平衡双正则图。
2026-05-09 math.CO
A note on girth-diameter cages
本文提出与笼问题、度直径问题相关的$(k;g,d)$-笼问题，聚焦$(k;5,4)$-图，证明其最小阶数下界为$k^2+k+2$，确定了小$k$值的对应笼并给出无穷多$k$下的上界$2k^2$。
2024-01-28 math.CO
Small graphs and hypergraphs of given degree and girth
寻找最小可能周长$g$的$d$ -正则图有很长的历史，通常被称为笼问题。这个问题有一个自然扩张到超图，在这里我们可以要求在给定（Berge）围长$g$的$d$ -正则、$r$ -一致超图中顶点数最少。我们表明，这两个问题实际上是非常密切相关的。通过扩展凯莱图的想法超图的上下文中，我们发现已知的最小超图的各种参数集。由于从图论的笼问题的密切联系，我们能够使用这些技术，找到新的记录最小的三次图的围长23，24，28，29，30，31和32。
2022-01-18 math.CO
On Mixed Cages
本文研究了混合笼（具有给定围长且阶数最小的正则混合图），通过一般构造方法和计算机搜索获得了其阶数的上界。
2023-09-21 math.CO
A Mixed Graph Achieving A Moore-like Bound
本文构造了一个阶为30的正则混合笼，在度为3、出度为1、围长为6时达到混合图的类摩尔界。
2023-10-31 math.CO
Weighted Cages
本文提出加权笼这一新变体，刻画其存在性，确定 $g=3,4$ 时的阶数，给出类似摩尔界的界及计算结果。
2024-11-05 math.CO
Computational determination of (3,11) and (4,7) cages
（k，g）-图是围长为g的k-正则图，（k，g）-笼是最小阶的（k，g）-图.我们证明了Balaban在1973年发现的一个112阶（3，11）-图是极小的，并且是唯一的.我们还证明了（4，7）-笼的阶数是67，并找到了一个例子。最后，我们将（3，13）-笼和（3，14）-笼阶的下界分别提高到202和260.所使用的方法是启发式爬山和创新的回溯搜索相结合。
2010-09-19 math.CO
Mixed Cages
我们引入了$[z, r; g]$混合笼的概念。一个$[z, r; g]$ -混合笼是一个混合图$G$，$z$ -弧正则，$r$ -边正则，围长$g$和最小阶.本文证明了$[z, r ;g]$ -混合笼的存在性，并对某些特定值给出了混合笼族。我们也给出了$z, r$和$g$的一些选择的上下界。特别是，我们目前的第一个结果$[z,r;g]$ -混合笼的$z=1$和任何$r\geq 1$和$g\geq 3$，并为任何$z\geq 1$，$r=1$和$g=4$。
2017-02-23 math.CO
New small regular graphs of given girth: the cage problem and beyond
Indiana State University（印第安纳州立大学）；KU Leuven Kulak（荷语鲁汶大学库拉克学院）；KU Leuven campus Ghent（荷语鲁汶大学根特校区）
研究笼问题及变体，通过开发基于提升穷举、禁忌搜索、爬山启发式和切除技术的四种互补图生成算法，为经典笼问题的十一种情况建立新上界，改进部分知名界，还应用于变体获更多改进。
2026-07-23 cs.DM math.CO
A little more about bipartite biregular cages, block designs, and generalized polygons
本文研究了二部双正则笼问题，利用Steiner System和广义多边形中的$t$-good结构获得了新的上下界，并精确构造了特定参数下的二部双正则笼，如56个顶点的$(3,4;8)$-笼。
2023-10-18 math.CO
The proof of a conjecture about cages
该研究针对Jiang和Mubayi提出的“$(k; g)$-笼图中所有长度为$g$的环均为非分离环”的猜想，在已有偶数围长证明的基础上，完成了奇数围长情形的证明，使该猜想得到完整证实。
2024-10-09 math.CO
Mixed Cages: monotony, connectivity and upper bounds
一个\emph{$[z, r; g]$-mixed cage}是一个混合图$z$ -弧正则，$r$ -边正则，具有围长$g$和最小阶.本文研究了混合笼的结构性质：令$n[z,r;g]$表示$[z,r;g]$ -混合笼的阶.本文证明了对于$z\in \{1,2\}$，$n[z,r;g]$是关于$g$的单调函数，并利用它证明了对于$z\in \{1,2\}$，$[z,r;g]$ -混合笼的底层图是2-连通的.证明了$[z,r;g]$ -混合笼是强连通的.给出了$n[z,r;g]$的界和$[z,r;5]$ -混合图的构造，并给出了一个$50$阶的$[10,3;5]$ -混合笼.
