List homomorphism problems for signed trees
本文研究符号图列表同态问题的计算复杂性，分类了目标为树（可带环）时的复杂性，并开发了可用于其他符号图类分类的工具，揭示多项式情形具有类似双弧图的良好结构。
2023-05-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Subexponential algorithms for variants of homomorphism problem in string graphs
我们考虑了从具有$n$顶点的曲线（弦图）的交图到固定图$H$的加权同态的复杂性。我们提供了一个完整的二分法的问题：如果$H$没有两个顶点共享两个共同的邻居，那么这个问题可以解决的时间$2^{O(n^{2/3} \log n)}$，否则没有算法工作的时间$2^{o(n)}$，即使在相交图的部分，除非ETH失败。这推广了有关几何求交图计算问题复杂性的几个已知结果。然后我们考虑了图同态问题的两个变体，称为局部单射同态和局部双射同态，其中我们要求同态在每个顶点的邻域上是单射或双射的。我们表明，对于每个目标图$H$，这两个问题总是可以解决的时间$2^{O(\sqrt{n} \log n)}$在字符串图。对于以类似方式定义的局部满同态，情况似乎更复杂。我们证明了最大度为2的简单连通图$H$的二分法。如果$H$同构于$P_3$或$C_4$，则从具有$n$顶点的字符串图到$H$的局部满射同态的存在性可以在时间$2^{O(n^{2/3} \log^{3/2} n)}$上判定，否则问题不能在时间$2^{o(n)}$上求解，除非ETH失败。作为副产品，我们得到了几个结果有关的复杂性变种的同态问题的$P_t$ -free图。特别地，我们得到了加权同态的二分法，类似于弦图的二分法。
2019-06-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Fine-grained complexity of the graph homomorphism problem for bounded-treewidth graphs
对于图$G$和$H$，从$G$到$H$的\emph{homomorphism}是从$G$的顶点集到$H$的顶点集的保边映射。对于一个固定的图$H$，我们用\textsc{Hom($H$)}表示一个计算问题，该问题询问给定的图$G$是否允许一个同态到$H$。如果$H$是一个具有$k$顶点的完全图，则\textsc{Hom($H$)}等价于$k$ - \textsc{Coloring}问题，因此图同态可以看作是着色的推广。众所周知，如果$H$是二分的或有一个带环的顶点，则\textsc{Hom($H$)}是多项式时间可解的，否则是NP-完全的[Hell和Nešethabil，JCTB 1990]。在本文中，我们感兴趣的问题的复杂性，参数化的树宽度的输入图$G$。如果$G$具有$n$顶点并且连同其宽度$\mathrm{tw}(G)$的树分解一起给出，则可以使用直接的动态规划在时间$|V(H)|^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$上求解该问题。我们探讨是否可以提高这个界限。我们表明，如果$H$是一个\emph{projective core}，那么存在这样一个更快的算法是不可能的：假设强指数时间假设（SETH），\textsc{Hom($H$)}问题不能解决的时间$(|V(H)|-ε)^{\mathrm{tw}(G)} \cdot n^{\…
2020-02-18 cs.CC cs.DM cs.DS
An Algorithmic Framework for Locally Constrained Homomorphisms
从客图$G$到主图$H$的同态$f$是局部双射、内射或满射的，如果对每个$u\in V(G)$，$f$到$u$的邻域的限制分别是双射、内射或满射的.相应的决策问题，LBHOM，LIHOM和LSHOM，在一般的图和特殊的图类，得到了很好的研究。这三个问题的参数化复杂性除了用客图的树宽和最大度参数化后得到的复杂性结果外，还缺乏深入的研究。本文填补了这一空白：通过考虑客体图$G$的参数层次，我们证明了一些新的FPT，W[1]-hard和para-NP-complete结果.对于我们的FPT结果，我们通过开发一个新的算法框架来实现这一点，该框架涉及到一个通用的ILP模型。为了说明新框架的适用性，我们还用它来证明FPT结果的角色分配问题，这源于社会网络理论，是密切相关的局部满同态。
2022-01-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Counting and Finding Homomorphisms is Universal for Parameterized Complexity Theory
