Dispersionless version of the constrained Toda hierarchy and symmetric radial Löwner equation
我们研究最近推出的约束户田层次的分散版本。像户田格本身一样，它承认三个等价的公式：Lax方程的公式，Zakharov-Shabat型的公式和通过生成方程的τ函数对数的无色散极限的公式。我们发现，色散约束户田层次结构描述的反射对称平面域的单位盘外部的共形映射。我们还发现有限维减少的层次，并表明他们的特点是由一个微分方程的Löwner型，我们称之为对称径向Löwner方程。它还表明，对称径向Löwner方程的解是单位圆的外部与两个对称狭缝的单位圆的外部的共形映射。
2022-10-24 math-ph math.CV math.MP
Full symmetric Toda system: QR-solution for complete DLNT-family
本文主要研究全对称Toda系统的代数和几何性质。利用QR分解方法构造了完全Deift-Li-Nanda-Tomei流系统的解。为此，我们引入专门的不变张量操作的Lax算子的模型。这些运算在李代数的表示论中有直接的解释。我们希望这种方法可以有效地研究旗形品种的几何形状。
2022-12-18 hep-th math-ph math.MP
Explicit Semi-invariants and Integrals of the Full Symmetric sl(n) Toda Lattice
我们展示了如何构造全对称sl（n）Toda格的半不变量和积分。利用Lax特征向量矩阵的Toda方程，证明了相应射影空间中齐次坐标半不变量的存在性。然后我们利用这些半不变量来构造积分。已知存在构成完整的独立非对合积分集的附加积分，但斩波和Kostant程序已经对低秩Lax矩阵具有至关重要的计算复杂性，并且实际上不适用于更高秩。我们的新方法解决了这个问题，并在简单的明确公式的完整的一套独立的半不变量和积分表示的Lax矩阵及其特征向量，和特征值矩阵的充分对称SL（n）Toda格。
2013-12-18 hep-th math-ph math.MP
The Lie -Bianchi integrability of the full symmetric Toda system
本文利用全对称 Toda 系统的已有对称性及其描述中出现的随机 Lie 代数结构，证明该系统满足 Lie–Bianchi 可积性准则。
2025-06-08 hep-th math-ph math.DS
Semi-invariants and Integrals of the Full Symmetric sl(n) Toda Lattice
我们考虑Toda格的Lax算子的完全对称版本，称为完全对称Toda格。这个系统的相空间是SL（n，R）的Borel子群B^+（n）的余伴随作用的一般轨道。这个系统是可积的。提出了一种构造全对称Toda格的半不变量和积分的新方法。仅使用Lax特征向量矩阵的Toda方程，我们证明了相应射影空间中Plucker坐标的半不变量的存在性。然后我们利用这些半不变量来构造积分。已知全对称sl（n）Toda格除了可以由Chopping方法导出的积分外，还可以由Kostant方法导出附加积分.这些积分构成了独立非对合积分的全集。然而，尚未解决的复杂的技术问题是他们的显式推导，因为Kostant程序具有至关重要的计算复杂性，即使是低秩Lax矩阵，实际上是不适用于更高的秩。我们的新方法提供了一个解决这个问题，并在简单的显式公式表示的Lax矩阵和它的特征向量和特征值矩阵的完全对称sl（n）Toda格的完整的独立的半不变量和积分的结果，而不使用斩波和Kostant程序。我们还描述了额外的运动积分的结构作为函数的旗空间模户田流和显示如何Plucker坐标不同的投影空间定义不同的家庭的额外的积分。本文给出了[24]中命题的详细证明。
2013-12-16 math-ph math.MP nlin.SI
Dihedrally Symmetric Monopoles and Affine Toda Equations
