$p$-Adic quotient sets: diagonal forms
对于一组整数$A$，我们考虑$R(A)=\{a/b: a, b\in A, b\neq 0\}$。当$A$是由积分形式得到的非零值集时，研究$R(A)$在$p$ -adic数中的稠密性是一个公开问题.这个问题已经回答了二次形式。最近，Antony和Barman研究了对角二元三次形式$ax^3+by^3$的这个问题，其中$a$和$b$是整数。在这篇文章中，我们研究这个问题的对角线形式。我们将Antony和Barman的结果推广到对角二元形式$ax^n+by^n$的所有$n\geq 3$。我们还研究了由度$n\geq 3$的对角形式得到的非零值的导数的$p$ -adic稠密性，其中$\gcd(n,p(p-1))=1$。
2022-01-12 math.NT
Singular probability distributions and fractal properties of sets of real numbers defined by the asymptotic frequencies of their s-adic digits
详细研究了单位区间上“特别非正规数”集合$T_s$的性质（$T_s$由实数$x$组成，其s-adic数中的一些具有$x$的无限$s-$ adic展开式中的渐近频率，而另一些则不具有渐近频率）.证明了集合$T_s$在拓扑意义上是剩余的（即，它属于第一Baire类别），并且它在分形几何学的意义上是通用的（$T_s$是超分形集，即，其Hausdorff-Besicovitch维度等于~1）。通过分析数字在s-adic展开式中的渐近频率，给出了实数集的拓扑分形分类。
2006-05-30 math.NT math.PR
Cell decomposition and p-adic integration
构造了一个从p-adic数域到自身减一点的半代数双射。半代数p-adic集被分类为半代数双射。本文证明了限制解析p-adic映射的一个胞腔剖分定理，类似于Denef的多项式映射的胞腔剖分定理.这个胞腔剖分用来证明一个特定的代数（由解析和次解析p-adic函数构成）在p-adic积分下是封闭的。这解决了Denef关于参数化解析p-adic积分的一个猜想。证明了局部（解析）奇异级数在这个代数中。亚解析p-adic集被分类为亚解析双射。研究了多元Kloosterman和的模幂p。当幂趋于无穷大时，得到了一个定性的衰减率。这是Igusa的结果的多变量模拟。也研究了Presburger群体。定义了Presburger集的维数，将Presburger集分类为可定义的双射，并证明了可消元性。计算了几类值域的Grothendieck环。
2003-01-03 math.LO math.NT
$p$-adic alternated Julia sets
本文将交替Julia集从复动力学推广到p-进环境，提出研究算术动力学的工具，并给出可视化算法与伪代码。
2025-07-23 math.DS math.NT
Wave-front sets for $p$-adic Lie algebras
本文研究 $p$-adic 约化李代数中元素的波前集，通过改编 Waldspurger 算法得到归纳计算方法，用于计算正则超尖点表示的波前集，并发现其不限于单一几何轨道的例子。
2023-11-14 math.NT math.RT
Level sets of asymptotic mean of digits function for 4-adic representation of real number
本文研究了数的位数渐近平均的函数$r$在$4$ -adic表示中的水平集$x\in[0;1]$的拓扑、度量和分形性质，若至少一位数的渐近频率$ν_j(x)$不存在，则$$r(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{i=1}α_i(x)$$为$$ ν_j(x)=\lim_{n\to\infty}n^{-1}#\{k: α_k(x)=j, k\leqslant n\}, \:\: j=0,1,2,3. $$
2016-08-30 math.NT math.PR
On the upper bound of wavefront sets of representations of p-adic groups
本文研究 p-adic 连通约化群不可约容许表示的波前集上界，提出新猜想并将其归结为反离散系列表示，进而证明它与局部 Arthur 包及 ABV 包中的相应猜想等价。
2024-04-05 math.NT math.RT
Bounded tiles in $\mathbb{Q}_p$ are compact open sets
$p$-进数域$\mathbb{Q}_p$的任何有界瓦片是紧开集直到零Haar测度集。本文给出了这一事实的一个简单而直接的证明。
2015-11-17 math.CA math.NT
On two definitions of wave-front sets for $p$-adic groups
本文比较 p进约化群不可约容许表示波前集的解析闭包与 Zariski 闭包两种定义，并证明在 G=Sp_4 时二者不等价。