计算从一个图$H$到另一个图$G$的同态是（参数化）计数复杂性理论的一个基本问题。在这项工作中，我们研究的情况下，\emph{both}图$H$和$G$干给定类的图：$H\in \mathcal{H}$和$G\in \mathcal{G}$。通过这一点，我们结合了这个问题的结构限制的版本，与语言限制的版本。我们的主要结果是一个建设的基础上Kneser图，将每个问题$\tt P$在$\#\mathsf{W[1]}$与两个类的图形$\mathcal{H}$和$\mathcal{G}$，使问题$\tt P$是\emph{equivalent}的问题$\#{\tt HOM}(\mathcal{H}\to \mathcal{G})$计数同态从一个图在$\mathcal{H}$的图在$\mathcal{G}$。鉴于Ladner对$\mathsf{NP}$ -中间问题[J.ACM'75]的存在性及其对参数化设置的适应性的开创性工作，在固定参数易处理和$\#\mathsf{W[1]}$ -完全情况下对类$\#\mathsf{W[1]}$进行分类是不可能的。因此，获得问题$\#{\tt HOM}(\mathcal{H}\to \mathcal{G})$的完整分类似乎是不可能的。此外，我们的证明很容易适应$\mathsf{W[1]}$。在寻找复杂性二分法，因此，我们转向特殊的图形类。这些类包括线图，无…
2021-08-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Homomorphism Indistinguishability, Multiplicity Automata Equivalence, and Polynomial Identity Testing
University of Antwerp（安特卫普大学）；IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）
本文研究了同态不可区分性与多重自动机等价性问题，证明了其复杂度为C_L完全，并展示了算法在特定图类上的最优性。
2026-09-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Near-Linear Time Homomorphism Counting in Bounded Degeneracy Graphs: The Barrier of Long Induced Cycles
在输入图$G$中计算恒定大小模式图$H$的同态是一个基本的计算问题。在对输入$G$和模式$H$的各种约束下，研究这个问题的复杂性有着丰富的历史。考虑到这个问题的重要性和现代输入的大尺寸，我们研究了近线性时间算法的可能性。我们专注于输入图有界退化的情况下，一个普遍研究和实际相关类同态计数。从以前的工作中得知，对于某些类的$H$，$H$ -同态可以在近线性时间内精确计数有界退化图。我们能否精确地描述模式$H$的特征，从而使近线性时间算法成为可能？我们完全解决了这个问题，发现了一个干净的二分法使用细粒度的复杂性。令$m$表示$G$中的边的数目。我们证明如下：如果$H$中的最大诱导圈的长度不超过$5$，则存在一个计算有界退化图中$H$ -同态的$O(m\log m)$算法.如果$H$中最大的诱导循环的长度至少为$6$，那么（假设标准的细粒度复杂度模型）存在一个常数$γ> 0$，这样就不存在计算$H$ -同态的$o(m^{1+γ})$时间算法。
2020-11-19 cs.CC cs.DS
Counting list homomorphisms from graphs of bounded treewidth: tight complexity bounds
这项工作的目标是给出精确的计数复杂性的一个家庭的广义着色问题（列表同态）有界树宽图。给定图$G$、$H$和每个$v\in V(G)$的列表$L(v)\subseteq V(H)$，{ \em列表同态}是保留边的函数$f:V(G)\to V(H)$（即，$uv\in E(G)$意味着$f(u)f(v)\in E(H)$）并遵守列表（即，$f(v)\in L(v))$。标准技术表明，如果$G$是用宽度为$t$的树分解给出的，则列表同态的数量可以在时间上计数$|V(H)|^t\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。我们的主要结果是确定，对于每一个固定的图$H$，有多少基本$|V(H)|$在运行时间可以提高。对于一个连通图$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$如下：如果$H$有一个循环或者是非二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是一个集合$S\subseteq V(H)$的最大尺寸，其中任何两个顶点有不同的邻域;如果$H$是二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是这样一个集合的最大尺寸，它完全在一个二分类中。对于不连通的$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$为$H$的每个连通分量$C$上的$\operatorname{irr}(C)$的最大值。我们发现，对于每个固定的图$H$，列表同态从$…
