Global and fixed-terminal cuts in digraphs
多路切换类问题的计算复杂性可能会根据终端是否固定而显著变化。在这项工作中，我们提出了一个全面的研究这一现象在两种类型的切割问题的有向图：双割和bicut。1.已知固定终端边加权双重割是有效可解的。我们证明了一个紧的逼近因子$2$的固定终端节点加权双重切割。我们表明，全球节点加权双割不能近似为一个因子小于$3/2$下的唯一游戏猜想（UGC）。2.已知固定终端边加权双割具有紧逼近因子$2$。我们表明，全球边缘加权bicut是近似的一个因素严格优于$2$，全球节点加权bicut不能近似的一个因素小于$3/2$下UGC。3.在这些调查中，我们还证明了两个结果的无向图是独立的利益。首先，我们证明了节点加权$3$ -割问题的NP-完全性和$4/3$的一个紧不可逼近界。其次，我们证明了对于常数$k$，存在一个有效的算法来解决最小$\{s,t\}$分离$k$ -割问题。我们的算法的技术是组合的，基于LP和基于枚举的近似最小割。我们的硬度结果是基于组合减少和完整性差距的情况下。
2017-07-06 cs.DS math.OC
On Mimicking Networks Representing Minimum Terminal Cuts
给定一个具有一组终端$K \subset V$的容量限制无向图$G=(V,E)$，模仿网络是一个更小的图$H=(V_H,E_H)$，它精确地保留了终端之间的所有最小割。具体地，稀疏化器$V_H$的顶点集包含终端$K$的集合，并且对于终端$K$的每个二分区$U, K-U $，在$G$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小正好等于在$H$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小。Hagerup、Katajainen、Nishimura和Ragde（1995）提出了模仿网络的概念，他们还展示了一个大小为$2^{2^{k}}$的模仿网络，每个图都有$k$终端。最为人所知的模仿网络规模的下限是终端数量的线性。更准确地说，对于具有$k$终端的图，最著名的下界是$k+1$（Chaudhuri等人，2000）。在这项工作中，我们提高了上限和下限，减少了它们之间的双指数差距到一个单指数差距。具体地说，我们得到了模仿网络的如下上、下界：1）给定图$G$，我们给出了一个顶点数至多为$(|K|-1)$的Dedekind数（$\approx 2^{{(k-1)} \choose {\lfloor {{(k-1)}/2} \rfloor}}$）（与$V$的大小无关）的模仿网络的构造.此外，我们表明，该结构是最佳的所有{ \it限制模仿网络} -一个自然类的模仿网络，通过将顶点聚集在一起。2)存在具有$k$终…
2012-07-26 cs.DS
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree has Integrality Gap Smaller than 2
针对Steiner树问题，本文证明双向切割松弛（BCR）的整性间隙上界为1.9988，首次严格表明其优于恰好为2的自然无向松弛。
2024-08-08 cs.DM cs.DS
Threshold Minimum Cut with Terminal Quotas: Logarithmic and Planar Approximation Algorithms
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究带根节点、终端集和配额的阈值最小割问题，提出随机对数近似算法（一般图）和确定性2-近似（平面边割）及2Δ-近似（有界度平面点割）。
2026-06-16 cs.CC cs.DS
Planar Multiway Cut with Terminals on Few Faces
本文研究平面图上的Edge Multiway cut问题，提出基于同伦和球面切割分解并结合全局树宽与Dreyfus-Wagner动态规划的$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法，以面数$k$为参数优化了求解复杂度。
2025-06-29 cs.DS
An $O^*(1.84^k)$ Parameterized Algorithm for the Multiterminal Cut Problem
研究了\emph{multiterminal cut}问题，给定一个边为整数权的$n$ -顶点图和一个端点集，要求对顶点集进行划分，使得每个端点都在一个不同的部分中，且交叉边的总权至多为$k$ .我们的武器应该是几十年来已知的两个经典结果：[Ford和Fulkerson，\emph{Flows in Networks}，1962]的\emph{isolating cuts}和[Dahlhaus等人，\emph{SIAM J. Comp.} 23（4）：864-894，1994]。我们锐化这些旧武器的帮助下，子模函数，并将它们应用到这个问题，这使我们能够设计一个更详细的分支计划，决定是否一个非终端顶点是终端或没有。这种有界搜索树算法可以在$1.84^k\cdot n^{O(1)}$时间内运行，从而打破了$2^k\cdot n^{O(1)}$障碍。作为副产品，给出了$3$ -端割的$1.36^k\cdot n^{O(1)}$时间算法.对非终结点的预处理可以从其他方面对该问题进行研究。
2017-11-17 cs.DS
Odd Multiway Cut in Directed Acyclic Graphs
我们研究奇多路节点（边）切割问题，其中输入是一个图与指定的终端节点的集合，目标是找到一个最小的子集的非终端节点（边）删除，使终端节点之间没有一个奇数长度的路径。在早期的工作中，Lokshtanov和Ramanujan证明了奇数多路节点割和奇数多路边割在无向图中由解的大小参数化时都是固定参数易处理的（FPT）。在这项工作中，我们专注于有向无环图（DAG）和设计一个固定参数的算法。我们的主要贡献是扩大了阴影消除框架，以解决奇偶校验问题的DAG。我们补充我们的FPT结果与紧密的逼近性，以及多面体的结果为2终端的DAG。此外，我们还证明了无向图中奇多路边割的不可逼近性结果，即使是2个终端。
2018-04-06 cs.DS
An exponential lower bound for cut sparsifiers in planar graphs
