Cross-Points in Domain Decomposition Methods with a Finite Element Discretization
Université de Genève（日内瓦大学）；Institut Polytechnique de Bordeaux, Institut Mathématiques de Bordeaux, CNRS UMR5251（波尔多理工学院，波尔多数学研究所，法国国家科学研究中心）
本文研究了域分解方法中有限元离散化在交叉点处的处理方法，提出两种一致离散化Neumann条件的方案，确保方法在连续层面的收敛性。
2014-04-18 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method for Hyperbolic PDE with Time Delay in Multiple Subdomains
School of Basic Sciences, IIT Bhubaneswar（IIT布巴内斯瓦尔基础科学学院）
本研究将Dirichlet-Neumann波形松弛方法扩展到多子域，用于并行求解带时滞的双曲型偏微分方程，证明了有限步收敛性，并通过数值实验和对比分析验证了其优势。
2026-09-11 cs.NA math.NA
Direct linearization method for nonlinear PDE's and the related kernel RBFs
本文提出直接线性化方法（DLM），通过将非线性项视为新独立变量，将非线性PDE转化为线性PDE，可与现有离散化技术结合，并探讨了相关径向基函数的构造。
2001-09-29 cs.NA math.NA
Minimal residual discretization of a class of fully nonlinear elliptic PDE
本文针对一类完全非线性椭圆型偏微分方程，提出基于Alexandrov--Bakelman--Pucci估计的最小残差有限元方法，证明$C^1$协调元与间断Galerkin方法在$L^\infty$范数下收敛，并通过二维和三维自适应网格细化数值实验验证了方法性能。
2025-07-02 cs.NA math.NA
On the discretization of Laplace's equation with Neumann boundary conditions on polygonal domains
本文给出了求解多边形区域上具有Neumann边界条件的Laplace方程的一类算法。众所周知，在这种情况下的解决方案有奇点附近的角落，这对许多现有的方法提出了挑战。如果边界数据在多边形的每个边缘上是光滑的，则在每个角的附近，对应的边界积分方程的解具有根据某些（解析可用的）奇异幂的展开。利用已知的解的性质，构造了狄利克雷问题的通用离散解.然而，诺伊曼问题的解决方案的领先阶行为是$O(t^μ)$为$μ\in (-1/2,0)$取决于角的角度（相比狄利克雷问题的$O(C+t^μ)$与$μ>1/2$）;这提出了一个重大的挑战，在通用离散化的设计。我们的方法是基于使用的离散化的狄利克雷问题，以计算的解决方案在“弱意义”，通过解决伴随线性系，即它可以用来计算内积与光滑函数准确，但它不能插值。此外，我们提出了一个程序，以获得精确的解决方案，任意接近的角落，通过解决一系列的小的局部子问题，在附近的角落。数值算例说明了结果。
2020-01-15 cs.NA math.NA
Discretization of parameter identification in PDEs using Neural Networks
本文研究一类含时偏微分方程模型中非线性项的不适定反问题。非线性近似的神经网络，并需要确定与其他未知的物理参数和未知的状态。因此，不可能构建输入-输出数据对来执行监督训练过程。通过提出一种一次性的方法，我们绕过了对训练数据的需求，同时恢复了所有的未知数。在一般情况下，通过神经网络的近似可以实现为一个离散化方案，与噪声数据的训练可以被看作是一个不适定的逆问题。因此，我们研究了正则化反问题的离散化的Tikhonov和投影Landweber方法，并证明了收敛时的离散化误差（网络逼近误差）和噪声水平趋于零。
2022-08-03 cs.NA math.NA math.OC
$hp$-robust multigrid solver on locally refined meshes for FEM discretizations of symmetric elliptic PDEs
本文针对对称二阶线性椭圆扩散问题的有限元离散，提出并分析了一种几何多重网格方法，证明其对多项式次数$p$和网格尺寸$h$具有鲁棒收敛性，并给出$hp$-鲁棒的代数误差估计子及自适应有限元应用。
2023-07-19 cs.NA math.NA
Quasi-optimal time-space discretizations for a class of nonlinear parabolic PDEs
Ulm University（乌尔姆大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文提出了一类非线性抛物型PDEs的准最优时间-空间离散化方法，通过引入额外变量构造等价系统，并利用Galerkin离散化与近似Uzawa算法求解，同时发展了后验条件以确保准最优性。
