Splitting theorems on complete Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文给出了具有非负里奇曲率的完备黎曼流形的局部和整体分裂结果。我们通过分析Modica型的点态不等式实现了分裂，这些不等式对半线性泊松方程的每一个有界解都成立。更确切地说，我们证明了存在一个非常数有界的解决方案$u$，其中一个以前的不等式成为一个平等在某些点导致分裂的结果，以及这样的解决方案$u$的分类。
2020-01-08 math.AP math.DG
Prescribing symmetric functions of the eigenvalues of the Ricci tensor
研究了将度量共形变形为Ricci张量特征值的对称函数的问题。本文证明了一类具有正里奇曲率的流形上的对称函数的存在性定理，只要共形类允许一个容许度量。
2005-11-22 math.AP math.DG
Eigenvalues and energy functionals with monotonicity formulae under Ricci flow
本文构造了Perelman的$\mathcal{F}$ -泛函和$\mathcal{W}$ -泛函型泛函族.我们证明了这些新泛函在里奇流下是非减的。作为应用，我们证明了紧致定常Ricci呼吸子必为Ricci平坦的定理。利用这些新的泛函，我们也给出了Perelman非平凡扩张呼吸子定理的一个新的证明。此外，我们还用直接法证明了紧膨胀Ricci呼吸子必为Einstein呼吸子。在本文中，我们还推广了X. Cao的特征值\cite{C}方法，改进了其结果.
2007-01-26 math.AP math.DG
First eigenvalue of the $p$-Laplace operator along the Ricci flow
East China Normal University（华东师范大学）
研究了闭流形上里奇流中$p$-拉普拉斯算子第一个特征值的连续性、单调性和可微性，证明其在一定曲率条件下几乎处处可微，并在无曲率假设下推导出$p$-特征值比较定理。
2010-01-17 math.AP math.DG
Spectral comparison and splitting theorems for the infinity-Bakry-Emery Ricci curvature
Shanghai University（上海大学）
本文在谱意义下下界条件成立时，证明了加权流形中的直径比较、全局加权体积比较及分裂定理，扩展了Antonelli-Xu和Antonelli-Pozzetta-Xu的谱定理至加权流形，并补充了Chu-Hao和Yeung的谱定理。
2026-03-19 math.AP math.DG
Sharp lower bound of the first eigenvalue of the $p$-Laplacian under integral Ricci curvature
California State University, Fullerton（富勒顿加州州立大学）
该研究针对p≥2的闭流形，在小积分里奇曲率条件下，结合Sobolev截断的全局椭圆估计与一维比较剖面的严格扰动，证明了p-拉普拉斯算子第一非零特征值的尖锐Zhong-Yang型下界。
2026-10-12 math.AP math.DG
Sharp estimates on the first eigenvalue of the p-Laplacian with negative Ricci lower bound
当里奇曲率由一个负的常数从下而上有界时，我们通过对非线性算子$Δ_p$的第一个非零特征值提供尖锐的估计，完成了紧致流形上p-Laplacian的尖锐特征值估计的图画.我们假设流形的边界是凸的，并在其上施加Neumann边界条件，证明是基于精细的梯度比较技术和对底层模型空间的仔细分析。
2014-01-07 math.AP math.DG
A splitting theorem for capillary graphs under Ricci lower bounds
本文研究了定义在完备黎曼流形$M$的域$Ω$上的毛细图，其中一个图称为毛细图，如果它在$\partial Ω$上具有常中曲率和局部常Dirichlet和Neumann条件.我们的主要结果是一类具有非负里奇曲率的流形上的$Ω$和图函数的分裂定理。作为一个推论，我们分类毛细管图域的产品空间$M = N \times \mathbb{R}$，其中$N$具有缓慢的体积增长和非负的里奇曲率，包括$M = \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$的情况下，全球Lipschitz epigraphs或平板。本文的一个技术核心是流形上正CMC图在Ricci下界下的一个新的梯度估计。
2021-06-03 math.AP math.DG
Sharp Morrey-Sobolev inequalities and eigenvalue problems on Riemannian-Finsler manifolds with nonnegative Ricci curvature
结合Z. Balogh和A. Kristály [Math. Ann.，在各向异性对称化变元下，建立了具有非负$n$ -里奇曲率$n$ -维Finsler流形上的Morrey-Sobolev不等式.这种方法的副产品是在相同的几何设置的Hardy-Sobolev型不等式。作为应用，我们利用变分变分的方法，证明了某些涉及Finsler-Laplace算子的本征值问题和椭圆型偏微分方程解的存在性和多重性.我们的结果也是新的黎曼设置。
2022-10-14 math.AP math.DG
Eigenvalues under the Ricci flow of model geometries
本文研究了Laplace-Beltrami算子的第一特征值在模型几何的正规化里奇流下的演化行为.在每一个Bianchi类中，我们估计了特征值的导数.构造了Ricci流下的单调量并得到了特征值的上下界估计.
