关于多项式度数有界性
On polynomial degree-boundedness
AI总结：
本文证明了关于多项式度数有界性的猜想，即对于每个图H存在多项式p，使得平均度至少为p(s)的图必含K_{s,s}子图或H的导出细分，并据此证明了不含K_{s,t}导出细分的图类是多项式χ-有界的。
摘要：
我们证明了 Bonamy, Bousquet, Pilipczuk, Rzążewski, Thomassé 和 Walczak 的一个猜想：对于每个图 $H$，存在一个多项式 $p$，使得对于每个正整数 $s$，平均度至少为 $p(s)$ 的每个图要么包含 $K_{s,s}$ 作为子图，要么包含 $H$ 的一个导出细分。这改进了 Kühn 和 Osthus 在 2004 年针对平均度至少为 $s$ 的三重指数的图所证明的结果，以及 Du, Girão, Hunter, McCarty 和 Scott 最近针对平均度至少为 $s$ 的单重指数的图所证明的结果。作为应用，我们证明了不包含 $K_{s,t}$ 的导出细分的图类是多项式 $χ$-有界的。在 $K_{2,3}$ 的情况下，这是无 theta 图类，并回答了 Davies 的一个问题。在此过程中，我们还回答了 McCarty 最近的一个问题，通过证明如果 $\mathcal{G}$ 是一个遗传图类，且存在一个多项式 $p$ 使得 $\mathcal{G}$ 中的每个二部 $K_{s,s}$-free 图的平均度至多为 $p(s)$，那么更一般地，存在一个多项式 $p'$ 使得 $\mathcal{G}$ 中的每个 $K_{s,s}$-free 图的平均度至多为 $p'(s)$。我们的主要新工具是 Kővári-Sós-Turán 定理的一个导出变体，我们认为它具有独立的研究价值。
英文摘要：
We prove a conjecture of Bonamy, Bousquet, Pilipczuk, Rzążewski, Thomassé, and Walczak, that for every graph $H$, there is a polynomial $p$ such that for every positive integer $s$, every graph of average degree at least $p(s)$ contains either $K_{s,s}$ as a subgraph or contains an induced subdivision of $H$. This improves upon a result of Kühn and Osthus from 2004 who proved it for graphs whose average degree is at least triply exponential in $s$ and a recent result of Du, Girão, Hunter, McCarty and Scott for graphs with average degree at least singly exponential in $s$. As an application, we prove that the class of graphs that do not contain an induced subdivision of $K_{s,t}$ is polynomially $χ$-bounded. In the case of $K_{2,3}$, this is the class of theta-free graphs, and answers a question of Davies. Along the way, we also answer a recent question of McCarty, by showing that if $\mathcal{G}$ is a hereditary class of graphs for which there is a polynomial $p$ such that every bipartite $K_{s,s}$-free graph in $\mathcal{G}$ has average degree at most $p(s)$, then more generally, there is a polynomial $p'$ such that every $K_{s,s}$-free graph in $\mathcal{G}$ has average degree at most $p'(s)$. Our main new tool is an induced variant of the Kővári-Sós-Turán theorem, which we find to be of independent interest.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
