对于有向图$D$和$H$，如果$uv\in A(D)$蕴涵$f(u)f(v)\in A(H).$，则映射$f: V(D)\dom V(H)$是$D$到$H$的同态。对于固定有向图$H$，同态问题是判定输入有向图$D$是否允许与$H$同态，记为HOM（$H$）。同态问题的一个优化版本是由国防后勤中的一个现实问题激发的，并在\cite{gutinDAM154a}中引入。如果每个顶点$u \in V(D)$与成本$c_i(u), i \in V(H)$相关联，则同态$f$的成本是$\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$。对于每个固定有向图$H$，我们有{ \em} $H$的最小代价同态问题，并将其表示为MinHOM（$H$）。问题是，对于一个输入图$D$与成本$c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$，是否存在一个同态$D$ $H$，如果存在，找到一个最小的成本。虽然有向图$H$的MinHOM（$H$）复杂度的完全二分法分类仍然是一个未解决的问题，但当$H$是半完全有向图\cite{gutinDAM154b}和半完全多部有向图\cite{gutinDAM}时，证明了MinHOM（$H$）的完全二分法分类.在这些研究中，假设有向图$H$是无环的。本文给出了可能有圈的半完全有向图的完全二分分类，解决了\cite{gutinRMS}中的一个问题。\footnote{This paper was submitted to SIAM J. Discrete Math. on October 27, 2006}
英文摘要：
For digraphs $D$ and $H$, a mapping $f: V(D)\dom V(H)$ is a homomorphism of $D$ to $H$ if $uv\in A(D)$ implies $f(u)f(v)\in A(H).$ For a fixed digraph $H$, the homomorphism problem is to decide whether an input digraph $D$ admits a homomorphism to $H$ or not, and is denoted as HOM($H$).
An optimization version of the homomorphism problem was motivated by a real-world problem in defence logistics and was introduced in \cite{gutinDAM154a}. If each vertex $u \in V(D)$ is associated with costs $c_i(u), i \in V(H)$, then the cost of the homomorphism $f$ is $\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$. For each fixed digraph $H$, we have the {\em minimum cost homomorphism problem for} $H$ and denote it as MinHOM($H$). The problem is to decide, for an input graph $D$ with costs $c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$, whether there exists a homomorphism of $D$ to $H$ and, if one exists, to find one of minimum cost.
Although a complete dichotomy classification of the complexity of MinHOM($H$) for a digraph $H$ remains an unsolved problem, complete dichotomy classifications for MinHOM($H$) were proved when $H$ is a semicomplete digraph \cite{gutinDAM154b}, and a semicomplete multipartite digraph \cite{gutinDAM}. In these studies, it is assumed that the digraph $H$ is loopless. In this paper, we present a full dichotomy classification for semicomplete digraphs with possible loops, which solves a problem in \cite{gutinRMS}.\footnote{This paper was submitted to SIAM J. Discrete Math. on October 27, 2006}
On the Complexity of the Minimum Cost Homomorphism Problem for Reflexive Multipartite Tournaments
对于有向图$D$和$H$，如果$uv\in A(D)$蕴涵$f(u)f(v)\in A(H).$，则映射$f: V(D)\dom V(H)$是$D$到$H$的同态。对于固定有向图$H$，同态问题是判定输入有向图$D$是否允许与$H$同态，记为HOMP（$H$）。有向图允许有环，但不允许有平行弧。同态问题的自然优化版本定义如下。如果每个顶点$u \in V(D)$与成本$c_i(u), i \in V(H)$相关联，则同态$f$的成本是$\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$。对于每一个固定有向图$H$，我们有{ \em最小成本同态问题} $H$，并将其表示为MinHOMP（$H$）。问题是对一个代价为$c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$的输入图$D$，判定是否存在一个从$D$到$H$的同态，如果存在，则找出一个最小代价的同态.在最近的一篇论文中，我们提出了一个问题的特征多项式时间可解和NP-困难的情况下的最小成本同态问题的无环多部竞赛可能的循环（w.p.l.）。本文解决了自反多部竞赛图的问题，并证明了这类多部竞赛图w.p.l.问题的一个较好的困难性。使用4阶W.P.L.的非循环3部竞赛图作为例子。\footnote{This paper was submitted to Discrete Mathematics on April 6,…
Complexity of conjunctive regular path query homomorphisms
CNRS（法国国家科学研究中心）；Clermont Auvergne INP（克莱蒙奥弗涅国立理工学院）；LIMOS（信息与运筹学极限实验室）；LACL（计算语言学与应用逻辑实验室）；Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院）；Normandie Univ（诺曼底大学）；UNICAEN（卡昂诺曼底大学）；ENSICAEN（高等师范学院卡昂分校）；GREYC（计算机科学研究与教育混合研究中心）