2019-08-10 math.DG
A splitting theorem for Riemannian manifolds of generalised Ricci-Hessian type
本文研究并部分分类了带有非恒零函数f且其Hessian为流形的Ricci张量的负f倍的黎曼流形。
2018-09-20 math.DG
Upper bounds on the first eigenvalue for a diffusion operator via Bakry-Émery Ricci curvature II
设$L=Δ-\nablaφ\cdot\nabla$是完备黎曼流形上具有不变测度$dμ=e^{-φ}dx$的对称扩散算子.本文证明了完备流形上具有$|\nabla φ|\leqθ$和$\infty$维Bakry-Émery里奇曲率的加权椭圆方程的Li-Yau梯度估计.在此基础上，我们给出了这类流形上扩散算子$L$的第一特征值的一个上界，从而推广了Cheng在Laplacian情形下的一个结果（Math.Z.，143（1975）289-297）。
2012-05-07 math.AP math.DG
Eigenvalues and entropies under the harmonic-Ricci flow
本文讨论调和-里奇流，即与调和映射流耦合的里奇流下的特征值和熵。我们给出了另一种证明的结果，紧凑的稳定和扩大谐波里奇呼吸。在第二部分中，我们得到了调和-里奇流下Laplacian特征值的单调性公式。最后，我们得到了调和里奇流的收缩熵和扩张熵的一阶变分。
2013-01-17 math.DG
The first Steklov eigenvalue on manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex boundary
本文为具有非负 Ricci 曲率与凸边界的紧致 Riemannian 流形的第一非零 Steklov 特征值建立了新的下界，并在更弱的几何假设下获得了相关结果。
2024-06-26 math.AP math.DG math.SP
Eigenvalues under the backward Ricci flow on locally homogeneous closed 3-manifolds
本文研究了Laplace-Beltrami算子第一特征值在规范化后向里奇流下的演化行为，构造了在后向里奇流下单调的各种量，得到了其上、下界下界.我们证明，在后向里奇流收敛到一个亚黎曼几何适当的重新标度后，特征值向零发展的情况下。
2019-08-10 math.DG
Eigenvalue estimates for Kato-type Ricci curvature conditions
证明了在闭流形上，当里奇曲率的负部分满足Kato条件时，第一特征值的最优下特征值估计和Cheng型上界成立.这推广了以前所有关于$L^p$ -曲率假设的结果。此外，我们引入Kato条件的紧流形上的边界相对于Neumann-Laplacian，导致Harnack估计的Neumann热核和下界的所有Neumann特征值，这提供了第一个洞察力在处理可变里奇曲率假设在这种情况下。
2020-05-22 math.AP math.DG math.SP
First Eigenvalues of Geometric Operators under the Ricci Flow
本文证明了在里奇流下$-Δ+ cR$（$c\geq \frac14$）的第一特征值是不减的.我们还证明了$c=1/4$和$r\le 0$的情况下的归一化流的单调性。
2008-01-21 math.DG
Examples of Curvature Inhomogeneous Submanifolds with Constant Ricci Eigenvalues
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
该研究构造了两类具有常Ricci特征值的曲率非齐次黎曼流形，分别源自Einstein扭曲积和黎曼Schwarzschild-Tangherlini流形，明确了其特征值数量及等距浸入/嵌入的最小余维数。
2026-08-05 math.DG
Ricci curvature and eigenvalue estimates for the magnetic Laplacian on manifolds
本文给出了具有磁势的闭黎曼流形上磁拉普拉斯算子的Lichnerowicz型估计和（高阶）Buser型估计.这些结果涉及本征值，磁场，里奇曲率，和Cheeger型常数。
2016-08-05 math.DG
Variation of the first eigenvalue of $(p,q)$-Laplacian along the Ricci-harmonic flow
本文研究了一类$(p,q)$ -Laplacian算子第一特征值的单调性。通过对初始流形施加一定的条件，得到了在Ricci-调和流演化的闭黎曼流形上的$(p,q)$ -Laplacian算子的第一特征值的一阶变分公式，并构造了各种单调量.