2021-10-29 cs.CC cs.DS
Full complexity classification of the list homomorphism problem for bounded-treewidth graphs
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。设$H$是一个可能有循环的固定图。在列表同态问题中，记为LHom（$H$），我们给出了一个图$G$，它的每个顶点$v$都被分配了一个$H$的顶点列表$L(v)$。我们问是否存在从$G$到$H$的同态$h$，它尊重列表$L$，即，对于每个$v \in V(G)$，它保持该$h(v) \in L(v)$。Feder、Hell和Huang [JGT 2003]证明了LHom的复杂性二分法（$H$）。我们感兴趣的问题的复杂性，参数化的输入图的树宽。这个问题由Egri，Marx和Rzewski [STACS 2018]研究，他们获得了自反图$H$特殊情况的严格复杂性界限。本文推广了他们关于\emph{all}相关图$H$的结果，即，对于这些问题，LHom{H}问题是NP难的。对于每个这样的$H$，我们发现一个常数$k = k(H)$，使得具有$n$顶点和树宽$t$ * 的实例上的LHom（$H$）可以在时间$k^{t} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$中求解，只要输入图与宽度$t$的树分解一起给出，对于任何$\varepsilon >0$，* 不能在时间$(k-\varepsilon)^{t} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$中求解，除非SETH失败。对于某些图$H$，$k(H)$的值远…
2020-09-22 cs.CC cs.DS
Tight Bounds for Subgraph Isomorphism and Graph Homomorphism
我们证明，除非指数时间假设（ETH）失败，决定是否有一个同态从图$G$图$H$不能在时间$|V(H)|^{o(|V(G)|)}$。结合Cygan，Paclanki和Socaalia的约简，我们的结果排除了（在ETH条件下）$|V(G)|^{o(|V(G)|)}$ -时间算法判定图$H$是否是$G$的子图的可能性.对于这两个问题，我们的下界渐近匹配的运行时间的蛮力算法尝试所有可能的映射到另一个图。因此，我们的工作填补了这些基本问题已知复杂性的空白。
2015-07-14 cs.DS
Testing List H-Homomorphisms
设$H$是一个无向图。在列表$H$ -同态问题中，给定一个无向图$G$，对每个变量$v \in V(G)$都有一个列表约束$L(v) \subseteq V(H)$，目标是找到一个列表$H$ -同态$f:V(G) \to V(H)$，即对每个$v \in V(G)$都有一个$f(v) \in L(v)$，而对$(u,v) \in E(G)$都有$(f(u),f(v)) \in E(H)$.我们考虑以下问题：给定一个映射$f:V(G) \to V(H)$作为一个oracle访问，目标是以高概率决定$f$是否是一个列表$H$ -同态或\textit{far}从任何列表$H$ -同态.算法的效率通过访问$f$的次数来衡量。在本文中，我们分类图$H$关于测试列表$H$ -同态的查询复杂性，并证明了以下的剖分保持：（i）列表$H$ -同态是可测试的一个常数的查询次数当且仅当$H$是一个自反完全图或一个非自反完全二部图。(ii)列表$H$ -同态是可测试的次线性数量的查询当且仅当$H$是一个双弧图。(iii)测试列表$H$ -如果$H$不是双弧图，则同态需要线性数量的查询。
2011-06-16 cs.DS
Reconfiguring homomorphisms to reflexive graphs via a simple reduction
本文提出一种简单归约方法，利用无平方无自反图的已知算法结果，为无平方自反图的 $H$-Recoloring 问题构建多项式时间算法，推广了现有算法结论并恢复了部分硬度结果。
2024-10-16 cs.DM cs.DS