2026-01-19 cs.NA math.NA
Learning local Dirichlet-to-Neumann maps of nonlinear elliptic PDEs with rough coefficients
本文针对高对比度振荡系数非线性椭圆 PDE，提出用机器学习学习局部非线性 DtN 映射以扩展 MsFEM，并在 $p$-Laplacian 与退化扩散模型上验证。
2024-05-07 cs.NA math.NA
On Spatial Discretization of Evolutionary Differential Equations on the Periodic Domain with a Mixed Derivative
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学大学院信息理工学系研究科）
本文提出一种新的改写方法，将含混合导数的进化微分方程转化为标准形式，从而建立统一的数值方法框架，并展示了平均差方法适用于混合导数的离散化。
2017-12-11 cs.NA math.NA
Analysis and discretization of the volume penalized Laplace operator with Neumann boundary conditions
McGill University（麦吉尔大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）
本文研究了带有Neumann边界条件的拉普拉斯算子的体积惩罚近似性质，通过一维泊松方程的显式解分析惩罚误差，并通过有限差分法评估离散和惩罚误差，还研究了惩罚拉普拉斯算子的本征值问题。
2014-03-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A priori error estimates for the space-time finite element discretization of an optimal control problem governed by a coupled linear PDE-ODE system
本文研究了简化线性梯度增强损伤模型下的最优控制问题的时空Galerkin有限元离散的先验误差估计。该模型方程是一个特殊的结构，状态方程包括一个椭圆PDE，它必须在几乎所有的时间都满足耦合的ODE，必须在几乎所有的空间点成立。状态方程在时间上采用分段常数间断伽辽金法离散，在空间上采用协调线性有限元离散。对于控制的离散化，我们采用相同的离散化技术，这被证明是等价的变分离散化途径。我们提供的误差估计的最佳顺序的状态方程的离散化以及最优控制。数值实验证明了收敛速度。
2020-04-09 cs.NA math.NA math.OC
Accurate Stabilization Techniques for RBF-FD Meshless Discretizations with Neumann Boundary Conditions
标准径向基函数有限差分（RBF-FD）无网格法应用的一个主要障碍是它不能准确和一致地求解涉及Neumann边界条件（BC）的边值问题。这也是由于当边界导数以强形式施加时影响插值矩阵的病态问题。在本文中，这些病态的问题和随后的不稳定性影响的应用RBF-FD方法存在的诺依曼BC的理论和数值分析。这些问题的发病的理论动机是通过突出的依赖性的局部插值矩阵的行列式上的边界法线。定性调查也进行了数值研究的参考模板，并寻找其几何形状和相关的插值矩阵的属性之间的相关性。基于前面的分析，两种方法来克服初始问题。最后通过将这些方法成功地应用于亥姆霍兹-霍奇分解的稳定化来评估相应的稳定化性质。
2022-07-14 cs.NA math.NA
A Machine Learning and Finite Element Framework for Inverse Elliptic PDEs via Dirichlet-to-Neumann Mapping
针对需从间接测量推断未知物理性质的椭圆偏微分方程逆问题，提出一种结合Dirichlet-to-Neumann映射、自监督机器学习与有限元方法的框架，仅用边界数据即可重建域内物理性质，能处理部分边界观测和不连续性，为多领域逆问题提供鲁棒准确方案。
2025-11-11 cs.NA math.NA
Maximal regularity of backward difference time discretization for evolving surface PDEs and its application to nonlinear problems
通过将问题拉回到初始曲面，研究固定曲面上线性抛物方程的极大$L^p$-正则性，得到了发展曲面上线性抛物方程的极大抛物$L^p$ -正则性.通过在固定时间冻结抛物型方程中的系数，并利用冻结时间附近的扰动变元，证明了线性抛物型方程在演化曲面上沿特征轨迹的向后差分时间离散能保持离散设置中的最大$L^p$正则性.结果被应用于证明的稳定性和收敛性的时间离散的非线性抛物型方程的发展表面上，线性隐式向后微分公式的表面的特征轨迹，一般局部Lipschitz非线性。利用离散的极大$L^p$ -正则性证明了数值解在$L^\infty(0,T;W^{1,\infty})$范数下的有界性和稳定性，该范数用于稳定性分析中的非线性项的界化。将稳定性分析与一致性估计相结合，得到了时间离散化在$L^\infty(0,T;W^{1,\infty})$范数下的最优阶误差估计。