2019-03-18 math.DG
Almost splitting and quantitative stratification for super Ricci flow
本文研究了 Muller 量非负的超 Ricci 流的几乎刚性，得出了几乎分裂与定量分层定理，并发现关于标量曲率积分量的几乎常数性新结果。
2025-10-12 math.DG
The Splitting Theorem and Topology of Noncompact Spaces with Nonnegative N-Bakry Émery Ricci Curvature
本文将具有非负Ricci曲率的非紧流形的拓扑结果推广到具有非负$N$ -Bakry Émery里奇曲率的空间.本文研究了具有非负$N$ -Bakry Émery里奇曲率的空间的分裂定理和一个称为测地测地线环路到无穷大的性质。另外，我们证明了如果$M^n$是一个完备的非紧黎曼流形，且具有非负的$N$ Émery里奇曲率，其中$N>n$，则$H_{n-1}(M,\mathbb{Z})$是$0$ .
2020-07-19 math.DG
Splitting maps in Type I Ricci flows
本文研究第一类Ricci流中几乎分裂映射的存在性与小尺度行为，证明在模线性变换下，大尺度几乎分裂映射在更小尺度仍为分裂映射，并在额外可和性假设下排除退化。
2025-10-15 math.DG
Two generalizations of Cheeger-Gromoll splitting theorem via Bakry-Émery Ricci curvature
本文利用完备黎曼流形上Bakry-Emery Ricci曲率的非负性证明了Cheeger-Gromoll分裂定理的两个推广形式.
2007-07-10 math.DG math.GT
Monotonicity formulas of eigenvalues and energy functionals along the rescaled List's extended Ricci flow
本文研究了再标度List的扩展里奇流的特征值和熵的单调性公式。本文导出了Laplacian特征值的单调性公式，推广了文献[8]和文献[3]中的结果。此外，我们还考虑了对应于稳定Ricci呼吸子的广义$\mathcal{F}$-泛函的$\mathcal{F}_k$-泛函和对应于扩展Ricci呼吸子的广义$\mathcal{W}$ -泛函的$\mathcal{W}_k$ -泛函的单调性公式.
2015-11-27 math.DG
Negative eigenvalues of the Ricci operator of solvable metric Lie algebras
本文给出了可解度量李代数的Ricci算子至少有两个负特征值的充要条件。特别地，这个条件意味着每个非么模可解度量李代数或每个非交换幂零度量李代数的Ricci算子具有这个性质。
2013-05-23 math.DG
Eigenvalue estimates of the Dirac operator depending on the Ricci tensor
利用精化Weitzenböck技巧证明了紧致黎曼自旋流形上Dirac算子第一特征值的一个新的下界.它适用于具有调和曲率张量的流形，并依赖于Ricci张量。示例显示了它与其他已知边界相比的行为。
2001-04-11 math.DG
Eigenvalue estimates for Beltrami-Laplacian under Bakry-Émery Ricci curvature condition
在具有Bakry-Émery里奇曲率和势函数的梯度有界的闭黎曼流形上，我们得到了Beltrami-Laplacian算子的所有正特征值的下界，而不是漂移Laplacian算子. $k$第阶特征值的下界依赖于$k$、Bakry-Émery里奇曲率下界、势函数的梯度界以及流形的维数和直径上界，但不涉及流形的体积.特别地，这些结果适用于闭流形的里奇曲率从下面有界。
2021-08-16 math.DG
The rigidity of eigenvalues on Kähler manifolds with positive Ricci lower bound
本文研究了正Ricci下界Kähler流形的特征值刚性，证明复射影空间是第一特征值重数最大的唯一流形且存在重数间隙，并在Kähler--Einstein情形下得到近似刚性结果。
2024-12-21 math.DG
Singularity theorems and the Lorentzian splitting theorem for the Bakry-Emery-Ricci tensor
在类时方向上考虑了非负Bakry-Emery-里奇曲率$Ric_f^m$的弱曲率条件下的Hawking-Penrose奇点定理和Lorentz分裂定理.我们证明了当$m$是有限的，当$m$是无限的，他们仍然保持额外的假设下，$f$是有界的。