Fractional homomorphism, Weisfeiler-Leman invariance, and the Sherali-Adams hierarchy for the Constraint Satisfaction Problem
给定一对图$\textbf{A}$和$\textbf{B}$，判定从$\textbf{A}$到$\textbf{B}$是否存在同态或同构的问题受到了广泛的关注.虽然图的同态是已知的NP-完全的，图的同构问题的复杂性还没有完全理解。图同构的一个著名的组合启发式是Weisfeiler-Leman测试及其高阶变体。另一方面，这两个问题可以重新制定为整数规划和各种LP方法可以应用于获得高质量的松弛，仍然可以有效地解决。我们研究所谓的分数松弛这些程序在更一般的情况下，$\textbf{A}$和$\textbf{B}$是不是图，但任意的关系结构。我们给出了Sherali-Adams族的组合特征，适用于同态问题的分数同构。附带地，我们还扩展了一些已知的结果，从图论中给出的关系结构的分数同构的概念的表征Weisfeiler-Leman测试，公平分区，并计数同态从树。其结果是，我们得到的家庭的CSP下关闭Weisfeiler-Leman不变性方面的多态性，以及由第一级的Sherali-Adams层次的可判定性的描述。
2021-07-07 cs.DM cs.DS
A Dichotomy Theorem for Linear Time Homomorphism Orbit Counting in Bounded Degeneracy Graphs
针对有界退化图中的同态轨道计数问题，提出二分法定理：根据模式图相同轨道顶点间最长诱导路径长度l是否小于等于5，判定其是否存在近线性时间算法。
2024-09-24 cs.DM cs.DS
The complexity of general-valued CSPs seen from the other side
约束满足问题（CSP）是关于两个结构之间的同态。对于具有限制性左手边结构的CSP，Dalmau，Kolaitis和Vardi [CP'02]，Grohe [FOCS'03/JACM'07]，Atserias，Bulatov和Dalmau [ICALP'07]的结果建立了多项式时间可解性（受复杂性理论假设）和有界一致性算法可解性（无条件）的精确边界作为有界树宽模同态等价。一般值约束满足问题（VCSP）是两个值结构之间同态的CSP的推广。对于VCSPs与限制的左手边值结构，我们建立了精确的边界多项式时间的可解性（受复杂性理论的假设）和可解性的$k$ -级的Sherali-Adams LP层次（无条件）。我们还获得了结果，有关问题的解决方案和认识到听话的情况下，后者在数据库理论中的应用。
2021-10-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Homomorphism Extension
我们定义了同态扩张（HomExt）问题：给定一个群$G$，一个子群$M \leq G$和一个同态$φ: M \to H$，判定是否存在一个同态$\widetildeφ: G\to H$扩张$φ$，即，$\widetildeφ|_M = φ$。这个问题出现在列表解码同态码的背景下，但也是独立的利益，无论是作为一个问题，在计算群论和作为一个新的和自然的NP问题的不稳定的复杂性状态。我们考虑$H=S_m$（度为$m$的对称群）的情况，即，$φ: G \to H$是一组$m$元素上的$G$ -操作。我们假设$G\le S_n$是由生成元列表给出的置换群。我们刻画的等价类的多维Oracle子集和问题的扩展。由此我们推断，对于有界$G$，HomExt问题可以在多项式时间内解决。我们的主要结果涉及的情况下，$G=A_n$（交替组的程度$n$）为变量$n$的$M$在$G$的指数是有界的聚$(n)$。我们解决了这种情况下，在多项式时间的所有$m < 2^{n-1}/\sqrt{n}$。这是与同态码直接相关的情况（Babai，Black和Wuu，arXiv 2018）;它被用作该论文中主要算法之一的组成部分。
2018-06-20 cs.DS
Homomorphisms Are a Good Basis for Counting Small Subgraphs
