Direct linearization method for nonlinear PDE's and the related kernel RBFs
本文提出直接线性化方法（DLM），通过将非线性项视为新独立变量，将非线性PDE转化为线性PDE，可与现有离散化技术结合，并探讨了相关径向基函数的构造。
2001-09-29 cs.NA math.NA
STENCIL-NET: Data-driven solution-adaptive discretization of partial differential equations
Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）；ONI；Flatiron Institute（熨斗研究所）
近似求解偏微分方程（PDE）的数值方法是科学计算的核心。通常，这需要高分辨率或自适应离散化网格来捕获PDE解决方案中的相关时空特征，例如，在湍流、燃烧和冲击传播等应用中。数值逼近也需要知道偏微分方程，以便构造特定问题的离散化。然而，系统地推导出这样的解自适应离散算子是当前的挑战。在这里，我们提出了STENCIL-NET，一个人工神经网络架构的数据驱动学习的问题和分辨率特定的非线性偏微分方程的局部离散化。STENCIL-NET通过在常规笛卡尔网格上进行空间和时间自适应参数池化，并结合有关离散时间积分的知识，实现了未知非线性PDE中算子的数值稳定离散化。不需要知道实际的PDE，因为解数据足以训练网络来学习离散算子。一次训练的STENCIL-NET模型可用于在更大的空间域上预测PDE的解，并且比训练时间更长，从而解决了PDE约束的数据外推问题。为了支持这一主张，我们提出了长期预测的混沌PDE解决方案的粗时空网格的数值实验。我们还量化了通过用无方程STENCIL-NET预测替代基线数值方法在较粗网格上实现的速度提高，并且几乎不影响精度。
2021-01-18 cs.LG cs.NA math.NA
Minimal residual discretization of a class of fully nonlinear elliptic PDE
本文针对一类完全非线性椭圆型偏微分方程，提出基于Alexandrov--Bakelman--Pucci估计的最小残差有限元方法，证明$C^1$协调元与间断Galerkin方法在$L^\infty$范数下收敛，并通过二维和三维自适应网格细化数值实验验证了方法性能。
2025-07-02 cs.NA math.NA
Monotone discretizations of levelset convex geometric PDEs
提出一种收敛于高维Hamilton-Jacobi方程水平集凸粘性解的新算法，适用于曲率运动PDE及Tukey深度方程，通过新的梯度方向单调格式实现任意维度网格与点云上的收敛分析，并在仿射流及MNIST等数据集上验证有效性。
2023-11-13 cs.NA math.NA
Space and Chaos-Expansion Galerkin POD Low-order Discretization of PDEs for Uncertainty Quantification
偏微分方程中多变量不确定性的量化很容易超过任何计算能力，除非采取适当的措施降低模型的复杂性。在这项工作中，我们提出了一个多维的Galerkin正交分解，最佳地减少每一个维度的张量化积空间。我们提供的分析框架和结果，定义和量化的低维近似。我们说明了它的应用与多项式混沌扩展的不确定性建模，并显示其效率在一个数值例子。
2020-09-02 cs.NA math.DS math.NA
Solving time-dependent PDEs with the ultraspherical spectral method
本文提出用超球面谱方法结合直线法和指数积分器求解时间依赖偏微分方程，分析稳定性与误差，并与切比雪夫伪谱法比较，证明其作为空间离散化方案的竞争力。
2023-06-22 cs.NA math.NA
Quasi-optimal time-space discretizations for a class of nonlinear parabolic PDEs
Ulm University（乌尔姆大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）
本文提出了一类非线性抛物型PDEs的准最优时间-空间离散化方法，通过引入额外变量构造等价系统，并利用Galerkin离散化与近似Uzawa算法求解，同时发展了后验条件以确保准最优性。
2026-01-19 cs.NA math.NA
On Spatial Discretization of Evolutionary Differential Equations on the Periodic Domain with a Mixed Derivative
Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学大学院信息理工学系研究科）
本文提出一种新的改写方法，将含混合导数的进化微分方程转化为标准形式，从而建立统一的数值方法框架，并展示了平均差方法适用于混合导数的离散化。