2008-06-03 math.DG
Criticality, splitting theorems under spectral Ricci bounds and the topology of stable minimal hypersurfaces
本文基于临界点理论和谱Ricci界，证明了流形上Δ+V的临界性准则及分裂定理，拓展了Cheeger-Gromoll定理，并研究了非负bi-Ricci或截面曲率流形中稳定和δ-稳定极小超曲面的拓扑性质。
2026-04-09 math.AP math.DG
Splitting theorems for Finsler manifolds of nonnegative Ricci curvature
研究了包含直线的非负加权里奇曲率的Finsler流形的结构，推广了经典的Cheeger-Gromoll-Lichnerowicz分裂定理.这样一个空间一般容许一个保纯的、保测度的分裂。对于一类特殊的Berwald空间，当Busemann函数的梯度向量场生成一个单参数等距族时，我们可以进行等距分裂.对Berwald空间也给出了一个贝蒂数估计.
2013-02-08 math.DG
Sphere theorems and eigenvalue pinching without positive Ricci curvature assumption
考虑到Obata定理的几乎刚性，我们推广了Petersen和Aubry关于特征值箍缩的球面定理，而不假设里奇曲率为正，只假设对某些正的常数$K>0$和$D>0$有$Ric\geq-Kg$和$diam\leq D$.
2019-04-19 math.DG
3-Manifolds with Constant Ricci Eigenvalues $(λ, λ, 0)$
本文考虑完备黎曼$3$ -流形，其Ricci张量具有常特征值$(λ, λ, 0)$ .当$π_1$是非平凡生成的时，我们通过证明它们有一个自由的基本群并且得到每个自由群来对这类流形的拓扑进行分类.当度量是局部不可约的或当它是解析的时，我们给出一个描述，直到等距。
2021-11-30 math.DG
Minimal hypersurfaces with small first eigenvalue in manifolds of positive Ricci curvature
在本文中，我们表现出半球$S^{n+1}_+$，$n\geq 2$，周围的里奇曲率下界$\text{Ric}\geq n $和最小的边界被保存，但第一拉普拉斯特征值的边界减少的变形。这些度量的存在表明，任何关于球面中极小超曲面第一特征值的丘氏猜想的解决方案都可能需要考虑比里奇曲率下界更多的几何数据。
2016-10-16 math.DG
Eigenvalues of the Laplace operator with potential under the backward Ricci flow on locally homogeneous 3-manifolds
设$λ(t)$是局部齐性三维流形上后向里奇流下$-Δ+aR\, (a>0)$的第一特征值，其中$R$是数量曲率.在Bianchi的情况下，我们得到了$λ(t)$的上界和下界。特别是，我们表明，当后向里奇流收敛到一个亚黎曼几何适当的重新缩放后，$λ^{+}(t)$接近零，其中$λ^{+}(t)=\max\{λ(t),0\}$。
2021-01-29 math.DG
A splitting theorem for Kahler manifolds whose Ricci tensors have constant eigenvalues
证明了一个紧致的Kahler流形，如果它的Ricci张量具有两个不同的、常数的、非负的特征值，则它局部地是两个Kahler-Einstein流形的乘积。一个更强的结果建立的情况下Kahler曲面。具有两个不同的、不变的Ricci张量特征值的不可约Kahler流形被证明存在于各种情况下：存在任何复维数n > 1的齐次例子，如果一个特征值是负的，另一个是正的或零;存在任何复维数n > 2的齐次例子，如果两个特征值都是负的;存在复维数2的非齐次例子，如果其中一个特征值是零。卡勒度量存在的问题，其Ricci张量有两个不同的，恒定的特征值与著名的（仍然开放）戈德堡猜想。因此，具有负本征值的不可约齐次例子产生了完全的、爱因斯坦的、严格的几乎Kahler度量，其任意实维度大于4。
2001-04-25 math.DG
A rigidity theorem for codimension one shrinking gradient Ricci solitons in $\mathbb R^{n+1}$
证明了具有非负曲率的完全梯度Ricci孤子的分裂定理，建立了具有非负里奇曲率的$\mathbb R^{n+1}$中余维为1的完全收缩梯度Ricci孤子的刚性定理.