本文证明了具有二面体对称性的$SU(2)$ BPS单极子在不同电荷下规范等价于特定类型的仿射Toda方程导出的Nahm数据。
2024-07-30 hep-th math-ph math.MP
Full symmetric Toda system and vector fields on the group $SO_n(\R)$
本文将全对称Toda系统的首次积分与正交群上的向量场联系起来，并由此给出$\mathfrak{sl}_n(\R)$对偶空间上$B^+(\R)$-不变函数李代数的向量场表示。
2024-12-30 hep-th math-ph math.DS
Phase portraits of the generalized full symmetric Toda systems on rank 2 groups
在本文中，我们继续我们在以前的工作中开始的调查，我们证明了，Toda系统的相图在特殊的线性群，可以识别与Bruhat顺序对称群时，所有的Lax矩阵的特征值是不同的，或与Bruhat顺序排列的多个集合，如果有多个特征值。我们表明，Toda系统的相图和Bruhat阶的Hasse图的重合在秩为$2$的任意简单李群的情况下成立：为此，我们只需要检查剩余的两个第二秩的群，$Sp(4,\mathbb R)$和$G_2$的实形式的这个属性。
2015-12-17 hep-th math-ph math.MP
Symmetric solutions of the dispersionless Toda hierarchy and associated conformal dynamics
在一定的实际条件下，无色散Toda格族的一般解描述了具有光滑边界的简单连通平面区域的变形。该解决方案取决于一个任意的（真正的积极）功能的两个变量，发挥作用的密度或共形度量在平面上。我们详细考虑了一类重要的对称解，其特征在于密度函数，只依赖于从原点的距离，是积极的，经常在一个环$r_0< |z|<r_1$。我们构造了无色散的τ函数，它给出了反势问题和Riemann映射问题的形式局部解，并讨论了Hele-Shaw单元中粘性流动的共形动力学。
2013-06-21 math-ph math.MP nlin.SI
Black holes as generalised Toda molecules
本文比较了球对称黑洞解的测地线形式与黑洞有效势方法。测地线形式主义对对称超引力理论是有益的，因为更大目标空间的对称性导致了一组完整的运动交换常数，建立了测地线运动方程的可积性，如arXiv：1007.3209所示。我们指出，可积性直接提升到黑洞势运动方程的可积性。这种结构原来是一个概括的户田分子方程和测地线运动之间的连接对称空间中已知的数学文献。我们描述了一些细节如何概括户田分子方程。
2010-09-16 hep-th nlin.SI
The Full Symmetric Toda Flow and Intersections of Bruhat Cells
本文证明了半单李代数实正规型中的Bruhat胞具有与复相似的性质：对于Weyl群$W(\mathfrak g)$中的任意两个元素$w$，$w'$，对应的实Bruhat胞$X_w$与对偶Bruhat胞$Y_{w'}$相交当且仅当$w\prec w'$在$W(\mathfrak g)$上按Bruhat序.这里$\mathfrak g$是半单复李代数$\mathfrak g_\mathbb C$的正规实形式。我们的推理是基于户田流的性质，而不是对Weyl群作用和几何考虑的分析。
2020-11-12 hep-th math-ph math.MP
The Pfaff lattice, Matrix integrals and a map from Toda to Pfaff
我们研究的Pfaff格，介绍了我们的背景下，李代数分裂的GL（无穷大）到SP（无穷大）和下三角矩阵。我们建立了一组双线性身份，我们证明是等价的Pfaff格。在半无限的情况下，τ函数是Pfavians;有趣的例子是对称矩阵上的矩阵积分（对称矩阵积分）和自对偶四元数厄米特矩阵上的矩阵积分（辛矩阵积分）。普法夫晶格与户田晶格有着惊人的相似之处，更重要的是，从一个晶格到另一个晶格有一个映射。特别是，我们展示了两个映射，对偶彼此，（i）从厄米特矩阵积分的对称矩阵积分，和（ii）从厄米特矩阵积分的辛矩阵积分。该映射由反对称算子的反对称-Borel分解给出。我们给出了明确的例子，经典的重量。
