Quantitative propagation of smallness for solutions of elliptic equations
设$u$是在$\mathbb{R}^n$中具有Lipschitz系数的椭圆方程$\text{div}(A\nabla u)=0$的解.假设$|u|$由球$B=\{|x|\leq 1\}$中的$1$限定。本文证明了：如果$|u| < \varepsilon$在一个具有正的$n$ -维Hausdorf测度的集合$ E \subset \frac{1}{2} B$上，则有$$|u|\leq C\varepsilon^γ\text{ on } \frac{1}{2}B,$$，其中$C>0, γ\in (0,1)$不依赖于$u$，而只依赖于$A$和$E$的测度.我们指定的$E$措施的形式的Remez型不等式的依赖。对于Hausdorff维数大于$n-1$的集合$E$，类似的估计成立。对于梯度的解决方案，我们表明，一个类似的传播小持有的Hausdorff维数大于$n-1-c$，其中$c>0$是一个小的数值常数，仅取决于尺寸。
2017-11-28 math.AP
Doubling inequalities and propagation of smallness for Schrödinger equations with singular potentials
Stanford University（斯坦福大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文针对具有奇异复势的薛定谔方程，通过建立尺度不变的 Carleman 不等式证明二倍不等式，并结合多尺度论证实现小性传播，进而给出特征函数对数的 BMO 范数上界。
2026-09-14 math.AP
Spectral inequalities for Schrödinger equations and quantitative propagation of smallness in the plane
本文针对一维薛定谔算子，在势函数受递增权函数或多项式约束的条件下，建立 thick 及广义 thick 传感器集合上的谱不等式，并利用平面椭圆方程的小性传播定量刻画给出常数对密度、增长率和谱区间的显式依赖。
2025-05-06 math.AP
Propagation of smallness near codimension two for gradients of harmonic functions
本文研究调和函数梯度的小性传播，证明在具有正 $(n-2+δ)$ 维 Hausdorff content 的集合上梯度 $ε$-小时，可推出球内梯度上界，并达到维数阈值。
2025-08-28 math.AP
Stability of entire solutions to supercritical elliptic problems involving advection
我们研究了由\begin{equation} \label{eq_abstract} -Δu + a(x) \cdot \nabla u = u^p \qquad \mbox{in $ \IR^N$,} \end{equation}给出的方程，其中$p>1$和$ a(x)$是满足某些衰减条件的光滑向量场.我们表明，对于$ p < p_c$，约瑟夫-Lundgren指数，有没有正稳定的解决方案（\ref{eq_abstract}）提供了一个小的条件$a$随着发散自由的条件。在另一个方向上，我们证明了对于$ N \ge 4$和$ p > \frac{N-1}{N-3}$，当$a$满足小性条件时，存在（\ref{eq_abstract}）的正解.对于$ p>p_c$，我们证明了（\ref{eq_abstract}）的正稳定解的存在性，条件是$a$是发散自由的并且满足一个小性条件.
2013-05-19 math.AP
Harmonic functions on the lattice: Absolute monotonicity and propagation of smallness
在这项工作中，我们建立了两个经典的概念之间的连接，无关到目前为止：调和函数一方面和绝对单调函数的另一方面。利用这一点，我们证明了格上调和函数的凸性类型和小性结果的传播。
2014-10-14 math.AP math.CO math.PR
Weighted-$W^{1,p}$ estimates for weak solutions of degenerate and singular elliptic equations
获得了有界非光滑区域上一类线性奇异退化椭圆Dirichlet边值问题解的梯度的全局加权$L^{p}$估计。系数矩阵是对称的，非负定的，并且其最小和最大特征值都与Muckenhoupt类中的权重成比例。在加权系数的平均振动性和区域边界的Reifenberg平坦性条件下，我们建立了方程弱解的加权梯度估计.刻画了一类满足小性条件的退化系数。最后给出了一个反例来说明系数小性条件的必要性。我们的$W^{1,p}$ -正则性估计可以看作是B.法贝斯角E. Kenig和R. 1982年，P. Serapioni。
2016-12-16 math.AP
Quantitative propagation of smallness and spectral estimates for the Schrödinger operator
本文研究了有界域上 Schrödinger 算子的小量定量传播，将相关结果推广至含零阶项的散度型椭圆方程，并借此在粗糙集上获得了谱估计，应用于抛物型方程的能观性与零能控性。
2024-03-22 math.AP math.OC math.SP
Pointwise regularity for locally uniformly elliptic equations and applications
