From 2D Toda hierarchy to conformal map for domains of Riemann sphere
本文研究二维Toda层次无色散极限弦解泰勒级数的性质，给出了其收敛的充分条件，该弦解用于计算黎曼球面区域的单叶共形映射。
2003-03-04 cs.NA hep-th math.CO
Multispecies Weighted Hurwitz Numbers
将超几何$2D$ Toda $τ$ -函数作为加权Hurwitz数的生成函数的构造推广到多物种科.导出了多物种加权Hurwitz数作为Riemann球面分支覆盖的加权计数的几何意义，以及它们在$S_n$的Cayley图中关于加权路的组合意义.详细研究了多物种量子加权赫尔维茨数的特殊情况。
2015-12-10 hep-th math-ph math.CO
On KP-integrable Hurwitz functions
现在有一个新的兴趣Hurwitz τ-函数，计数同构类的Belyi对，产生的研究等边三角和Grothiendicks的dessins d 'enfant。它的特点是属于一个特殊的家庭的Hurwitz τ-功能，拥有传统的户田/KP可积性。我们解释了最近关于这个函数的各种观测如何适合于矩阵模型τ函数的一般理论。所有这些量都具有许多不同的描述，以标准的方式相关：这些包括Toda/KP可积性，几种W-表示（我们描述四种），两种积分（多矩阵模型）描述（Hermitian和Kontsevich类型），维拉索罗约束，字符扩展，嵌入到Hurwitz tau函数的通用集合中以及与纽结理论的关系。当以这种方式接近时，文献中的模型族具有自然的扩展，并且关于相关的新时间变量具有额外的可积性。这个扩展家族的另一个成员是Itsykson-Zuber积分。
2014-11-24 hep-th math-ph math.AG
Semiclassical asymptotics of quantum weighted Hurwitz numbers
本文研究了量子加权双Hurwitz数的半经典渐近性。我们计算了三种量子加权Hurwitz数的配分函数的首项，以及低阶半经典修正。经典极限$\hbar \to 0$再现了Pandharipande和Okounkov研究的简单Hurwitz数。KP-Toda $τ$ -函数作为量子Hurwitz数的生成函数收敛于Pandharipande和Okounkov的生成函数的经典极限，适当的缩放，所以做配分函数，权重和期望的Hurwitz数。
2016-10-31 math-ph math.CO math.MP
Asymptotics of quantum weighted Hurwitz numbers
本文研究了量子加权双Hurwitz数的半经典渐近性和零温度渐近性。量子加权双Hurwitz数的配分函数可以用逸度为零的量子玻色气体的能量分布来解释。我们计算了三种量子加权Hurwitz数的配分函数的首半经典项，以及低阶半经典修正。经典极限$\hbar \ra 0$再现了Pandharipande和Okounkov [20，22]研究的简单单倍和双倍Hurwitz数。KP-Toda $τ$ -函数作为量子Hurwitz数的生成函数，以[20，22]的$τ$ -函数作为其经典极限中的前导项，并且，通过适当的缩放，对于配分函数，Hurwitz数的权重和期望也是如此。我们还计算了配分函数和量子加权Hurwitz数的零温度极限$T \ra 0$。KP或户田$τ$ -函数作为生成函数的量子赫维茨数示出给一个贝利曲线在零温度极限，适当的缩放，同样适用于配分函数，权重和期望的赫维茨数。
2018-01-26 math-ph math.CO math.MP
Zero-temperature limit of quantum weighted Hurwitz numbers
量子加权双Hurwitz数的配分函数可以用逸度为零的量子玻色气体的能量分布来解释。我们计算了零温极限下的配分函数的首项和量子加权Hurwitz数$T \rightarrow 0$，以及次阶修正。的领导项重现的情况下，均匀加权Hurwitz数的Belyi曲线。特别地，KP或Toda $τ$ -函数作为量子Hurwitz数的生成函数被示出在极限中以给出Belyi曲线的生成函数，并且在适当的缩放下，对于Hurwitz数的配分函数、权重和期望也是如此。
2017-07-19 math-ph math.CO math.MP
Weighted Hurwitz numbers and topological recursion: an overview
KP或Toda型超几何$τ$ -函数的多参数族作为加权Hurwitz数的生成函数，提供黎曼球面分支覆盖的加权枚举。一个图形解释的加权给出的星座映射到覆盖面。该理论被放置在拓扑递归的框架内，在${\bf t} ={\bf 0}$的Baker函数满足量子光谱曲线方程，其经典极限是合理的。生成谱变量中形式幂级数空间的基础，该基础适应于与$τ$函数相关联的格拉斯曼元素。多电流放大器的定义方面的$τ$ -功能，并显示提供一个替代的生成函数加权Hurwitz数。费米子VEV表示提供了适应基地，对双折射率和多流双折射率。选择权重生成函数作为多项式，并且将Toda $τ$函数中的非零“第二”KP流参数的数量限制为有限，这意味着有限秩协变导数方程，其具有由自适应基元的有限“窗口”满足的有理系数。对相关器被证明提供了一个Christoffel-Darboux型有限秩可积核，并递归计算相关伴随系统的WKB级数系数，从而得到加权Hurwitz数生成元的拓扑递归关系。
