Koopman spectra in reproducing kernel Hilbert spaces
每一个可逆的保测度动力系统都包含一个Koopman算子，它是一个线性的酉演化算子，作用于与不变测度相关的观测量的$L^2$空间。Koopman本征函数表示动力学的准周期或非混合分量。从给定的时间序列中提取这些本征函数及其相关的本征频率是一个重要的问题，当底层系统具有密集的点谱，或连续谱行为类似于噪声。本文介绍了识别Koopman特征频率和特征函数的方法，从离散采样的时间序列所产生的这样一个系统与未知的动态。我们的主要结果给出了傅立叶函数的充要条件，定义在$N$状态采样沿轨道的动态，可扩展到Koopman特征函数的整个状态空间，躺在再生核希尔伯特空间（RKHS）。特别是，我们表明，这样的扩展存在当且仅当傅立叶函数的RKHS范数不发散为$ N \to \infty $，在这种情况下，相应的傅立叶频率也是库普曼本征频率。如果这样的RKHS扩展不存在，我们仍然可以构造本征函数的$L^2$近似。对具有弱周期分量的混合谱系统的数值实验表明，与传统的基于离散傅里叶变换的谱估计方法相比，该方法在识别Koopman特征频率方面具有更高的技巧.
2019-11-12 math.DS
Error bounds on analytic Koopman-based Lyapunov functions
Department of Mathematics and Namur Research Institute for Complex Systems (naXys), University of Namur（南纳慕尔大学数学系与南纳慕尔复杂系统研究所）
本文研究了Koopman算子特征函数在解析向量场和有限维多项式子空间近似下的误差界，用于验证基于Koopman的Lyapunov函数的有效性，并获得平衡点吸引区的内近似。
2026-03-31 math.DS
Solving nonlinear ordinary differential equations using the invariant manifolds and Koopman eigenfunctions
非线性常微分方程很少能用解析法求解。Koopman算子理论提供了一种通过使用特征函数将非线性动力学映射到线性空间来求解非线性系统的方法。不幸的是，找到这样的特征函数是困难的。介绍了一种由非线性常微分方程的不变流形构造特征函数的方法。这种方法，如果成功的话，使我们能够找到常系数非线性系统的解析解。以前的数据驱动的方法已经使用Koopman理论来构建在相空间的不同区域中有效的局部Koopman本征函数近似;我们的方法发现解析Koopman本征函数是精确的和全局有效的。我们证明了我们的Koopman方法解决非线性系统的一维和二维常微分方程。所考虑的非线性的例子有简单的表达式，其不变流形产生易于处理的解析解。因此，我们的方法允许以前未解决的常微分方程的解析解的建设。它还突出了非线性常微分方程中不变流形和本征函数之间的联系，并提出了将这种方法扩展到解决更多非线性系统的途径。
2022-08-17 math.DS nlin.SI
Koopman Spectrum for Cascaded Systems
本文研究了级联动力系统的Koopman主本征函数的演化。若每个分量子系统渐近稳定，且线性部分的矩阵范数严格递增，且分量子系统具有不相交谱，则每个分量子系统的初始条件存在扰动函数，使得级联系统和解耦分量子系统的轨道具有零渐近相对误差.这意味着演化是渐近等价的;稳定系统的级联组合是稳定的。这些结果适用于具有线性分量子系统动态和线性耦合项的级联系统以及拓扑共轭于线性情形的非线性级联系统。我们进一步证明了每个子系统的Koopman主特征值也是级联系统的Koopman特征值。通过扩展组成系统的主特征函数的定义域，并将其与扰动函数合成，形成级联系统的相应Koopman特征函数。
2017-08-01 math.DS
Learning Bounded Koopman Observables: Results on Stability, Continuity, and Controllability
Koopman算子是研究动力系统--受控和不受控系统--的有用分析工具。例如，Koopman特征函数可以提供关于底层动力系统的非局部稳定性信息。非线性系统的Koopman表示通常使用机器学习方法来计算，机器学习方法试图将Koopman特征函数表示为非线性状态测量的线性组合。因此，重要的是要了解原则上是否可以使用机器学习成功地获得这些特征函数，以及以这种方式计算的特征函数可以告诉我们关于底层系统的信息。为此，本文在最小假设下分析了与库普曼本征函数相关的连续性、稳定性和控制限制，并讨论了这些属性与通过机器学习计算库普曼表示的能力之间的关系。
2020-04-30 math.DS math.OC
Koopman Operator Spectrum for Random Dynamical Systems