给定一个边加权图$G$，它有一个$k$终端集$Q$，一个模仿网络是一个具有相同终端集的图，它精确地保持了终端的任何分区之间的最小割的大小。图压缩领域中的一个自然问题是为输入图$G$提供尽可能小的模仿网络，所述输入图是任意图或来自特定图类。本文给出了平面图中割仿网络的指数下界：在任意仿网络中，存在具有$k$终端的边加权平面图，它们需要$2^{k-2}$边。这几乎与Krauthgamer和Rika的$O(k 2^{2k})$的上限相匹配[SODA 2013，arXiv：1702.05951]，并且与假设所有终端位于单个面上的$O(k^2)$上限形成鲜明对比[Goranci，Henzinger，Peng，arXiv：1702.01136]。作为一个副结果，我们给出了Hagerup，Katajainen，Nishimura和Ragde~[JCSS 1998]，Khan和Raghavendra~[IPL 2014]以及Chambers和Eppstein~[JGAA 2013]给出的双指数上界的一个硬实例。
2017-12-30 cs.DS
An \(O(\log n)\)-Approximation for Three-Terminal Reachability-Preserving Minimum Edge Cut
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对三终端可达性保持最小边割问题，提出利用割主导分解树概率分布的多项式时间 \(O(\log n)\) 近似算法，通过扩展根树簇成辅助图并利用其结构特性及分解树割失真证明近似保证。
2026-07-23 cs.DS
Flow-Cut Gaps and Face Covers in Planar Graphs
稀疏割与图的最大并发多流之间的关系已被广泛研究。对于具有$k$终端对的一般图，流切间隙为$O(\log k)$，这是紧的。但是，当对流动网络施加拓扑限制时，情况就不那么清楚了。特别地，已经证实平面网络中的流切间隙是$O(1)$，而已知的边界将间隙置于$2$（Lee和Raghavendra，2003）和$O(\sqrt{\log k})$（Rao，1999）之间的某处。Okamura和Seymour（1981）的一个开创性结果表明，当平面网络的所有终端都位于一个面上时，流切间隙正好是$1$。通过考虑端子位于某些固定平面图形中的$γ>1$面上的平面网络，可以概括此设置。Lee和Sidiropoulos（2009）证明了流切间隙由$γ$的函数限定，Chekuri、Shepherd和Weibel（2013）表明间隙至多为$3γ$。我们证明了流切间隙是$O(\logγ)$，通过显示的边缘加权最短路径度量上的终端诱导承认随机嵌入到树失真$O(\logγ)$，这是紧的。前面的结果涉及边容量限制网络的设置。对于顶点容量受限的网络，控制流切间隙可能更具挑战性。虽然Okamura-Seymour定理没有精确的顶点容量版本，但近似版本成立; Lee，Mendel和Moharrami（2015）表明，顶点容量限制的流切间隙是终端位于单个面上的平面网络上的$O(1)$。我们证明了流切间隙是$O(γ)$的顶点…
2018-11-06 cs.DS math.MG
$\ell_p$-norm Multiway Cut
我们介绍和研究$\ell_p$ -norm-multiway-cut：这里的输入是一个无向图，非负边权重以及$k$终端，目标是找到一个分区的顶点集$k$部分，每个部分包含恰好一个终端，以最小化的$\ell_p$ -范数的切割值的部分。这是最小和多路割（当$p=1$）和最小最大多路割（当$p=\infty$）的统一推广，这两个问题都是图划分文献中研究得很好的经典问题。我们证明了$\ell_p$ -norm-multiway-cut在终端数为常数时是NP-难的，在平面图中也是NP-难的。在算法方面，我们设计了一个$O(\log^2 n)$ -近似的所有$p\ge 1$。我们还证明了自然凸规划的$Ω(k^{1-1/p})$的完整性缺口和对任意常数$ε>0$的$O(k^{1-1/p-ε})$ -不可逼近性假设的小集合扩张假设。
2021-06-28 cs.DS
Fixed-Parameter Tractability of Directed Multiway Cut Parameterized by the Size of the Cutset
给定一个有向图$G$，一组$k$终端和一个整数$p$，\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}问题询问是否存在一个至多由$p$（非终端）顶点组成的$S$集合，该集合的删除将断开每个终端与所有其他终端的连接。\textsc{Directed Edge Multiway Cut}是类似的问题，其中$S$是至多$p$边的集合。众所周知，这两个问题确实是等效的。多路切割的自然推广是\emph{multicut}问题，其中我们希望仅断开一组给定的$k$对，而不是所有对。马克思（Theor。比较科学2006）证明了在无向图中多路割是由$p$参数化的固定参数易处理（FPT）。Marx和Razgon（STOC 2011）证明了无向多割是FPT，有向多割是W[1]-hard，由$p$参数化。我们通过我们的主要结果完成了这幅图，该结果是\textsc{Directed Vertex Multiway Cut}和\textsc{Directed Edge Multiway Cut}都可以在时间$2^{2^{O(p)}}n^{O(1)}$中求解，即，FPT由解的割集的大小$p$参数化。这就回答了马克思提出的一个悬而未决的问题（Theor.比较科学2006）和Marx and Razgon（STOC 2011）。从我们的结果可以看出，对于$k=2$末端对的情况，\texts…
2013-04-25 cs.CC cs.DS
A near-linear time minimum Steiner cut algorithm for planar graphs
本文研究了具有非负边权的无向平面图的最小Steiner割问题。这个问题涉及到寻找图的最小割，该最小割将顶点（终端）的指定子集$X$分成两部分。这个问题是理论上的兴趣，因为它推广了两个经典的优化问题，最小$s$ - $t$削减和最小削减，并具有实际意义，因为它的应用程序计算Steiner（子集）TSP的下限。我们的算法具有运行时间$O(n\log{n}\log{k})$，其中$k$是终端的数量。
2019-12-31 cs.DS
Near-linear-time, Optimal Vertex Cut Sparsifiers in Directed Acyclic Graphs
令$G$是图，并且$S, T \subseteq V(G)$是终端$|S|=|T|=k$的（可能重叠的）集合。我们感兴趣的是计算$G$中终端割的顶点稀疏因子，即，图$H$上的最小可能数目的顶点，其中$S \cup T \subseteq V(H)$且使得对于每个$A \subseteq S$和$B \subseteq T$，最小$(A,B)$ -顶点割的大小在$G$中与在$H$中相同。我们假设我们的图是未加权的，终端可能是最小割的一部分。在以前的工作中，Kratsch和Wahlström（FOCS 2012/JACM 2020）使用拟阵理论的连接来证明顶点稀疏器$H$与$O(k^3)$顶点可以在随机多项式时间内计算，即使是任意有向图$G$。然而，从那时起，尺寸$O(k^3)$没有改进。在本文中，我们从极值组合学中著名的Bollobás两族定理中得到启发，并将全序引入Kratsch和Wahlström的方法中。这个新的视角允许我们构造一个稀疏的$H$的$Θ(k^2)$顶点的情况下，$G$是一个DAG。我们还展示了如何计算$H$在时间上接近线性的$G$的大小，提高了以前的$O(n^{ω+1})$。此外，$H$为每个分区$(A,B)$恢复$G$中最接近的最小切割，这是以前不知道的。最后，我们表明，一个稀疏的大小$Ω(k^2)$是必需的，无论是DAG和无向边切割。