本文在解与右端项的小性假设下建立局部一致椭圆型方程粘性解的内部逐点 $C^{k,α}$ 正则性，并将其应用于平均曲率、Monge-Ampère、Hessian 等经典方程。
2024-05-12 math.AP
Quantitative uniqueness for elliptic equations with singular lower order terms
利用Koch和Tataru的Carleman型不等式获得了具有奇异低阶项的二阶椭圆型方程解的唯一延拓的定量估计。首先证明了一个三球不等式，然后描述了正测度集的小性传播的两种方法。
2011-03-30 math.AP
Blow-up, concentration phenomenon and global existence for the Keller-Segel model in high dimension
本文研究了环$\mathbb{R}^d$，$d\geq 3$上的经典Keller-Segel系统.我们描述尽可能多的动力学系统的特点是各种标准，无论是在抛物椭圆的情况下，在完全抛物的情况下。在处理抛物-椭圆情形时，主要结果是：初始密度不作小性假设时的局部存在性，改进的小性条件下的整体存在性以及爆破准则的比较.对于全抛物情形，给出了一个新的集中现象判据。分析是由一个可视化工具的基础上减少的抛物线椭圆系统的梯度流类型的有限维动力系统，共享功能类似的无穷维系统。
2010-03-22 math.AP
Elliptic Equations With Degenerate weights
我们得到了带矩阵权的椭圆型方程的新的局部Calderon-Zygmund估计，对于线性和非线性方程都是如此.我们引入了一个新的log-BMO条件的重量M。特别是，我们假设在BMO的矩阵值的重量的对数小。这允许包括退化的、不连续的权重。我们提供的例子表明，在对数BMO范数的估计的锐度。
2020-03-23 math.AP
Scale invariant regularity estimates for second order elliptic equations with lower order coefficients in optimal spaces
我们展示了局部和全局尺度不变的正则性估计的下解和上解的方程$-{\rm div}(A\nabla u+bu)+c\nabla u+du=-{\rm div}f+g$，假设$A$是椭圆和有界的。在洛伦兹空间的背景下，在针对$q\leq\infty$的$b,f\in L^{n,1}$、$d,g\in L^{\frac{n}{2},1}$和$c\in L^{n,q}$的假设下，我们证明，除了令人惊讶的反向Moser估计之外，具有“好”常数（即，仅取决于系数的范数）的尺度不变估计通常不成立。另一方面，在$b,d$或$c,d$上设一个必要的小性条件，我们给出了一个极大值原理和具有“好”常数的子解的Moser估计.我们还证明了逆Moser估计的非负上解的“好”常数，在没有小的假设下，当$q<\infty$，导致Harnack不等式的非负解和局部连续的解决方案。最后，我们表明，在洛伦兹空间的设置，我们的假设是尖锐的，以保证这些估计。
2020-05-28 math.AP
Lecture notes on quantitative unique continuation for solutions of second order elliptic equations
在这些讲座中，我们提出了一些有用的技术来研究椭圆型偏微分方程解的定量性质。我们的目的是概述证明最近的结果传播的小。这些思想在Laplace-Beltrami算子本征函数零点集的研究中也是有用的，并讨论了它们之间的联系。关于发散形式的二阶椭圆型偏微分方程的一些基本事实在注释末尾的附录中收集。
2019-03-25 math.AP
Quantitative 2D propagation of smallness and control for 1D heat equations with power growth potentials
本文研究平面小性传播与热方程控制的关系，建立了参数显式依赖的定量小性传播版本，并以此为关键要素，证明了具有任意非负幂增长势的1D热方程在厚集上的精确零能控性，扩展了已有结果。
2024-08-23 math.AP math.CA math.OC
Appearance of Strauss-type exponent in semilinear wave equations with time-dependent speed of propagation
本文研究带时变传播速度与散射阻尼的半线性波动方程的小初值爆破现象，采用带Liouville–Green近似特殊解守恒量的检验函数法，得到次Strauss指数下的爆破结果，覆盖半线性广义Tricomi方程。
2024-12-12 math.AP
Some Quantitative Properties of Solutions to the Buckling Type Equation
研究有界解析域中Buckling型方程解的定量唯一延拓、微小性传播及节点集测度界，给出最大消失阶与Hausdorff测度上界及微小性传播的定量结果。
2023-07-29 math.AP
Nadirashvili' Conjecture for Elliptic PDEs and its Applications
本文利用 Logunov 的节点集下界、小性传播性质与椭圆估计，证明了 Nadirashvili 1997 年关于调和函数节点体积有界时半球上确界可由中心导数有限和控制这一猜想，并将其推广至一般椭圆型偏微分方程及低正则系数情形，同时给出若干应用。
2025-08-15 math.AP