我们引入图模参数，一类图参数，只依赖于常数大小的诱导子图的频率。Lovász的经典著作表明，许多有趣的量具有这种形式，包括，对于固定图$H$，输入图$G$中的$H$ -副本（诱导或未诱导）的数量，以及从$H$到$G$的同态的数量。使用的框架图模参数，我们得到更快的算法计算子图副本的固定图$H$在主机图$G$：对于图$H$的$k$边缘，我们展示了如何计算子图副本的$H$在时间$k^{O(k)}\cdot n^{0.174k + o(k)}$一个令人惊讶的简单算法。这改进了先前已知的运行时间，例如用于$k$边缘匹配的$O(n^{0.91k + c})$时间或用于$k$循环的$O(n^{0.46k + c})$时间。此外，我们证明了一个一般的复杂性二分法评估图的主题参数：给定一类$\mathcal C$等参数，我们考虑的问题，评估$f\in \mathcal C$输入图$G$，参数化的诱导子图的数量，$f$依赖。对于每一个递归可排类$\mathcal C$，我们证明了上述问题是FPT或#W[1]-困难的，并给出了明确的二分法准则.这使我们能够恢复已知的二分法计数子图，诱导子图，同态在一个统一的和简化的方式，以及改进的下界。最后，我们将图的模体参数扩展到着色子图，并证明了一个复杂度分解：对于顶点着色图$H$和$G$，其中$H$来自一个固定的类$\mathcal H$，我们要计数$G$中的保…
2017-05-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Complexity of Reconfiguration Problems for Constraint Satisfaction
约束满足问题（CSP）是一个被广泛研究的组合搜索问题，它要求我们找到一个给定变量的赋值，以满足所有给定的约束。我们研究了一个重新配置的变种CSP，在其中，我们给出了一个实例的CSP连同其两个满意的分配，并要求确定是否可以通过改变一个单一的变量分配的时间，同时始终保持满意的分配转化为其他分配。该问题推广了布尔可满足重构、顶点着色重构、同态重构等重构问题。本文从多项式时间可解性和参数化复杂性的角度研究了这一问题，并给出了几种有趣的易处理和难处理情形的边界。
2018-12-27 cs.DM cs.DS
List homomorphisms by deleting edges and vertices: tight complexity bounds for bounded-treewidth graphs
本文研究了有界树宽图上基于表同态的顶点和边删除优化问题，刻画了多项式可解与NP困难的分界，并在SETH假设下为所有NP困难情形确定了紧确的算法时间复杂度常数界限。
2024-02-13 cs.CC cs.DS
Tight Lower Bounds on Graph Embedding Problems
我们证明，除非指数时间假设（ETH）失败，决定是否有一个同态从图$G$图$H$不能在时间$|V(H)|^{o(|V(G)|)}$。我们还展示了从图同态到子图同构的指数时间约简。这排除了（根据ETH）$|V(H)|^{o(|V(H)|)}$时间算法决定图$G$是否是$H$的子图的可能性。对于这两个问题，我们的下界渐近匹配的运行时间的蛮力算法尝试所有可能的映射到另一个图。因此，我们的工作填补了这些基本问题已知复杂性的空白。此外，由于我们的减少条件下界遵循其他相关的问题，如局部内射同态，图未成年人，拓扑图未成年人，最小失真嵌入和二次分配问题。
2016-02-16 cs.DS
The Dichotomy of Evaluating Homomorphism-Closed Queries on Probabilistic Graphs
本文针对概率图上的同态封闭查询，证明了无界查询的评估是#P难的，并结合有界查询的已有分类，给出了完整的数据复杂度二分类，涵盖多种查询片段。
2022-01-06 cs.CC cs.DB cs.DS
Homomorphism Indistinguishability Beyond Graphs: Relational Weisfeiler--Leman and Hypertree Width
Hasso Plattner Institute, University of Potsdam（波茨坦大学哈索·普拉特纳研究所）；Postdoc Network Brandenburg Institute of Logic and Computation, TU Wien（维也纳技术学院勃兰登堡逻辑与计算博士后网络）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学电子工程与计算机科学学院）
研究为更高元数关系结构找类似魏斯费勒 - 莱曼算法的版本，开发\(k\) - RCR及分数版，证明其与结构同态计数关系，还开发\(k\) - HyperOWL，证明其与\(k\) - RCR表达能力相同且能高效计算迭代细化。
2026-11-05 cs.DS
Computing list homomorphisms in geometric intersection graphs