本文考虑离散和连续时间随机动力系统（RDS）中的Koopman算子。我们提供的结果，与不同类型的线性RDS的随机Koopman运营商的频谱和特征函数的特征。然后，我们考虑RDS的相关的Koopman算子族是一个半群，特别是那些可以确定的生成元。本文定义了一种随机HankelDMD（sHankel-DMD）算法，用于随机Koopman算子的谱对象（特征值、特征函数）的数值逼近，并证明了其收敛性.我们将该方法应用于各种示例，揭示了随机Koopman算子的谱扩展中的对象，并使模型简化。
2019-01-16 math.DS
RKHS method for computing Koopman-based Lyapunov functions
University of Namur（南纳慕尔大学）
本文提出基于RKHS的Koopman方法计算Lyapunov函数，通过保留Jacobian矩阵谱来提升高维系统稳定性分析的准确性。
2026-04-10 math.DS
Learning Koopman Eigenfunctions and Invariant Subspaces from Data: Symmetric Subspace Decomposition
本文开发了数据驱动的方法来识别与动力系统相关的Koopman算子的本征函数和在该算子下不变的子空间。我们建立在扩展的动态模式分解（EDMD），数据驱动的方法，找到一个有限维近似的Koopman算子的跨度上的预定义的字典的功能。我们提出了一个必要和充分条件，确定Koopman特征函数的基础上应用EDMD的向前和向后的时间。此外，我们提出了对称子空间分解（SSD）算法，迭代方法，可证明确定的最大Koopman不变的子空间和Koopman特征函数的字典的跨度。我们还介绍了流对称子空间分解（SSSD）算法，SSD的在线扩展，只需要一个小的，固定的内存，并纳入新的数据，因为收到。最后，我们提出了一个扩展的SSD近似库普曼特征函数和不变子空间时，字典不包含足够的信息特征函数。
2021-02-25 cs.SY eess.SY math.DS
A Data-Driven Approximation of the Koopman Operator: Extending Dynamic Mode Decomposition
Koopman算子是一种线性但无限维的算子，它控制着自治动力系统状态空间上标量观测量的演化，是分析和分解非线性动力系统的有力工具。在这篇手稿中，我们提出了一个数据驱动的方法近似的领先的本征值，本征函数，和模式的库普曼运营商。该方法需要一个数据集的快照对和一个字典的标量观测，但不需要明确的控制方程或相互作用的“黑匣子”积分。我们将表明，这种方法实际上是动态模式分解（DMD）的扩展，它已被用来近似Koopman特征值和模式。此外，如果提供给该方法的数据是由马尔可夫过程而不是确定性动力系统生成的，则该算法近似于Kolmogorov向后方程的本征函数，这可以被认为是“随机Koopman算子”[1]。最后，四个说明性的例子：两个突出的定量性能的方法时，无论是确定性或随机数据，和两个显示潜在的应用Koopman特征函数。
2014-08-19 math.DS
Generic Properties of Koopman Eigenfunctions for Stable Fixed Points and Periodic Orbits
我们最近的工作建立了具有全局吸引双曲不动点或周期轨道的$\mathcal{C}^1$流的$\mathcal{C}^{k,α}_{\text{loc}}$全局定义线性化双凸性的存在性和唯一性结果（Kvalheim和Revzen，2019）。应用包括（i）改进，如唯一性声明，斯滕伯格线性化和Floquet规范形式定理;（ii）结果有关的存在性，唯一性，分类和收敛的各种数量出现在“应用Koopmanism”文献，如主要特征函数，isostables，和拉普拉斯平均。在这项工作中，我们给出了一些这些结果的阐述，重点是Koopmanism的应用，并考虑其广泛的适用性。特别是，我们表明，“几乎所有”的$\mathcal{C}^\infty$流具有全球吸引双曲不动点或周期轨道，$\mathcal{C}^\infty$ Koopman特征函数可以完全分类，推广的结果已知的解析系统。对于这样的系统，每个$\mathcal{C}^\infty$本征函数由其本征值模标量乘法唯一确定。
2021-04-15 math.DS math.OC
Data-driven discovery of Koopman eigenfunctions for control
在线性框架中重新表述非线性系统的数据驱动转换具有使用线性系理论来实现强非线性动态的预测、估计和控制的潜力。Koopman算子已经成为非线性动力学的原则性线性嵌入，其特征函数建立了动力学线性行为的内在坐标。以前的研究已经使用有限维近似的Koopman算子模型预测控制方法。在这项工作中，我们说明了这种方法的基本封闭问题，并认为这是有益的，首先验证本征函数，然后在这些验证的本征函数构建降阶模型。这些坐标通过设计形成Koopman-不变子空间，并且因此具有改进的预测能力。然后，我们将展示如何控制可以直接在这些内在坐标中制定，并讨论这种观点的潜在好处和警告。由此产生的控制架构被称为Koopman降阶非线性识别和控制（KRONIC）。它表明，这些特征函数可以近似与数据驱动的回归和幂级数展开，基于偏微分方程管理的Koopman算子的无穷小生成器。验证发现的本征函数是至关重要的，我们表明，轻阻尼本征函数可以忠实地提取EDMD或隐式配方。这些轻阻尼本征函数与控制特别相关，因为它们对应于与持久动力学相关的几乎守恒的量，例如哈密顿量。KRONIC然后证明了一些相关的例子，包括1）一个非线性系统与已知的线性嵌入，2）各种哈密顿系统，和3）一个高维双环流模式的海洋混合。