2021-07-03 cs.DS math.CO
Fixed-parameter tractability of multicut in directed acyclic graphs
多割问题，给定一个图G，一组终端对T={（s_i，t_i）|1 <= i <= r}和整数p，询问是否可以找到由至多p个非终结顶点组成的割集，该割集分离所有终结对，即，在去除割集之后，对于每个1 <= i <= r，t_i是不能从s_i到达的。无向图中MULTICUT的固定参数易处理性，仅由割集的大小参数化，最近已被Marx和Razgon（STOC'11）以及Bousquet等人（STOC'11）独立证明，在抵抗攻击后，作为一个长期存在的开放问题。在本文中，我们证明了MULTICUT是固定参数听话的有向无环图，参数化时的割集的大小和终端对的数量。我们通过证明这对于仅通过割集的大小进行参数化是不合理的来补充这个结果，因为这个版本的问题仍然是W[1]-hard的。
2012-02-26 cs.CC cs.DS
The Parameterized Complexity Landscape of Two-Sets Cut-Uncut
本文系统研究了Two-Sets Cut-Uncut问题的参数化复杂性，刻画了输入图允许多项式核、FPT和XP算法的结构性质，并证明了距离到余图的FPT以及基于点覆盖数排除多项式核。
2024-08-24 cs.DM cs.DS
Domination and Cut Problems on Chordal Graphs with Bounded Leafage
弦图G的叶数是使G可实现为具有l个叶的树的子树的交图的最小整数l。我们考虑弦图的经典控制和切割问题的叶数结构参数化。Fomin，Golovach和Raymond [ESA 2018，Monumica 2020]证明了弦图上的支配集允许在时间上运行的算法$2^{O(l^2)} n^{O(1)}$。我们提出了一个概念上更简单的算法，运行在时间$2^{O(l)} n^{O(1)}$。我们扩展我们的方法，得到类似的结果连接支配集和Steiner树。然后，我们考虑两个经典的切割问题与不可删除的终端多路切割和不可删除的终端。我们证明了前者是W[1]-硬时，参数的叶龄和补充这一结果，提出了一个简单的$n^{O(l)}$ -时间算法。令我们惊讶的是，我们发现，多路切割与不可删除的终端弦图可以解决，相反，在$n^{O(1)}$时间。
2022-08-04 cs.CC cs.DS
Nearly Tight Bounds For Differentially Private Min $s$-$t$ and Multiway Cut
本文研究最小s-t割与多路k割问题的差分隐私，提出近乎紧的上下界及高效隐私算法，隐私损失指数级降低，且实验显示近似质量接近非私有算法。
2023-12-27 cs.DS
Steiner Tree Parameterized by Multiway Cut and Even Less
本文针对斯坦纳树问题提出两种更小结构参数化的固定参数可解算法：以最小多路割为参数并借助二分匹配求解，以及引入K-自由树宽混合参数化并扩展基于秩的方法，分别获得相应时间复杂度的求解算法。
2024-06-28 cs.DS
Multicuts in Planar and Bounded-Genus Graphs with Bounded Number of Terminals
给定一个无向的边加权图G和一对顶点（称为终端对），最小多割问题要求一个最小权的边集，使得删除这些边后，每对的两个终端属于图的不同连通分支。依赖于拓扑技术，我们提供了一个多项式时间算法的情况下，G是嵌入在一个固定的曲面上的亏格g（例如，当G是平面时），并且具有固定数量t的端子。运行时间是一个多项式的次数为O（sqrt{g^2+gt}）的输入大小。在平面情况下，我们的结果纠正了Bentz [Int. Workshop on Parameterized and Exact Computation，109-119，2012]的扩展摘要中的错误。最小多割问题也是多路割问题的一个推广，也称为多路割问题。多端切割问题;即使对于这种特殊情况，也没有专门的算法用于嵌入表面上的图形。
2016-11-23 cs.CG cs.DS
Dynamic Sketching for Graph Optimization Problems with Applications to Cut-Preserving Sketches
在本文中，我们介绍了一个新的模型称为\emph{dynamic sketching}的次线性算法。在该模型中，底层数据被划分为大的\emph{static}部分和小的\emph{dynamic}部分，目标是计算静态部分的汇总（即，\emph{sketch}），使得给定动态部分的任何\emph{update}，可以将其与草图组合以计算给定函数。如果草图的大小由动态数据长度的多项式函数限制，（基本上）与静态零件的大小无关，则我们称草图为\emph{compact}。该模型中的图优化问题$P$定义如下。输入是一个图形$G(V,E)$和一组$k$终端$T \subseteq V$;终端之间的边是动态部分，$G$中的其他边是静态部分。目标是将图$G$总结为紧凑的草图（尺寸为polyPDMATHABMX），使得给定端子之间的任何边的集合$Q$，可以仅使用草图来回答通过将$Q$中的所有边插入$G$而获得的图的问题$P$。我们研究了计算最大匹配的基本问题，并证明了紧边界上的草图大小。特别是，我们表明，存在一个（紧凑）的动态草图的大小$O(k^2)$的匹配问题，任何这样的草图的大小$Ω(k^2)$。我们的草图匹配可以进一步用于推导出紧凑的动态草图，其他基本的图形问题，涉及削减和连通性。有趣的是，我们的草图匹配也可以用来给一个基本的建设\emph{cut-preserving vertex spars…
2015-10-12 cs.DS
Rounding Algorithms for a Geometric Embedding of Minimum Multiway Cut
