Hyperbolic lattice point counting in unbounded rank
Valentin Blomer, Christopher Lutsko
本文通过谱分析方法，得到了SL(n, Z)中高度不超过T的矩阵计数渐近公式，显著改进了误差项，适用于小秩和大秩情形。
我们利用谱分析，给出了高度至多为T的SL(n, Z)中矩阵数量的渐近公式，并带有强误差项，远超此前已知结果，无论对于小秩还是大秩均如此。
We use spectral analysis to give an asymptotic formula for the number of matrices in SL(n, Z) of height at most T with strong error terms, far beyond the previous known, both for small and large rank.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hyperbolic lattice-point counting and modular symbols
对于$\slr$的余紧群$\G$，我们固定一个实非零调和1-形式$α$。在模符号$\modsymγ{\a}$的限制下，研究了$\G$的双曲格计数问题的渐近性.我们证明了模块化符号的归一化值，当根据这个计数排序时，具有高斯分布。
Counting in hyperbolic spikes: the diophantine analysis of multihomogeneous diagonal equations
本文给出了一种求多维算术函数在双曲求和条件下的和的方法，只要在矩形盒中的渐近公式是可用的。与圆方法相结合，新方法是计算由多个齐次对角方程定义的代数簇上的有理点的通用工具。
Orbit-counting in non-hyperbolic dynamical systems
对于具有双曲行为的动力系统，有著名的素数定理和Mertens定理的类似物。这里我们考虑最简单的非双曲代数系统的相同问题。轨道计数函数的渐进行为由相关紧群上的旋转决定，并且在简单的例子中，我们展示了轨道计数函数的无数个不同的渐进增长率。梅尔滕斯定理也在这种情况下成立，一个明确的合理的首项系数从算术性质的非双曲特征方向。
Horospherical coordinates of lattice points in hyperbolic space: effective counting and equidistribution
本文建立了双曲空间中任意维域族中格点的有效计数和等分布结果。我们关注的域被定义为关于岩泽分解的乘积集。几个经典的丢番图问题可以归结为在这样的区域中计算格点，包括最短解的分布的gcd方程，和平面上的原始向量的角分布。我们给出了这些问题的一个显式有效的解决方案，并将其推广到虚二次数域。进一步的应用包括计数升降机的封闭horospheres双曲流形和建立一个均匀分布的性质的积分解的丢番图方程定义的洛伦兹形式。
Pointwise improvement of the error term in the higher rank hyperbolic lattice counting problem
该研究针对高阶双曲格点计数问题，在Blomer等人成果基础上，证明了SL(n,ℤ)对应误差项的改进上界，还得到符合Rudnick–Phillips风格的Ω-结果。
Square root cancellation in the hyperbolic lattice counting problem over cocompact groups
本文针对余紧Fuchsian群改进了双曲格点计数误差项的Selberg界，达到几乎处处最优的平方根上界，并推广至高维，同时改进二阶矩界并否证Phillips-Rudnick猜想。
Counting and equidistribution over primes in hyperbolic groups
本文研究上半平面中双曲格点角度在素数条件下的等分布问题，扩展Friedlander和Iwaniec的工作，证明完全模群在素数矩阵下等分布成立（在假设下界条件下），并证明特定算术余紧群在素数限制下无条件等分布。
The hyperbolic lattice counting problem in large dimensions
本文研究大维度双曲空间中余紧格作用下的圆问题误差项平均行为，给出局部平均上界并证明均值与二阶矩的Ω结果。
Almost periodic functions and hyperbolic counting
本文证明了一类特殊的殆周期函数极限分布的渐近矩的存在性和尾部估计。然后引入双曲圆问题，证明了余项的渐近方差的一个估计，改进了Chamizo的一个结果。应用第一部分的结果，我们证明了存在的极限分布和渐近矩的三个功能，是完整的版本的其余部分，并认为最初（由于适应我们的设置）由沃尔夫，菲利普斯和鲁德尼克，希尔和Parnovski。
Orbit counting with an isometric direction
素数定理和Merten定理的类似物对于具有双曲行为的动力系统是众所周知的。本文研究了倍圆映射的3-adic扩张。该地图有一个3-adic本征方向，它的行为就像一个等距，双曲性的损失导致较弱的渐近结果轨道计数比双曲映射。
An $Ω$-Result for the Counting of Geodesic Segments in the Hyperbolic Plane
本文针对余紧 Fuchs 群中固定闭测地线像的计数问题，证明了误差项的下界为 $\Omega_\delta(X^{1/2}(\log\log X)^{1/4-\delta})$，其中 $X=\cosh R$。
A relative trace formula and counting geodesic arcs in the hyperbolic plane
研究双曲圆问题变体，考虑两个双曲子群的双陪集及闭测地线间公共垂线计数，证明显式相对迹公式，利用大筛法不等式得到均方误差阶 $O(X^{1/2}\log X)$ 的新界，并给出点态误差界 $O(X^{2/3})$ 的新证明。