2025-06-04 math.NT math.RT
$p$-adic denseness of members of partitions of $\mathbb{N}$ and their ratio sets
正整数集合$A$的比率集定义为$R(A) := \{a / b : a, b \in A\}$。研究$R(A)$在正实数集上的稠密性是一个经典的课题，最近，$p$ -adic数$\mathbb{Q}_p$集上的稠密性也得到了研究。令$A_1, \ldots, A_k$是将$\mathbb{N}$划分为$k$集合。证明了对所有素数$p$，但至多有$\lfloor \log_2 k \rfloor$例外，至少有一个$R(A_1), \ldots, R(A_k)$在$\mathbb{Q}_p$中稠密.此外，我们表明，所有的素数$p$，但在大多数$k - 1$例外至少有一个$A_1, \ldots, A_k$是密集的$\mathbb{Z}_p$。这两个结果都是最佳的意义上说，存在分区$A_1, \ldots, A_k$具有确切的$\lfloor \log_2 k \rfloor$，分别$k - 1$，例外素数，我们给他们明确的建设。此外，作为一个必然的结果，我们否定地回答加西亚等人提出的问题。
2018-08-01 math.NT
On the Exceptional Sets of $p$-adic Transcendental Analytic Functions
本文研究 $p$-adic 超越解析函数的例外集，给出必要条件并证明在代数共轭封闭且含 0 时存在不可数多个函数，否定 Mahler 问题 C 的一般答案。
2024-07-17 math.NT
Positive Logarithmic Hausdorff Measures of Exceptional Sets for the $p$-adic and $t$-adic Littlewood Conjectures
University of Sydney（悉尼大学）；University of York（约克大学）
该研究证明p进Littlewood猜想例外集若非空则具正对数Hausdorff测度，还得到有限域上t进情形的更强结论，改进了Lai和Sprang的构造，特征2情形的结论仍待反例存在性验证。
2026-08-25 math.DS math.NT
On hereditarily self-similar $p$-adic analytic pro-$p$ groups
称一个非平凡的非平凡生成的原$p$群$G$是指数为$p$的强遗传自相似群，如果$G$的每个非平凡的非平凡生成的闭子群在$p$ -二叉树上都有一个忠实的自相似作用.我们对维数小于$p$且指数$p$为强遗传自相似的可解无挠$p$ -adic解析亲$p$群进行了分类.此外，我们证明了一个维数小于$p$的可解无挠$p$-adic解析pro-$p$群是指数$p$的强遗传自相似的当且仅当它同构于某个域的极大pro-$p$伽罗瓦群，该域包含一个本原$p$ -th单位根.作为证明上述结果的关键步骤，我们对$p$-二叉树上的可解无挠$p$ -adic解析亲$p$群进行了分类，完成了对可解无挠$p$ -adic解析亲$p$群的分类.
2020-02-06 math.GR math.NT
Analytic p-adic Cell Decomposition and Integrals
利用解析胞腔剖分定理证明了Denef关于参数化$p$ -adic解析积分的一个猜想，并在本文中得到了证明。这个胞腔剖分定理描述了分段的解析函数（更一般的是子解析函数）的赋值，这些片段是几何上简单的集合，称为细胞。我们还分类子解析集子解析双射。
2003-09-26 math.LO math.NT
Measure rigidity and $p$-adic Littlewood-type problems
本文研究了各种$p$ -adic版本的Littlewood猜想，推广了最近考虑的de Mathan和Teulie的设置。在许多情况下，它表明，这些结构的例外集有豪斯多夫维数为零。证明遵循Einsiedler，Katok和Lindenstrauss的测度ridigity方法。
2005-06-24 math.DS math.NT
Very sparse return sets in arithmetic dynamics
本文研究动力莫德尔-朗猜想中返回集的稀疏性，探讨p进版本、复解析版本及后向轨道版本的类似现象。
2026-09-29 math.AG math.DS math.NT
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences
令$(x_n)_{n\geq0}$是一个阶为$k\geq2$的线性递归，对所有整数$n\geq k$满足$$x_n=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$$，其中$a_1,\dots,a_k,x_0,\dots, x_{k-1}\in \mathbb{Z},$具有$a_k\neq0$。在[“The quotient set of $k$ -generalised Fibonacci numbers is dense in $\mathbb{Q}_p$”，\emph{Bull. Aust. Math. Soc.} \textbf{96}（2017），24-29]中，Sanna提出了一个开放性问题来分类素数$p$，其中$(x_n)_{n\geq0}$的商集在$\mathbb{Q}_p$中是稠密的。本文给出了$k$的商集稠密的一个充分条件，其中$(x_n)_{n\geq0}$满足$ x_{n}=a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\dots+a_kx_{n-k}$，$n\geq k$是以$x_0=\dots=x_{k-2}=0,x_{k-1}=1$为初值的整数，其中$a_1,\dots,a_k\in \mathbb{Z}$和$a_k=1$ .证明了给定一个素数$p$，存在无穷多个$k\geq 2$阶的递归序列，使得它们的商集在$\mathb…
2022-11-19 math.NT
On the wavefront sets associated with theta representations
研究了$p$ -adic域上覆叠群的θ表示所对应的波前集中的极大元的一个代数公式。特别是，它表明，该公式与现有的工作在文献中的各种家庭的群体。我们还概括了阿基米德的情况下，这激发了在$p$ -adic设置的结构公式的类似公式的结果。
2020-08-09 math.NT math.RT
$p$-adic Sum-Product, Projections, and Furstenberg Sets
研究p进平面\(\mathbb{Q}_p^2\)中富斯滕贝格集的界，通过遵循欧几里得相关工作的投影理论和多尺度机制进行证明，得出p进投影定理、例外集估计及离散分形和积估计等结果。
2026-07-15 math.CO math.MG math.NT
Intersections of multiplicative translates of $3$-adic Cantor sets II: two infinite families
本文继续研究整数$1\leq M_1<\cdots<M_n$的一般乘法平移$\mathcal{C}(M_1,\ldots,M_n)=\frac{1}{M_1}Σ_{3,\bar{2}}\cap\cdots\cap\frac{1}{M_n}Σ_{3,\bar{2}}$的有限交的结构，其中$Σ_{3,\bar{2}}$表示$3$ -adic Cantor集.本研究的动机是$3$ -进整数$\mathbb{Z}_3$乘$2$给出的离散动力系统的问题。例外集$\mathcal{E}(\mathbb{Z}_3)$被定义为$\mathbb{Z}_3$的所有元素的集合，这些元素的前向轨道在此作用下与$3$ -adic Cantor集$Σ_{3,\bar{2}}$相交无限次。证明了它具有Hausdorff维数$0$。第一部分表明，在所有$M_i$都是$2$的幂的情况下，例外集的Hausdorff维数的上界可以从上述类型的集合的Hausdorff维数中提取。这些交集被证明是分形，其点具有可由有限自动机中的标记路径描述的$3$ -adic展开，其Hausdorff维数是精确可计算的，并且具有$\log_3(β)$的形式，其中$β$是实代数整数。给出了自动机的判定算法，并通过计算实例说明了自动机和$β$值对参数$(M_1,\ldots,M_n)$的依赖关系是复杂的。本文研究了两个新的无限家庭的例子，说明…
2015-12-15 math.DS math.MG math.NT
Minkowski Measurability and Exact Fractal Tube Formulas for p-Adic Self-Similar Strings
p-adic分形弦及其复维数的理论是由前两位作者在[17，18，19]中开发的，特别是在自相似的情况下，与第一和第三作者在[28]中开发的阿基米德（或实）对应物平行。利用作者在[20]中得到的p-adic分形弦的分形管公式，本文给出了p-adic自相似分形弦Lp的管状邻域的一个精确体积公式，它用复维数表示.复杂维度的周期性结构使人们能够获得一个非常具体的形式，作为结果的分形管公式。此外，我们推导并使用截断版本的分形管公式，以表明Lp是不是Minkowski可测的，并获得其平均Minkowski内容的明确表达。一般理论通过两个简单的例子来说明，3-adic Cantor弦和2-adic Fibonacci弦，它们是[28]中研究的真实Cantor和Fibonacci弦的非阿基米德类似物（在[17，18]中引入）。
2014-03-26 math.MG math.NT
On the self-similarity of the norm one group of $p$-adic division algebras