多路切割问题是，给定一个加权图和k >= 2个终端节点，找到一个最小权的边集，去除这些边可以分离所有终端。这个问题是NP难的，甚至对于一些小的delta > 0，在1+delta内近似也是NP难的。Calinescu，Karloff，and Rabani（1998）给出了一个性能保证为3/2-1/k的算法，该算法基于问题的几何松弛。本文给出了一种改进的随机化舍入方案，并给出了一个k=3的12/11-近似算法和一个一般的1.3438-近似算法.我们的方法取决于观察，设计一个随机舍入方案的几何松弛的问题本身是一个线性规划问题。本文探讨了这个问题的计算解决方案，并给出了一个证明，对于一般类的几何松弛，总是有随机舍入方案，匹配的完整性差距。
2003-09-15 cs.DM cs.DS
On Vertex Sparsifiers with Steiner Nodes
给定一个无向图$G=(V,E)$，其边容量$c_e\geq 1$为$e\in E$，$k$顶点的子集$T$称为终端，我们说一个图$H$是$G$的质量$q$割稀疏子当且仅当$T\subseteq V(H)$，并且对于$T$的任何划分$(A,B)$，图$G$和$H$中分离$A$和$B$的最小割的值在一个因子$q$内.我们说$H$是$G$的质量- $q$流稀疏因子，当且仅当$T\subseteq V(H)$，并且对于终端上的需求的任何集合$D$，由图$G$和$H$中的$D$中的分数路由需求引起的最小边缘拥塞的值在因子$q$内。到目前为止，研究的顶点稀疏化在一个限制设置，稀疏化$H$是不允许包含任何非终结顶点，即$V(H)=T$。对于这种设置，已知有效的算法用于构造质量$O(\log k/\log\log k)$切割和流顶点稀疏器，以及关于任何流或切割稀疏器的质量的$\tildeΩ(\sqrt{\log k})$的下限。我们研究流和切割稀疏在更一般的设置，其中施泰纳顶点是允许的，也就是说，我们不再需要$V(H)=T$。我们的算法来构建恒定质量的切割稀疏的大小$O(C^3)$在时间$\poly(n)\cdot 2^C$，和恒定质量的流量稀疏的大小$C^{O(\log\log C)}$在时间$n^{O(\log C)}\cdot 2^C$，其中$C$是总容量的边缘事件的终端。
2012-04-12 cs.DS
On the parameterized complexity of cutting a few vertices from a graph
研究了用一个小的顶点分离器从图中分离一小部分顶点的参数化复杂性。也就是说，给定图$G$和整数$k$、$t$，任务是找到具有$|X| \le k$和$|N(X)| \le t$的顶点集$X$。我们表明，-问题是固定参数易处理（FPT）时，$t$参数化，但W[1]-硬$k$参数化时，和-终端的问题，其中$X$必须包含一个给定的顶点$s$，是W[1]-硬$k$或$t$单独参数化时，但FPT时，参数化$k + t$。我们还表明，如果我们考虑边割，而不是顶点割，终端变体是NP-难的。
2013-10-01 cs.DS
The Power of Cut-Based Parameters for Computing Edge Disjoint Paths
本文回顾了经典的边不相交路径（EDP）问题，其中给定一个无向图$G$和一组终端对$P$，并询问$G$是否包含一组连接$P$中每个终端对的成对边不相交路径.我们的目的是确定结构特性（参数）的图形，允许有效的解决方案的EDP不限制终端的位置在$P$以任何方式。在这种情况下，EDP是已知的，保持NP-困难，即使在极其有限的图类，如图的顶点覆盖大小$3$。我们提出了三个结果，使用边缘分离器为基础的参数，以图表新的岛屿的易处理性的复杂性景观的电子数据处理。我们的第一个和主要结果利用最近的结构参数treecut宽度（一个参数与图形浸入和图形切割的基本联系）：我们得到一个多项式时间的算法EDP上的每一个图形类的有界treecut宽度。我们的第二个结果表明，EDP参数化的树切宽度是不太可能是固定参数听话。我们的最后，第三个结果是一个多项式内核的EDP参数化的最小反馈边集的大小在图中。
2018-08-10 cs.DS
Multicommodity Flows in Planar Graphs with Demands on Faces
我们考虑平面图中的多商品流问题。Seymour证明，如果供给图和需求图的并集是平面的，那么切割条件对于路由需求是充分的。Okamura-Seymour证明，如果所有的需求都在一个面上发生，那么再次切割条件对于路由需求是足够的。我们考虑这些设置的一个共同的概括，其中每个需求的端点都在平面图的同一个面上。我们表明，如果在图的每个面上的源/汇对是这样的，源和汇连续出现在包围面的循环上，则流切割间隙至多为3。为了证明这个结果，我们提出了一个概念，即通过凸组合的层状需求来逼近一个面上的需求。
2020-07-02 cs.DM cs.DS
Min-Max Connected Multiway Cut
Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学与物理学院）
本文研究了最小-最大连接多方式割问题，该问题要求将图分成t个连通部分，每个部分包含一个终端，并最小化各部分边界的最大权重。问题在连接性约束下具有新的特性，通过复杂度分析和算法设计揭示了其计算难度。
2026-04-26 cs.DS math.CO math.OC
Friendly Cut Sparsifiers and Faster Gomory-Hu Trees
我们设计了新的切割稀疏因子，与Nagamochi和Ibaraki的经典稀疏化相关[Jummica，1992]，这是一种算法，给定$n$节点上的未加权图$G$和参数$k$，计算具有$O(nk)$边的子图，该子图保留$k$的所有切割值。我们提出了友好切割稀疏因子的概念，它是$G$的一个未成年人，它保留了$k$的所有友好切割值，其中$G$中的切割被称为友好的，如果每个节点有更多的边将其连接到切割的自己一侧而不是另一侧。我们提出了一个算法，给定一个简单的图$G$，计算在几乎线性时间的友好切割稀疏与$\tilde{O}(n \sqrt{k})$边缘。使用类似的技术，我们还展示了如何，另外一个终端集$T$，人们可以计算在几乎线性时间的终端稀疏，它保留了最小的$st$ -削减之间的每对终端，与$\tilde{O}(n \sqrt{k} + |T| k)$边缘。将这些稀疏器插入到最近的用于构造简单图的Gomory-Hu树的$n^{2+o(1)}$时间算法中，以及用于处理不友好的最小割的相对简单的过程，我们改进了中等密集图的运行时间（例如，具有$m=n^{1.75}$边缘）。特别地，假设线性时间最大流算法，新的Gomory-Hu树的最新技术是我们的$(m+n^{1.75})^{1+o(1)}$和已知的$m n^{1/2+o(1)}$之间的最小值。我们进一步研究这种方法的局限性和更好的稀疏化的可能性。…
2021-10-29 cs.DS
Representative sets and irrelevant vertices: New tools for kernelization