2022-02-03 cs.NA math.NA
Polyhedral Discretizations for Elliptic PDEs
该研究面向热扩散与弹性动力学问题，比较基于重心坐标的有限元方法和虚拟有限元方法在多面体离散化上的表现，并给出建议与基准。
2024-12-09 cs.GR cs.NA math.NA
STENCIL-NET: Data-driven solution-adaptive discretization of partial differential equations
Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）；ONI；Flatiron Institute（熨斗研究所）
近似求解偏微分方程（PDE）的数值方法是科学计算的核心。通常，这需要高分辨率或自适应离散化网格来捕获PDE解决方案中的相关时空特征，例如，在湍流、燃烧和冲击传播等应用中。数值逼近也需要知道偏微分方程，以便构造特定问题的离散化。然而，系统地推导出这样的解自适应离散算子是当前的挑战。在这里，我们提出了STENCIL-NET，一个人工神经网络架构的数据驱动学习的问题和分辨率特定的非线性偏微分方程的局部离散化。STENCIL-NET通过在常规笛卡尔网格上进行空间和时间自适应参数池化，并结合有关离散时间积分的知识，实现了未知非线性PDE中算子的数值稳定离散化。不需要知道实际的PDE，因为解数据足以训练网络来学习离散算子。一次训练的STENCIL-NET模型可用于在更大的空间域上预测PDE的解，并且比训练时间更长，从而解决了PDE约束的数据外推问题。为了支持这一主张，我们提出了长期预测的混沌PDE解决方案的粗时空网格的数值实验。我们还量化了通过用无方程STENCIL-NET预测替代基线数值方法在较粗网格上实现的速度提高，并且几乎不影响精度。
2021-01-18 cs.LG cs.NA math.NA
Analysis of a multigrid preconditioner for Crouzeix-Raviart discretization of elliptic PDE with jump coefficient
University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
针对跳跃系数二阶椭圆问题的非协调Crouzeix-Raviart离散化，提出一种使用标准协调子空间作为粗空间的多重网格V循环预处理器，分析表明预处理系统仅有少数小特征值受跳跃影响，有效条件数关于网格尺寸对数有界，从而预条件共轭梯度法几乎一致收敛。
2011-10-24 cs.NA math.NA
Matrix-oriented discretization methods for reaction-diffusion PDEs: comparisons and applications
Università del Salento（萨伦托大学）；Alma Mater Studiorum - Università di Bologna（博洛尼亚大学）；IMATI-CNR（意大利国家研究委员会应用数学研究所）
本文研究了反应扩散偏微分方程的矩阵导向离散化方法，通过利用扩散矩阵的结构，采用隐式显式（IMEX）和指数方案等矩阵基时间积分器，提高了计算效率，并通过数值求解Schnackenberg模型和DIB-morphochemical模型验证了方法的有效性。
2019-03-12 cs.NA math.NA
Discretely exact derivatives for hyperbolic PDE-constrained optimization problems discretized by the discontinuous Galerkin method
Naval Postgraduate School（海军研究生学院）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文研究了由不连续伽辽金方法离散化的双曲PDE约束优化问题中导数的计算，探讨了离散精确导数在优化问题中的应用及对优化算法收敛性的影响。
2013-11-27 cs.NA math.NA
Convergence analysis of the Magnus-Rosenbrock type method for the finite element discretization of semilinear non-autonomous parabolic PDEs with nonsmooth initial data
Western Norway University of Applied Sciences（西挪威应用科学大学）；University of Cape Town（开普敦大学）；Technische Universität Chemnitz（开姆尼茨工业大学）