On the parabolic-elliptic limit of the doubly parabolic Keller--Segel system modelling chemotaxis
在强拓扑中，当一个物理参数趋于零时，我们建立了抛物-抛物Keller-Segel方程组在平面上的解到抛物-椭圆模型的相应解的新的收敛结果.我们的主要工具是合适的时空估计，这意味着这些模型的缓慢衰减（一般来说，不可积）的解决方案的整体存在，在自然的小假设。
2009-03-09 math.AP q-bio.CB
On the smallness conditions for a PEMFC single cell problem
针对 PEMFC 单电池耦合拟线性椭圆系统，本文通过建立 Poincaré、Sobolev 及三线性项的定量估计，显式刻画二维情形下弱解存在性所需的小性条件。
2023-11-28 math.AP physics.chem-ph
On scale invariant bounds for Green's function for second order elliptic equations with lower order coefficients and applications
在$d\geq\text{div}b$或$d\geq\text{div}c$的假设下，我们构造了域$Ω\subseteq\mathbb R^n$中形式为$\mathcal{L}u=-\text{div}(A\nabla u+bu)+c\nabla u+du$的椭圆算子的格林函数。我们表明，在洛伦兹空间的设置，假设$b-c\in L^{n,1}(Ω)$是必要的和最佳的，以获得点态界的格林函数。我们还证明了格林函数及其梯度的弱型界。我们的估计是尺度不变的，并保持一般域$Ω\subseteq\mathbb R^n$。此外，对低阶系数的范数没有小性假设。作为应用，我们得到了$d\geq\text{div}c$情形下$\mathcal{L}u\leq -\text{div}f+g$子解的尺度不变的全局和局部有界性估计.
2019-04-09 math.AP
Maximal $L^1$ regularity for solutions to inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations
本文致力于在初速度标度不变的小假设下，研究非齐次不可压缩Navier-斯托克斯方程解的最大$L^1$正则性和渐近行为。我们得到了一个新的整体$L^1$的时间估计的Lipschitz的速度场的初始密度起伏没有任何小的假设。在这个估计的推导过程中，我们研究了变系数线性Stokes系统的最大$L^1$正则性。分析工具是利用广义Stokes算子生成的半群刻画一类散度型二阶椭圆型方程的Besov范数和一个新的梯度估计.该方法还可用于研究不可压缩或可压缩粘性流体引起的其它问题。
2021-05-15 math.AP
Existence and regularity of solutions for the elliptic nonlinear transparent media equation
本文研究了带有退化系数的椭圆非线性透明介质方程 Dirichlet 问题解的存在性与正则性，证明了在不对数据大小作小性假设的情况下，利用退化系数的正则化效应可获得非平凡且有界的解。
2024-12-19 math.AP
Weak solutions for multiquasilinear elliptic-parabolic systems. Application to thermoelectrochemical problems
研究一类具有间断首项系数的散度型耦合椭圆抛物方程组的双拟线性边值问题的弱解的存在性.在文章中提到的数学框架认为存在一个额外的非线性模型，反映了在一些感兴趣的应用中的辐射热边界效应。结果通过Rothe-Galerkin方法得到。只有弱的假设上的数据和边界条件被允许在一个一般的形式。目前的文件的主要贡献是显式表达式中出现的常数的定量估计得出。这些详细的和明确的估计可能是有用的研究非线性问题，出现在现实世界中的应用。特别是，他们澄清了小的条件。最后，我们说明了如何上述结果可以应用到电解槽中的热电化学现象。这个问题有几个应用，例如优化电池设计和操作条件。
2018-02-16 math.AP
On the existence and multiplicity of solutions to fractional Lane-Emden elliptic systems involving measures
研究分数Lane-Emden方程组\begin{equation*} \tag{S}\label{S} \left\{ \begin{aligned} (-Δ)^s u &= v^p+μ\quad &&\text{in } Ω\\ (-Δ)^s v &= u^q+ν\quad &&\text{in } Ω\\ u = v &= 0 \quad &&\text{in } Ω^c={\mathbb R}^N \setminus Ω, \end{aligned} \right. \end{equation*}的正解，其中$Ω$是${\mathbb R}^N$中的$C^2$有界域，$s\in(0,1)$，$N>2s$，$p>0$，$q>0$和$μ,\, ν$是$Ω$中的正测度.在$μ$和$ν$的总质量很小的条件下，我们证明了上述系统的最小正解的存在性。进一步证明了若对某个$r>\frac{N}{2s}$满足$p,q \in (1,\frac{N+s}{N-s})$和$0 \leq μ,\, ν\in L^r(Ω)$，则该方程组至少存在两个正解.我们还讨论了解的正则性。
2018-09-21 math.AP
