光滑格覆盖密度的界
Bounds on the density of smooth lattice coverings
AI总结：
本文研究凸体的光滑格覆盖，证明体积约为 $n^{3+σ}$ 时随机格高概率形成 $η$-光滑覆盖，并将结果推广到随机 construction A 格。
摘要：
设 $K$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的凸体，$L$ 为余体积为一的格，且令 $η>0$。如果每个点 $x \in \mathbb{R}^n$ 都被 $K$ 经 $L$ 平移得到的 $(1 \pm η) vol(K)$ 个平移体覆盖，我们称 $K$ 与 $L$ 构成一个 $η$-光滑覆盖。我们证明，对于任意正数 $σ, η$，当 $n \to \infty$ 渐近时，对于任何体积为 $n^{3+σ}$ 的 $K$，都能找到一个格 $L$，使 $L,K$ 构成 $η$-光滑覆盖。此外，若按照格空间上的 Haar–Siegel 测度随机选取格，该性质以高概率成立。对于随机 construction A 格也有类似结果，不过幂律更差，前提是 $\mathbb{Z}^n$ 相对于 $K$ 的覆盖半径与装填半径之比至多为 $n$ 的多项式。我们的证明依赖 Dhar 和 Dvir 最近在离散 Kakeya 问题上的突破。
英文摘要：
Let $K$ be a convex body in $\mathbb{R}^n$, let $L$ be a lattice with covolume one, and let $η>0$. We say that $K$ and $L$ form an $η$-smooth cover if each point $x \in \mathbb{R}^n$ is covered by $(1 \pm η) vol(K)$ translates of $K$ by $L$. We prove that for any positive $σ, η$, asymptotically as $n \to \infty$, for any $K$ of volume $n^{3+σ}$, one can find a lattice $L$ for which $L, K$ form an $η$-smooth cover. Moreover, this property is satisfied with high probability for a lattice chosen randomly, according to the Haar-Siegel measure on the space of lattices. Similar results hold for random construction A lattices, albeit with a worse power law, provided the ratio between the covering and packing radii of $\mathbb{Z}^n$ with respect to $K$ is at most polynomial in $n$. Our proofs rely on a recent breakthrough by Dhar and Dvir on the discrete Kakeya problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