奇圈变换多项式核的存在性是参数复杂性中一个著名的公开问题。最近，这是由本作者（Kratsch和Wahlström，SODA 2012）解决的，该问题具有随机多项式内核，使用拟阵理论对终端数量的大小多项式中的一组终端上的流问题进行编码。在目前的工作中，我们进一步建立了拟阵理论的核化的有用性，通过展示Lovász（Combinatorial Surveys 1977）和Marx（TCS 2009）的代表集的结果的应用。我们展示了如何代表集可以用来给一个难以捉摸的几乎2-SAT问题的多项式内核。我们进一步将代表集工具应用于图割问题中寻找不相关顶点的问题，即，可以使其不可删除而不影响问题状态的顶点。这给出了Multiway Cut问题的多项式核的第一个重要进展;特别地，我们得到了至多s个终端的Multiway Cut实例的O（k^{s+1}）个顶点的核。这两个核化结果都有显著的副产品效应，为一系列相关问题产生了第一个多项式核。更一般地说，不相关顶点的结果有覆盖图中的最小割的影响。对于有向图G=（V，E）且集合S，T \subseteq V，设r是最小（S，T）-点割（它可能与S和T相交）的大小.我们可以找到一个大小为O（|S| * |T| *r）的集合Z \subseteq V，它包含每个A \subseteq S，B \subseteq T的最小（A，B）-顶点割。类似地，对于一个无向图…
2012-06-26 cs.DS
Approximate minimum cuts and their enumeration
我们证明了连通图中的每个$α$ -近似最小割是唯一的最小$(S,T)$ -终端割，对于某些顶点子集$S$和$T$，每个顶点的大小至多为$\lfloor2α\rfloor+1$。这导致了另一种证明，$α$-顶点连通图中的$α$ -近似最小割的数目是$n^{O(α)}$，并且它们都可以在常数$α$的确定性多项式时间内被枚举。
2022-11-30 cs.DS
Directed multicut is W[1]-hard, even for four terminal pairs
我们证明了有向图中的多割，由割集的大小参数化，是W[1]-硬的，因此不太可能是固定参数易处理的，即使仅限于只有四个终端对的实例。这个否定的结果几乎完全解决了图分离问题的参数化复杂性领域中的一个中心开放问题，该问题最初由Marx和Razgon [SIAM J. COMPUT. 43（2）：355-388（2014）]，仅留下三个端子对打开的情况。我们的小工具方法还允许我们证明由终端对的数量参数化的Steiner方向问题的W[1]-硬度，解决Cygan，Kortsarz和Nutov的开放问题[SIAM J. Discrete Math.27（3）：1503-1513（2013）]。
2018-02-12 cs.DS
Hypergraph Cuts with General Splitting Functions
图中的最小$s$ - $t$割问题是组合优化中最基本的问题之一，并且图割是贯穿离散数学、理论计算机科学、运筹学和数据科学的算法的基础。虽然图是成对关系的标准模型，但超图提供了建模多路关系的灵活性，现在是复杂数据和系统的标准模型。然而，当从图推广到超图时，“切割超边”的概念不太清楚，因为超边的节点可以以多种方式分裂。在这里，我们通过考虑以最小化分裂超边处的惩罚之和的方式分离超图中的两个终端节点的问题，开发了超图切割的框架。在我们的设置中，不同的方法分裂相同的超边有不同的惩罚，惩罚是由我们所谓的分裂函数编码的。我们的框架在超图切割的基础上打开了一个丰富的空间。我们首先确定一个自然类的基数为基础的超边缘分裂功能，只依赖于分裂的每一侧的节点数。在这种情况下，我们表明，一般超图$s$ - $t$切割问题可以减少到一个易处理的图$s$ - $t$切割问题当且仅当分裂功能是子模。我们还确定了一个广泛的制度，非次模分裂函数的问题是NP-困难的。我们还分析了扩展到多路切割至少有三个终端节点，并确定一个自然类的分裂功能，该问题可以减少在一个近似保持的方式在图中的节点加权多路切割问题，再次受到子模块属性。最后，我们概述了一般超图割问题的几个开放性问题。
2020-01-09 cs.CC cs.DM cs.DS
Optimal Vertex-Cut Sparsification of Quasi-Bipartite Graphs
在点割稀疏化中，给定一个图$G=(V,E)$，其终端集为$T\subseteq V$，我们希望构造一个具有$T\subseteq V'$的图$G'=(V',E')$，使得对于每两个终端集$A,B\subseteq T$，$G'$中的最小$(A,B)$ -点割的大小与$G$中的相同.在最基本的设置中，$G$是不加权和无向的，我们希望通过$k=|T|$的函数来限制$G'$的大小。Kratsch和Wahlström [JACM 2020]证明了每个图$G$（可能有向），允许一个顶点切割稀疏化器$G'$，其顶点为$O(k^3)$，实际上可以在随机多项式时间内构造。我们研究（可能有向）图$G$是准二部，即，证明了$T$中的每条边至少有一个端点，并证明了它们允许一个顶点割稀疏算子，该稀疏算子具有$O(k^2)$边和顶点，并且实际上可以在确定性多项式时间内构造.事实上，这个界限自然地扩展到所有具有小分隔符的图，以划分有界大小的集合。最后，我们证明了信息理论上的一个近似匹配的下限，即，$\tildeΩ(k^2)$边是稀疏化拟二部无向图所必需的。
2022-07-04 cs.DS
Connectivity-Preserving Important Separators: A Framework for Cut-Uncut Problems
本文提出了一种新的框架，用于解决具有连通性约束的切-未切问题，通过保持连通性的分离器，改进了节点多方式切-未切问题的固定参数算法。
2026-10-08 cs.CC cs.DS
Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
Almost Tight Lower Bounds for Hard Cutting Problems in Embedded Graphs
我们证明本质上紧的下界，有条件的指数时间假设，两个基本的，但似乎非常不同的切割问题的表面嵌入图：最短的切割图问题和多路切割问题。图$G$嵌入在表面$S$上的割图是$G$的子图，其从$S$移除留下圆盘。研究了嵌入亏格$g$曲面上的无权图是否有长度至多为给定值的割图的问题。证明了$n^{Ω(g/\log g)}$问题在ETH条件下的时间下界。换句话说，Erickson和Har-Peled的第一个$n^{O(g)}$时间算法[SoCG 2002，Discr.\计算。\ Geom.\ #20004;是最佳的。我们还证明了问题是W[1]-困难时，参数的亏格，回答了17岁的问题，这些作者。一个无向图$G$的多路割图，它有$t$可区分的顶点（称为终端），是一组边，去除这些边会断开所有终端对。本文研究了一个无权图$G$的权值至多为给定值的多路割问题。我们证明了这个问题的$n^{Ω(\sqrt{gt + g^2+t}/\log(g+t))}$的时间下界，有条件的ETH，为任何选择的属$g\ge0$的图和终端数$t\ge4$。换句话说，第二作者的算法[Mimica 2017]（对于更一般的多割问题）本质上是最优的;这扩展了第三作者[ICALP 2012]的下限（对于平面情况）。平面问题的简化通常涉及网格状结构。我们的结果的主要新颖的想法是了解什么结构，而不是网格是必要的，如果我们要利用最佳的某个值$g…