Upper bounds of nodal sets for solutions of bi-Laplace equations: II
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文研究双调和方程解的节点集上界，通过Carleman估计获得多项式上界，不依赖频率函数。
2026-03-04 math.AP
Semilinear elliptic equations with Hardy potential and subcritical source term
设$Ω$是$\mathbb{R}^N$和$δ(x)=\text{dist}\,(x,\partial Ω)$中的光滑有界域.设$μ>0$，$ν$是$\partial Ω$和$g \in C(Ω\times \mathbb{R}_+)$上的非负有限测度.本文研究了$$ (P)\qquad -Δu - \fracμ{δ^2} u = g(x,u) \text{ in } Ω, \qquad \text{tr}^*(u)=ν. $$的正解，其中$\text{tr}^*(u)$表示最近由M.马库斯和PT阮我们主要讨论了$0<μ< C_H(Ω)$（$Ω$的Hardy常数）的情形，并给出了（P）解的一些定性性质.当$g(x,u)=u^q$与$q>1$，我们证明了有一个临界值$q^*$（仅取决于$N$，$μ$）的意义下，如果$1<q<q^*$，那么（P）允许一个解决方案下的$ν$的小假设，但如果$q \geq q^*$这个问题不允许任何解决方案与孤立的边界奇异性。存在的结果，然后扩展到一个更一般的设置$g$是亚临界的。我们还研究了$g$是线性或次线性的情况，并给出了（P）的一些存在性结果。
2015-10-27 math.AP
Weighted Robin eigenvalue problems and nonlinear elliptic equations with general growth in the gradient
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Università degli studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学数学与应用应用系“R.卡奇奥波利”）；Dipartimento di Matematica e Fisica, Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉范维特利大学数学与物理系）；Dipartimento di Matematica e Informatica, Università della Calabria（卡拉布里亚大学数学与信息学系）
本文研究了带权Robin特征值问题与具有一般增长梯度的非线性椭圆方程的存在性，通过引入带权奇异特征值问题，证明了在特定条件下解的存在性。
2026-11-06 math.AP
Generalized principal eigenvalues of elliptic operators and spreading speeds of Fisher-KPP equations in two-scale almost periodic media
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Anhui University（安徽大学）
研究双尺度近周期介质中椭圆算子广义主特征值与Fisher-KPP方程传播速度的渐近行为，揭示生长速率扰动和对流影响的机制。
2025-12-03 math.AP
Quantitative unique continuation and observability on an equidistributed set for the diffusion equation in R^N
本文给出了扩散方程解在全空间RN上的唯一延拓的一个定量估计和一个等分布集上的能观性不等式.这种可观测性表明，解的总能量可以由在整个空间上均匀分布的可测子集中的能量来控制。我们的结果的证明是基于一个有趣的减少方法[18，22]，以及小的传播的梯度的解决方案椭圆型方程[24]。
2021-08-10 math.AP
Boundary value problems in Lipschitz domains for equations with lower order coefficients
利用层势方法研究了有界Lipschitz区域上具有低阶系数的二阶椭圆型方程$\mathcal{L}u=0$的$R_2$正则性问题和$D_2$ Dirichlet问题.对于$R_2$，我们建立存在性和唯一性假设$\mathcal{L}$是$\mathcal{L}u=-\text{div}(A\nabla u+bu)+c\nabla u+du$的形式，其中矩阵$A$是一致椭圆和Hölder连续的，$b$是Hölder连续的，$c,d$属于Lebesgue类，并且它们满足条件$d\geq\text{div}b$，或$d\geq\text{div}c$在分布的意义下。特别地，$A$不被假设为对称的，并且在低阶系数的范数上没有小性假设。我们还证明了伴随方程$\mathcal{L}^tu=0$的$D_2$的存在唯一性。
2018-09-12 math.AP
On linear elliptic equations with drift terms in critical weak spaces
本文研究临界弱空间 $L^{n,\infty}$ 中带漂移项的二阶线性椭圆 Dirichlet 问题，通过漂移分解及小尺度拟范数条件证明弱解与对偶解的存在唯一性及正则性，并得到阈值下极弱解唯一性。
2023-12-18 math.AP