2017-12-11 cs.NA math.NA
Exponential Convergence of $hp$-Time-Stepping in Space-Time Discretizations of Parabolic PDEs
对于具有Lipschitz连续系数的散度型自伴时间齐次椭圆算子的线性抛物型初边值问题，以及对于多边形/多面体区域$D$中的非协调时间解析强迫项，我们证明了解的时间解析性.时间分析量化的加权，解析函数类，数据有限，低空间规律性，没有边界的兼容性。利用这一结果，我们证明指数收敛的一个符合，半离散$hp$时间步进的方法。我们结合这种半离散化的时间与一阶，所谓的“$h$版本”拉格朗日有限元与角落的空间细化成一个张量产品，符合离散化的时空配方。我们证明，在适当的角和角边网格细化的$D$，误差与自由度的时空行为的数量基本上（对数项），标准有限元提供一个椭圆边值问题解决$D$。我们专注于二维空间域和评论的一维和三维的情况下。
2022-03-22 cs.NA math.NA
Partial differential equations on hypergraphs and networks of surfaces: derivation and hybrid discretizations
我们介绍了一个一般的，分析框架来表达和近似的偏微分方程（PDE）的图形和网络的表面-广义的超图。为此，我们认为超图上的偏微分方程是薄域网络（如断层平面、管道等）中偏微分方程的奇异极限，我们观察到，（混合）混合配方提供了有用的工具，制定这样的偏微分方程。因此，我们的数值框架是基于杂交有限元法（特别是，一类混合间断Galerkin方法）。
2021-08-16 cs.NA math.AP math.GT
Maximal regularity of backward difference time discretization for evolving surface PDEs and its application to nonlinear problems
通过将问题拉回到初始曲面，研究固定曲面上线性抛物方程的极大$L^p$-正则性，得到了发展曲面上线性抛物方程的极大抛物$L^p$ -正则性.通过在固定时间冻结抛物型方程中的系数，并利用冻结时间附近的扰动变元，证明了线性抛物型方程在演化曲面上沿特征轨迹的向后差分时间离散能保持离散设置中的最大$L^p$正则性.结果被应用于证明的稳定性和收敛性的时间离散的非线性抛物型方程的发展表面上，线性隐式向后微分公式的表面的特征轨迹，一般局部Lipschitz非线性。利用离散的极大$L^p$ -正则性证明了数值解在$L^\infty(0,T;W^{1,\infty})$范数下的有界性和稳定性，该范数用于稳定性分析中的非线性项的界化。将稳定性分析与一致性估计相结合，得到了时间离散化在$L^\infty(0,T;W^{1,\infty})$范数下的最优阶误差估计。
2022-02-03 cs.NA math.NA
On generation of node distributions for meshless PDE discretizations
在本文中，我们提出了一种算法，能够生成局部规则的节点布局与空间可变的节点密度的内部任意域在二维，三维和更高的维度。通过求解二维和三维热流体问题，证明了所生成的节点分布适用于RBF-FD方法。此外，局部最小间距的保证证明了均匀和可变的节点密度。所提出的算法具有时间复杂度$O(N)$产生$N$节点与恒定的节点间距和$O(N \log N)$产生的节点间距。从节点质量、时间复杂度、执行时间和PDE解的精度等方面与现有算法进行了比较。
2019-08-20 cs.DS cs.NA math.NA
Analysis of a multigrid preconditioner for Crouzeix-Raviart discretization of elliptic PDE with jump coefficient
University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
针对跳跃系数二阶椭圆问题的非协调Crouzeix-Raviart离散化，提出一种使用标准协调子空间作为粗空间的多重网格V循环预处理器，分析表明预处理系统仅有少数小特征值受跳跃影响，有效条件数关于网格尺寸对数有界，从而预条件共轭梯度法几乎一致收敛。
2011-10-24 cs.NA math.NA
Matrix-oriented discretization methods for reaction-diffusion PDEs: comparisons and applications
Università del Salento（萨伦托大学）；Alma Mater Studiorum - Università di Bologna（博洛尼亚大学）；IMATI-CNR（意大利国家研究委员会应用数学研究所）