1999-12-06 nlin.SI solv-int
Bruhat Order in the Full Symmetric $\mathfrak{sl}_n$ Toda Lattice on Partial Flag Space
在我们之前的论文[Comm. Math. Phys. 330（2014），367-399]中，我们描述了在Lax矩阵的不同特征值的情况下全对称$\mathfrak{sl}_n$ Toda晶格的轨迹的渐近行为。事实证明，它完全由置换群上的Bruhat阶决定。本文将这一结果推广到Lax矩阵的某些特征值重合的情形。在这种情况下，轨迹是根据到部分标志空间的投影来描述的，其中诱导动力学系统验证了与之前相同的性质：我们证明了当$t\to\pm\infty$的诱导动力系统的轨迹收敛到由Schubert单元索引的部分标志空间中的有限点集，使得该集合中的任何两点由轨迹连接当且仅当相应的单元相邻。这个关系可以用多集排列的Bruhat序来解释。
2016-08-20 hep-th math-ph math.MP
The full Kostant-Toda hierarchy on the positive flag variety
本文研究了当初始数据由SL_n（R）的完全非负（tnn）旗簇上的任意点给出时，全Kostant-Toda（f-KT）族解的几何和组合性质. tnn旗簇上的f-KT流是完备的，其渐近性完全由Rietsch给出的tnn旗簇的胞腔剖分决定.我们通过矩映射定义了权空间上的f-KT流，并证明了每个f-KT流的闭包构成了一个有趣的凸多胞体，推广了置换面体，我们称之为Bruhat区间多面体.我们还证明了类似的结果，充分对称户田族，通过映射我们的f-KT解决方案的充分对称户田族。在附录中，我们表明，Bruhat区间多面体是广义置换面，在Postnikov的意义上，他们的边缘对应于覆盖关系的Bruhat秩序。
2013-08-22 math-ph math.AG math.CO
Toda Hierarchy with Indefinite Metric
我们考虑全对称Toda族的推广，其中拉克斯对的矩阵$\tilde {L}$由$\tilde {L}=LS$给出，具有全对称矩阵$L$和非退化对角矩阵$S$。层次结构的关键特征是逆散射数据包括一类非紧矩阵群，例如$O(p,q)$。我们给出了这个族的初值问题的解的一个显式公式。该公式通过推广Szegö的正交化过程或Symes的QR分解方法获得。研究了解的性质。一般来说，有两种类型的解决方案，要么有排序性质或爆破到无穷大的有限时间。还研究了三对角层次的$τ$ -函数结构。
1995-05-19 hep-th nlin.SI solv-int
Reduction of the 2D Toda Hierarchy and Linear Hodge Integrals
我们构造了二维Toda族的某种约化，得到了一个τ-对称的Hamilton可积族.这个减少的可积的层次控制的方式，它的一部分流量产生的中间长波层次的线性霍奇积分，和其余的流量符合一定的限制的分数Volterra层次的流量控制特殊的三次霍奇积分。
2022-05-18 math-ph math.MP nlin.SI
Principal hierarchies of infinite-dimensional Frobenius manifolds: the extended 2D Toda lattice
在单位圆内、外解析的函数对空间上定义了一个无色散的τ-对称双哈密顿可积族，它分别在$0$ / $\infty$上具有单极点，推广了Takasaki和Takebe的无色散的二维Toda族.然后构造了Carlet，Dubrovin和Mertens在Math.Ann.349（2011）75- 115中引入的无限维Frobenius流形$M_0$的变形平坦联络，并通过显式求解变形平坦方程，证明了扩展的二维Toda族与$M_0$的主族重合.