设$p$是素数，$D$是有限维非交换除$\mathbb{Q}_p$ -代数，$SL_1(D)$是$1$的约化范数的$D$的元素群.当$D$的中心为$\mathbb{Q}_p$时，证明了正则根树上的$SL_1(D)$的开子群不存在自相似作用.此外，我们证明的结果$\mathbb{Z}_p$ -李格，允许处理的情况下，$D$的中心大于$\mathbb{Q}_p$，并导致无挠的$p$ -进解析亲$p$群$G$的分类维数小于$p$的性质，所有的非平凡闭子群的$G$承认一个自相似作用的$p$ -ary树。作为结果，我们得到了一个非平凡的挠自由$p$ -进解析pro-$p$群$G$的维数小于$p$是同构的最大pro-$p$伽罗瓦群的域，其中包含一个原始的$p$ -th单位根当且仅当所有的非平凡的$G$闭子群允许一个自相似作用在一个正则根$p$ -ary树。
2023-11-20 math.GR math.NT
Counting and Hausdorff measures for integers and $p$-adic integers
本文利用 $p$-进整数的分形结构研究整数集合，建立计数测度界、计数维数与盒计数维数关系，并给出整数集为闭集投影的充要组合条件。
2024-08-06 math.CO math.DS math.NT
A note on regularized Bernoulli distributions and p-adic Dirichlet expansions
我们考虑伯努利分布及其正则化，这是$p$ -进整数$\mathbb{Z}_p$的措施。众所周知，它们的梅林变换可用于定义$p$ -adic $L$ -函数。我们发现，$p>2$的正则化的伯努利分布之一是特别简单，等于$\mathbb{Z}_p$上的措施，采取的值$\pm \frac{1}{2}$对clopen球。我们将其应用到$p$ -adic $L$ -函数中，得到了$p$ -电力导体的Dirichlet特征标，并得到了类似于复情形的狄利克雷级数展开式. D. Delbourgo，这方面的贡献提供了一种方法，通过$p$ -adic措施。
2020-12-30 math.NT
Hecke $L$-values, definite Shimura sets and Mod $\ell$ non-vanishing
The university of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；Xi'an Jiaotong University（西安交通大学）；Kyushu University（九州大学）；Osaka University（大阪大学）
本文研究了虚二次域上Hecke L-值的ℓ-adic估值，并证明了Rubin p进L-函数在非分裂素数处的μ-不变量消失，填补了该领域的重要空白。
2025-12-22 math.NT
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences with reducible characteristic polynomials
本文针对特征多项式在有理数域上可约的一类线性递推序列，解答了Sanna提出的判断其$p$-进商集在$p$-进数域中是否稠密的公开问题，补充了此前不可约情形下的相关研究结论。
2024-08-13 math.NT
Deconstructing the Welch Equation Using $p$-adic Methods
Welch映射$x \rightarrow g^{x-1+c}$类似于离散指数映射$x \rightarrow g^x$，后者用于包括ElGamal签名方案在内的许多密码应用中。本文分析了韦尔奇方程解的个数：$g^{x-1+c} \equiv x \pmod{p^e}$，其中$p$是素数，$g$是一个单位模$p$，并着眼于方程的其他模式，可能在类似的密码系统中被利用。由于方程是模$p^e$，其中$p$是素数，$p$ -adic分析方法用于计算模$p^e$的解的数量。这些方法包括：$p$ -adic插值、Hensel引理和孙子剩余定理。
2016-08-21 cs.CR math.NT
The Geometry of p-Adic Fractal Strings: A Comparative Survey
我们给出了一个简单的概述，通过一个说明性的例子，普通康托字符串，并详细调查的理论p-adic（nonarchimedean）分形字符串及其复杂的尺寸的理论的复杂尺寸的真正（阿基米德）分形字符串。此外，我们提出了一个明确的体积公式的管状邻域的p-adic分形字符串LP，表示在底层的复杂的尺寸。特别注意力将集中在p-adic自相似字符串，其中非阿基米德理论比阿基米德理论更自然的形式。与阿基米德设置相反，所有的p-adic自相似弦都是晶格，因此，它们的复维数（以及它们的零点）沿着许多垂直线周期性地分布。一般的理论是说明了一些简单的例子，nonarchimedean康托，欧拉和斐波那契字符串。在整个阿基米德和nonarchimedean理论的分形（可能，自相似）字符串的比较调查，我们讨论的类比和真正的p-adic的情况之间的差异。我们关闭本文提出了几个方向，为今后的研究，包括看似新的和具有挑战性的问题，在p-adic（或者更确切地说，nonarchimedean）谐波和泛函分析，以及谱理论。
2011-05-15 math.CV math.GT math.MG
On the p-adic denseness of the quotient set of a polynomial image