本文研究了反应扩散偏微分方程的矩阵导向离散化方法，通过利用扩散矩阵的结构，采用隐式显式（IMEX）和指数方案等矩阵基时间积分器，提高了计算效率，并通过数值求解Schnackenberg模型和DIB-morphochemical模型验证了方法的有效性。
2019-03-12 cs.NA math.NA
Discretely exact derivatives for hyperbolic PDE-constrained optimization problems discretized by the discontinuous Galerkin method
Naval Postgraduate School（海军研究生学院）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文研究了由不连续伽辽金方法离散化的双曲PDE约束优化问题中导数的计算，探讨了离散精确导数在优化问题中的应用及对优化算法收敛性的影响。
2013-11-27 cs.NA math.NA
Convergence analysis of the Magnus-Rosenbrock type method for the finite element discretization of semilinear non-autonomous parabolic PDEs with nonsmooth initial data
Western Norway University of Applied Sciences（西挪威应用科学大学）；University of Cape Town（开普敦大学）；Technische Universität Chemnitz（开姆尼茨工业大学）
本文研究了非自治半线性抛物型PDEs在非光滑初始数据下的数值解法，提出Magnus-Rosenbrock方法，证明了该方法在空间和时间上的收敛性，且初始数据正则性影响收敛阶。
2018-09-10 cs.NA math.NA
Robust finite element discretizations for a simplified Galbrun's equation
由具有挑战性的任务，找到强大的离散化方法Galbrun方程的驱动下，我们调查的稳定性和不同方面的鲁棒性不同的有限元计划的简化版本的方程的条件。所考虑的偏微分方程是一个二阶不定向量偏微分方程，如果只考虑Galbrun方程的最高阶项，它仍然存在。稳定性的一个关键属性是Helmholtz型分解，其结果是Galbrun方程和Stokes方程的稳定离散化与几乎不可压缩的线性弹性问题之间的紧密联系。
2022-05-31 cs.NA math.NA
Fast Iterative Solver for the Optimal Control of Time-Dependent PDEs with Crank-Nicolson Discretization in Time
在这篇文章中，我们得到了一个新的，快速的，和强大的预处理迭代求解策略的所有一次解决最优控制问题的不定常偏微分方程作为约束，包括热方程和非定常对流-扩散方程。在应用优化然后离散化的方法后，人们面临着由偏微分方程的耦合系统组成的连续的一阶最优性条件。相对于大多数工作中预处理的离散化系统，其中（一阶精度）向后欧拉法用于离散化的时间导数，我们采用（二阶精度）曲柄-尼科尔森方法的时间。我们应用一个精心定制的可逆变换对称化的矩阵，然后推导出一个最佳的预条件子的鞍点系统。这个预条件的关键组成部分是一个准确的质量矩阵近似，一个很好的近似Schur补，和一个适当的多重网格过程，以适用于后者的近似-这些都是使用我们的工作在变换矩阵系统。我们证明了最优的近似Schur补通过边界上的特征值，并测试我们的求解器对广泛使用的预条件的线性系所产生的向后欧拉离散。这些都证明了我们的求解器的有效性和鲁棒性的网格大小，正则化参数和扩散系数。
2020-07-16 cs.NA math.NA math.OC
FBSDE based Neural Network Algorithms for High-Dimensional Quasilinear Parabolic PDEs
本文提出了基于前向和后向随机微分方程（FBSDEs）的深度神经网络（DNN）学习算法，用于求解高维拟线性抛物型偏微分方程（PDE），并通过Pardoux-Peng理论将其与FBSDEs联系起来。该算法依赖于一个学习过程，通过最小化两个离散随机过程之间的路径差异，定义的时间离散化的FBSDES和DNN表示的PDE解决方案，分别。所提出的算法产生DNN解决方案的100维Black-Scholes-Barenblatt方程，在有限区域的解决方案空间中的准确，并具有类似的欧拉-丸山离散用于FBSDES的收敛速度。因此，在时间离散化上的Richardson外推技术可以用于提高DNN解决方案的准确性。对于时间振荡的解决方案，多尺度DNN示出，以提高高频率的FBADNN的性能。
2021-05-06 cs.NA math.NA
Coupling non-conforming discretizations of PDEs by spectral approximation of the Lagrange multiplier space