本文研究了非自治半线性抛物型PDEs在非光滑初始数据下的数值解法，提出Magnus-Rosenbrock方法，证明了该方法在空间和时间上的收敛性，且初始数据正则性影响收敛阶。
2018-09-10 cs.NA math.NA
Robust finite element discretizations for a simplified Galbrun's equation
由具有挑战性的任务，找到强大的离散化方法Galbrun方程的驱动下，我们调查的稳定性和不同方面的鲁棒性不同的有限元计划的简化版本的方程的条件。所考虑的偏微分方程是一个二阶不定向量偏微分方程，如果只考虑Galbrun方程的最高阶项，它仍然存在。稳定性的一个关键属性是Helmholtz型分解，其结果是Galbrun方程和Stokes方程的稳定离散化与几乎不可压缩的线性弹性问题之间的紧密联系。
2022-05-31 cs.NA math.NA
A-posteriori error estimation and adaptivity for nonlinear parabolic equations using IMEX-Galerkin discretization of primal and dual equations
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文提出基于对偶的后验误差估计方法，用于非线性抛物方程的离散误差估计与自适应控制，通过IMEX时间步进方案和有限元方法进行空间离散，实现空间和时间误差分离以驱动自适应网格细化和时间步长选择。
2017-06-13 cs.NA math.NA
On generation of node distributions for meshless PDE discretizations
在本文中，我们提出了一种算法，能够生成局部规则的节点布局与空间可变的节点密度的内部任意域在二维，三维和更高的维度。通过求解二维和三维热流体问题，证明了所生成的节点分布适用于RBF-FD方法。此外，局部最小间距的保证证明了均匀和可变的节点密度。所提出的算法具有时间复杂度$O(N)$产生$N$节点与恒定的节点间距和$O(N \log N)$产生的节点间距。从节点质量、时间复杂度、执行时间和PDE解的精度等方面与现有算法进行了比较。
2019-08-20 cs.DS cs.NA math.NA
Least SQuares Discretizations (LSQD): a robust and versatile meshless paradigm for solving elliptic PDEs
针对不规则几何下传统数值网格方法受限、无网格方法需弱形式求积的问题，提出无需弱形式的最小二乘离散化（LSQD）无网格方法，验证了其在多场景下求解椭圆型PDE的有效性，并构建后验误差估计器，提供了鲁棒易用的数值新方案。
2024-06-19 cs.NA math.NA
Asymptotic Compatibility of the Approximate-Ball Finite Element Method for 2D Nonlocal Poisson Problem with Neumann Boundary Conditions
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）；Hubei Key Laboratory of Computational Science, Wuhan University（武汉大学计算科学湖北省重点实验室）
本文研究了二维非局部泊松问题在Neumann边界条件下的有限元方法，推导了非局部Neumann边界算子的弱收敛性，并分析了近似球策略有限元离散化的渐近兼容误差估计。
2025-11-29 cs.NA math.NA
Parallel block preconditioners for virtual element discretizations of the time-dependent Maxwell equations
本研究的重点是三维麦克斯韦方程组的低阶虚元离散的并行块预处理器的构造和数值验证。虚元法是一种将有限元推广到多面体网格的偏微分方程的数值逼近技术。到目前为止，VEM已被扩展到几个问题所描述的偏微分方程，最近也不定常麦克斯韦方程组。当偏微分方程的时间离散化是隐式执行时，在每个时间步，一个大规模和病态的线性系必须被解决，在麦克斯韦方程的情况下，这是特别具有挑战性的，因为存在H（div）和H（curl）离散空间。在这里，我们提出了一个并行预条件，利用Schur补块分解的线性系矩阵，并包括一个Jacobi预条件的H（div）块和辅助空间预条件的H（卷曲）块。几个并行的数值试验已经进行了研究的鲁棒性的求解器的网格细化，多面体元素的形状，时间步长和VEM稳定参数。
2022-08-04 cs.NA math.NA
Preconditioned nonlinear iterations for overlapping Chebyshev discretizations with independent grids
该研究提出了一种基于重叠Chebyshev离散化的预条件非线性迭代方法，通过将全局PDE转换为Schwarz重叠问题，实现子域独立解算，减少进程间通信。
2019-02-04 cs.NA math.NA