Local average in hyperbolic lattice point counting
双曲格点问题要求估计半径为$\cosh^{-1}(X/2)$的双曲圆盘内轨道$Γz$的大小，其中$Γ$是$\hbox{PSL}_2(R)$的离散子群。Selberg证明了余有限群或余紧群的误差项的估计$O(X^{2/3})$。这一点在任何团体和任何中心都没有得到改善。本文研究了$\hbox{PSL}_2(Z)$的中心局部平均。其结果是误差项可以改进为$O(X^{7/12+ε})$。证明使用令人惊讶的强大的输入，例如结果的量子遍历性的Maaestheticcusp形式和估计谱指数和。我们还证明了这种平均的欧米茄结果，符合理论上的最佳误差界$O(X^{1/2+ε})$。在附录中研究了谱参数的相关指数和。
Counting and equidistribution in quaternionic Heisenberg groups
我们开发的四元数双曲几何和算术计数或均匀分布的应用程序之间的关系，所产生的算术群的行动四元数双曲空间，特别是在尺寸$2$。证明了四元数Hermitian型光锥中$\mathbb Q$上的确定四元数代数$A$上有理点的Mertens计数公式，以及四元数Heisenberg群中$A$上有理点集的Neville等分布定理.
Local average in the Hyperbolic sphere problem
本文研究了双曲球面问题中的局部平均，通过改进余项界和利用谱指数和的界，改进了双曲格点计数的精度。
Lattice Point Counting in Sectors of Hyperbolic 3-space
设$Γ$是$\mathrm{PSL}_{2}(\mathbb{C})$的余紧离散子群，用$\mathcal{H}$表示三维上半空间.对于一个$p\in\mathcal{H}$，我们计算轨道$Γp$中的点数，根据它们到全测地超平面的距离$\operatorname{arccosh} X$。$n$维数的主项由Herrmann对全测地子流形的任何子集得到。将Huber和Chatzakos-Petridis的方法推广到三维空间，证明了$O(X^{3/2})$的逐点误差项.应用Chamizo的大筛不等式，我们得到了在空间上平均的修正误差项$O(X^{1+ε})$.我们证明了一个相应的大筛不等式的径向平均值，并解释了为什么它只改善了逐点界的$1/6$。
Sector estimates for hyperbolic isometries
我们证明了第二类富克斯群的各种轨道计数陈述。这些都是独立的利益，也被用于同伴纸[BourgainKontorovich 2009]中产生的仿射线性筛素数。
Refined Counting of Geodesic Segments in the Hyperbolic Plane
本文利用新发展的相对迹公式，对余有限富克斯群中固定闭测地线的定向像计数给出新的误差界证明，并推广至算术群情形。
Applications of the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture
在2014年，皮拉和齐默曼证明了$j$ -函数的Ax-Schanuel猜想，最近与莫克一起宣布了它推广到任何（纯）志村簇的证明。我们把这种推广称为双曲Ax-Schanuel猜想。在这篇文章中，我们表明，双曲Ax-Schanuel猜想可以用来减少Zilber-Pink猜想志村品种的点计数的问题。我们进一步表明，这个点计数问题可以解决在一些情况下，使用皮拉-威尔基计数定理和几个算术代数。我们的方法的灵感来自以前的应用程序的皮拉-赞尼尔方法，特别是最近的证明Habegger和皮拉的Zilber-Pink猜想曲线的阿贝尔簇。
Counting and equidistribution in Heisenberg groups
我们大力发展复双曲几何和算术计数或均匀分布的应用程序之间的关系，产生于行动的算术群复双曲空间，特别是在尺寸$2$。证明了厄米型光锥中二次虚数域$K$上整数点的Mertens公式，以及海森堡群中$K$上有理点集的等分布定理.对于$K$上给定的厄米特形式，给出了复射影平面中伽罗瓦共轭正交各向同性的$K$上三次点的计数公式，以及海森堡群中算术链的Cygan直径趋于$0$时的计数和均匀分布结果。
Counting Salem numbers of arithmetic hyperbolic 3-orbifolds
已知算术双曲轨道的闭测地线的长度与Salem数有关。我们对这一现象进行了定量研究。我们证明了任何非紧算术$3$维orbifold定义$c Q^{1/2} + O(Q^{1/4})$平方根Salem数的程度$4$小于或等于$Q$。这个数量可以与这样的塞勒姆数的总数进行比较，这被证明是渐近的$\frac{4}{3}Q^{3/2}+O(Q)$。假设Marklof的间隙猜想，我们可以将这些结果推广到紧算术$3$ -orbifolds。作为应用，我们得到了非紧偶维算术轨道的测地谱中平均重数的强指数增长性的下界。以前，这样的下界仅在维度$2$和$3$中获得。
Counting Salem numbers arising from arithmetic hyperbolic orbifolds
本文研究算术双曲轨道中Salem数与短测地线的关系，通过界定了Salem数比例和测地线谱乘法的指数增长下界，改进了相关理论。
Equidistribution and Counting for orbits of geometrically finite hyperbolic groups
设G是SO（n，1）的单位连通区，线性作用在有限维实向量空间V上。考虑V中的向量w_0，使得w_0的稳定子是G的对称子群或线Rw_0的稳定子是G的抛物子群。对G的任意非初等离散子群Gamma，若其Gamma skinning尺寸有限，且其双曲流形上的Bowen-Margulis-Sullivan测度有限，则对w_0 Gamma离散，得到了w_0 Gamma中范数不超过T的点的个数的渐近公式.在我们的方法中的主要遍历成分是描述的极限分布的正交平移的完全测地线浸入闭子流形的Gamma \H^n。对于Gamma几何有限的情形，我们还给出了W_0的Gamma蒙皮尺寸有限的一个判据.