这项工作的重点是发展一个非协调的区域分解方法的近似偏微分方程的基础上施加的弱传输条件：连续性的整体解决方案是强制执行的离散数量的拉格朗日乘子定义在相邻子域的接口。该方法属于原始混合方法类，其中还包括著名的砂浆方法。从martar方法出发，我们采用谱近似离散界面上的基函数空间，而不依赖于两个相邻区域的离散，其中一个可能的选择是用Fourier基函数来近似界面变分空间。正如我们在数值模拟中所示，我们的方法非常适合于解决非协调网格或在每个子域中具有不同多项式次数的有限元基函数的问题。该方法的另一个仍需研究的应用是从其他不相容方法（如有限元法、谱元法或等几何分析）获得的解的耦合。
2018-02-21 cs.CE cs.NA math.NA
Time discretization of FBSDE with polynomial growth drivers and reaction-diffusion PDEs
University of Oxford（牛津大学）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；CMA/FCT/UNL（计算数学中心/科学与技术学院/新里斯本大学）
本文分析了具有多项式增长驱动项且状态变量单调的FBSDE时间离散化误差，指出显式欧拉方案可能发散，但通过θ方案可恢复稳定性，提出适当 tame 的显式欧拉方案收敛。
2015-09-09 cs.NA math.NA math.PR
A-posteriori error estimation and adaptivity for nonlinear parabolic equations using IMEX-Galerkin discretization of primal and dual equations
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文提出基于对偶的后验误差估计方法，用于非线性抛物方程的离散误差估计与自适应控制，通过IMEX时间步进方案和有限元方法进行空间离散，实现空间和时间误差分离以驱动自适应网格细化和时间步长选择。
2017-06-13 cs.NA math.NA
Birkhoff normal form and splitting methods for semi linear Hamiltonian PDEs. Part I: Finite dimensional discretization
针对可分裂为线性无界算子和正则非线性部分的离散哈密顿PDE，利用有限维Birkhoff规范形证明分裂方法在长时间内几乎保持作用量，适用于小Sobolev范数初值和渐近大空间近似。
2008-11-27 cs.NA math.AP math.DS
A recursive system-free single-step temporal discretization method for finite difference methods
单阶段或单步高阶时间离散的偏微分方程（PDE）已显示出很大的希望，提供高阶精度的时间与有效地利用计算资源。已经有很多成功的发展，这种方法的有限体积法（FVM）离散偏微分方程。Picard积分公式（PIF）最近使得这种单阶段时间方法可用于有限差分法（FDM）离散化。PIF方法依赖于所谓的Lax-Wendroff过程，通过控制PDE系统将空间和时间导数紧密耦合，以构建时间上的高阶泰勒级数展开。在时间上达到高于三阶需要计算越来越大程度的雅可比类导数张量向量收缩，大大增加了这种方案的复杂性。为此，我们在本文中提出了一种方法来计算这些张量收缩通过递归应用的离散雅可比算子，容易和有效地计算所需的收缩完全不可知的偏微分方程（PDE）的系统正在解决。
2021-02-28 astro-ph.HE cs.NA math.NA
Multi-level Compressed Sensing Petrov-Galerkin discretization of high-dimensional parametric PDEs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出一种多级压缩感知 Petrov-Galerkin 方法，用于求解多参数偏微分方程，通过多级离散化和压缩感知方法实现几乎最优收敛性，无需先验假设系数序列的结构。
2017-12-15 cs.NA math.NA
Least SQuares Discretizations (LSQD): a robust and versatile meshless paradigm for solving elliptic PDEs
针对不规则几何下传统数值网格方法受限、无网格方法需弱形式求积的问题，提出无需弱形式的最小二乘离散化（LSQD）无网格方法，验证了其在多场景下求解椭圆型PDE的有效性，并构建后验误差估计器，提供了鲁棒易用的数值新方案。
2024-06-19 cs.NA math.NA
From continuous-time formulations to discretization schemes: tensor trains and robust regression for BSDEs and parabolic PDEs
Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；dida Datenschmiede GmbH（dida Datenschmiede 有限公司）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
针对高维抛物型PDEs的数值逼近难题，本文基于连续时间视角提出结合张量列车与回归型方法的迭代方案，利用低秩结构在精度与计算效率间实现有利权衡。
2023-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
Quantum-inspired methods for finite-element discretizations of the high-dimensional Poisson equation
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Department of Mathematics, Tufts University（塔夫茨大学数学系）
研究量子启发经典算法对高维泊松方程有限元离散化的适用性，给出计算复杂度上下界，证明其不能实现维度指数加速，表明量子方法在高维问题求解上比量子启发经典算法更具优势。
2026-07-08 cs.NA math.NA
Adaptive finite element methods for sparse PDE-constrained optimization
Universidad Técnica Federico Santa María（弗雷德里科·圣塔玛丽亚技术大学）
本文提出并分析了用于解决包含非可导成本函数、泊松问题作为状态方程和控制约束的最优控制问题的可靠且高效的后验误差估计器，通过三种不同的策略近似控制变量，并设计了简单的自适应策略以实现数值示例中的最优收敛率。
2019-01-11 cs.NA math.NA math.OC
A Neumann interface optimal control problem with elliptic PDE constraints and its discretization and numerical analysis
本文研究控制作用于界面的椭圆型偏微分方程最优控制问题，提出基于均匀网格的浸入有限元离散方案，并结合后处理超收敛技术与变分离散化概念，获得了控制的最优误差估计和状态变量的次优误差估计。
2023-09-17 cs.NA math.NA
Numerical approximation of singular-degenerate parabolic stochastic PDEs
研究了一类广义奇异退化抛物型随机偏微分方程（SPDE），特别是随机多孔介质方程和随机快速扩散方程.我们提出了一个完全离散的数值逼近所考虑的SPDE的基础上非常弱的制定。通过利用单调性的建议制定我们证明的数值逼近的唯一解决方案。此外，我们构造了一个可实现的有限元方案的空间离散的非常弱的提法，并提供数值模拟，以证明所提出的离散的实用性。
2020-12-22 cs.NA math.NA
Error bounds for PDE-regularized learning
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
在这项工作中，我们考虑的监督学习问题的正则化偏微分方程（PDE），并获得误差界的PDE误差项和数据误差项的近似。假设目标函数满足未知PDE，PDE误差项量化了用于正则化的辅助PDE对该PDE的近似程度。它示出，如果提供更多的数据，这个误差项减小。数据误差项量化了给定数据的准确性。此外，偏微分方程正则化的学习问题的离散化广义伽辽金离散化解决相关的最小化问题的无限维函数空间的子集，这不一定是子空间。对于这样的离散误差界的PDE误差，数据误差，和最佳逼近误差。
2020-03-14 cs.LG cs.NA math.NA
Parallel block preconditioners for virtual element discretizations of the time-dependent Maxwell equations
本研究的重点是三维麦克斯韦方程组的低阶虚元离散的并行块预处理器的构造和数值验证。虚元法是一种将有限元推广到多面体网格的偏微分方程的数值逼近技术。到目前为止，VEM已被扩展到几个问题所描述的偏微分方程，最近也不定常麦克斯韦方程组。当偏微分方程的时间离散化是隐式执行时，在每个时间步，一个大规模和病态的线性系必须被解决，在麦克斯韦方程的情况下，这是特别具有挑战性的，因为存在H（div）和H（curl）离散空间。在这里，我们提出了一个并行预条件，利用Schur补块分解的线性系矩阵，并包括一个Jacobi预条件的H（div）块和辅助空间预条件的H（卷曲）块。几个并行的数值试验已经进行了研究的鲁棒性的求解器的网格细化，多面体元素的形状，时间步长和VEM稳定参数。
2022-08-04 cs.NA math.NA