2021-02-10 math.DS math.OC
Geometric Considerations of a Good Dictionary for Koopman Analysis of Dynamical Systems: Cardinality, 'Primary Eigenfunction,' and Efficient Representation
Clarkson University（克拉克森大学）；Clarkson Center for Complex Systems Science（克拉克森复杂系统科学中心）
用简化模态表示动力系统是降阶建模的核心前提，也是日益流行的Koopman算子分析的DMD（动态模态分解）经验解释的主要关注点。在最优逼近和降阶建模的精神下，DMD方法和变体的目标是尽可能最好地将动态演化描述为适当变换的低秩空间中的线性演化。库普曼本征函数遵循可通过特征线法求解的线性偏微分方程，产生了几何和代数性质之间的几种有趣关系。对应于在数据表面上任意定义函数的自由，对于每个特征值，存在沿着特征发出的无限多个特征函数。我们专注于对比基数和等价性。特别是，我们引入了一个等价类，“主本征函数”，由那些本征函数相同的水平集，这有助于对比代数多重性从其他几何方面。通常，Koopman方法，特别是动态模式分解（DMD）和变体，允许数据驱动的研究如何可测函数沿轨道演变。据我们所知，还没有一个深入的研究有关的基础几何结构，一个有效的表示。我们提出了一个建设，导致功能的数据表面上，其相应的特征函数是有效的最小二乘意义上。我们称这种构造为最优库普曼本征函数DMD，（oKEEDMD），我们强调的例子。
2021-03-24 cs.LG math.DS
Koopman Regularization and Independent Koopman Eigenfunction Approximation
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
柯普曼正则化通过约束优化从稀疏受污染样本中学习动力学方程，利用柯普曼本征函数实现简洁且精确的动力学恢复。
2026-11-03 math.DG math.DS
Spectral Analysis of the Koopman Operator for Partial Differential Equations
我们提供了一个概述的Koopman算子分析一类偏微分方程描述松弛的字段变量到一个稳定的定态。我们引入Koopman本征泛函的系统，并使用共轭的概念来开发频谱扩展的Koopman运营商。对于线性系统，如扩散方程，库普曼本征泛函可以表示为场变量的线性泛函。惯性流形的概念对应于库普曼本征泛函的联合零水平集，而等稳的概念被定义为最慢衰减的库普曼本征泛函的水平集。以线性扩散方程、非线性Burgers方程和非线性相扩散方程为例进行了分析。
2020-11-29 math.DS nlin.PS physics.flu-dyn
Existence and uniqueness of global Koopman eigenfunctions for stable fixed points and periodic orbits
我们认为$C^1$动力系统具有吸引双曲不动点或周期轨道，并证明存在性和唯一性的结果$C^k$（实际上是$C^{k,α}_{\text{loc}}$）线性化双曲-其中Koopman特征函数是一个特殊情况-定义在整个吸引区域。我们的主要结果都推广和锐化Sternberg的$C^k$线性化定理的双曲汇，特别是我们的推论包括唯一性声明Sternberg线性化和Floquet规范形式。利用我们的主要结果，我们还证明了新的存在性和唯一性声明$C^k$ Koopman本征函数，包括一个完整的分类$C^\infty$本征函数假设一个$C^\infty$动力系统半简单和非共振线性化。我们给出了“主Koopman本征函数”的一个内在定义，它推广了Mohr和Mezić对线性系统的定义，并包括Ermentrout、Mauroy、Mezić、Moehlis、Wilson等人的工作中出现的“等稳”和“等稳坐标”的概念。我们的主要结果产生的主要特征函数和等稳坐标的存在性和唯一性定理，也表明，例如，在\cite{mohr2016koopman}中定义的（先验非唯一的）“拉回代数”在某些条件下是唯一的。我们还讨论了限制用于定义的“更快”的等稳坐标在\cite{wilson2018greater,monga2019phase}在我们的主要结果。
2021-03-31 math.DS math.OC
Is the Finite-Time Lyapunov Exponent Field a Koopman Eigenfunction?