2020-09-29 math.CO
Sub-problems of the (3, 14) cage problem and their computer analysis
（k，g）图是正则度为k，围长为g的图。笼问题是指找到最小的（k，g）图。已知（3，14）笼问题尚未解决。在2002年，Exoo发现了一个阶数为384的（3，14）记录图。本文将三价图的笼问题限制在Hamilton二部图类中。本文引入了一个表征旋转对称性的参数--对称因子。将求最小阶（3，g）Hamilton二部图的一般问题进一步分解为求各种对称因子的最小阶（3，g）Hamilton二部图的子问题.本文用计算机搜索的方法求出了（3，g）Hamilton二部图在各种对称因子下的最小阶数。关于子问题的该信息还产生关于在（3，14）下界258和（3，14）上界384之间不存在（3，14）哈密尔顿二部图的有用信息。该不存在信息部分地支持当前（3，14）记录图确实是（3，14）笼的可能性。
2017-06-24 math.CO
On the distance spectrum of minimal cages and associated distance biregular graphs
$(k,g)$ -笼是围长为$g$且顶点数最少的$k$ -正则简单图。本文将Moore图的$(k,g)$ -笼称为极小$(k,g)$ -笼.如果一个简单的连通图的所有顶点具有相同的交集数组，则该图称为距离正则图（DR）。一个二部图称为距离双正则图（DBR），如果同一部集的所有顶点都允许同一个交数组。已知极小$(k,g)$ -笼是DR图，其子图是DBR图.本文对极小$(k,g)$ -笼给出了距离谱半径的一个公式，并确定了图的直径$g$次多项式.当变量被邻接特征值代替时，该多项式给出所有的距离特征值。我们证明了直径为$d$的极小$(k,g)$ -笼具有$d+1$不同的距离特征值，这部分地回答了[5]中提出的一个问题.证明了每一个DBR图都是一个$2$ -分块的透射正则图，并给出了它的距离谱半径的计算公式。利用这个公式，我们得到了极小$(k,g)$ -笼的细分距离谱半径.最后确定了某些极小$(k,g)$ -笼的细分的全距离谱。
2021-09-11 math.CO
On networks with order close to the Moore bound
混合图的度/直径问题要求给定直径和度参数的混合图的最大可能阶。同样，\emph{degree/geodecity}问题涉及具有给定最小无向度和有向度的$k$ -测地混合图的最小阶;这是经典度/围长问题的推广。本文给出了具有给定直径或测地围长的混合图的阶的新界，并给出了有向和混合测地笼的新例子。特别地，我们证明了任何$k$ -测地混合图的测地围长必须为2且是完全正则的，从而证明了作者的一个猜想。
2021-08-12 math.CO
On the existence of $(r,g,χ)$-cages
本文探讨Cage Problem的推广，研究$(r,g)$-图与$(r,g)$-笼的定义、阶数$n(r,g)$及Moore下界$n_0(r,g)$等基本概念。
2023-04-07 math.CO
New mixed cages, bounds and computational results
Universidad Autónoma Metropolitana（墨西哥自治 metropolitan 大学）
该研究针对(r,z,g)-混合笼，推导其阶数的通用下界，确定g=3、4时的精确值或改进下界，通过带对称性归约的回溯搜索获取计算结果，并给出匹配计算值的n(1,z,g)上界。
2026-10-14 math.CO
A non-existence result for vertex-girth-regular graphs
KU Leuven Kulak（荷语鲁汶大学库拉克校区）；National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”（乌克兰国立技术大学“伊戈尔·西科尔斯基基辅理工学院”）
本文证明了对于k≥3和ε≤(k-1)/2，不存在vgr(n,k,5, [k(k-1)^2/2]-ε)图，填补了圈长为5时的非存在性空白。
2026-04-23 math.CO
On vertex-girth-regular graphs: (Non-)existence, bounds and enumeration
本文研究了顶点围长正则图的基本性质，给出了参数需满足的存在关系、无限族构造及顶点数下界，并计算了小围长最小三次和四次图的阶数。
2024-08-26 math.CO
Cages and cyclic connectivity
