Counting rational maps on $\mathbb{P}^1$ with prescribed local conditions
University of Calgary（卡尔加里大学）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究了具有指定局部条件的有理映射计数问题，证明了具有最小余数的映射集合具有正密度，并对度数为2的映射进行了显式计算。
2026-01-04 math.DS math.NT
The average analytic rank of elliptic curves with prescribed level structure
本文在Hasse--Weil猜想与广义黎曼假设下，对模叠可由射影直线表示的指定级结构椭圆曲线，给出了其平均解析秩的上界。
2025-09-19 math.NT
On quadratic rational maps with prescribed good reduction
给定数域$K$和$K$的有限集集$S$，本文的第一个主要结果表明：定义在$K$上的二次有理映射$ϕ:{\mathbb P}^1\to{\mathbb P}^1$，如果在$S$之外的所有位置都有好约化，则构成模空间${\mathcal M}_2$的一个Zerikki稠密子集，该子集参数化了二次有理映射的所有同构类.然后，我们考虑二次有理映射的双重unramified不动点结构，我们的第二个主要结果建立了一个几何Shafarevich型的非Zapriki-密度结果的一组这样的地图与好约化外$S$。对于具有非分歧2-圈结构的二次有理映射，我们也证明了这个结果的一个变形。
2017-03-29 math.DS math.NT
Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion
本文提出了一种在适当定义的双有理等价平面曲线图上利用局部搜索算法构造模曲线X_1（N）优化方程的方法。然后将这些方程应用于有限域F_q上，通过在X_1（N）（F_q）上寻找仿射点，有效地生成了具有非平凡N-挠率的椭圆曲线，并给出了利用X_1（2N）生成具有（或不具有）4阶点的母曲线的快速方法。
2012-03-27 math.NT
High rank elliptic curves with prescribed torsion group over quadratic fields
定义在二次数域上的椭圆曲线的挠群有26种可能。我们给出了具有给定扭群的高秩椭圆曲线的例子，这些例子给出了大多数扭群的当前记录。特别地，我们证明了对于每一个可能的挠群，除了可能是Z/15 Z之外，存在一条在某个二次域上具有该挠群且秩>= 2的椭圆曲线。
2012-08-09 math.NT
Models of CM elliptic curves with a prescribed $\ell$-adic Galois image
该研究针对素数ℓ与类数1或2的虚二次序，刻画了对应复乘椭圆曲线在最小定义域上的所有ℓ-进伽罗瓦表示，并确定了具有指定ℓ-进伽罗瓦表示的椭圆曲线同构类。
2025-05-22 math.NT
On the infinitude of elliptic curves over a number field with prescribed small rank
Cornell University（康奈尔大学）
该研究证明了在数域上存在无限多个具有指定小秩的椭圆曲线，通过专门化非平凡椭圆曲线并利用Kai的结果实现对坏素数的控制和秩的计算。
2026-02-11 math.NT
Almost all elliptic curves with prescribed torsion have Szpiro ratio close to the expected value
该论文证明几乎所有具有给定挠子群的有理椭圆曲线，其 Szpiro 比值接近期望值，并给出单参数族中的上下界，方法基于多元多项式绝对值的根幂界。
2024-07-18 math.NT
Existence and non-existence of rational elliptic curves with prescribed torsion subgroups over quadratic fields
University of Ottawa（渥太华大学）
本文研究了二次域上椭圆曲线 torsion 子群的存在性问题，证明了某些 torsion 结构在特定条件下不存在，并扩展了此前关于 torsion 分类的结果。
2026-02-07 math.NT
Counting elliptic curves with prescribed entanglements
该研究通过数论几何和筛法技术，证明了具有特定分裂场纠缠的椭圆曲线数量随高度增长的渐近下界。
2025-11-14 math.NT
Primitive pairs of rational functions with prescribed traces over finite fields
本文研究有限域上有理函数本原对的构造问题，建立了在指定迹条件下存在本原对 $(f(ε), g(ε))$ 的充分条件，并显式计算了次数和为 3 时的例外情形。
2024-11-23 math.NT
On the number of elliptic curves with prescribed isogeny or torsion group over number fields of prime degree
设$p$是素数，$K$是次数为$p$的数域.我们计数的椭圆曲线，直到$\bar{K}$ -同构，具有规定的性质，其中该性质是曲线包含一个固定的扭转群作为一个子群，或它有一个规定的程度的同构的数量。
2014-02-26 math.AG math.NT
Fibre Products of Supersingular Curves and the Enumeration of Irreducible Polynomials with Prescribed Coefficients
对任意正整数$n\geq 3, r\geq 1$，给出了有限域$\mathbb{F}_{2^r}$上不可约多项式次数多项式$n$的个数公式，其中$x^{n-1}$，$x^{n-2}$和$x^{n-3}$的系数均为零.我们的证明涉及到有限域上某些代数曲线上的点数的计数，这是一种从对$\mathbb{F}_2$基域情形的已知公式进行傅立叶分析中产生的技术，通过逆向工程得到一个经济的新证明，然后将其推广，这种方法产生了超奇异曲线的纤维积，并明确了为什么这些公式在$n$中有周期$24$.