2015-01-13 math-ph math.MP nlin.SI
Constrained Toda hierarchy and turning points of the Ruijsenaars-Schneider model
引入了一类新的可积的非线性微分差分方程族，我们称之为约束Toda族（C-Toda）。它可以被看作是二维Toda格的一个特定的子族，通过对两个Lax算子（在对称规范中）施加约束$\bar {\cal L}={\cal L}^†$而得到。我们证明了C-Toda族的τ函数的存在性，并证明了它是二维Toda格τ函数的平方根。在这方面和其他一些方面，C-Toda是CKP层级的Toda类似物。它还表明，零的τ-函数的椭圆解满足动力学方程的Ruijsenaars-Schneider模型限制在相空间中的转向点。谱曲线具有交换Baker-Akhiezer函数具有本质奇点的标记点的全纯对合。
2021-12-07 math-ph math.MP nlin.SI
Scattering of the Toda system and the Gaussian $β$-ensemble
该研究利用作用于对称实三对角矩阵的经典Toda流，给出了Dumitriu-Edelman三对角模型谱服从高斯β系综的辛证明，拓展了Toda系统散射与对数气体矩阵模型的相关研究。
2024-05-13 math-ph math.MP math.PR
The Cauchy two-matrix model, C-Toda lattice and CKP hierarchy
本文主要利用正交多项式理论和Toda型方程讨论Cauchy双矩阵模型及其相应的可积性。本文从Cauchy双正交多项式的对称约化出发，通过引入时间流导出CKP型Toda方程（或C-Toda格）及其拉克斯对.然后，将C-Toda格点的矩阵积分解推广到CKP族的解，揭示了Cauchy二矩阵模型的含时配分函数就是CKP族的τ-函数.最后，从可积系统的角度建立了Cauchy双矩阵模型与Bures系综之间的联系。
2018-01-02 hep-th math-ph math.MP
Supersymmetric Quenching of the Toda Lattice Equation
在QCD的$ε$ -区域中Dirac算子的谱行列式的幂比的平均值满足Toda格点方程。利用超对称方法得到了Toda晶格方程的猝灭极限。这种超对称的方法，然后被证明是等价的Toda晶格方程的副本限制。其中，量子色动力学狄拉克算子的微观光谱关联函数的因式分解为费米子和玻色子配分函数自然遵循这两种方法。虽然副本的方法依赖于在口味的数量的解析延续没有这样的假设，在本方法中的Toda晶格方程中的口味的数量是严格的整数。
2004-02-23 cond-mat.dis-nn hep-lat hep-th
Structure preserving noise and dissipation in the Toda lattice
在本文中，我们使用Flaschka的变量的开放Toda格和它的解释的LU分解作为一个coadjoint运动在一定的对偶李代数实现的结构保持噪声和耗散的组结构。两者都保持了共伴轨道的结构，即对称三对角矩阵的空间，并作为Toda晶格的新型乘性噪声和非线性耗散而出现。我们调查这些变形的一些性质，特别是连续极限作为一个随机Burger方程的非线性粘性。这项工作是探索性的，并提出了更多的问题，我们可以用简单的数学工具来回答，而不需要数值模拟。
2018-04-10 math-ph math.MP nlin.SI
Extensions of the finite nonperiodic Toda lattices with indefinite metrics
本文首先构造了一个由$2N$不同的耦合哈密顿系统组成的不定度规弱耦合Toda格。然后，我们考虑了具有不定度量的广义三对角Hessenberg矩阵的等谱流形，它是具有不定度量的严格三对角矩阵的推广。对于具有不定度量的广义对称Toda族的初值问题，利用Kodama方法，引入了特征值的逆散射过程。本文还根据Szegö的正交化过程，讨论了$τ$ -函数与给定Lax矩阵之间的关系。我们可以用一个简单的例子来验证从正交化过程中得到的结果。在此基础上，我们构造了一个具有不定度量的强耦合Toda格，并导出了它的tau结构。最后，我们将具有不定度量的弱耦合Toda格推广到具有不定度量的$Z_{n}$ -Toda格。
2020-05-06 math-ph math.MP nlin.SI
BiHom-Lie brackets and the Toda equation
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）；College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology（山东科技大学数学与系统科学学院）；Material Science, Innovation and Modelling (MaSIM) Research Focus Area, North-West University（西北大学材料科学、创新与建模（MaSIM）研究重点领域）；Shing-Tung Yau Center, School of Mathematics, Southeast University（东南大学苏步青中心）；School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University（南洋理工大学物理与数学科学学院）