Mitigating Numerical Stiffness in Least-Squares Formulations of Elliptic PDEs for Physics-Informed Neural Networks
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf e.V.（亥姆霍兹德累斯顿-罗斯多夫中心）；University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）
研究物理驱动神经网络学习偏微分方程解时\(H^{-1}\)残差损失公式，分析椭圆型偏微分方程中\(H^{-1}\)范数离散化，证明其可平衡偏微分方程损失、改善条件并减轻刚性，通过实验验证。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time
在这篇文章中，我们得到了一个新的，快速的，和强大的预处理迭代求解策略的所有一次解决最优控制问题的不定常偏微分方程作为约束，包括热方程和非定常对流-扩散方程。在应用优化然后离散化的方法后，人们面临着由偏微分方程的耦合系统组成的连续的一阶最优性条件。相对于大多数工作中预处理的离散化系统，其中（一阶精度）向后欧拉法用于离散化的时间导数，我们采用（二阶精度）曲柄-尼科尔森方法的时间。我们应用一个精心定制的可逆变换对称化的矩阵，然后推导出一个最佳的预条件子的鞍点系统。这个预条件的关键组成部分是一个准确的质量矩阵近似，一个很好的近似Schur补，和一个适当的多重网格过程，以适用于后者的近似-这些都是使用我们的工作在变换矩阵系统。我们证明了最优的近似Schur补通过边界上的特征值，并测试我们的求解器对广泛使用的预条件的线性系所产生的向后欧拉离散。这些都证明了我们的求解器的有效性和鲁棒性的网格大小，正则化参数和扩散系数。
2020-07-16 cs.NA math.NA math.OC
Two mixed finite element formulations for the weak imposition of the Neumann boundary conditions for the Darcy flow
我们提出了两种不同的离散配方的弱施加的Neumann边界条件的达西流。这两种方法都考虑了三角形和四边形网格上的Raviart-Thomas混合有限元。一个是一致的离散化依赖于加权参数缩放为$\mathcal O(h^{-1})$，而另一个是作为原始问题的扰动的离散化获得的惩罚型公式，并且依赖于参数缩放为$\mathcal O(h^{-k-1})$，$k$是Raviart-Thomas空间的阶。我们严格证明，这两种方法是稳定的，并导致在最佳收敛的数值方案，适当的网格相关的规范，虽然所选择的规范不作为通常的$L^2$规范的规模。然而，我们仍然能够恢复最佳的先验$L^2$ -速度场的误差估计，分别为高阶和最低阶Raviart-Thomas离散，第一和第二数值方案。最后给出了一些数值例子，验证了理论的正确性.
2021-04-03 cs.NA math.NA
Coupling non-conforming discretizations of PDEs by spectral approximation of the Lagrange multiplier space
这项工作的重点是发展一个非协调的区域分解方法的近似偏微分方程的基础上施加的弱传输条件：连续性的整体解决方案是强制执行的离散数量的拉格朗日乘子定义在相邻子域的接口。该方法属于原始混合方法类，其中还包括著名的砂浆方法。从martar方法出发，我们采用谱近似离散界面上的基函数空间，而不依赖于两个相邻区域的离散，其中一个可能的选择是用Fourier基函数来近似界面变分空间。正如我们在数值模拟中所示，我们的方法非常适合于解决非协调网格或在每个子域中具有不同多项式次数的有限元基函数的问题。该方法的另一个仍需研究的应用是从其他不相容方法（如有限元法、谱元法或等几何分析）获得的解的耦合。
2018-02-21 cs.CE cs.NA math.NA
Fast solution of fully implicit Runge-Kutta and discontinuous Galerkin in time for numerical PDEs, Part I: the linear setting
全隐式Runge-Kutta（IRK）方法作为时间积分格式在精度和稳定性方面具有许多令人满意的特性，但高阶IRK方法由于难以求解阶段方程而不常用于数值偏微分方程。本文介绍了一个理论和算法的预处理框架，解决系统的方程，所产生的IRK方法应用于线性数值偏微分方程（无代数约束）。这个框架也自然地适用于时间上的不连续Galerkin离散。在对空间离散的一般性假设下，证明了预条件算子的条件数与空间网格和时间步长无关，且与级数/多项式阶数的依赖性很弱;例如，10阶高斯IRK的预处理算子具有条件数小于2，与空间离散化和时间步长无关。新的方法可以使用任意现有的向后欧拉型时间步进计划的预条件，并适合使用三项递归Krylov方法时，基本的空间离散是对称的。新方法被证明是有效的各种高阶有限差分和有限元离散线性抛物和双曲问题，展示快速，可扩展的解决方案，高达10阶精度。新方法始终优于现有的块预处理方法，在某些情况下，新方法可以达到4阶精度使用高斯积分与预处理器的应用程序和挂钟的数量约为一半所需的使用标准对角隐式RK方法。