本研究针对笼图的循环边连通性问题，证明了当$(k,g)$-笼图顶点数不超过2倍Moore界减$g^2$时，其循环边连通度为$(k-2)g$且对应分离$g$-环，该结论适用于多组未知笼图及潜在缺失Moore图。
2025-09-04 math.CO
Total coloring of regular graphs of girth = degree + 1
本文研究围长等于度数加1的正则图的高效全染色，构造了围长为4的三次图的高效全染色并提出四种基本运算猜想，同时给出若干非高效全染色实例及对3-路和3-星划分的应用。
2025-05-11 math.CO
Analogues of Bermond-Bollobás Conjecture for Cages Yield Expander Families
本文将 1981 年 Bermond-Bollobás 猜想改造为笼图的三个变体，并证明任一变体获肯定回答即可构造扩张子族，从而建立笼图与扩张图的联系。
2024-09-10 cs.DM math.CO
Cubic graphs with no eigenvalues in the interval (-2,0)
本文完整刻画了在区间(-2,0)内无特征值的三次图，证明其仅包含一个无限族和五个零星图，并通过围长情形分析结合计算机验证完成分类。
2025-06-06 math.CO
Path degeneracy and applications
该研究建立了次指数扩张类图的围长与路径退化性的关联并给出紧界，推导了高围长图的多个图参数界，还证明了关于K_k minor-free图p-荫度的一个猜想。
2025-03-24 cs.DM math.CO
Computational methods for finding bi-regular cages
针对双正则笼（最小阶数$(\{r,m\};g)$-图）的研究问题，本文通过穷举生成算法、基于$r$-正则图的构造及定理推广，得到24组穷举列表并改进多个上下界，推进双正则笼的计算研究。
2024-11-26 cs.DM math.CO
On bipartite cages of excess 4
Moore界$M(k,g)$是围长$g$的$k$ -正则图（记作$(k,g)$ -图）的阶的下界. $(k,g)$ -图的$n$阶的多余$e$是差$ n-M(k,g) $ .本文通过研究$(k,g)$ -二部图的邻接矩阵的谱性质，讨论了多余$4$的$(k,g)$ -二部图的存在性。本文证明了多余$4$的$(k,g)$ -二部图满足方程$kJ=(A+kI)(H_{d-1}(A)+E)$，其中$A$表示图的邻接矩阵，$J$表示$n \times n$的全一矩阵，$E$表示顶点不相交圈并的邻接矩阵，$H_{d-1}(x)$是具有参数$k-1$且次数为$d-1$的第二类Dickson多项式.我们观察到，这些图的特征值以外的$\pm k$是多项式$H_{d-1}(x)+λ$的根，其中$λ$是$E$的特征值。基于$H_{d-1}(x)\pm2$的不可约性，我们给出了这类图存在的必要条件.如果$E$是$n$阶的圈的邻接矩阵，我们称对应的图为\emph{graphs with cyclic excess} ;如果$E$是两个圈的不交并的邻接矩阵，我们称对应的图为\emph{graphs with bicyclic excess}。本文证明了当$k\geq7$是奇数且$g=2d$使得$d\geq4$是偶数时，不存在有循环过剩$4$的$(k,g)$-图，如果$k\geq6$和$k \equiv1 \!…
2016-12-21 math.CO
Theoretical and Computational Approaches to Determining Sets of Orders for $(k,g)$-Graphs
本文研究 Cage 问题的推广形式，通过理论分析与计算机搜索相结合的方法确定 $(k,g)$-图的阶数谱，以揭示其结构性质并为极值图构造提供工具。
2025-03-09 cs.DM math.CO
Isometric Cycles and a Generalization of Moore Graphs
该研究通过图的赤道长度、围长和最小度给出图阶数的下界，定义并刻画了达到下界的类Moore极图的结构性质，还推导了无C4图的相关阶数界并提出相关猜想。
2024-07-15 cs.DM math.CO
Finite $s$-geodesic transitive graphs under certain girths
本文研究围长为2s-1或2s-2的有限s-测地传递图（s≥5），刻画了含至少3个轨道的非传递正规子群时的结构，并证明拟本原或双拟本原作用下的群必为几乎单群且不能本原或双本原。