Preconditioned nonlinear iterations for overlapping Chebyshev discretizations with independent grids
该研究提出了一种基于重叠Chebyshev离散化的预条件非线性迭代方法，通过将全局PDE转换为Schwarz重叠问题，实现子域独立解算，减少进程间通信。
2019-02-04 cs.NA math.NA
Mitigating Numerical Stiffness in Least-Squares Formulations of Elliptic PDEs for Physics-Informed Neural Networks
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf e.V.（亥姆霍兹德累斯顿-罗斯多夫中心）；University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）
研究物理驱动神经网络学习偏微分方程解时\(H^{-1}\)残差损失公式，分析椭圆型偏微分方程中\(H^{-1}\)范数离散化，证明其可平衡偏微分方程损失、改善条件并减轻刚性，通过实验验证。
2026-07-07 cs.NA math.NA
A domain splitting strategy for solving PDEs
在这项工作中，我们开发了一种新的区域分裂策略的解决方案的偏微分方程。针对均匀离散的$d$维对流-扩散方程，我们的建议是一个两级的算法，合并的解决方案，从离散的方程在高度各向异性的子网格计算的初始近似的精细的解决方案。然后，该算法通过利用残差的结构来迭代地细化初始猜测。在各向异性子网格上执行昂贵的计算使我们能够将问题的维度减少一个，并且合并过程（涉及不相交域上的解的计算）允许并行实现。
2023-03-02 cs.NA math.NA
Probabilistic solvers for partial differential equations
Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种概率求解器，用于解决具有混合边界条件的线性偏微分方程，通过概率测度量化离散化引入的不确定性。
2016-07-12 cs.NA math.NA math.PR
A high-order discontinuous Galerkin in time discretization for second-order hyperbolic equations
本文的目的是将高阶时间间断格式应用于二阶双曲型偏微分方程。我们首先在时间上离散偏微分方程，同时保持空间微分算子不离散。分析了该半离散格式的适定性，并在能量范数下给出了先验误差估计。然后，我们结合这个$hp$版本的不连续Galerkin方法的时间离散与$H^1$符合有限元近似的空间变量，构建一个完全离散的计划。在能量范数和$L^2$ -范数下得到了先验误差估计。数值实验验证了理论结果。
2021-11-29 cs.NA math.NA
Fast solution of fully implicit Runge-Kutta and discontinuous Galerkin in time for numerical PDEs, Part I: the linear setting
全隐式Runge-Kutta（IRK）方法作为时间积分格式在精度和稳定性方面具有许多令人满意的特性，但高阶IRK方法由于难以求解阶段方程而不常用于数值偏微分方程。本文介绍了一个理论和算法的预处理框架，解决系统的方程，所产生的IRK方法应用于线性数值偏微分方程（无代数约束）。这个框架也自然地适用于时间上的不连续Galerkin离散。在对空间离散的一般性假设下，证明了预条件算子的条件数与空间网格和时间步长无关，且与级数/多项式阶数的依赖性很弱;例如，10阶高斯IRK的预处理算子具有条件数小于2，与空间离散化和时间步长无关。新的方法可以使用任意现有的向后欧拉型时间步进计划的预条件，并适合使用三项递归Krylov方法时，基本的空间离散是对称的。新方法被证明是有效的各种高阶有限差分和有限元离散线性抛物和双曲问题，展示快速，可扩展的解决方案，高达10阶精度。新方法始终优于现有的块预处理方法，在某些情况下，新方法可以达到4阶精度使用高斯积分与预处理器的应用程序和挂钟的数量约为一半所需的使用标准对角隐式RK方法。
2021-10-05 cs.NA math.NA
A nonlinear time compactness result and applications to discretization of degenerate parabolic-elliptic PDEs
Université de Franche-Comté（弗朗什-孔泰大学）；Sorbonne Universités, UPMC Univ Paris 06（索邦大学，巴黎第六大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文提出一个适用于证明强退化抛物问题全离散近似紧致性的离散泛函分析结果，通过补偿紧致性相关结果而非经典空间时间平移估计，处理空间和时间变量的多种数值离散化，尤其适用于变时间步长和多步时间差分方法，如BDF2方案。