2018-08-21 hep-th math-ph math.AG
Weighted Hurwitz numbers and topological recursion
超几何型KP和二维Toda τ-函数作为加权单和双Hurwitz数的生成函数与拓扑递归程序有关。这样的加权赫维茨数的图形表示给出加权星座。相关的经典和量子光谱的光谱曲线的推导，并结合这些解释的图形模型。给出了一种有限的Christoffel-Darboux表示，并给出了多对算子的行列式表达式.的多流扩张器的属扩展所示，以提供生成系列的加权Hurwitz数的固定的分支配置文件的长度。导出了Baker函数的WKB级数，并利用它导出了权函数为多项式时的回路方程和拓扑递推关系。
2020-04-14 hep-th math-ph math.AG
Generating functions for weighted Hurwitz numbers
双Hurwitz数枚举加权$n$ -片化的分支覆盖的黎曼球面或等价地，加权路的凯莱图的$S_n$产生的换位是由一个相关的重量生成函数。一个唯一确定的$1$ -参数族的二维Toda $τ$ -函数的超几何类型的，是由生成函数的加权Hurwitz数。详细介绍了四种经典的加权均匀的情形：Okounkov双Hurwitz数，它的分支除了两个指定的分支点外都是简单的; Belyi曲线的情形，有三个分支点，其中两个分支点有指定的轮廓;一般情形，有指定数目的分支点，其中两个分支点有固定的轮廓，其余分支点只受亏格的约束;和有符号枚举的情况下，与符号确定的奇偶性的数目的分支点。利用指数量子双对数函数作为权生成元，提出了三种新的加权枚举。这些根据变形参数$q$确定{ \em量子} Hurwitz数。通过对$q$的适当解释，量子加权分支覆盖的统计力学可以与玻色气体的统计力学联系起来。在经典极限下恢复了标准双Hurwitz数。
2017-08-10 hep-th math-ph math.CO
Quantum Hurwitz numbers and Macdonald polynomials
通过将Macdonald多项式的生成函数中的待定元确定为可交换的Jucys-Murphy元，得到了对称群的群代数的中心${\bf Z}({\bf C}[S_n])$中的参数族.它们的特征值提供了二维Toda $τ$ -超几何型函数的双Schur函数展开中的系数。在幂和对称函数的乘积的基础上表达这些系数，这些系数可以在几何上解释为量子赫维茨数的参数族，枚举黎曼球面的加权分支覆盖。组合地给出了$S_n$的Cayley图中由转置生成的路上的量子加权和.对称函数代数的对偶基对相对于标量积，其中麦克唐纳多项式是正交的，提供了这些量子加权枚举不变量的几何和组合意义。
2016-11-19 hep-th math-ph math.CO
Hypergeometric τ-functions, Hurwitz numbers and enumeration of paths
一个多参数家庭的二维户田$τ$ -功能的超几何类型的复合，签署Hurwitz数，列举某些类的分支覆盖的黎曼球面和路径的凯莱图的$S_n$提供生成函数。在Toda流参数的两个集合中的幂和对称函数的乘积$P_μP'_ν$与$l+m$辅助参数的幂上的系数$F^{c_1, ..., c_l}_{d_1, ..., d_m}(μ, ν)$的级数展开被示出为枚举在一对点处具有指定的分支轮廓$ μ$和$ν$的黎曼球的$|μ|=|ν|=n$折叠分支覆盖，以及两个附加分支描绘集合，满足一定的附加条件，其分歧的轮廓长度。第一组由$l$分支点组成，其分支轮廓长度固定为数字$(n-c_1, ..., n- c_l)$ ;第二组由$m$“着色”分支点的其他组组成，其具有可变的数字，其中组内分支轮廓长度的补数之和固定为等于数字$(d_1, ..., d_m)$。后者计数的符号由这些分支点的总数的奇偶性决定。系数$F^{c_1, ..., c_l}_{d_1, ..., d_m}(μ, ν)$也被证明是枚举对称群$S_n$的Cayley图中由转置生成的路径，如通常的双Hurwitz情况那样，在循环型$μ$的共轭类中的元素处开始并且在类型$ν$的类中结束，但是$(c_1, ..., c_l)$转置的第一个$l$连续序列严格单调增加，并且随后的$(d_1, ..., d_m)$转座的连续性弱地增加。
2015-03-01 hep-th math-ph math.AG
Fermionic approach to weighted Hurwitz numbers and topological recursion
本文用费米子表示统一刻画加权 Hurwitz 数与拓扑递归中的生成函数、关联子及谱曲线，并给出四类特殊情形的具体结果。
2017-06-20 hep-th math-ph math.AG
Diagonal Solutions to the 2-Toda Hierarchy
使用组合描述的Bernstein算子及其行动的舒尔功能，我们描述了正式的幂级数解的偏微分方程的家庭被称为2-Toda的层次。我们还刻画了对角解的特征，并利用它证明了一个特殊的正式幂级数族，称为内容型级数，是2-Toda层次的解。作为例子，我们证明了置换分解问题（包括双Hurwitz问题）的各种生成级数、划分上Schur测度的分解子以及HCIZ积分的形式特征展开都是2-Toda族的解.