这项工作作为一个桥梁之间的两种方法来分析动力系统：本地，几何分析和全球，运营商理论，Koopman分析。我们明确地构建向量场的瞬时李雅普诺夫指数字段是一个库普曼特征函数。为了使这种构造更容易，我们将自己限制在多项式向量场中，发现这样的向量场确实存在，并且我们探索这样的向量场是否具有特殊的结构，从而将几何理论与转移算子理论联系起来。
2021-09-24 cond-mat.stat-mech math.DS math.SP
A Minimal Set of Koopman Eigenfunctions -- Analysis and Numerics
该研究围绕Koopman算子理论的核心问题构建了涵盖理论、解析与数值的全面框架，定义了Koopman本征函数的生成集、独立集等概念，证明最小生成集与最大独立集等价，并通过数值实验验证了相关理论。
2023-06-12 math.AP math.DG math.DS
Data Fusion via Intrinsic Dynamic Variables: An Application of Data-Driven Koopman Spectral Analysis
我们表明，数值计算的近似Koopman本征函数和本征值创建一个自然的框架，数据融合的非线性演化规律的应用程序。这是可能的，因为Koopman算子的本征值对于系统状态的可逆变换是不变的，使得Koopman本征函数的值用作可以用于在不同观测之间映射的一组固有坐标（例如，通过不同组的传感器获得的测量）具有相同的基本行为。我们希望合并的测量也可以是非线性的，但必须“足够丰富”，以允许从一组测量中重建状态（的有效近似）。这种方法需要独立获得的数据集，这些数据集捕获异质测量的演变，并且需要在一个时刻进行单对“联合”测量。计算近似的特征函数和相应的特征值的数据完成使用扩展动态模式分解。我们说明了这种方法的时空振荡的FitzHugh-Nagumo PDE的测量，并展示了如何融合点测量与主成分测量，之后，任何一组测量可以用来估计另一组。
2014-11-20 math.DS
Optimal construction of Koopman eigenfunctions for prediction and control
这项工作提出了一种新的数据驱动的框架，用于构建面向预测和控制的Koopman算子的本征函数。该方法利用远离吸引子的Koopman算子的频谱的丰富性来构建丰富的本征函数集，使得状态（或任何其他感兴趣的可观测量）在这些本征函数的范围内，因此可以以线性方式预测。特征函数的构造是基于优化的，不需要字典选择。一旦以这种方式获得系统的不受控部分的预测器，则通过简单的线性最小二乘回归执行的多步预测误差最小化来完成控制的并入。这样获得的预测器是线性受控动态系统的形式，并且可以容易地应用于[12]的Koopman模型预测控制框架内，以使用线性模型预测控制工具来控制非线性动力系统。该方法完全是数据驱动的，纯粹基于凸优化，不依赖于神经网络或其他非凸机器学习工具。对这种新的本征函数构造方法进行了理论分析，严格证明了所得到的本征函数族足够丰富，可以覆盖所有连续函数的空间。此外，该方法被扩展到构造广义本征函数，也产生Koopman不变子空间，因此可以用于线性预测。详细的数值例子与代码在线演示的方法，无论是预测和反馈控制。
2020-05-07 math.DS math.OC math.SP
Kernel Methods for the Construction of Certified Lyapunov Functions via Approximate Koopman Eigenfunctions
University of Sussex（萨塞克斯大学）；University of Iceland（冰岛大学）；Caltech（加州理工学院）；Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；Ca’ Foscari University of Venice（威尼斯卡福斯卡里大学）；Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种基于核的方法，利用近似Koopman特征函数构建非线性系统的Lyapunov函数，并通过误差界和CPA方法进行认证。
2026-02-25 cs.NA math.DS math.NA
Extensions of the Path-integral formula for computation of Koopman eigenfunctions
本文扩展了基于路径积分的Koopman特征函数闭式计算框架，引入有限时间计算、放宽主特征值分布假设并支持鞍点系统，从而显著提升该方法的实际适用性。
2024-11-25 cs.SY eess.SY math.DS
Duality between Eigenfunctions and Eigendistributions of Ruelle and Koopman operators via an integral kernel
我们考虑由$d$符号的Bernoulli空间上的单侧移位给出的经典动力学。我们研究，在空间上的霍德尔功能，本征分布的Ruelle运营商与一个给定的潜在的。我们的主要定理表明，对于任何孤立的本征值，这样的Ruelle算子的本征分布是对偶的Ruelle算子与共轭势的本征向量。我们还证明了Koopman算子的本征函数和本征分布也满足类似的关系。为了显示这样的结果，我们采用积分核技术，其中所使用的内核是对合内核。
2015-06-02 cond-mat.stat-mech math.DS math.PR
Koopman Analysis of the Singularly-Perturbed van der Pol Oscillator
该研究对奇异摄动van der Pol系统开展Koopman分析，揭示其谱特征与奇异极限特性，证明Koopman特征函数继承系统几何特性，结果可推广至含稳定极限环的平面奇异摄动系统。
2024-10-07 cs.SY eess.SY math.DS
Learning Koopman eigenfunctions of stochastic diffusions with optimal importance sampling and ISOKANN