2015-04-15 cs.NA math.AP math.FA
Physics-informed Discretization-independent Deep Compositional Operator Network
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
提出一种物理信息且离散化无关的深度复合算子网络，通过重复学习参数嵌入并与响应嵌入复合，解决了神经算子在不规则区域和不同离散表示下的泛化难题，降低了数据成本。
2024-11-13 cs.LG cs.NA math.NA
Carleman Linearization of Parabolic PDEs: Well-posedness, convergence, and efficient numerical methods
本研究将Carleman线性化拓展至无穷维希尔伯特空间的二次非线性动力系统，证明其适定性与收敛性，分析离散化误差分解，提出用结构感知数值方法缓解维数灾难，并通过实验验证，为抛物型PDE求解提供新方法支撑。
2025-10-01 cs.NA math.NA
Guaranteed stability bounds for second-order PDE problems satisfying a Garding inequality
Inria, Univ. Lille, CNRS, UMR 8524 -- Laboratoire Paul Painlev\'e
本文提出一种算法，用于数值确定满足Garding不等式的第二-order线性PDE问题是否良态，并提供弱形式的inf-sup常数下界，可用于后验误差估计。所提的数值下界基于两个离散奇异值问题，结合拉格朗日有限元离散化与基于通量重建技术的后验误差估计器。证明如果有限元离散化足够丰富，所提下界仅低估最优常数约两倍。
2026-05-19 cs.NA math.NA
Best approximation results and essential boundary conditions for novel types of weak adversarial network discretizations for PDEs
本文对高维偏微分方程的弱对抗网络（WAN）方法做理论分析，证明离散解存在性与拟最佳逼近估计，提出两种稳定化WAN公式，分析其Dirichlet边界问题有效性，还设计出收敛更快的伪时间XNODE神经网络。
2024-01-29 cs.NA math.NA
Sharp convergence rates of time discretization for stochastic time-fractional PDEs subject to additive space-time white noise
Florida State University（佛罗里达州立大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Mississippi State University（密西西比州立大学）
本文研究了随机时间分数PDEs在加性时空白噪声下的时间离散化收敛性，通过后向欧拉卷积求解法建立了误差估计，并展示了在时空白噪声下的最优收敛率。
2018-08-08 cs.NA math.NA
A Space-Time Multigrid Method for Space-Time Finite Element Discretizations of Parabolic and Hyperbolic PDEs
本文提出基于张量积时空有限元离散的时空多重网格方法，通过开发时空逐单元加性Schwarz平滑器解决时空背景下平滑器构造难题，并在大规模问题上验证了其高性能和可扩展性。
2024-08-08 cs.NA math.NA physics.comp-ph
General local energy-preserving integrators for solving multi-symplectic Hamiltonian PDEs
在本文中，我们提出并研究了一个一般的方法来构造局部能量保持算法，可以是任意高阶的时间求解哈密顿偏微分方程。该方法基于连续Runge-Kutta型方法的时间离散和伪谱方法或Gauss-Legendre配置法的空间离散。详细分析了新格式的局部能量守恒律。通过耦合非线性薛定谔方程和具有外场的二维非线性薛定谔方程的数值计算，验证了这种新型局部保能积分器的有效性.在数值实验中，我们的新格式与一些经典的多辛和辛格式进行了比较。数值结果表明我们的新格式具有显著的\emph{long-term}特性。
2021-03-30 cs.NA math.NA
A fast implicit method for time-dependent Hamilton-Jacobi PDEs
Cornell University（康奈尔大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）