The hyperbolic circle problem over Heegner points
该研究针对全模群下不同判别式Heegner点的双曲圆问题，借助Waldspurger公式、扭Rankin-Selberg卷积一阶矩与新分数矩估计，实现了Selberg误差项界的对数改进。
Lattice points counting and bounds on periods of Maass forms
我们提供了一个“软”证明的非平凡的边界上的球面，双曲和单幂傅里叶系数的固定马斯形式的一般有限格$Γ$在$PGL(2,R)$。对于$PGL(2,R)$的相应矩阵系数，我们采用基于Airy型现象的放大方法，对于各种齐性空间中的格点计数，我们采用有效的Selberg型逐点渐近方法.
A norm on homology of surfaces and counting simple geodesics
我们定义了一个规范的穿孔环面配备了一个完整的双曲度量的有限体积的同调，并用它来寻找渐近的增长数量的简单测地线的有界长度。
Ambient prime geodesic theorems on hyperbolic 3-manifolds
证明了紧致双曲三维流形上的素闭测地线地线定理，该流形具有给定的长度和完整性，且可以收缩。我们的结果意味着有效的等分布的holonomy和收缩率和强度的误差项完全对称的长度和holonomy。
Mean value results and $Ω$-results for the hyperbolic lattice point problem in conjugacy classes
对于有限余体积的Fuchsian群$Γ$，研究了黎曼曲面$Γ\backslash \mathbb{H}$上共轭类的格点问题.设$\mathcal{H}$是$Γ$中的双曲共轭类，$\ell$是曲面上的$\mathcal{H}$ -不变闭测地线.在以$z$为中心的半径为$t$的圆内，轨道$\mathcal{H} \cdot z$的计数函数的主渐近像$c_{\mathcal{H}} \cdot e^{t/2}$那样增长。这个问题也与计算$z$的轨道到测地线$\ell$的距离有关。对于$X \sim e^{t/2}$，我们研究计数函数的误差项$e(\mathcal{H}, X ;z)$的平均值和$Ω$ -结果。我们证明了误差$e(\mathcal{H}, X ;z)$的归一化版本在参数$t$中具有有限的平均值。此外，我们证明，如果$Γ$是cocompact的，那么\begin{eqnarray*} \int_{\ell} e(\mathcal{H}, X;z) d s(z) = Ω\left( X^{1/2} \log \log \log X \right). \end{eqnarray*}我们证明了相同的$Ω$ -结果持有$Γ= {\hbox{PSL}_2( {\mathbb Z})}$，如果我们假设一个次凸性界的Epstein zeta函数相关联的一个不定的二次型在四个变量。我们还研究…
Counting one sided simple closed geodesics on Fuchsian thrice punctured projective planes
本文证明了在任意Fuchsian实射影平面上，去掉三点后，长度为$\leq L$的单侧简单闭曲线个数的真渐近公式。与Mirzakhani对可定向Fuchsian曲面上简单闭曲线的计数结果相反，增长指数与双曲结构无关，且为非整数.
On Length Sets of Subarithmetic Hyperbolic Manifolds
我们在双曲流形上的闭测地线的长度集上建立了渐近长度饱和猜想，其中双曲流形的基本群是次算术群，即包含在一个算术群中。我们证明了第一个例子的猜想穿孔，Zagliki密集覆盖的模块化表面。所涉及的工具包括轨道圆方法，扩展和计数的同余塔薄组，估计指数和，双线性型，和二次L-系列。
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