2016-08-09 math.NT
Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes
设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。
2020-03-23 math.NT
Finding elliptic curves with a subgroup of prescribed size
在广义黎曼假设的假设下，我们设计了一个确定性算法：给定素数p和正整数m=o（sqrt（p）/（log p）^4），输出E（F_p）的基数可被m整除的有限域F_p上的一条椭圆曲线E。该算法的运行时间为mp^（1/2+o（1）），这使得更有效地构造F_p上的有理函数，其像相对于p较小。我们还给出了该算法的一个无条件版本，它适用于几乎所有素数p，并给出了一个具有次指数时间复杂度的概率算法。
2014-11-29 math.NT
Counting elliptic curves with prescribed level structures over number fields
Harron和Snowden计算了$\mathbb{Q}$上每一个可能的挠群$G$在$\mathbb{Q}$上直到高度$X$上的椭圆曲线的个数。本文将他们的结果推广到所有数域和所有水平结构$G$，使得相应的模曲线$X_G$是加权射影线$\mathbb{P}(w_0,w_1)$，态射$X_G\to X(1)$满足一定的条件.特别地，这包括具有亏格$0$的粗模空间的所有模曲线$X_1(m,n)$。我们证明了我们的结果，定义一个大小函数$\mathbb{P}(w_0,w_1)$以下未发表的工作邓，并制定出如何计数的点的数量$\mathbb{P}(w_0,w_1)$的大小$X$。
2022-06-02 math.NT
Rank gain of Jacobians over number field extensions with prescribed Galois groups
我们研究的秩增益的椭圆曲线，更一般地说，雅可比簇，在非伽罗瓦扩展的伽罗瓦闭包有伽罗瓦群置换同构到一个指定的组$G$（简称“$G$ -扩展”）。特别地，对于交错群和射影线性群（无限族）$G$，我们证明了（例如）上的大多数椭圆曲线都是$\mathbb{Q}$在无限多个$G$ -扩展上获得秩，条件仅限于奇偶猜想.更一般地说，我们提供了一个理论标准，它允许推断，“许多”椭圆曲线获得排名超过无限多个$G$ -扩展，条件的奇偶猜想和存在的几何伽罗瓦实现与组$G$和某些本地属性。
2021-08-02 math.NT
Constructing Superelliptic Curves with non-trivial rational Torsion on their Jacobians
本文给出了超椭圆曲线在其雅可比行列式上具有指定阶的有理点的构造方法。该构造基于Hensel引理，对给定的整数$N$，构造出一条在$N$中亏格为线性的超椭圆曲线，其有理$N$ -分割点位于雅可比矩阵上.该方法用多个例子来说明。
2017-07-13 math.NT
Uniformly effective Shafarevich Conjecture on families of hyperbolic curves over a curve with prescribed degeneracy locus
本文的主要结果是函数域上Shafarevich猜想有限性陈述的有效一致界。在证明过程中建立了曲线射影几何的若干结果。这些结果应该是独立的利益。作为推论，利用Parshin技巧得到了函数域上Mordell猜想的一致有效界。
2003-11-06 math.AG math.NT
Fields of definition of elliptic curves with prescribed torsion
证明了子群同构于$C_{16}$的二次域上的所有椭圆曲线，以及子群同构于$C_2\times C_{14}$的三次域上的所有椭圆曲线，都是定义在$\Q$上的椭圆曲线的基变换.这些结果是通过研究模曲线和模曲线之间映射的几何性质得到的，进而得到这些曲线和映射的模描述。
2020-11-13 math.AG math.NT
On rational triangles via algebraic curves
有理三角形是边长为有理的三角形。我们考虑三种不同的有理三角形，它们有一个固定的边，其顶点是平面上的有理点。我们显示了一个一对一的对应关系，每个家庭和一个代数曲线的有理点的集合。这些代数曲线是：亏格为0的曲线、椭圆曲线和亏格为3的曲线。我们研究了这些曲线上的有理点的集合，并明确地描述了其中的一些有理点。
2016-10-25 math.NT