2011-09-07 math-ph math.CO math.MP
Constellations and $τ$-functions for rationally weighted Hurwitz numbers
加权星座给出黎曼球面的加权分支覆盖的图形表示。它们被引入到提供组合解释的$2$ D户田$τ$ -函数的超几何类型作为生成函数的加权Hurwitz数的情况下，多项式的重量生成函数。在所有配置上求和的给定加权星座的所有顶点和边权重上的乘积再现了$τ$函数。在目前的工作中，这是广义的星座，其中的加权参数是由一个合理的权重生成函数。相关联的$τ$函数可以表示为双标记加权星座的权重之和，其中两种类型的加权参数与分支覆盖的每个等价类相关联。分支点的双重标记，称为“颜色”和“风味”指数，是需要的事实，即在泰勒展开的权重生成函数，一个特定的颜色从分母参数中可能会出现乘法，和风味标签指示这种多样性。
2020-10-19 hep-th math-ph math.CO
Weighted Hurwitz numbers and hypergeometric $τ$-functions: an overview
This is an overview of recent results on the use of 2D Toda $τ$ -functions as generating functions for multiparametric families of weighted Hurwitz numbers. The Bose-Fermi equivalence composed with the characteristic map provides an isomorphism between the zero charge sector of the Fermionic Fock space and the direct sum of the centers of the group algebra of the symmetric groups $S_n$ . Specializing the fermionic formula to the case of diagonal group elements gives $τ$ -functions of hypergeometric type, for which the expansion over products of Schur functions is diagonal, with coefficients of…
2015-09-21 hep-th math-ph math.CO
Realizations of self branched coverings of the 2-sphere
对于2-球面的d度自分支覆盖，一个值得注意的组合不变量是2d - 2的整数划分，由临界点的重数组成。一个更好的不变式是所谓的赫尔维茨护照。赫维茨护照的实现问题直到今天仍然很大程度上是开放的。在这篇文章中，我们介绍了两种不同类型的精细不变量：二分映射和关联矩阵。然后，我们完全解决他们的实现问题，证明了一个映射，或矩阵，实现了一个分支覆盖，当且仅当它满足一定的平衡条件。二分图方法的一个变体是由W.瑟斯顿我们的研究结果为赫尔维茨护照问题提供了一些新的线索。
2015-04-05 math.CO math.DS
Non-orientable branched coverings, $b$-Hurwitz numbers, and positivity for multiparametric Jack expansions
我们引入了一个单参数变形的2-Toda τ-函数的（加权）Hurwitz数，通过变形Schur函数到杰克对称函数。我们证明了它的系数是关于变形参数$b$的多项式，系数为非负整数。这些系数计数广义分支覆盖的领域的任意表面，定向或不定向，与适当的$b$加权，“措施”在某种意义上说，他们的不可定向性。值得注意的特殊情况包括不可定向的dessins d 'enfants，我们证明了迄今为止最普遍的结果，对匹配杰克猜想和“$b$ -猜想”的Goulden和Jackson从1996年，扩展的$β$ -系综矩阵模型，变形的HCIZ积分，和$b$ -Hurwitz数，我们在这里介绍，这是$b$ -变形的经典（单或双）Hurwitz数得到的$b=0$。在我们的证明中发挥了关键作用的组合模型的不可定向星座配备了一个合适的$b$加权，其分拆函数满足一个无限集的偏微分方程。这些偏微分方程有两个定义，一个由Lax方程给出，另一个遵循显式组合分解。
2022-09-12 math-ph math.AG math.CO
Simple formulas for constellations and bipartite maps with prescribed degrees
我们得到简单的二次递归公式计数二分映射表面上规定的程度（特别是，$2k$ -angulations），和星座。这些公式是已知的计算这些数字的最快方法。我们的工作是以前的作品可积的层次（2-Toda和KP），即Pandharipande递归Hurwitz数（证明由Okounkov和简化的Dubrovin-Yang-Zagier），以及公式的几个模型的地图（Goulden-Jackson，Carrell-Chapuy，Kazarian-Zopuy）的自然扩张。对于这些公式，我们还没有找到一个双射的解释。我们还包括一个单调单Hurwitz数的公式，以同样的方式导出。这些公式在作者与T. Budzinski建立了大亏格随机二部映射的双曲局部极限。
2019-10-31 math.CO