2021-10-05 cs.NA math.NA
High-Order Nyström/Convolution-Quadrature Solution of Time-Domain Scattering from Closed and Open Lipschitz Boundaries with Dirichlet and Neumann Boundary Conditions
本文研究了基于 Nyström 离散化的高阶卷积求积方法，用于求解二维无界区域波动方程的时域散射问题，结合线性多步法和 Runge-Kutta 方法实现了最高五阶的时间收敛精度。
2023-10-23 cs.NA math.NA
Locally-averaged McCormick relaxations for discretization-regularized inverse problems
Alpen-Adria-Universität（阿尔卑斯-亚得里亚大学）；TU Dortmund University（多特蒙德工业大学）
本文通过标准模型问题提出一种计算近似对偶界的方法，用于PDE系数识别的全局优化，结合局部平均和优化基于的界紧缩，证明离散正则化反问题的收敛性。
2026-03-19 cs.NA math.NA
Analysis of a HMM time-discretization scheme for a system of Stochastic PDE's
ENS Cachan Bretagne - IRMAR, Université Rennes 1（巴黎高等师范学院卡昂布列塔尼分校-雷恩1大学IRMAR）
针对具有慢快分量的抛物型随机偏微分方程系统，提出一种基于平均原理的异构多尺度方法，采用两个耦合的半隐式欧拉格式离散时间，并推导了慢分量在强意义和弱意义下的误差界。
2012-02-13 cs.NA math.NA math.PR
Fractional Operators with Inhomogeneous Boundary Conditions: Analysis, Control, and Discretization
George Mason University（乔治梅森大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Universität der Bundeswehr München（联邦国防军慕尼黑大学）
本文引入新的谱分数拉普拉斯算子刻画方法，以纳入非齐次狄利克雷和诺伊曼边界条件。通过构造分数调和扩展边界数据，解决了非零边界条件下的分数椭圆方程问题，并推导了有限元离散误差估计。
2017-09-11 cs.NA math.NA
Carleman Linearization of Parabolic PDEs: Well-posedness, convergence, and efficient numerical methods
本研究将Carleman线性化拓展至无穷维希尔伯特空间的二次非线性动力系统，证明其适定性与收敛性，分析离散化误差分解，提出用结构感知数值方法缓解维数灾难，并通过实验验证，为抛物型PDE求解提供新方法支撑。
2025-10-01 cs.NA math.NA
Guaranteed stability bounds for second-order PDE problems satisfying a Garding inequality
Inria, Univ. Lille, CNRS, UMR 8524 -- Laboratoire Paul Painlev\'e
本文提出一种算法，用于数值确定满足Garding不等式的第二-order线性PDE问题是否良态，并提供弱形式的inf-sup常数下界，可用于后验误差估计。所提的数值下界基于两个离散奇异值问题，结合拉格朗日有限元离散化与基于通量重建技术的后验误差估计器。证明如果有限元离散化足够丰富，所提下界仅低估最优常数约两倍。
2026-05-19 cs.NA math.NA
Best approximation results and essential boundary conditions for novel types of weak adversarial network discretizations for PDEs
本文对高维偏微分方程的弱对抗网络（WAN）方法做理论分析，证明离散解存在性与拟最佳逼近估计，提出两种稳定化WAN公式，分析其Dirichlet边界问题有效性，还设计出收敛更快的伪时间XNODE神经网络。
2024-01-29 cs.NA math.NA
Sharp convergence rates of time discretization for stochastic time-fractional PDEs subject to additive space-time white noise
Florida State University（佛罗里达州立大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Mississippi State University（密西西比州立大学）
本文研究了随机时间分数PDEs在加性时空白噪声下的时间离散化收敛性，通过后向欧拉卷积求解法建立了误差估计，并展示了在时空白噪声下的最优收敛率。