Cycles for rational maps with good reduction outside a prescribed set
设$K$是数域，$S$是$K$的包含所有阿基米德位置的固定有限位置集。设$R_S$是$S$的环-$K$的整数。本文研究了$\mathbb{P}_1(K)$的有理映射的环，其度为$\geq2$，且在$S$外具有好约化.我们说两个有序的$n$ -元组$(P_0,P_1,...,P_{n-1})$和$\mathbb{P}_1(K)$的点的$(Q_0,Q_1,...,Q_{n-1})$是等价的，如果存在一个自同构$A\in{\rm PGL}_2(R_S)$使得对于每个索引$i\in\{0,1,...,n-1\}$都有$P_i=A(Q_i)$.证明了如果固定两个点$P_0,P_1\in\mathbb{P}_1(K)$，则在$S$外具有好约化的度为$\geq2$的有理映射的不等价圈的个数是有限的，并且只依赖于$S$ .我们还证明了这个结果在某种意义上是最好的。
2006-07-17 math.AG math.NT
Level curves of rational functions and unimodular points on rational curves
本文改进和推广了N. Ailon和Z. Rudnick（2004）关于多项式的移位幂的公共零点。我们的方法是基于减少这个问题，一个更一般的问题，计数复杂的函数的水平曲线的交叉点。我们对待这个问题通过经典的工具，复分析和代数几何。
2018-05-17 math.NT
The minimal ramification problem for rational function fields over finite fields
研究了具有给定有限伽罗瓦群的有限域上的有理函数域的伽罗瓦扩张中分歧素数的最小个数.特别是，我们得到了一个一般的猜想类比研究的情况下，数域，我们建立了交换，对称和交替群在许多情况下。
2022-12-23 math.NT
Rational points on elliptic curves and representations of rational numbers as the product of two rational factors
在本文中，我证明了任何一对（m，n）的非零和不同的有理数可能有，最多，四个表示为两个合理的因素，使m的因素之和与n的因素之和重合的产品。本文的第二部分给出了三次曲线有满足这个性质的有理根的椭圆曲线的性质
2019-10-02 math.NT
L-function and rational points on an elliptic curve via the classical number theory
利用经典数论研究了L函数与椭圆曲线上的有理点。
2013-05-05 math.NT
Tamagawa numbers of elliptic curves with prescribed torsion subgroup or isogeny
本文研究了三次域上具有挠率$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$的椭圆曲线和具有$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$在$\mathbb{Q}$上等距的椭圆曲线的Tamagawa数，其中对$n\in\{6,8,10,12,14,16,17,18,19,37,43,67,163\}$ . Bruin和Najman证明了三次域上每一条挠率为$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$的椭圆曲线都是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的基变换。我们发现定义在三次域上的带挠率$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的Tamagawa数总是能被$14^2$整除的，其中每个因子$14$来自一个具有$I_{14k},$型分裂乘法约化的有理素数，其中之一总是$p=2.$，唯一的例外是曲线1922.e2，定义在具有挠子群$c_E=c_2=14.$的三次域上的相同曲线证明具有可被$14^3$整除的玉川数。对于$n-$同构，具有$18-$同构的椭圆曲线的玉川数必须能被4整除，而对于来自所述集合…
2021-06-08 math.NT
The group of rational points on the Holm curve is torsion-free
利用Weierstrass形式的椭圆曲线的除多项式，证明了曲线$H: ky(yy - 1) = lx(xx - 1)$上的有理点群是无挠的.