本文提出双Hom李括号与Toda方程的关联，通过构造新的括号结构并研究其对应的Lax方程，揭示了对称性和迹障碍等特性，修正了文献中的部分公式。
2025-12-17 math.RA nlin.SI
Toda lattice G-Strands
汉密尔顿原理被用来扩展户田格常微分方程的偏微分方程系统称为户田格链方程（T-链）。在$n$粒子Toda情况下的T链包括在一个空间和一个时间变量中的$4n-2$二次非线性PDE。T型股线形成具有恒定特征速度的二次非线性偏微分方程的对称双曲李-泊松哈密顿系统。用几何方法求解了两粒子T-Strand方程的行波解，并给出了它们的拉克斯对，以说明非线性对解的影响。三粒子T-链方程也是由Hamilton原理导出的。对于两粒子和三粒子T-链偏微分方程，存在二次零曲率关系（ZCR）的判定条件恰好抵消了偏微分方程中的非线性项。因此，两粒子和三粒子T链PDE未通过可积性的ZCR测试。
2013-06-12 math-ph math.MP nlin.SI
A note on quadratic Poisson brackets on ${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$ related to Toda lattices
众所周知，全对称格和标准开Toda格的相容线性和二次Poisson括号是结合代数${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$上的线性和二次$r$ -矩阵Poisson括号的限制.在这里，我们表明，二次括号${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$，对应于$r$ -矩阵定义的分裂${\mathrm{gl}}(n,{\mathbb{R}})$到上三角和正交李子代数的直接和，下降的泊松减少从二次泊松结构的余切丛$T^*{\mathrm{GL}}(n,{\mathbb{R}})$。这补充了线性$r$ -矩阵括号的解释作为一个减少的典型泊松括号的余切丛。
2022-05-12 hep-th math-ph math.MP
Toda lattices with indefinite metric II: Topology of the iso-spectral manifolds
本文研究具有实特征值的三对角Hessenberg矩阵的等谱实流形。流形由作者引入的不定Toda格点方程的等谱流描述[Physica，91 D（1996），321-339]。这些Toda晶格由具有哈密顿量$H = (1/2) \sum_{k=1}^{N} y_k^2 + \sum_{k=1}^{N-1} s_ks_{k+1} \exp(x_k-x_{k+1})$的$2^{N-1}$不同系统组成，其中$s_i=\pm 1$。除了所有的$s_is_{i+1}=1$情形外，我们根据Toda流在有限时间内爆破的情况，通过增加无穷大来紧化流形。所得到的流形是不可定向的$N>2$，和对称群是半直积的$(\ZZ_2)^{N-1}$和置换群$S_N$。这些性质与Davis和Januszkiewicz [Duke Mathematical Journal，62（1991），417-451]引入的“小覆盖”相一致。作为我们构造的一个推论，我们给出了由Hankel行列式生成的指数多项式组的零点总数的一个公式。
1996-08-30 hep-th nlin.SI solv-int
Noncommutative nonisospectral Toda and Lotka-Volterra lattices, and matrix discrete Painlevé equations
本文提出非交换非等谱Toda与Lotka-Volterra格，通过非等谱变形导出矩阵离散Painlevé I方程，并给出拟行列式解以证明平稳约化的合理性。
2024-07-17 nlin.SI
Symmetric random matrices and the Pfaff lattice
考虑一个对称（有限）矩阵系综，具有一定的概率分布。频谱属于实数线上某个区间或区间并集的概率是多少？在本文中，我们表明，在引入一个适当的时间参数，这种概率是密切相关的Pfaflans，作为一个向量，满足所谓的Pfaff格。后者是2d-Toda晶格的一种特殊的简化。特别地，它们满足类似KP的方程，但具有右手边，取决于最近的邻居。它们也满足维拉索罗约束，结合KP方程导致归纳方程的概率。
1999-03-08 nlin.SI solv-int
The sl(2n|2n)^(1) Super-Toda Lattices and the Heavenly Equations as Continuum Limit
与仿射$sl(2n|2n)^{(1)}$（超）代数级数相关联的超Toda模型的$n\to\infty$连续极限产生了${\bf S}^{1}\times {\bf R}^2$时空中的$(2+1)$维可积方程。（超）Toda族的运动方程不仅依赖于所选择的（超）代数，而且依赖于其Cartan矩阵的具体表示。研究了四类不同的可积族与相应Cartan矩阵的非对称与反对称、零与非零表示的关系。在连续极限下，我们得到了四类天堂型可积方程，推广了文献中已有的结果。系统显然是N=1超对称的，并且对于保持复杂结构的Cartan矩阵的特定选择，允许隐藏的N=2超对称。图示了（超）天体方程到${\bf I}\times{\bf R}^{(2)}=({\bf S}^{1}/{\bf Z}_2)\times {\bf R}^2$时空（其中${\bf I}$是线段）的陪集约化。最后，通过对已有系统的降维，构造了$(1+1)$维的可积超对称扩展$N=2,4$模型.