针对随机扩散过程Koopman主导本征函数求解问题，重构ISOKANN框架下的本征问题，结合最优重要性采样提出带收敛证明的自适应迭代算法，将逼近精度提升数个数量级。
2022-12-30 math.DS math.PR
Global Analytical Solution of the Identical Kuramoto Model for N=3 via Koopman Eigenfunctions
Tokyo University of Science（东京科学大学）
本文通过构造Koopman本征函数，将N=3的Kuramoto模型相动态转化为时间依赖的四次方程，实现对任意初始条件的全局解析解。
2026-11-10 math.DS nlin.AO nlin.SI
Consistent spectral approximation of Koopman operators using resolvent compactification
本文提出通过生成元预解式紧化对保测连续时间系统的库普曼算子进行谱精确逼近，并发展出基于轨迹数据和核特征函数字典的数据驱动方案，在环面和 Lorenz 63 系统上验证了其有效性。
2024-05-06 math.DS
Parallel Learning of Koopman Eigenfunctions and Invariant Subspaces For Accurate Long-Term Prediction
我们提出了一个并行的数据驱动的策略，以确定有限维的功能空间不变下的Koopman运营商与一个未知的动力系统。我们建立在对称子空间分解（SSD）算法，集中的方法，在温和的条件下，数据采样可证明发现最大的Koopman不变的子空间和所有Koopman特征函数在任意有限维的功能空间。一个处理器网络，每个都知道一个共同的字典的功能，并配备了一组本地的数据快照，反复互动的有向通信图。每个处理器接收其邻居对不变字典的估计，并通过将SSD与其本地数据应用于由其自己的字典和邻居的字典跨越的子空间的交集来细化其估计。我们确定条件的网络拓扑，以确保该算法确定的最大Koopman不变子空间的跨度的原始字典，其时间，计算和通信的复杂性，并建立其对通信故障的鲁棒性。
2021-03-29 cs.SY eess.SY math.DS
On the structure of complex spectra and eigenfunctions of transfer and Koopman operators
School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文研究了转移和柯普曼算子复谱和特征函数的结构，分析了在小噪声下的动力学系统旋转运动，并提供了在零噪声极限下复谱和特征函数的极限行为。
2026-05-06 math.DS math.PR
A Kernel-Based Approach to Data-Driven Koopman Spectral Analysis
提出了一种基于核的数据驱动的方法，用于近似高维状态空间问题中的主要Koopman特征值、特征函数和模态。这种方法使用一组标量观测量来近似Koopman算子，这些标量观测量是在状态空间上定义的函数，其由内核的选择{ \em隐式}确定。这就避免了在这些问题中，由于需要基函数的数量来跨越标量观测量空间的“足够丰富”的子空间而产生的计算问题。我们说明这种方法的FitzHugh-Nagumo PDE，一个典型的例子，一维反应扩散系统，并比较我们的结果与相关的方法，如动态模式分解（DMD），具有相同的计算成本，我们的方法。在这个例子中，领先的库普曼本征值，本征函数和模式的近似结果都更准确，对计算中使用的数据的分布比DMD产生的更不敏感。
2015-07-27 math.DS
Smooth invariant foliations and Koopman eigenfunctions about stable equilibria of semiflows
该研究针对巴拿赫空间上带稳定不动点的C^r半流，用参数化方法证明满足谱条件的不变子空间对应光滑不变叶层的存在唯一性，关联Koopman理论得到本征函数的相关性质，并验证其适用于Navier-Stokes系统。
2025-03-24 math.AP math.DS physics.flu-dyn
Koopman Operator Methods for Global Phase Space Exploration of Equivariant Dynamical Systems
本文发展了具有对称性的动力系统的Koopman算子理论。特别是，我们调查如何Koopman运营商和本征函数的基础动力系统的对称群的作用下的行为。此外，探索潜在的对称性，我们提出了一个算法来构建一个全球Koopman运营商从本地Koopman运营商。特别是，我们表明，通过利用对称性，从所有的不变集的数据是不需要构建的全球Koopman算子，也就是说，当地的知识系统是足以推断的全球动态。
2020-03-10 math.DS
Spectrum of the Koopman Operator, Spectral Expansions in Functional Spaces, and State Space Geometry
我们研究了具有全局稳定吸引子的线性和非线性动力系统的谱算子理论性质。利用Kato分解，我们发展了一般线性自治动力系统的解析观测量的谱展开，并定义了相关的Koopman算子的广义本征函数的概念。我们解释稳定，不稳定和中心子空间的广义本征函数的零水平集。然后，我们利用共轭性质的Koopman特征函数和新的概念，开放的特征函数-定义在状态空间的子集-扩展这些结果的非线性动力系统的平衡。利用非线性系统的Koopman算子本征函数族的联合零水平集，给出了（全局）中心流形、中心稳定流形和中心不稳定流形的一个特征，定义了一类新的Hilbert空间，它刻画了耗散动力学的开和关吸引子性质，并引入了调制Fock空间的概念，我们发展了一类具有全局稳定极限环和极限环面的动力系统的谱展开式，其观测量在吸引子变量中是平方可积的，在吸引子变量中是解析的。我们讨论了这类具有（拟）-周期吸引子的非线性系统的稳定流形、不稳定流形和全局中心流形的定义。我们定义的概念的一般类的非线性系统的等稳。我们提供了一个简单的例子，保测系统是不是混沌，但有连续谱，并讨论了实验观察到的频谱在这样的系统。我们定义了一类数据集的相干主维的基础上相关联的Koopman算子的格型主谱。