2014-10-21 math.AP math.DG
Eigenvalues of Weighted-Laplacian under the extended Ricci flow
设$Δ_φ= Δ-\nabla φ\nabla$是$n$维紧致黎曼流形$(M,g)$上具有不变加权体积测度$dμ= e^{-φ} dv$的对称扩散算子，其中$g=g(t)$求解扩展的里奇流.本文研究了$Δ_φ$的第一非零特征值的演化和单调性，在一定的技术假设下，得到了沿推广的里奇流及其保体积流的几个单调量.我们还表明，特征值发散的情况下$n\geq 3$在有限的时间。我们的结果是Laplace-Beltrami算子在各种几何流下的一些已知结果的自然推广。
2016-04-20 math.DG
A note on lower bounds estimates for the Neumann eigenvalues of manifolds with positive Ricci curvature
研究了具有正里奇曲率和凸边界的紧致流形上Neumann热核的新的热核估计。作为结果，我们得到新的下界的Neumann特征值是一致的外尔的渐近。
2011-03-02 math.DG math.SP
Monotonicity of eigenvalues of geometric operaters along the Ricci-Bourguignon flow
本文研究了Laplacian型算子$-Δ+cR$的特征值沿Ricci-Bourguignon流的单调性，其中$c$为常数.对于$c\neq0$，我们得到了Laplacian型算子$-Δ+cR$的最低特征值的单调性，推广了Cao \cite{Cao2007}的一些结果.对于$c=0$，我们得到了Laplacian第一特征值的单调性，推广了Ma \cite{Ma2006}的一些结果.进一步证明了当$(M_{3}, g_{0})$是一个具有正Ricci曲率的闭三元流形时，Laplacian算子的特征值在一个有限的极大时间区间$[0, T)$上按$t \rightarrow T$发散，推广了Cerbo和Fabrizio \cite{Fabrizio2007}的一些结果.
2015-12-27 math.DG
Evolution of the first eigenvalue of weighted $p$-Laplacian along the Ricci-Bourguignon flow
设$M$是具有度量$g$的$n$维闭黎曼流形，$dμ=e^{-ϕ(x)}dν$是加权测度，$Δ_{p,ϕ}$是加权$p$ -Laplacian.本文研究了作用在闭黎曼流形上Ricci-Bourguignon流函数空间上的加权$p$ -Laplace算子第一特征值问题的单调性。本文给出了由Ricci-Bourguignon流演化的闭黎曼流形上加权$p$ -Laplacian的特征值的第一变分公式，并得到了各种单调量.最后给出了它在$2$维流形和$3$维流形中的一些应用，并给出了一个例子.
2019-03-18 math.DG
Conformal deformations of the smallest eigenvalue of the Ricci tensor
我们考虑在一个给定的共形类度量的变形，使得最小的特征值的Ricci张量是一个常数。它与比较几何中的最小体积概念有关。这样一个度量的Ricci张量的最小特征值是一个常数是体积的极值度量在适当的意义下在共形类。问题归结为求解一个关于Schouten张量的Pucci型方程。我们建立了这类共形不变的完全非线性一致椭圆型方程的局部梯度估计。结合完全非线性方程的理论，我们建立了该方程解的存在性。
2005-05-05 math.DG
A Note on Wu-Zheng's Splitting Conjecture
Cao的分裂定理指出，对于任何完备里奇流$(M,g(t))$，如果$t\in [0,T)$，$M$是单连通的，且全纯双截曲率非负有界，则$(M,g(t))$与$\C^k\times (N,h(t))$全纯等距，其中$(N,h(t))$是$t>0$的具有正里奇曲率的里奇流.在这篇文章中，我们证明了$k=n-r$，其中$r$是初始度量的Ricci秩。作为推论，当曲率有界时，我们也证实了吴征的一个分裂猜想。
2011-09-12 math.DG
Splitting theorems on complete manifolds with Bakry-Émery curvature
本文研究了当$\infty$ -维Bakry-Emery里奇曲率下有界且加权Laplacian谱有正的下界时完备非紧流形上光滑测度的分裂性质.这些结果推广了Ricci曲率和$m$维Bakry-Émery里奇曲率的情形.