2020-02-02 math.NT
Isogenies over quadratic fields of elliptic curves with rational $j$-invariant
我们确定了定义在二次域上的有理$j$不变的非CM椭圆曲线的循环同构的可能度。
2022-03-20 math.NT
Counting Rational Points on Cubic Curves
我们证明了有理数上定义的非奇异三次曲线上的有理点个数的上界。边界在曲线中是一致的，并且涉及相应雅可比矩阵的秩。证明中使用的方法是“行列式方法”与曲线上的m-下降的组合。
2009-09-23 math.NT
Elliptic curves and explicit enumeration of irreducible polynomials with two coefficients prescribed
设$F_q$是特征为$p=2,3$的有限域.我们给出了不可约多项式$x^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_0\in\F_q[x]$的个数，如果$p=2$，则为任何给定的$m$指定$a_{m-1}$和$a_{m-3}$，如果$p=2,3$，则为$m=1,...,10$指定$a_{m-1}$和$a_1$。
2007-01-13 math.CO math.NT
Unboundedness of the number of rational points on curves over function fields
我们给出的例子序列的光滑非isovarious曲线的每个亏格至少有两个，定义在一个有理函数域的正特征，使（有限）数量的有理点的曲线序列不能一致有界。
2012-04-09 math.NT
Rational points on Atkin-Lehner quotients of geometrically hyperelliptic Shimura curves
Guo和Yang给出了所有几何超椭圆Shimura曲线$X_0(D,N)$的定义方程。在本文中，我们计算$\mathbb{Q}$ -有理点上的Atkin-Lehner矩这些曲线使用各种技术。我们还确定哪些有理点是CM的许多这些曲线。
2022-12-08 math.NT
Counting elliptic curves with prescribed torsion
马祖尔定理指出，在有理数上，椭圆曲线的挠子群恰好有15种可能。我们确定这些组中的每一个实际发生的频率。精确地说，如果$G$是这15个组之一，我们表明，数的椭圆曲线的高度$X$的扭转子群是同构的$G$是在$X^{1/d}$的顺序，对于一些$d=d(G)$，我们计算。
2013-11-19 math.AG math.NT
Elliptic curves with rational subgroups of order three
本文给出了定义在有限域Fq上的具有三阶有理子群的椭圆曲线的一个刻划。有两种可能的情况取决于这些组中的点的合理性。证明了对有限域Fq，q= -1 mod 3，所有阶数为3的椭圆曲线都有另一个有理子群，其点在有限域上没有定义.如果q = 1 mod 3，这是不正确的;但存在一个一对一的对应关系曲线与点的顺序3和曲线与有理子群的点是不合理的。
2005-11-09 math.NT
Infinitely many hyperelliptic curves with exactly two rational points
本文构造了一类具有两个有理点的亏格为$2$的无穷多条超椭圆曲线。在证明中，我们首先证明了这些超椭圆曲线的Mordell-Weil秩是$0$，然后利用Grant证明的超椭圆曲线的Lutz-Nagell型定理确定有理点集.
2019-04-02 math.NT
Counting elliptic curves over the rationals with a 7-isogeny
本文按高度计数了有理数域上具有7次循环同源的椭圆曲线数量，分别考虑了有理数域及其代数闭包上的同构类。
2023-08-02 math.NT
Torsion Packet Envelope and Rational Points of Algebraic Curves
Mathematical Inst. Tohoku Univ.（东北大学数学研究所）
本文提出一种新的方法，利用 torsion packets 确定代数曲线的有理点，并提供了能完全确定有理点的曲线示例。
2026-03-20 math.NT
Constructing families of elliptic curves with prescribed mod 3 representation via Hessian and Cayleyan curves
对于定义在数域$k$上的给定椭圆曲线$E_0$，我们构造了两类椭圆曲线，它们的模3表示与$E_0$的模3表示同构.第一类中的同构是辛的，而第二类中的同构是反辛的。我们的构造是基于经典几何中的Hessian曲线和Cayleyan曲线的概念。
2012-09-18 math.AG math.NT
Counting Plane Cubic Curves over Finite Fields with a Prescribed Number of Rational Intersection Points
