arXiv 2306.005232023-06-01math.AP

局部化 Yudovich 空间中 Vlasov–Poisson 系统弱解的存在性与稳定性

Existence and stability of weak solutions of the Vlasov--Poisson system in localized Yudovich spaces

Gianluca Crippa, Marco Inversi, Chiara Saffirio, Giorgio Stefani

AI总结：

本文在局部化 Yudovich 空间中研究 Vlasov–Poisson 系统弱解的唯一性与定量稳定性，允许空间密度满足迭代对数型增长，并构造出恰好达到该增长条件的解，方法基于 Lagrangian 框架、电场连续模估计和二阶 Osgood 引理，结果适用于经典与相对论系统。

摘要：

我们同时考虑排斥情形（静电势）和吸引情形（引力势）下的 Vlasov–Poisson 系统。在第一个主要定理中，我们证明了 Lagrangian 解 $f=f(t,x,v)$ 的唯一性和定量稳定性，其相关空间密度 $ρ_f=ρ_f(t,x)$ 可能无界，但属于合适的均匀局部化 Yudovich 空间。这一要求对函数 $p \mapsto \\|ρ_f(t,\cdot)\\|_{L^p}$ 施加了关于时间一致的增长缓慢条件。此前 Loeper、Miot 以及 Holding–Miot 的工作分别处理了空间密度有界的情形，即 $\\|ρ_f(t,\cdot)\\|_{L^p} \lesssim 1$，以及空间密度满足 $\\|ρ_f(t,\cdot)\\|_{L^p} \sim p^{1/α}$（其中 $α\in[1,+\infty)$）的情形。我们的方法是 Lagrangian 的，依赖于对电场连续模的显式估计以及一个二阶 Osgood 引理。该方法还允许对线性增长条件进行迭代对数型扰动。在第二个主要定理中，我们通过构造其空间密度恰好满足这种迭代对数增长条件的解来补充上述结果。我们的方法依赖于实变技巧，并推广了第一作者和第四作者为 Euler 方程发展的策略。该方法还适用于处理与 Vlasov–Poisson 系统具有相同结构的更一般方程。值得注意的是，唯一性结果和稳定性估计对经典 Vlasov–Poisson 系统和相对论 Vlasov–Poisson 系统均成立。

英文摘要：

We consider the Vlasov--Poisson system both in the repulsive (electrostatic potential) and in the attractive (gravitational potential) cases. In our first main theorem, we prove the uniqueness and the quantitative stability of Lagrangian solutions $f=f(t,x,v)$ whose associated spatial density $ρ_f=ρ_f(t,x)$ is potentially unbounded but belongs to suitable uniformly-localized Yudovich spaces. This requirement imposes a condition of slow growth on the function $p \mapsto \|ρ_f(t,\cdot)\|_{L^p}$ uniformly in time. Previous works by Loeper, Miot and Holding--Miot have addressed the cases of bounded spatial density, i.e., $\|ρ_f(t,\cdot)\|_{L^p} \lesssim 1$, and spatial density such that $\|ρ_f(t,\cdot)\|_{L^p} \sim p^{1/α}$ for $α\in[1,+\infty)$. Our approach is Lagrangian and relies on an explicit estimate of the modulus of continuity of the electric field and on a second-order Osgood lemma. It also allows for iterated-logarithmic perturbations of the linear growth condition. In our second main theorem, we complement the aforementioned result by constructing solutions whose spatial density sharply satisfies such iterated-logarithmic growth. Our approach relies on real-variable techniques and extends the strategy developed for the Euler equations by the first and fourth-named authors. It also allows for the treatment of more general equations that share the same structure as the Vlasov--Poisson system. Notably, the uniqueness result and the stability estimates hold for both the classical and the relativistic Vlasov--Poisson systems.

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AI总结：

摘要：

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