整数集合$A$的商集或比率集定义为$R(A) := \left\{a/b : a,b \in A,\; b \neq 0\right\}$。我们考虑了$A$是$\mathbb{Z}^+$在多项式$f \in \mathbb{Z}[X]$下的像的情形，并给出了$R(A)$在$\mathbb{Q}_p$中稠密的条件.然后，我们应用这些结果来确定$R(S_m^n)$在$\mathbb{Q}_p$中何时是稠密的，其中$S_m^n$是$x_1^n + \cdots + x_m^n$形式的数的集合，其中$x_1, \dots, x_m \geq 0$是整数。这使我们能够回答[Garcia et al.，$p$ -adic quotient sets，Acta Arith. 179，163-184]。我们最后留下一个悬而未决的问题。
2018-07-31 math.NT
On a Slice of the Cubic 2-adic Mandelbrot Set
本文研究三次2-adic Mandelbrot集的一个单参数切片，证明t=1处为非孤立边界点并具有渐近自相似性，同时揭示该点处Mandelbrot集与Julia集之间的相似性。
2024-01-17 math.DS math.NT
Diophantine definability of infinite discrete non-archimedean sets and Diophantine models over large subrings of number fields
证明了在某些数域的大子环中，无限p-代数离散集具有丢番图定义。首先，如果K是全实数域或全实数域的全复2次扩张，则存在K的素数p和密度任意接近1的K-素数集S，使得存在K中S-整数环O_{K,S}上的无限p-基数离散集Diophantine.其次，如果K是一个数域，其上存在一条秩为1的椭圆曲线，则存在一个密度为1的K-素数集S和一个对K的每一个位置v都是v-向离散的O_{K,S}的无限丢番图子集。第三，如果K是一个数域，其上存在秩为1的椭圆曲线，则存在一组密度为1的K-素数S，使得存在O_{K,S}上Z的丢番图模型。这一系列的研究是出于一个问题马祖尔关于分布的有理点品种在非阿基米德拓扑和问题有关的扩展希尔伯特第十问题的子环数领域。
2004-08-19 math.LO math.NT
Liminf Sets in Simultaneous Diophantine Approximation
设Q是正整数的无限集合。用W（Q）表示由实数的n元组组成的集合，该集合可被Q中的无穷多个带补元的有理数同时τ-良好逼近，但只能被Q的补元中的无穷多个带补元的有理数同时τ-良好逼近。当τ> 2 + 1/n时，计算了liminf集W（Q）的豪斯多夫维数.一个p-adic模拟的问题也进行了研究。
2013-08-17 math.NT
$p$-adic fractal strings of arbitrary rational dimensions and Cantor strings
实数和$p$ -adic分形弦的复维数的局部理论描述了阿基米德和非阿基米德分形弦的几何、动力学和谱所固有的振荡。我们的目标是发展一个整体理论的复维数的adèlic分形弦，以揭示的振荡性质的adèlic分形弦和理解的黎曼假设的振动和共振的分形弦。本文给出了闭单位区间$[0,1]$上任意有理维数的自相似$p$-adic分形串的一个简单而自然的构造。此外，作为第一步的全球理论的复维数的adèlic分形字符串，我们构建了一个adèlic康托字符串的集合中的有限adèles $\mathbb{A}_0$作为一个无限的笛卡尔积的每一个$p$ -adic康托字符串，以及一个adèlic康托-史密斯字符串的环中的adèles $\mathbb{A}$作为一个笛卡儿积的一般康托字符串和adèlic康托字符串。
2020-12-21 math.NT
Bounds on the radius of the p-adic Mandelbrot set
设f是定义在非阿基米德域C_p上的d次多项式，正规化后f是幺半群且f（0）=0.如果f的所有临界点在f的迭代下都有有界轨道，则称f是后临界有界的。已知如果p大于或等于d且f是PCB，则f的所有临界点具有小于或等于1的p-adic绝对值。对于d/2和d之间的素数，我们给出了类似的结果。我们还探讨了2-adic数上的单参数三次多项式族，以说明当p小于d时，p-adic Mandelbrot集可能非常复杂，与简单且易于理解的p > d情况相反。
2013-01-26 math.DS math.NT
Eisenstein-Kronecker classes on Hilbert moduli spaces and a new construction of Katz's $p$-adic measure
将Kings-Sprang的Eisenstein-Kronecker类推广到Hilbert模空间上的万有交换概形，并与Katz的Eisenstein级数比较，构造插值这些类的$p$-进测度，恢复Katz的$p$-进Eisenstein测度。
2026-06-09 math.AG math.NT