2021-02-17 cs.CC cs.CG cs.DS
Computing multiway cut within the given excess over the largest minimum isolating cut
设$(G,T)$是（顶点）多路切割问题的实例，其中$G$是图，$T$是终端集。对于$t \in T$，将$t$与$T \setminus \{T\}$分开的一组非终结顶点称为$t$的一个\emph{isolating cut}。所有最小隔离割中的最大隔离割是$(G,T)$的多路割的自然下界。用$m$表示这个下限，并令$k$为整数。在本文中，我们提出了一个$O(kn^{k+3})$算法，计算一个多路切割的$(G,T)$的大小最多$m+k$或报告，没有这样的多路切割。所提出的算法的核心是下面的组合结果。设$G$是一个图，$X,Y$是$G$的两个不相交的顶点子集.令$m$为顶点$X-Y$分隔符的最小尺寸。然后，对于给定整数$k$，大小至多为$m+k$的\emph{important} $X-Y$分隔符\cite{MarxTCS}的数目至多为$\sum_{i=0}^k{n \choose i}$。
2010-11-29 cs.DM cs.DS
Parameterized Algorithms for Min-Max Multiway Cut and List Digraph Homomorphism
本文设计了求解两个参数化问题的{ \sf FPT}-算法。第一个是\textsc{List Digraph Homomorphism}：给定两个有向图$G$和$H$以及对于$G$的每个顶点的$H$的允许顶点列表，问题是是否存在关于列表约束的从$G$到$H$的同态。第二个问题是\textsc{Multiway Cut}的一个变体，即\textsc{Min-Max Multiway Cut}：给定一个图$G$，一个非负整数$\ell$，和一个$r$终端的集合$T$，问题是我们是否可以将$G$的顶点划分成$r$部分，使得（a）每个部分包含一个终端，并且（b）在该部分中最多有只有一个端点的$\ell$边。我们用$G$中映射到$H$的非循环边的边的个数$w$来表示\textsc{List Digraph Homomorphism}，并给出了一个时间$2^{O(\ell\cdot\log h+\ell^2\cdot \log \ell)}\cdot n^{4}\cdot \log n$算法，其中$h$是宿主图$H$的阶数.我们还证明了\textsc{Min-Max Multiway Cut}可以在时间$2^{O((\ell r)^2\log \ell r)}\cdot n^{4}\cdot \log n$中求解。我们的方法引入了一个一般问题，称为{ \sc列表分配}，其表达能力允许设计上述两个…
2015-09-24 cs.DS math.CO
Isolating Cuts, (Bi-)Submodularity, and Faster Algorithms for Global Connectivity Problems
Li和Panigrahi在最近的工作中，获得了第一个确定性算法的全局最小割的加权无向图，运行在时间$o(mn)$。他们引入了一种优雅而强大的技术，通过少量的$s$ - $t$最小割计算来找到图中终端集的隔离割。在本文中，我们推广他们的隔离切割方法的抽象设置的对称双子模函数（也捕获对称子模函数）。我们推广到双子模的动机是应用到元素连通性和顶点连通性。利用一般的框架和其他想法，我们获得了显着更快的随机算法计算全球（和子集）的连接在一些设置，包括超图，元素连接和顶点连接图，并为对称次模函数。
2021-03-24 cs.DS
Directed Reachability-Preserving Minimum Edge Cut: Approximation and Planar Hardness
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究有向三终端保持可达性的最小边割问题，提出基于根线性近似的O(√r)近似算法，并证明有向平面版本是NP难的。
2026-06-17 cs.CC cs.DS
Network Design with Coverage Costs
我们研究网络设计的成本结构的动机冗余数据流量。我们给出了一个图，g组终端，和一个宇宙的数据包。每组终端需要来自其各自源的分组的子集。在网络中的任何边缘上路由流量的成本与边缘承载的不同数据包的总大小成比例。我们的目标是找到一个最低成本的路由。我们专注于两个设置。在第一种情况下，源-宿对所需的分组集合是分层的。对于这种设置，我们提出了一个基于原始-对偶的2-近似，改进了Barman和Chawla（2012）的对数近似。在第二种设置中，分组集合可以具有非平凡交集。我们专注于的情况下，每个数据包所需的一个单一的终端组或所有的组，和图形是unweighted。对于这个设置，我们提出了一个O（log g）-近似。我们的第二种设置的近似是基于一种新的spanner型结构的未加权图，给定一个集合的g顶点子集，找到一个子图的成本只有一个常数因子以上的最小生成树的图形，使每个子集在集合中有一个施泰纳树的子图的成本最多为O（log g），其最小施泰纳树在原始图。我们称这样的子图为群图。
2013-07-29 cs.DS
Mimicking Networks Parameterized by Connectivity
给定图$G=(V,E)$，边上的容量$w(e)$，和终端$\mathcal{T} \subseteq V: |\mathcal{T}| = k$的子集，$(G,\mathcal{T})$的模仿网络是图$(H,w')$，其包含$\mathcal{T}$的副本，并保持分离终端的任何子集$A, B \subseteq \mathcal{T}$的最小割的值。已知存在大小为$2^{2^k}$的模仿网络，并且可以通过算法构造，而最知名的下限是$2^{Ω(k)}$ ;因此，如果要精确地保持切割，则需要指数大小。在本文中，我们研究了模仿网络，保持连通性的图完全$c$的值，其中$c$是一个参数。这种模仿网络的概念对于某些应用程序来说已经足够了，我们将详细说明。我们首先表明，存在一个模仿的大小$3^c \cdot k$，也就是说，我们可以保持削减小容量使用网络的大小线性$k$。接下来，我们展示了一种算法，它可以在时间上找到这样一个模仿网络$2^{O(c^2)} \operatorname{poly}(m)$。
2019-10-23 cs.DS
A Parameterized Algorithm for Mixed Cut