University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究有限域上无公共分量且有规定数量有理交点的平面三次曲线数量，通过设置为射影里德 - 穆勒码的重量枚举器问题，利用计算有公共分量曲线对等方法及麦克威廉姆斯定理变体来求解。
2026-07-24 math.AG math.CO math.NT
Hyperelliptic Curves with Prescribed $p$-Torsion
在本文中，我们证明了存在曲线族（定义在一个代数闭域$k$的特征$p >2$）的雅可比矩阵有有趣的$p$ -挠。例如，对于每一个$0 \leq f \leq g$，我们发现的超椭圆曲线的轨迹的维数的亏格$g$与$p$ -秩至多$f$。我们还生产家庭的曲线，使$p$ -扭转的雅可比矩阵的每个纤维包含多个副本的组计划$α_p$。该方法是研究允许$(\ZZ/2)^n$作用的曲线，使得其商是一条射影线。因此，这些家族中的一些家族与超椭圆轨迹$\CH_g$相交。
2005-04-04 math.AG math.NT
Kloosterman sums, elliptic curves, and irreducible polynomials with prescribed trace and norm
设$\F_q$（$q=p^r$）是一个有限域.本文在某些特殊情况下计算了具有指定迹和模系数的$\F_q[x]$中$m$次数的不可约多项式的数量，并获得了该数量的一般界，如果$m$与$q$相比较小，则改进了Wan的界。作为推论，在$\F_q$上得到了具有给定迹和范数的$\F_{q^3}$中元素个数的精确界，改进了Katz在这种特殊情况下的估计.此外，给出了可被3整除的$\F_{2^r}$上的Kloosterman和的一个特征，推广了Charpin，Helleseth和Zinoviev仅在$r$为奇数时得到的结果.最后，给出了域$\F_{3^r}$上Kloosterman和的值分布的一个新的简单证明，该证明首先由Katz和Livne证明。
2007-11-21 math.CO math.NT
Ranks of elliptic curves with prescribed torsion over number fields
研究了2、3、4阶数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的结构。证明了若$T$是群，则二次域上所有具有扭子群$T$的椭圆曲线的类要么为空，要么包含秩为0的曲线和正秩的曲线.我们证明了一个类似的，但稍弱的三次和四次领域的结果。另一方面，我们找到一个群$T$和一个四次域$K$，使得在具有挠子群$T$的$K$上的椭圆曲线中，存在正秩曲线，但不存在秩~0的曲线。我们发现的例子椭圆曲线的正秩和给定的挠在许多以前未知的情况下。我们还证明了所有的椭圆曲线在二次域上的一个点的阶数为13或18和所有的椭圆曲线在四次域上的一个点的阶数为22是同构的伽罗瓦共轭之一，并通过一个现象，我们称之为\emph{false complex multiplication}，有偶数秩。最后，我们讨论了与有限域上的椭圆曲线的关系以及在整数分解中的应用。
2011-12-31 math.AG math.NT
Some aspects of rational points and rational curves
本文综述了在有理连通代数簇上构造有理点与有理曲线的下降法和纤维化法的最新进展，涵盖数域与实簇情形，并探讨了p进曲线函数域上的有理点问题。
2022-01-14 math.AG math.NT
Rational points near planar flat curves
研究平面有限类型曲线附近有理点的渐进行为，推广黄的结果。
2026-05-13 math.CA math.NT
Methods for constructing elliptic and hyperelliptic curves with rational points
我提供的方法来构建椭圆和超椭圆曲线在全球领域的有趣的有理点在给定的领域或超过大的域扩张。给出了定义在任意给定数域上的椭圆曲线的一个有理点，（分别为）有两个有理点）和最简三次域上有两个有理点的有理数上的椭圆曲线。我还提供了亏格超过任何给定数的超椭圆曲线在任何给定数域上，其点（在给定数域上）跨越该曲线的雅可比矩阵的有理点组中的秩至少为$g$的子群。我还提供了一种方法来构建超椭圆曲线的有理函数域上的有理点定义在域扩张与大型有限简单伽罗瓦群，如马蒂厄组$M_{24}$。
2018-01-18 math.AG math.NT
On the effective cone of the moduli space of pointed rational curves
我们计算了最多有六个标记点的稳定有理曲线的模空间的有效锥。
2001-11-27 math.AG math.NT
Zeta Functions of Curves with no Rational Points
证明了无有理点的光滑几何连通曲线的motivic zeta函数是有理函数。这是以前已知的曲线，其光滑的投影模型有一个有理点上的每个连接组件。在证明过程中，我们研究了Grothendieck簇环上一般基上的Severi-Brauer概型类。
2014-05-28 math.AG math.NT