2019-10-18 math.DS nlin.CD
Kernel Methods for the Approximation of the Eigenfunctions of the Koopman Operator
本文提出一种基于核的方法构造Koopman算子的主特征函数，通过分解为线性和非线性分量并求解PDE，避免了谱污染和伪特征值问题。
2024-12-21 cs.NA math.DS math.NA
Sparsity structures for Koopman operators
我们提出了一个分解的Koopman运营商的基础上的稀疏结构的动力系统，允许一个考虑系统作为一个家庭的子系统互连的图形。利用Koopman算子的固有性质，我们证明了子系统的本征函数诱导整个系统的本征函数。主本征函数的使用允许扭转这一结果。类似地，对于伴随算子，Perron-Frobenius算子，动力系统的不变测度诱导子系统的不变测度，而从子系统的不变测度构造不变测度则不那么直接。我们解决这个问题，并表明，在必要的兼容性假设，这样的不变测度存在。基于这些结果，我们证明了一个动力系统的分解的先验知识允许减少的计算成本的数据驱动的方法的例子的动态模式分解。
2021-12-20 math.DS math.OC
Kernel Methods for Some Transport Equations with Application to Learning Kernels for the Approximation of Koopman Eigenfunctions: A Unified Approach via Variational Methods, Green's Functions and the Method of Characteristics
Department of Computing and Mathematical Sciences, Caltech（加州理工学院计算与数学科学系）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；Department of Mechanical Engineering, Clemson University（克莱姆森大学机械工程系）
本文提出了一种统一框架，通过变分法、格林函数和特征方法构建核，用于近似传输方程的柯普曼本征函数，并通过数值实验验证其有效性。
2026-03-06 cs.NA math.DS math.NA
Koopman Operator, Geometry, and Learning
我们提供了一个学习的动力系统植根于表示和Koopman运营商的概念的框架。两者之间的相互作用导致系统的完整描述，可以表示在有限维线性，基于库普曼算子谱的属性。状态空间的几何与表示的概念有关，无论是在线性情况下--它与本征函数的联合水平集有关--还是在非线性表示的情况下。如图所示，即使是非线性有限维表示也可以使用库普曼算子框架来学习，从而导致一类新的表示特征问题。使用神经网络学习的连接。Koopman算子理论的一个扩展，提供了不同空间之间的“静态”映射。讨论了Koopman算子谱对Mori-Zwanzig型表示的影响。
2020-10-12 math.DS
Homeomorphisms group of normed vector space: Conjugacy problems and the Koopman operator
本文研究赋范向量空间$E$的无界子集$F$的同胚群Hom（$F$）中的共轭问题.给出了Hom（$F$）中的两个同胚$f$和$g$，证明了共轭性的存在与Koopman算子的一个公共广义本征函数的存在有关.这个共同的本征函数用于在Hom（$F$）上建立拓扑，其中当该极限存在时，共轭性作为由共轭算子生成的序列的极限而获得。给出了一类广义Lipeomorphism的主要共轭定理。
2013-02-11 math.DS math.GN
Ergodic theory, Dynamic Mode Decomposition and Computation of Spectral Properties of the Koopman operator
我们建立了一类数值算法的收敛性，被称为动态模式分解（DMD），用于计算无限维Koopman算子的特征值和特征函数。该算法作用于来自状态空间上的观测量的数据，该观测量以Hankel型矩阵排列。证明利用了基本的动力系统是遍历的假设。这包括经典的测度保持系统，以及吸引子支持物理测度的系统。我们的方法依赖于DMD中的向量投影可以用来近似的功能投影Birkhoff的遍历定理的美德的观察。利用这一事实，我们表明，应用DMD汉克尔数据矩阵的无限时间观测的限制产生真正的库普曼本征函数和本征值。我们还表明，奇异值分解，这是大多数DMD算法的核心部分，收敛到本征正交分解的可观。我们使用这个结果来获得一个表示的动态系统的连续谱的基础上提升的坐标空间的可观。这些方法的数值应用证明使用著名的动力系统和计算流体力学的例子。
2017-08-27 math.DS
A numerical Koopman-based framework to estimate regions of attraction for general vector fields
University of Namur（那慕尔大学）
本文提出一种综合框架，结合Koopman算子方法与严格验证技术，用于估计一般向量场平衡点的吸引区，通过构造近似Koopman特征函数作为Lyapunov函数并利用SOS或自适应网格进行验证。
2026-03-31 math.DS
An operator-theoretic viewpoint to non-smooth dynamical systems: Koopman analysis of a hybrid pendulum
我们将算子理论的观点应用于一类非光滑动力系统，该系统暴露于事件触发的状态重置。所考虑的基准问题是，收到一定的固定角度下向下踢的钟摆。钟摆被建模为一个混合自动机，并从几何的角度和形式主义进行了分析Koopman算子理论。通过建立库普曼算子的谱性质与状态空间中的几何性质之间的联系，在动力系统的这两种解释之间建立了联系。
2016-08-31 math.DS