2025-08-19 math.CO
Improved lower bounds on the maximum size of graphs with girth 5
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库拉-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）；Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文提出一种基于爬山启发式变体的新算法，通过传播近极值图模式，改进了围长至少为5的图的最大边数下界，在n=74至198范围内除n=96,97外均优于现有下界。
2026-09-23 cs.DM math.CO
On regular induced subgraphs of generalized polygons
笼问题要求$k$中顶点的最小数目$c(k,g)$-围长$g$的正则图和满足此界限的图被称为笼。虽然笼是已知存在的所有整数$k \ge 2$和$g \ge 3$，$c(k, g)$的确切值是已知的，只有一些小值的$k, g$和三个无限的家庭，其中$g \in \{6, 8, 12\}$和$k - 1$是一个素数的权力。这些无限族来自广义多边形的关联图。通过构造这些笼的小正则诱导子图，得到了$g \in \{6, 8, 12\}$的一些最著名的上界。本文首先利用Expander混合引理给出了正则二部图的导出PDMATHAMN-正则子图的大小的一个一般下界，该下界是关于主图的第二大特征值的.我们使用这个界限表明，已知的建设$(k,6)$ -图使用Baer子平面的Deskwesian投影平面是最好的可能。对于广义四边形和六边形，我们的边界是新的。特别是，我们改进了经典广义四边形$\mathsf{Q}(4,q)$的$q$ -正则诱导子图大小的已知下界，并证明了已知构造是渐进尖锐的。对于素数幂$q$，我们还分别给出了辛广义四边形$\mathsf{W}(3,q)$和分裂Cayley六边形$\mathsf{H}(q)$中$q$正则诱导子图的几何构造，从而改进了已知的$c(q,8)$和$c(q,12)$的上界.我们的结构表明，\[c(q,8) \le 2(q^3 - q\sqrt{q} - q)\]…
2018-03-30 math.CO
Mixed metric dimension of graphs
设$G=(V,E)$是一个连通图.如果$d_G(w,x)\ne d_G(w,y)$，则顶点$w\in V$区分两个元素（顶点或边）$x,y\in E\cup V$。连通图$G$中的顶点集$S$是$G$的混合度量生成元，如果$G$的每两个元素（顶点或边）都能被$S$的某个顶点区别. $G$的混合度量生成器的最小基数称为混合度量维数，用$\mathrm{mdim}(G)$表示。本文研究了混合度量生成元的结构，刻画了混合度量维数等于平凡下界和平凡上界的图。我们也给出了一些图族的混合度量维数的结果，并给出了图的围长的一个上界。最后，我们证明了在一般情况下，确定图的混合度量维数的问题是NP-困难的。
2016-11-25 math.CO
Homomorphisms of planar $(m, n)$-colored-mixed graphs to planar targets
$(m, n)$着色混合图$G=(V, A_1, A_2,\cdots, A_m, E_1, E_2,\cdots, E_n)$是具有弧的$m$颜色和边的$n$颜色的图。我们不允许两个弧或边具有相同的端点。从一个$(m,n)$ -着色混合图$G$到另一个$(m, n)$ -着色混合图$H$的同态是一个态射$φ:V(G)\rightarrow V(H)$，使得每条边（分别为.弧）被映射到$G$的边缘（分别弧）的相同颜色（和方向）的$H$。一个$(m,n)$ -着色混合图$T$称为$P_g^{(m, n)}$ -泛图，如果$P_g^{(m, n)}$中的每个图（围长至少为$g$的平面$(m, n)$ -着色混合图）都与$T$有同态.我们发现，平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图不存在$2m+n\ge3$（和任何值的$g$），并找到一个最小的（在顶点数）平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图在其他情况下。
2020-08-31 math.CO
On the Ubiquity and Utility of Cyclic Schemes
