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$\mathfrak{gl}(3)$ 多项式可积系统：3-体/${\mathcal A}_2$ 椭圆 Calogero 模型的不同面貌

$\mathfrak{gl}(3)$ Polynomial Integrable System: Different Faces of the 3-Body/${\mathcal A}_2$ Elliptic Calogero Model

Alexander V. Turbiner, Juan Carlos Lopez Vieyra, Miguel Ayala

备注：
special issue by SIGMA in honor of P Olver's 70th birthday
发表信息：
SIGMA 20 (2024), 012, 23 pages
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AI总结：

本文证明了$\mathfrak{gl}(3)$多项式可积系统等价于恒定磁场中的量子Euler-Arnold陀螺，通过5维Heisenberg代数表示揭示其与3-体椭圆Calogero模型的等价性。

摘要：

本文证明了 Sokolov-Turbiner 在 [arXiv:1409.7439] 中引入的 $\mathfrak{gl}(3)$ 多项式可积系统等价于恒定磁场中的 $\mathfrak{gl}(3)$ 量子 Euler-Arnold 陀螺。它们的 Hamiltonian 以及三阶积分可以用 $\mathfrak{gl}(3)$ 代数生成元重写。反过来，所有这些 $\mathfrak{gl}(3)$ 生成元都可以用 5 维 Heisenberg 代数 $\mathfrak{h}_5(\hat{p}_{1,2},\hat{q}_{1,2}, I)$ 的泛包络代数的非线性元素表示，因此，Hamiltonian 和积分是泛包络代数 $U_{\mathfrak{h}_5}$ 的两个元素。本文使用了 $\mathfrak{h}_5$ Heisenberg 代数的四种不同表示：(I) 两个实（复）变量的微分算子表示，(II) 均匀或指数格点上的有限差分算子表示。我们发现了泛包络代数 $U(\mathfrak{gl}(3))$ 的两个 2 参数双线性和三线性元素（分别记为 $H$ 和 $I$）的存在性，使得它们的 Lie 括号（交换子）可以写成九个所谓的“伪影”——$U(\mathfrak{gl}(3))$ 的特殊双线性元素的线性叠加，这些伪影在 $\mathfrak{gl}(3)$ 代数生成元的表示用 $\mathfrak{h}_5(\hat{p}_{1,2},\hat{q}_{1,2},I)$ 代数生成元表示时就会消失。在这种表示中，所有九个伪影都消失了，上述 $U(\mathfrak{gl}(3))$ 的两个元素（称为 Hamiltonian $H$ 和积分 $I$）对易(!)；特别地，如果 $(\hat{p},\hat{q})$ 写成标准坐标-动量表示，它们就成为 3-体椭圆 Calogero 模型的 Hamiltonian 和积分。

英文摘要：

It is shown that the $\mathfrak{gl}(3)$ polynomial integrable system, introduced by Sokolov-Turbiner in [arXiv:1409.7439], is equivalent to the $\mathfrak{gl}(3)$ quantum Euler-Arnold top in a constant magnetic field. Their Hamiltonian as well as their third-order integral can be rewritten in terms of $\mathfrak{gl}(3)$ algebra generators. In turn, all these $\mathfrak{gl}(3)$ generators can be represented by the non-linear elements of the universal enveloping algebra of the 5-dimensional Heisenberg algebra $\mathfrak{h}_5(\hat{p}_{1,2},\hat{q}_{1,2}, I)$, thus, the Hamiltonian and integral are two elements of the universal enveloping algebra $U_{\mathfrak{h}_5}$. In this paper, four different representations of the $\mathfrak{h}_5$ Heisenberg algebra are used: (I) by differential operators in two real (complex) variables, (II) by finite-difference operators on uniform or exponential lattices. We discovered the existence of two 2-parametric bilinear and trilinear elements (denoted $H$ and $I$, respectively) of the universal enveloping algebra $U(\mathfrak{gl}(3))$ such that their Lie bracket (commutator) can be written as a linear superposition of nine so-called artifacts - the special bilinear elements of $U(\mathfrak{gl}(3))$, which vanish once the representation of the $\mathfrak{gl}(3)$-algebra generators is written in terms of the $\mathfrak{h}_5(\hat{p}_{1,2},\hat{q}_{1,2},I)$-algebra generators. In this representation all nine artifacts vanish, two of the above-mentioned elements of $U(\mathfrak{gl}(3))$ (called the Hamiltonian $H$ and the integral $I$) commute(!); in particular, they become the Hamiltonian and the integral of the 3-body elliptic Calogero model, if $(\hat{p},\hat{q})$ are written in the standard coordinate-momentum representation.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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