Rigged Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Generalized Eigenfunction Decompositions for Koopman Operators
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
提出数据驱动的 Rigged DMD，通过预解式、波包逼近和时间延迟装备 Hilbert 空间实现 Koopman 算子离散与连续谱的广义特征函数分解，并证明高阶收敛。
2024-12-02 cs.LG cs.NA math.DS
On Convergence of Extended Dynamic Mode Decomposition to the Koopman Operator
扩展动态模式分解（EDMD）是一种通过在状态空间中的$M$点处采样来近似Koopman算子对观测量空间的$N$维子空间的作用的算法。假设样本是从某个测度$μ$独立地或遍历地抽取的，证明了在极限为$M\rightarrow\infty$时，EDMD算子$\mathcal{K}_{N,M}$收敛到$\mathcal{K}_N$，其中$\mathcal{K}_N$是Koopman算子作用在有限维观测量子空间上的$L_2(μ)$ -正交投影.在这项工作中，我们证明了，作为$N \rightarrow \infty$，操作$\mathcal{K}_N$在强算子拓扑收敛到Koopman操作。这特别意味着在任何有限时间范围内给定可观测值的未来值的预测的收敛，这对于诸如预测、估计和控制的实际应用是重要的。此外，我们证明了$\mathcal{K}_N$的谱的聚点对应于Koopman算子的本征值，并且当本征函数的弱极限不为零时，其本征函数弱收敛于Koopman算子的本征函数.作为一个副产品，我们提出了一个分析版本的EDMD算法，在某些假设下，允许一个直接构建$\mathcal{K}_N$，而不使用采样。最后，在额外的假设下，我们分析了$\mathcal{K}_{N,N}$的收敛性（即，$M=N$），证明收敛，沿子序列，弱本征函数（或本征分布）有关的特征测度的Perron-Frobenius算子。没有假…
2017-10-20 math.DS math.OC math.SP
Learning the Koopman Eigendecomposition: A Diffeomorphic Approach
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
我们提出了一种新的数据驱动的方法学习一类稳定的非线性系统的线性表示使用Koopman特征函数。通过正规化流学习非线性系统与其雅可比线性化之间的共轭映射，可以保证所学习的函数是一个自同构。使用这种同构，我们通过共轭系统的谱等价构造非线性系统的本征函数-允许构造非线性系统的线性预测。该学习器的普适性导致了非线性系统的Koopman特征函数的普适逼近。所开发的方法也是安全的，因为它保证了模型是渐近稳定的，无论表示精度如何。据我们所知，这是第一个缩小操作员，系统和学习理论之间差距的工作。我们的方法的有效性，通过模拟的例子。
2022-05-30 cs.LG cs.SY eess.SY
On the lattice property of the Koopman operator spectrum
本研究解决了Koopman算子谱乘法格结构中新增本征函数的定义域归属问题，证明离散时间动力系统的Koopman算子谱具有该结构，而离散时间随机过程的则未必，完善了Koopman算子理论的核心细节。
2025-07-31 math.DS math.FA nlin.CD
Data-driven spectral decomposition and forecasting of ergodic dynamical systems
我们开发了一个框架降维，模式分解，和遍历动力系统产生的数据的非参数预测。这个框架是基于一个表示的Koopman和Perron-弗罗贝尼乌斯群的酉算子在一个光滑的规范正交基的L2空间的动力系统，获得从时间顺序的数据通过扩散映射算法。使用这种表示，我们计算Koopman本征函数通过正则化的平流-扩散算子，并采用这些本征函数的降维映射与投影动力学和高光滑度给定的观测模态。在纯点谱系统中，我们构造了一个分解的Koopman组的生成器到相互交换的向量场，自然地转换下的观察模态的变化，我们重建在数据空间中通过表示的前推映射的Koopman特征函数的基础。我们还建立了Koopman运营商和Laplace-Beltrami运营商之间的对应关系，从Takens延迟坐标空间中的数据构建，并使用这种对应关系提供了这类系统的扩散映射延迟坐标的解释。此外，我们利用Koopman本征函数基础的一个特殊性质，即基础元素演化为简谐振子，建立概率密度和观测值的非参数预测模型。在更复杂的光谱行为的系统，包括混合系统，我们开发了一种方法的灵感来自动力系统中的时变，将发电机转换为一个新的运营商具有潜在的改善频谱特性，并使用该运营商的向量场分解和非参数预测。
2017-09-01 math.DS physics.data-an
On Koopman Operator for Burgers' Equation
考虑了$L^2([0,1])$中Burgers方程在开（小）函数集上的流动.我们明确地推导出了Burgers流的Koopman分解。我们确定的频率和系数的分解的特征值和特征泛函的Koopman运营商。我们证明了小柯西数据的$t>0$的Koopman分解的收敛性，以及正则柯西数据的$t=0$。收敛到$t=0$ }导致Koopman模式的基础的“完整性”属性。我们构造了所有的模式和本征泛函，包括涉及几何重数的本征空间。这超出了（Page & Kerswell，2018）提供的求和公式，其中每个特征值只给出一项。给出了Koopman分解的数值例子，并将Koopman特征值与动态模式分解（DMD）的特征值进行了比较。
2021-04-24 math-ph math.DS math.MP
A Koopman framework for rare event simulation in stochastic differential equations
