半流稳定平衡点附近的光滑不变叶层与Koopman本征函数
Smooth invariant foliations and Koopman eigenfunctions about stable equilibria of semiflows
AI总结：
该研究针对巴拿赫空间上带稳定不动点的C^r半流，用参数化方法证明满足谱条件的不变子空间对应光滑不变叶层的存在唯一性，关联Koopman理论得到本征函数的相关性质，并验证其适用于Navier-Stokes系统。
摘要：
我们研究巴拿赫空间X上具有稳定不动点x的C^r半流{φ_t}_{t≥0}。我们借鉴参数化方法（Cabré等人，2003），证明了在满足若干附加谱条件的任意Dφ_t(x)不变子空间X₁⊂X下，在x点与X₁相切的C^r不变叶层的存在性，且在x点与X₁相切的足够光滑不变叶层的一个子类中，该叶层具有唯一性。随后我们将其与Koopman理论建立联系，从而在适当意义下确立了C^r Koopman本征函数的存在性与唯一性。我们证明这些结果可应用于Navier-Stokes系统，这是现代应用“Koopman主义”兴起过程中研究的典型例子。
英文摘要：
We consider a $C^r$ semiflow $\{ φ_t \}_{t \geq 0}$ on a Banach space $X$ admitting a stable fixed point $x$. We show, along the lines of the parameterization method (Cabré et al., 2003), the existence of a $C^r$ invariant foliation tangent to $X_1$ at $x$, for an arbitrary $D φ_t(x)$-invariant subspace $X_1 \subset X$ satisfying some additional spectral conditions. Uniqueness ensues in a subclass of sufficiently smooth invariant foliations tangent to $X_1$ at $x$. We then draw relations to Koopman theory, and thereby establish the existence and uniqueness, in some appropriate sense, of $C^r$ Koopman eigenfunctions. We demonstrate that these results apply to the case of the Navier-Stokes system, the archetypal example considered by the modern upheaval of applied 'Koopmanism'.
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