2005-04-26 hep-th nlin.SI
Hermitian, symmetric and symplectic random ensembles: PDEs for the distribution of the spectrum
给出了厄米、对称和辛系综，证明了谱属于一个或多个区间的概率满足非线性偏微分方程。这是为三个经典的合奏：高斯，拉盖尔和雅可比。对于Hermitian系综，PDE（在区间的边界点）与Toda晶格和KP方程相关，而对于对称和辛系综，PDE是一个归纳方程，与所谓的Pfaff-KP方程和Pfaff晶格相关。该方法包括在积分中插入时间变量，并证明该积分满足可积格点方程和维拉索罗约束。
2001-08-14 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Lagrangian Multiform for Cyclotomic Gaudin Models
我们构造了一个拉格朗日多形类分圆（理性）Gaudin模型，制定其层次内的李双代数框架的Semenov-Tian-Shansky和通过使用的框架，拉格朗日多形的coadjoint轨道。这提供了第一个例子的拉格朗日多形的可积的系列，其经典的$r$ -矩阵是非反对称和谱参数依赖。作为一个重要的副产品的建设，我们获得了拉格朗日多形式的周期户田链通过选择一个适当的实现分圆Gaudin拉克斯矩阵。这填补了户田模型的空白，因为只有开放和无限的链以前被投到拉格朗日多形式框架。一个稍微不同的实现选择产生了所谓的离散自陷（DST）模型。我们展示了框架的多功能性耦合的定期户田链的DST模型，并通过获得相应的可积层次的拉格朗日多形。
2024-11-15 hep-th math-ph math.MP
Scalar products of symmetric functions and matrix integrals
给出了Hirota型双线性算子、对称函数空间上的标积和定义矩阵模型配分函数的积分之间的关系。利用费米子Fock空间表示，证明了一类KP和2-Toda τ函数$τ_{r,n}$在推广超几何级数的Schur函数级数中的展开，并与标量积公式相联系.它示出了如何特殊情况下，这种$τ$ -功能可能被确定为正式的系列扩展的配分函数。导出了$\log τ_{r,n}$的Schur函数的封闭形式展开式。
2002-12-10 hep-th math-ph math.MP
Integrable Lattices: Random Matrices and Random Permutations
这些讲座提出了随机矩阵（有限和无限）和随机排列领域的最新发展的调查。这些概率问题提出了矩阵积分（或弗雷德霍姆行列式），它非常自然地出现在对称空间的切空间上的积分，群上的积分，最后是对称空间上的积分。这些讲座的一个重要部分是致力于表明，这些矩阵积分，在适当地添加时间参数，是自然的τ-功能的可积格，如户田，普法夫和Toeplitz格，但也可积偏微分方程的，如KdV方程。这些矩阵积分或弗雷德霍姆行列式也满足Virasoro约束，其与可积方程组合导致原始概率的（部分）微分方程。
2000-10-13 cond-mat math-ph math.CO
Matrix integrals and the geometry of spinors
我们得到的集合的对称和辛矩阵积分和收集Pfavian的tau函数，最近描述的彭和阿德勒和范Moerbeke，作为特定的元素在自旋群轨道的真空矢量的费米福克空间。这个费米子Fock空间与我们为获得KP和1-Toda格族而构造的空间是相同的。
2001-04-01 adap-org hep-th math-ph
Cubic Hodge integrals and integrable hierarchies of Volterra type
二维Toda族的tau函数可以从两个分区的三次Hodge积分的生成函数获得。相应的Lax算子满足一个代数关系。这种代数关系可用于识别当三次Hodge积分的参数$τ$取特殊值时出现的2D Toda层次的简化系统。Volterra型的可积阶层被证明是这样的简化系统。对于$τ$的正有理数值，可以导出它们。特别地，离散序列$τ= 1,2,\ldots$对应于Volterra晶格及其饥饿的推广。这为Dubrovin等人从τ对称可积Hamilton偏微分方程的角度观察到的三次Hodge积分的可积结构提供了新的解释。
2020-07-26 hep-th math-ph math.MP