本文提出了一种高效求解时间依赖Hamilton-Jacobi-PDEs的隐式方法，通过非线性方程离散化并结合因果性理论，实现快速计算，同时提出混合方法提升效率。
2013-06-14 cs.NA math.NA math.OC
Arbitrary Dimension Convection-Diffusion Schemes for Space-Time Discretizations
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与计算机科学研究所）
本文提出将时间依赖的PDE嵌入到具有奇异性的更高空间维度的对流-扩散类型PDE中，研究了经典流线扩散方案和EAFE方案的稳定性与误差分析，特别将EAFE方案扩展为任意阶数，并通过数值结果验证了该方法的可行性。
2016-04-04 cs.NA math.NA
On the Spatial and Temporal Order of Convergence of Hyperbolic PDEs
本文给出了双曲型偏微分方程（PDE）的全局截断误差的完整表达式。特别是，我们使用理论分析和符号代数来找到通用全局截断误差系数的精确表达式。我们的分析是有效的任何双曲型偏微分方程，无论是线性或非线性，并采用有限差分，有限体积，或有限元离散空间，并提前在时间上的预测-校正，多步，或推迟校正方法，属于直线法。此外，我们讨论了这种分析的实际意义。如果我们采用一个稳定的数值方案和整体解误差和整体截断误差的精度的顺序同意，我们作出以下渐近观察：（a）在恒定比率的$Δt$到$Δx$的收敛顺序是由空间和时间离散的顺序的最小值，和（b）收敛甚至不能保证下，只有空间或时间的细化。（a）的含义是，投资于阶数高于空间离散化的时间步进方法是不切实际的。除了（b），我们还证明了在某些情况下，误差甚至可以只在空间或时间上随着细化而单调增加，并解释了为什么会发生这种现象。为了验证我们的理论研究结果，我们进行收敛性研究的线性和非线性平流方程，使用有限差分和有限体积空间离散，预测-校正和多步时间步长方法。最后，我们研究了斜率限制器和单调性保持策略对精度阶的影响。
2022-01-08 cs.NA math.NA
Fully-discrete provably Lyapunov consistent discretizations for convection-diffusion-reaction PDE systems
本文提出了一个综合框架，利用配置型间断Galerkin方法和松弛Runge-Kutta格式，构建任意阶完全离散的Lyapunov一致对流-扩散-反应偏微分方程系统离散化，并通过二聚化数值实验验证了其准确性和一致性。
2024-10-15 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Probabilistic Numerical Method for Fully Nonlinear Parabolic PDEs
Ecole Polytechnique Paris（巴黎综合理工学院）；EDF R&D & FiME, Finance des Marchés de l’Energie Laboratory（法国电力研发部与金融市场能源金融实验室）
提出并分析一种结合蒙特卡洛和有限差分的概率数值方法，用于求解完全非线性抛物型PDE，证明离散化误差和蒙特卡洛误差的收敛性，并通过平均曲率流和Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值实验验证。
2010-08-25 cs.NA math.NA math.PR
Parallel domain discretization algorithm for RBF-FD and other meshless numerical methods for solving PDEs
本文提出了一种新的与维数无关的并行节点定位算法，该算法能够生成密度可变的节点，适用于无网格数值分析。一个非常有效的顺序算法的基础上泊松磁盘采样并行化共享内存的计算机上使用，如现代工作站与多核处理器。该并行算法使用全局空间索引方法，其数据分为两个级别，这允许一个高效的多线程实现。自举的增加使算法能够使用任何数量的并行线程，同时保持其顺序变体的通用性。我们证明了算法的性能在六个复杂的2-和3-维域，这是非矩形形状或具有不同的节点间距或两者兼而有之。我们执行的算法的运行时分析，以证明它的能力，以达到高的加速比，无论域，并显示如何以及它的规模与16个处理器内核的实验硬件。我们还分析了算法的域形状，质量的点的位置，和各种并行化开销的影响。
2022-02-03 cs.DC cs.NA math.NA
Enforcing conserved quantities in Galerkin truncation and finite volume discretization
本文提出 Galerkin RONS 与 finite volume RONS，使 PDE 的第一积分在有限维截断和有限体积离散后仍保持守恒，并通过浅水方程和非线性 Schrödinger 方程验证。
2023-12-08 cs.NA math.DS math.NA