经典门格尔定理指出，在任何无向（或有向）图$G$中，给定一对顶点$s$和$t$，顶点（边）不相交路径的最大数目等于从$s$和$t$断开所需的顶点（边）的最小数目。该最小-最大结果可以转化为多项式时间算法，以找到顶点（边）不相交路径的最大数量以及将$s$从$t$断开所需的顶点（边）的最小数量。在本文中，我们研究了这个问题的混合版本，称为混合切割，其中我们给定一个无向图$G$，顶点$s$和$t$，正整数$k$和$l$，目的是检验是否存在$k$大小的顶点集$S \subseteq V(G)$和$l$大小的边集$F \subseteq E(G)$，使得从$G$与$s$和$F$断开连接。我们从一个小的观察开始，这个问题是NP完全的，然后研究这个问题，实际上是一个更强的泛化，在参数化复杂性领域。特别是我们研究的混合多路切割未切割的问题，随着一组终端$T$，我们也给出了一个等价关系$\mathcal{R}$上$T$，问题是我们是否可以删除最多$k$顶点和最多$l$边缘，使终端的连通性在所得到的图方面$\mathcal{R}$。我们的主要结果是使用Chitnis等人（FOCS 2012）引入的递归理解方法的混合多路切割-未切割的固定参数算法。
2015-09-18 cs.DS
Subexponential Parameterized Algorithms for Cut and Cycle Hitting Problems on H-Minor-Free Graphs
我们设计了第一个次指数时间（参数化）算法的几个切割和循环击中问题的$H$ -小自由图。特别是，我们得到了以下结果（其中$k$是解决方案的大小参数）。1.边二分化和奇循环变换的$2^{O(\sqrt{k}\log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法; 2.用于边缘多路切割的$2^{O(\sqrt{k}\log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多路切割的$2^{O(r \sqrt{k} \log k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子的数量; 3.用于边缘多切的$2^{O((r+\sqrt{k})\log^4 (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于顶点多切的$2^{O((\sqrt{rk}+r) \log (rk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$r$是要分离的端子对的数量; 4.用于组反馈边集的$2^{O(\sqrt{k} \log g \log^4 k)} \cdot n^{O(1)}$时间算法和用于组反馈顶点集的$2^{O(g \sqrt{k}\log(gk))} \cdot n^{O(1)}$时间算法，其中$g$是组的大小。5.此外，我们的方法也给出了$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的所有上述问题，除了$n^{O(r+\sqrt{k})}$时间的边缘/顶点多…
2022-07-04 cs.DM cs.DS
Nearly-Tight Bounds for Flow Sparsifiers in Quasi-Bipartite Graphs
本文针对拟二部图构造了规模为 3^{k^3} 的精确流稀疏化器和 2^{k^2} 的精确割稀疏化器，提出基于多面体几何的新技术，并改进有界树宽图的归约定理，得到规模 O(k·w)、质量 O(log w/log log w) 的流稀疏化器。
2024-09-06 cs.DS
Packing multiway cuts in capacitated graphs
我们考虑无向图中的“多路切割包装”问题：给定图G=（V，E）和k个商品，每个商品对应于图中不同顶点上的一组终端;我们的目标是产生一个切割集合{E_1，...，E_k}，使得E_i是商品i的多路切割，并且使任何边缘上的最大负载最小化。边上的载荷被定义为解中穿过边的切口数。在该问题的容量限制版本中，目标是最小化任何边缘上的最大相对负载--边缘负载与其容量的比率。多路切割包装出现在图标记问题的上下文中，其中我们给出了一组项目的部分标记和它们的邻域结构，并且，非正式地，目标是以最一致的方式完成标记。这个问题是由Rabani，Schulman和Swamy（SODA'08）提出的，他们在一般图中提出了一个O（log n/log log n）的近似，在树中也提出了一个改进的O（log^2 k）近似。这里n是图中的节点数。我们提出了这个问题的第一个常数因子近似任意无向图。我们的方法是基于这样的观察，即问题的每一个实例都有一个接近最优的层流解（也就是说，没有一对切口相互交叉）。
2008-10-03 cs.DS
Tractability of Hard Digraph Cut Problems on Eulerian Instances: Treewidth Reduction and Reducing CMSO to Unbreakable Eulerian Instances
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；DIMAG, Institute for Basic Science（基础科学研究院DIMAG）
本文针对欧拉有向导图，证明了树宽约简与CMSO约简的类似结果，为多个W[1]-难的有向导割问题（如Directed Multicut等）提供了FPT算法。
2026-10-14 cs.DS
Hypergraph $k$-cut for fixed $k$ in deterministic polynomial time
考虑超图-PDMATHAMM-割问题.输入由具有非负超边成本$c: E\rightarrow R_+$和正整数$k$的超图$G=(V,E)$组成。目标是找到最小代价子集$F\subseteq E$，使得$G-F$中的连通分量的数目至少为$k$。目标的另一种表述是找到$V$到$k$非空集$V_1,V_2,\ldots,V_k$的划分，以便最小化穿过划分的超边的成本。图- $k$ -割是超图- $k$ -割的一种特殊情况，它是通过限制图的输入而得到的.当$k$固定时，几种不同的方法导致了图- $k$ -cut的多项式时间算法，从Goldschallow和Hochbaum（1988）的工作开始。相比之下，直到最近才通过Karger的随机压缩方法的微妙推广开发了Hypergraph- $k$ -cut的随机多项式时间算法（Xu，Yu，2018）。在这项工作中，我们开发了第一个超图的确定性多项式时间算法- $k$ -cut（对于所有固定的$k$）。我们描述了两种算法，这两种算法都是基于分而治之的方法。第一种算法比较简单，在$n^{O(k^2)}$时间内运行，而第二种算法在$n^{O(k)}$时间内运行。我们的证明依赖于新的结构的结果，允许有效地恢复的部分最佳$k$分区解决最小$(S,T)$终端削减。我们的技术甚至为Graph- $k$ -cut提供了新的见解。