利用随机Koopman算子和Kolmogorov倒向方程之间的关系，构造了随机微分方程的重要性抽样方案.具体地，我们提出使用随机Koopman算子的本征函数来近似感兴趣的可观测量的Doob变换（例如，与罕见事件相关联），这又产生对应的零方差重要性抽样估计量的近似。我们的方法是广泛适用的和系统的，治疗非正常系统，非梯度系统，和系统的振荡动力学或秩亏噪声在一个共同的框架。在非线性设置的随机库普曼特征函数不能推导出解析，我们使用动态模式分解（DMD）的方法来计算它们的数值，但框架是不可知的特定的数值方法。数值实验表明，即使是粗糙的近似的几个特征函数，后者是建立从非罕见的轨迹，可以产生有效的重要性抽样计划罕见的事件。
2022-02-07 math.DS math.PR stat.CO
Spectral Koopman Approach for Reconstructing State-space Geometry of Cislunar Restricted 3-Body Problem
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Clemson University（克莱姆森大学）；Texas A& M University（德克萨斯农工大学）
提出基于Koopman谱路径积分的方法，通过计算主特征函数的零水平曲线重构平面地月限制性三体问题的全局相空间几何。
2026-06-09 cs.SY eess.SY math.DS
Discovering the Kalman-Bucy-Koopman Filter
Clemson University（克莱姆森大学）
提出基于库普曼算子谱理论的卡尔曼-布西-库普曼滤波器，通过特征函数参数化值函数，将非线性估计转化为库普曼坐标下的Riccati型演化，实现线性算子模拟经典滤波器并保持非线性结构。
2026-06-29 math.DS math.OC
On the lifting and reconstruction of nonlinear systems with multiple invariant sets
University of Michigan（密歇根大学）
本文解释含多个互不相交不变集的非线性系统中基于线性重构的 Koopman 算子机制，并利用不变集间离散对称性高效构造特征函数，通过数值示例验证其学习收益。
2024-03-05 cs.LG math.DS
A Data-Driven Framework for Koopman Semigroup Estimation in Stochastic Dynamical Systems
本文提出随机动态模式分解（SDMD）框架，通过直接逼近Koopman半群并显式纳入采样时间，结合神经网络自动选择基函数，在理论保证下高效、稳定地分析随机动力系统。
2025-08-19 math.DS
Construction of eigenfunctions for scalar-type operators via Laplace averages with connections to the Koopman operator
本文推广了Yosida的平均遍历定理，以计算局部凸线性拓扑空间上标量型谱算子在非酉本征空间上的投影.对于具有支配点谱的谱算子，投影采用拉普拉斯平均的形式，这是当谱是酉谱时使用的傅里叶平均的推广。逆迭代和Laplace平均投影到具有极小点谱的谱算子的特征空间上。给出了两类动力系统-$\mathbb{C}^{d}$中的吸引不动点和$\mathbb{R}^{2}$中的吸引极限环-及其相应的观测量空间，其中相应的复合算子是谱的.证明了自然可观空间是赋范单位交换环上多项式空间的具有$\ell^{2}$多项式范数的完备化。这些空间是Hardy空间$H^{2}(\mathbb{D})$和$H^{2}(\mathbb{D}^{d})$的推广。环的元素是定义在吸引子上的可观量--在我们的例子中，是不动点或极限环。此外，我们能够提供一个（半）整体谱定理的复合运营商与一大类耗散非线性动力系统;任何足够光滑的动力系统拓扑共轭的两种情况下允许一个可观察的空间上的相关的Koopman运营商是谱的。它是澄清，这是普遍真实的系统中的吸引区域可以适当地“协调”。
2014-04-23 math.DS math.SP
Extraction of Discrete Spectra Modes from Video Data Using a Deep Convolutional Koopman Network
Koopman理论中最近的深度学习扩展使非线性动力系统的紧凑，可解释的表示能够进行线性分析。深度Koopman网络试图学习Koopman特征函数，该特征函数捕获坐标变换以全局线性化系统动力学。这些本征函数可以与控制系统动力学行为的基本系统模式联系起来。虽然许多相关的技术已经证明了它们对规范系统及其相关状态变量的功效，但在这项工作中，系统动态是光学观察的（即以视频格式）。我们展示了深度卷积Koopman网络（CKN）自动识别具有离散谱的动力系统的独立模式的能力。实际上，这提供了系统数据汇集的灵活性，因为数据是容易获得的可观察变量。学习的模型能够成功和鲁棒地识别控制系统的底层模式，即使具有冗余的大嵌入空间。鼓励使用简单的掩蔽程序进行模态分解。在这项工作中分析的所有系统都使用相同的网络架构。
2020-10-19 cs.CV math.DS physics.flu-dyn
Evaluating the accuracy of the dynamic mode decomposition
动态模式分解（DMD）提供了一种从数据中提取动态信息的实用方法，其形式为空间模式及其相关频率和增长/衰减率。DMD可以被认为是Koopman算子的数值逼近，Koopman算子是为（非线性）动力系统定义的无限维线性算子。这项工作提出了一个新的标准来估计的准确性DMD的模式模式的基础上，通过估计如何接近每个单独的DMD本征函数近似相应的Koopman本征函数。这种方法不需要任何系统动力学或真正的Koopman谱分解的先验知识。该方法可以应用于DMD的扩展（即，扩展/内核DMD），适用于更广泛的问题。首先验证的准确度标准对真实的误差与合成系统的真正Koopman谱分解是已知的。接下来，我们将演示如何使用扩展DMD的内核方法时，建议的精度标准可以用来评估各种选择的内核的性能。最后，我们表明，我们所提出的方法成功地识别模式的高精度应用DMD的数据从实验中的流体，特别是粒子图像测速的圆柱体尾流和一个典型的分离边界层。
2017-10-02 math.DS