2018-08-08 cs.NA math.NA
Analysis of a high order Trace Finite Element Method for PDEs on level set surfaces
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Georg-August-Universität Göttingen（哥廷根大学）
本文提出一种高阶有限元方法，用于在隐式描述为水平集函数零水平的平稳光滑表面上的偏微分方程离散化。方法基于迹有限元技术，利用体积网格的等参数映射提高离散精度，并分析了该方法的误差界和稳定性。
2017-04-13 cs.NA math.NA
Adaptive finite element methods for sparse PDE-constrained optimization
Universidad Técnica Federico Santa María（弗雷德里科·圣塔玛丽亚技术大学）
本文提出并分析了用于解决包含非可导成本函数、泊松问题作为状态方程和控制约束的最优控制问题的可靠且高效的后验误差估计器，通过三种不同的策略近似控制变量，并设计了简单的自适应策略以实现数值示例中的最优收敛率。
2019-01-11 cs.NA math.NA math.OC
Arbitrary Dimension Convection-Diffusion Schemes for Space-Time Discretizations
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与计算机科学研究所）
本文提出将时间依赖的PDE嵌入到具有奇异性的更高空间维度的对流-扩散类型PDE中，研究了经典流线扩散方案和EAFE方案的稳定性与误差分析，特别将EAFE方案扩展为任意阶数，并通过数值结果验证了该方法的可行性。
2016-04-04 cs.NA math.NA
On the Spatial and Temporal Order of Convergence of Hyperbolic PDEs
本文给出了双曲型偏微分方程（PDE）的全局截断误差的完整表达式。特别是，我们使用理论分析和符号代数来找到通用全局截断误差系数的精确表达式。我们的分析是有效的任何双曲型偏微分方程，无论是线性或非线性，并采用有限差分，有限体积，或有限元离散空间，并提前在时间上的预测-校正，多步，或推迟校正方法，属于直线法。此外，我们讨论了这种分析的实际意义。如果我们采用一个稳定的数值方案和整体解误差和整体截断误差的精度的顺序同意，我们作出以下渐近观察：（a）在恒定比率的$Δt$到$Δx$的收敛顺序是由空间和时间离散的顺序的最小值，和（b）收敛甚至不能保证下，只有空间或时间的细化。（a）的含义是，投资于阶数高于空间离散化的时间步进方法是不切实际的。除了（b），我们还证明了在某些情况下，误差甚至可以只在空间或时间上随着细化而单调增加，并解释了为什么会发生这种现象。为了验证我们的理论研究结果，我们进行收敛性研究的线性和非线性平流方程，使用有限差分和有限体积空间离散，预测-校正和多步时间步长方法。最后，我们研究了斜率限制器和单调性保持策略对精度阶的影响。
2022-01-08 cs.NA math.NA
Error bounds for PDE-regularized learning
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
在这项工作中，我们考虑的监督学习问题的正则化偏微分方程（PDE），并获得误差界的PDE误差项和数据误差项的近似。假设目标函数满足未知PDE，PDE误差项量化了用于正则化的辅助PDE对该PDE的近似程度。它示出，如果提供更多的数据，这个误差项减小。数据误差项量化了给定数据的准确性。此外，偏微分方程正则化的学习问题的离散化广义伽辽金离散化解决相关的最小化问题的无限维函数空间的子集，这不一定是子空间。对于这样的离散误差界的PDE误差，数据误差，和最佳逼近误差。
2020-03-14 cs.LG cs.NA math.NA
Elliptic PDEs on log-Gaussian Shapes: Sparsity and Finite Element Discretization
Vietnam National University（越南国立大学）；University of Basel（巴塞尔大学）；University of Transport and Communications（交通与通信大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了在由对数高斯随机同构得到的随机域上求解椭圆扩散问题，通过路径拉回验证解的存在性和唯一性，并分析解的解析正则性，采用有限元方法和稀疏网格插值进行数值近似。
2026-03-25 cs.NA math.NA math.PR
Variational Structures in Cochain Projection Based Variational Discretizations of Lagrangian PDEs