2020-09-25 cs.DS math.CO
Approximating Submodular Matroid-Constrained Partitioning
本文研究统一固定终端与全局设定两种场景的最小子模拟阵约束划分问题，给出对称、单调及一般子模函数情形下的可近似性结果，并在对称情形达到当前最优水平。
2025-07-02 cs.DM cs.DS
Near-Linear $\varepsilon$-Emulators for Planar Graphs
我们研究顶点稀疏的距离，在设置平面图的失真：给定一个平面图$G$（边权重）和$k$终端顶点的一个子集，我们的目标是构建一个$\varepsilon$ -仿真器，这是一个小平面图$G'$，包含终端和终端之间的距离保持因子$1+\varepsilon$。我们构建了第一个$\varepsilon$ -模拟器的平面图的近线性大小$\tilde O(k/\varepsilon^{O(1)})$。在$k$方面，这是对Cheung，Goranci和Henzinger先前的二次上限的显著改进，并且打破了精确仿真器的已知二次下限（当$\varepsilon=0$时的情况）。此外，我们的模拟器可以计算（近）线性时间，这导致快速$(1+\varepsilon)$近似算法的基本优化问题的平面图，包括多源最短路径，最小$(s,t)$ -切割，图形直径，和动态距离预言。
2022-06-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Vertex Sparsifiers and Abstract Rounding Algorithms
在\cite{M}中引入了顶点稀疏化的概念，其中示出了对于任何图$G = (V, E)$和$k$终端$K \subset V$的子集，存在多项式时间算法来仅在终端集上构造图$H = (K, E_H)$，使得同时对于所有切割$(A, K-A)$，将$A$与$K -A$分开的$G$中的最小切割值与$H$中的相应切割值大致相同。我们给出了第一个超常数下界如何以及切割稀疏$H$可以同时近似所有最小切割$G$。我们证明了一个下界的$Ω(\log^{1/4} k)$ -这是多项式相关的$O(\log k/\log \log k)$已知的上界。这是对\cite{LM}中给出的$Ω(\log \log k)$界的指数级改进，该界实际上是为了更强的顶点稀疏化保证，并且不适用于切割稀疏器。尽管有这个负面的结果，我们表明，对于许多自然问题，我们不需要招致我们的减少乘法处罚。得到了最优的$O(\log k)$竞争Steiner不经意路由方案，推广了\cite{R}中的结果.我们还表明，对于广泛的图包装问题（其中包括最大并发流，最大多流和组播路由，除其他外，作为一个特殊情况），线性规划的完整性差距总是在最多$O(\log k)$倍的完整性差距限制树。这一结果有助于解释$O(\log k)$对此类问题的保证的普遍性。最后，我们使用我们的想法，给出一个有效的顶点稀疏匹配当前最好的存在结果的构造-这是以前开放的。…
2010-06-23 cs.DS
Cutting corners cheaply, or how to remove Steiner points
我们的主要结果是，斯坦纳点删除（SPR）问题总是可以解决与多对数失真，这回答了肯定的问题提出的陈，夏，Konjevod，和Richa（2006）。具体地说，我们证明了，对于每一个边加权图$G = (V,E,w)$和终端$T \subseteq V$的子集，有一个图$G'=(T,E',w')$是同构的$G$的一个小的，使得每两个终端$u,v\in T$，它们之间的最短路径距离在$G$和$G'$满足$d_{G,w}(u,v) \le d_{G',w'}(u,v) \le O(\log^5|T|) \cdot d_{G,w}(u,v)$。我们的存在性证明实际上给出了一个随机多项式时间算法。我们的证明功能的度量分解的一个新的变种。众所周知，每个$n$ -点度量空间$(X,d)$允许$β=O(\log n)$的$β$ -分离分解，这大致意味着对于每个期望的直径界$Δ>0$，存在$X$的随机划分，它满足以下分离要求：对于每个$x,y \in X$，它们位于划分的不同簇中的概率至多为$β\,d(x,y)/Δ$ .我们引入了一个额外的要求，这是以下的尾界：对于每个长度为$d(P) \leq Δ/β$的最短路径$P$，满足路径$P$的分区的集群的数量，表示为$Z_P$，满足所有$t>0$的$\Pr[Z_P > t] \le 2e^{-Ω(t)}$。
2015-08-20 cs.DS
Oblivious Stacking and MAX $k$-CUT for Circle Graphs
堆垛是物流中的一个重要过程。要堆放的物品的一些显著的例子是钢堆场中的钢筋或钢板或集装箱码头或船上的集装箱。如果两个项目的存储时间间隔重叠，我们说这两个项目是冲突的，在这种情况下，其中一个项目需要重新处理，如果项目存储在相同的后进先出存储位置。我们考虑使用$k$ LIFO位置的堆叠项目的问题，共享一个位置的项目之间的冲突数量最少。我们提出了一个非常简单的在线堆叠算法，是不经意的存储时间间隔和存储位置的所有其他项目时，它挑选一个存储位置的项目。分配相同的存储位置的两个冲突的项目的风险被证明是顺序$1/k^2$下的项目的存储时间间隔的分布的温和的假设。直觉上，在不经意的设置中随机均匀地选择一个存储位置似乎是很自然的，这意味着$1/k$的风险，因此我们的算法的风险出奇地低。我们的结果也可以表示的上下文中的最大$k$ -切问题的圆图。结果表明，平均而言，圆图具有相对较大的$k$ -割相比，总的边缘数。
2021-06-03 cs.DM cs.DS
Vertex Sparsifiers: New Results from Old Techniques
给定一个容量限制图$G = (V,E)$和一组终端$K \subseteq V$，我们应该如何产生一个图$H$只在终端$K$，使每个（多商品）在$G$中的终端之间的流可以支持在$H$低拥塞，反之亦然？(Such图$H$被称为$G$的流稀疏因子。）如果我们想让$H$成为一个“简单”的图呢？如果我们允许$H$是简单图的凸组合会怎样？改进Moitra [FOCS 2009]和Leighton和Moitra [STOC 2010]的结果，我们给出了有效的算法来构建：（a）流稀疏器$H$，其将拥塞维持到因子$O(\log k/\log \log k)$，其中$k = |K|$，（b）终端$K$上的树的凸组合，其将拥塞维持到因子$O(\log k)$，以及（c）对于平面图$G$，平面图的凸组合，其保持拥塞直到常数因子。这就要求我们给出一个新的算法来解决0-扩张问题，第一个算法是在$G$中每个终端的原像是连接的。此外，这一结果扩展到小闭图族。我们的改进的界限立即意味着改进的近似保证几个终端为基础的切割和排序问题。
2014-04-23 cs.DS