2011-12-29 math.DG
An estimate of the first non-zero eigenvalue of the Laplacian by the Ricci curvature on edges of graphs
定义了图的边间距离，研究了图的边的粗里奇曲率.本文基于Jost-Horak关于单纯复形上拉普拉斯算子的定义，研究了边上的拉普拉斯算子。作为我们的主要结果之一，我们利用正则图的里奇曲率获得了拉普拉斯算子第一非零特征值的估计。
2017-12-10 math.DG math.SP
A splitting theorem for manifolds with spectral nonnegative Ricci curvature and mean-convex boundary
Beijing Jiaotong University（北京交通大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
该研究证明了具有非负谱瑞奇曲率和均凸边界的非紧流形要么等距于Σ×R_{≥0}，要么没有内部端点。
2026-02-03 math.DG
Splitting, parallel gradient and Bakry-Emery Ricci curvature
在完备黎曼流形$M$中，在与$Δ_ϕ$有关的里奇曲率满足${\rm Ric}_ϕ(\nabla f,\nabla f)\ge 0$，$|\nabla f|$在$M$处达到极大值，且$Δ_ϕ$沿$\nabla f$的轨道不减的条件下，得到了对称扩散算子$Δ_ϕ=Δ-\left<\nablaϕ,\nabla \right>$和非常数$C^3$函数$f$的一个分裂定理.证明利用了完备流形$M$与具有平行梯度向量场的非常数光滑函数$f$必是黎曼积$M=N\times \mathbb{R}$的一般事实，其中$N$是$f$的任意水平集.
2015-02-01 math.DG
On the Kähler-Ricci flow on complex surfaces
我们发现，在无迹曲率算子的两个最低特征值之和为非负的条件下，Kähler-里奇流保持了复曲面里奇曲率的正性.
2004-07-13 math.AP math.DG
Rigidity of eigenvalues of shrinking Ricci solitons
本文研究收缩Ricci孤立子的特征值刚性，证明了第n个特征值接近下界时孤立子为平凡高斯孤立子，在非坍塌条件下得到第(n-1)、(n-2)个特征值的类似结果，并给出一般k的第k个特征值的几乎刚性结论，部分结果拓展了紧流形上的相关定理至非紧孤立子情形。
2024-05-17 math.DG
Eigenvalue inequalities on Riemannian manifolds with a lower Ricci curvature bound
我们重温了Buser，Cheng和Gromov在闭黎曼流形上的经典特征值不等式，并证明了这些结果在Dirichlet和Neumann边值问题中的版本.特征值重数界和相关的开放问题也进行了讨论。
2016-05-16 math.DG math.SP
On the first eigenvalue of the Witten-Laplacian and the diameter of compact shrinking Ricci solitons
证明了紧致黎曼流形上Witten-Laplacian算子第一非零特征值的一个下界估计。作为应用，我们得到了紧致梯度收缩Ricci孤子直径的一个下界估计.我们的结果改进了第一作者和Y. Sano在[12]和B. Andrews和L. Ni在[1]中。此外，我们将直径估计推广到中曲率流的紧致自相似收缩器。
2012-02-27 math.DG
Hypersurfaces with Constant Ricci Eigenvalues in Real Space Forms
Beijing Normal University（北京师范大学）
本文证明实空间形式中连通超曲面具有常Ricci特征值当且仅当曲率齐性，从而完成分类，推广了Einstein超曲面的分类，并得到曲率非齐性流形不能等距浸入余维一实空间形式的推论。
2026-06-12 math.DG
The classification of simple Jacobi--Ricci commuting algebraic curvature tensors
我们对代数曲率张量进行分类，使得Ricci算子是简单的（即Ricci算子是复对角化的，并且复谱由单个实特征值组成，或者复谱由一对相互复共轭的特征值组成），并且是Jacobi-Ricci交换的（即Ricci算子与任何向量的Jacobi算子交换）。
2007-10-10 math.DG