相容的离散化，如有限元外演算，提供了一个离散化框架，尊重de Rham复形的上同调结构，可以用来系统地构建稳定的混合有限元法。多辛变分积分器是拉格朗日和哈密顿域论的一类几何数值积分器，它们产生保持连续系统的多辛结构和动量守恒性质的方法。在本文中，我们研究这两种方法的合成，通过构造离散化的变分原理拉格朗日域论利用结构保持有限元投影。在我们的研究中，相容的上链投影离散化在离散层次上的变分结构的保持中起着关键的作用，允许离散变分结构本质上是有限维子空间的连续变分结构的限制。在离散水平上保持变分结构将允许我们构造离散Cartan形式，其编码离散理论的变分结构，随后，我们利用离散Cartan形式自然地陈述Noether定理和多辛性的离散类似物，其推广了Marsden等人在离散拉格朗日变分框架中引入的那些。我们将研究协变时空离散化和正则空间半离散化，并随后在时空张量积有限元空间的情况下将两者联系起来。
2022-08-27 cs.NA math-ph math.MP
Stability of Low-Rank Tensor Representations and Structured Multilevel Preconditioning for Elliptic PDEs
将大小为$2^L$的网格值向量折叠成模式大小为$2\times \cdots\times 2$的$L$阶张量，与张量训练格式的低秩表示相结合，已被证明可以导致各种类型的函数的高效近似。这些问题包括非光滑域上的椭圆型偏微分方程的解或具有振荡数据的偏微分方程的解。这种张量结构的方法是有吸引力的，因为它导致高度压缩，自适应近似基于简单的离散化。基本基的标准选择，如均匀张量积网格上的分段多线性有限元，必然导致离散算子的众所周知的矩阵病态。我们证明，对于低秩表示，张量结构本身的使用还引入了表示病态，这是张量网络中计算特有的一种新效应。我们分析了二阶线性椭圆算子BPX预处理器的张量结构，并构造了预处理器的显式张量结构表示，其秩与离散化水平的数量$L$无关。直接应用的预条件产生离散算子的矩阵条件是统一的离散化参数，但在分解表示病态。通过另外消除某些冗余的预处理离散算子的表示，我们得到的降秩分解是免费的矩阵和表示病态。对于低秩张量的软阈值的基础上的迭代求解器，我们得到的收敛性和复杂性的估计，并证明其可靠性和效率的离散化与$2^{50}$节点在每个维度。
2019-11-17 cs.NA math.NA
Physics-informed Discretization-independent Deep Compositional Operator Network
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
提出一种物理信息且离散化无关的深度复合算子网络，通过重复学习参数嵌入并与响应嵌入复合，解决了神经算子在不规则区域和不同离散表示下的泛化难题，降低了数据成本。
2024-11-13 cs.LG cs.NA math.NA
SlabLU: A Two-Level Sparse Direct Solver for Elliptic PDEs
本文提出两级稀疏直接求解器SlabLU，通过slab分解、$\mathcal H^2$矩阵与随机算法高效并行求解二维椭圆型PDE，并在大规模Helmholtz问题上实现高精度快速求解。
2025-08-28 cs.NA math.NA
A Galerkin FE method for elliptic optimal control problem governed by 2D space-fractional PDEs
本文对二维区域上的Riesz空间分数阶偏微分方程所控制的椭圆型最优控制问题提出了一种Galerkin有限元法，其中控制变量采用变分离散技术离散。推导了系统的最优性条件，并成功地建立了控制量、协状态量和状态变量的先验误差估计。数值试验表明了该方法的准确性。
2022-02-19 cs.NA math.NA
A Space-Time Multigrid Method for Space-Time Finite Element Discretizations of Parabolic and Hyperbolic PDEs
本文提出基于张量积时空有限元离散的时空多重网格方法，通过开发时空逐单元加性Schwarz平滑器解决时空背景下平滑器构造难题，并在大规模问题上验证了其高性能和可扩展性。
2024-08-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A nonlinear time compactness result and applications to discretization of degenerate parabolic-elliptic PDEs
Université de Franche-Comté（弗朗什-孔泰大学）；Sorbonne Universités, UPMC Univ Paris 06（索邦大学，巴黎第六大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文提出一个适用于证明强退化抛物问题全离散近似紧致性的离散泛函分析结果，通过补偿紧致性相关结果而非经典空间时间平移估计，处理空间和时间变量的多种数值离散化，尤其适用于变时间步长和多步时间差分方法，如BDF2方案。
2015-04-15 cs.NA math.AP math.FA