令$k,l,m,n$和$μ$为正整数。$\mathbb{Z}_μ$ -{ \it化合价方案} $(k,l)$和{ \it顺序} $(m,n)$是子集$S_{ij} \subseteq \mathbb{Z}_μ$的$m \times n$阵列$(S_{ij})$，使得对于每行和每列，分别具有$\sum_{j=1}^n |S_{ij}| = k $和$\sum_{i=1}^m |S_{ij}| = l$。任何这样的计划是一个代数等价的$(k,l)$ -半正则二分电压图与$n$和$m$顶点的二分集和电压来自循环组$\mathbb{Z}_μ$。我们感兴趣的是$\mathbb{Z}_μ$的子类--对于所有的$a \in S_{ij}$、$b \in S_{ih}$、$c \in S_{gh}$和$d \in S_{gj}$都具有$a - b + c - d\; \not \equiv \;0$（mod $μ$）性质的方案，其中$i,g \in {1,...,m}$和$j,h \in {1,...,n}$不必是不同的。这些$\mathbb{Z}_μ$ --方案可以用来表示围长为$\ge 5$的正则图和围长为$\ge 6$的半正则二部图的邻接矩阵。对于合适的$ρ, σ\in \mathbb{N}$与$ρk = σl$，它们也表示多环$(ρμ_k, σμ_l)$配置的关联矩阵，特别是所有已知的De…
2011-11-14 math.CO
On $(k,g)$-Graphs without $(g+1)$-Cycles
本研究聚焦不含g+1长环的k正则围长g图的最小阶数问题，证明其阶数函数随g递增的单调性，给出通用下界，提出生成算法确定小参数取值，并探讨对称图类中的构造方法。
2025-07-30 cs.DM math.CO
On total regularity of mixed graphs with order close to the Moore bound
无向度/直径和度/围长问题以及它们的有向类似问题在寻找有效的网络拓扑中已经研究了几十年。最近，这样的问题在混合图的设置中受到了很多关注，混合图即同时允许无向\emph{edges}和有向\emph{arcs}的网络。混合图的度/直径问题要求具有直径$k$、最大无向度$\leq r$和最大有向出度$\leq z$的网络的最大可能阶。寻找具有最小无向度$\geq r$和最小有向出度$\geq z$的最小可能$k$ -测地混合图也是一个有趣的问题。一个简单的计数参数揭示了一个自然界的存在，\emph{Moore bound}，在这样的图的顺序;一个图，满足这个限制是一个\emph{mixed Moore graph}。混合摩尔图只能存在于$k = 2$，即使在这种情况下，它是已知的，他们是极其罕见的。因此，它是有趣的，以寻找图的阶一远离摩尔界。这样的图一定是非正则的;一个更困难的问题是它们是否一定是完全正则的。对于$k = 2$，我们肯定地回答了这个问题，从而解决了López和Miret最近的一篇论文中提出的一个公开问题。我们还提出了部分结果较大的$k$。最后，我们把这些结果用于实际应用，证明了一个2-测地混合图的阶超过摩尔界的唯一性。
2018-11-01 math.CO
Quasi-Transitive Mixed Graphs and Undirected Squares of Oriented Graphs
本文将拟传递性推广至混合图，完整刻画了最大度为3及围长至少为4的有向图无向平方，并证明其识别问题在度受限情形下的复杂度分界。
2023-11-08 cs.DM math.CO
Improved Bounds for the Bilu-Linial Conjecture via Spectral Recovery from Mixed Determinantal Polynomials
School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）
本文通过构造正矩阵值测度并利用短游走估计，将 Bilu--Linial 猜想中满足混合根条件的符号的谱半径界改进为 $(3+\sqrt5)/2\sqrt{d-1}$，并推广到多矩阵情形。
2026-10-15 cs.DM math.CO
Polynomial Compressibility and Forbidden Oriented Forests
School of Science, Shenyang Aerospace University（沈阳航空航天大学理学院）
该研究构造了有向图反例，反驳了有向团数有界时τ-有界性的多项式猜想，并证明禁止图产生多项式τ-有界类仅当基础图为森林，同时给出若干具体界。
2026-09-29 math.CO