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。设$H$是一个可能有环的固定图。在列表同态问题中，记为\textsc{LHom}（$H$），其实例是图$G$，其每个顶点都具有$V(H)$的一个子集，称为列表.我们询问是否存在从$G$到$H$的同态，使得来自$G$的每个顶点映射到来自其列表的顶点。我们研究的复杂性的\textsc{LHom}（$H$）问题的各种几何对象的相交图。特别是，我们有兴趣回答的问题是什么图$H$和什么类型的几何对象，\textsc{LHom}（$H$）的问题可以解决时间次指数的顶点数的实例。我们完全解决了这个问题的字符串图，即，平面上连续曲线的交图。非常令人惊讶的是，事实证明，二分法与排除固定路径作为导出子图的图的类似二分法完全一致[Okrasa，Rzewski，STACS 2021]。然后，我们把注意力转向弦图的子类，定义为胖对象的交叉点。我们观察到，在这样的类中的次指数时间算法的（不）存在与$H$中的最大自反团的大小$\mathrm{mrc}(H)$密切相关，即，成对相邻顶点的最大数量，每个顶点都有一个循环。我们研究的最大值的$\mathrm{mrc}(H)$，保证存在一个次指数时间算法的\textsc{LHom}（$H$）相交图（i）凸脂肪对象，（ii）脂肪相似大小的对象，和（iii）磁盘。在前两种情况下，我们得到最佳的结果，通过匹…
2022-02-17 cs.CC cs.DS
Tight lower bounds for the complexity of multicoloring
在多色问题中，也称为（$a$：$b$）-着色或$b$ -fold着色，我们给定一个图G和一组$a$颜色，任务是将$b$颜色的子集分配给G的每个顶点，使得相邻顶点接收不相交的颜色子集。经典着色问题的这种自然推广（$b=1$情形）等价于找到Kneser图$KG_{a,b}$的同态，并给出接近分数色数的松弛。研究了判定图是否具有（$a$：$b$）-着色的复杂性.我们的主要结果是，这个问题不承认一个算法的运行时间$f(b)\cdot 2^{o(\log b)\cdot n}$，任何可计算的$f(b)$，除非指数时间假设（ETH）失败。Nederlof [2008]提出的$(b+1)^n\cdot \text{poly}(n)$ -时间算法表明这是严格的。我们的结果的一个直接推论是，图同态问题不承认一个$2^{O(n+h)}$算法，除非ETH失败，即使目标图被要求是一个Kneser图。这完善了Cygan等人最近给出的下限[SODA 2016]的理解。降低硬度的关键因素是使用Lindström检测矩阵[Canad. Math. Bull.，1965年]，这是一个组合工具，据我们所知，尚未被用于证明复杂性下限。作为一个附带的结果，我们证明了Abasi等人的算法的运行时间。[MFCS 2014]和Gabizon等人的算法。[ESA 2015]在ETH下对于r-单项式检测问题是最优的。
2017-02-16 cs.CC cs.DS
List Locally Surjective Homomorphisms in Hereditary Graph Classes
研究遗传图类中列表局部满射同态问题的复杂性，证明除非F是有界度森林或ETH失败否则无次指数算法，并对特定森林族给出二分定理。
2022-02-25 cs.CC cs.DS
Computing homomorphisms in hereditary graph classes: the peculiar case of the 5-wheel and graphs with no long claws
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。在$H$ -着色问题中，图$H$是固定的，我们问一个实例图$G$是否允许$H$ -着色。这个问题的推广是$H$ -ColoringExt，其中$G$的一些顶点已经映射到$H$的顶点，我们问这个部分映射是否可以扩展到$H$ -着色。我们研究了$F$ -free图中$H$ -着色的变体的复杂性，即，不包括固定图$F$作为导出子图的图。对于整数$a,b,c \geq 1$，我们用$S_{a,b,c}$表示通过分别在$a+1$、$b+1$和$c+1$顶点上标识三条路径的一个端顶点而获得的图。对于奇数的$k \geq 5$，我们用$W_k$表示由$k$ -圈加上一个泛顶点而得到的图.作为我们的主要算法结果，我们证明了$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -free图中是多项式时间可解的。这一结果显示了一个有趣的非单调性$H$ -ColoringExt关于采取诱导子图的$H$。实际上，$W_5$包含三角形，并且$K_3$ -着色，即，经典的3-着色，是NP-难的，已经是无爪的了（即，$S_{1,1,1}$ -free）图形。我们的算法是基于两个主要的意见：1。$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -自由图可以在多项式时间减少到一个变种的问题，找到一个独立的集合…
2022-05-26 cs.DS math.CO