Wave propagation in one-dimensional quasiperiodic media
本文研究了Helmholtz方程$-(μu')' - ρω^2 u = f$在一维无界介质中的解。我们假设这个方程的系数是准周期函数的局部扰动，即沿着高维周期函数的特定线的迹。利用拟周期性的定义，将问题提升到一个具有周期系数的高维问题。增强问题的周期性，使我们能够扩展的想法，基于DtN的方法开发的椭圆形的情况下。然而，相关的数学和数值分析的方法是更微妙的，因为增广偏微分方程是退化的，在这个意义上，其运营商的主部不再是椭圆形的。我们还研究了这个偏微分方程的数值分辨率，它依赖于Dirichlet细胞问题的解决方案，以及约束Riccati方程。
2023-01-03 math.AP
Bubbling phenomenon for semilinear Neumann elliptic equations of critical exponential growth
在过去的几十年中，半线性Neumann椭圆方程的临界和次临界多项式非线性问题引起了人们的广泛关注，但对于多项式非线性是否可以用指数非线性来代替却知之甚少。本文考虑如下Trudinger-Moser指数增长性的半线性Neumann椭圆问题：\begin{equation*}\begin{cases} -dΔu_d+u_d=u_d(e^{u^2_{d}}-1)\ \ \mbox{in}\ Ω,\\ \frac{\partial u_d}{\partialν}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{on}\ \partial Ω,\\ \end{cases}\end{equation*}其中$d>0$是参数，$Ω$是$\mathbb{R}^2$中的光滑有界区域，$ν$是$\partial Ω$的单位外法线.我们首先证明了上述方程基态解的存在性。当$d$足够小时，我们证明了任何基态解$u_d$至多有一个极大值点位于$Ω$的边界上，并刻画了凝聚点$P_d$附近基态解$u_d$的形状.证明的关键在于证明当$d\rightarrow0$和$u_d$在适当的尺度变换下强收敛于极限方程$Δw+w=w(e^{w^2}-1)$的基态解时，极大点$P_d$以$\sqrt{d}$的速度接近边界.我们的证明是基于截断函数的能量阈值、Tru…
2023-02-18 math.AP
On Some Model Problem for the Propagation of Interacting Species in a Special Environment
本文研究了一类椭圆型方程组非平凡解的存在性，该方程组的非平凡解来源于一个新引入的数学问题，即所谓的场-路模型。具体地说，它是由耦合方程组在不同的维度连同一些非经典类型的相互作用的域。我们考虑截断问题施加Dirichlet边界条件和无界设置以及。
2022-05-12 math.AP
Quantitative Approximation Properties for the Fractional Heat Equation
本文分析了一类\emph{nonlocal}方程的\emph{quantitative}逼近性质：把分数阶热方程看作一个模型问题，它同时涉及\emph{local}和\emph{nonlocal}伪微分算子，研究了它的解的定量逼近性质.首先，借助于Runge型论证，给出了由\cite{DSV16}得到的某些\emph{qualitative}逼近结果的另一种证明.利用传播的小参数，然后我们提供的\emph{cost}的近似可控性的界限，从而量化的分数阶热方程的解的近似性质。最后，我们讨论了这些结果的推广到一个更大的一类运营商涉及本地和非本地的贡献。
2017-08-21 math.AP
Uniform rectifiability and elliptic operators satisfying a Carleson measure condition. Part I: The small constant case
本文建立了一类偏微分方程解的性质与欧几里得空间中集合几何之间的对应关系。在满足Carleson测度条件的最优散度型椭圆算子类中，解决了椭圆测度关于曲面测度的（定量）绝对连续性与边界的一致可求长性是否等价的问题.该结果可以看作是一个定量模拟的维纳准则适用于奇异$L^p$数据的情况下。本文在系数的Carleson测度很小的假设下讨论了自由边界问题。这项工作的第二部分开发了一个外推参数，引导这一结果的一般情况下。第一部分中的思想构成了几何测度论中发展的技术的一种新的应用。它们突出了几个领域之间的协同作用。本文提出的思想非常适合于研究几何环境中的变分问题中的奇点。
2020-01-14 math.AP math.CA
Weighted mixed-norm $L_p$ estimates for equations in non-divergence form with singular coefficients: the Dirichlet problem
研究了上半空间中一类具有奇性一阶系数的非散度型椭圆型和抛物型方程在齐次Dirichlet边界条件下的解.在最简单的设置中，所考虑的方程中的算子出现在分数阶热和分数阶拉普拉斯方程的研究中。建立了内禀加权索伯列夫空间，在一定的小性条件下，证明了小抛物柱面系数的加权平均振动强解的存在唯一性.我们的结果是新的，即使当系数是常数，他们覆盖的情况下，权重可能不是在$A_p$ -Muckenhoupt类。
2022-04-11 math.AP
Stable Semilinear Elliptic Equations: $\varepsilon$-Regularity à la Brezis and Dimensional Bounds for the Singular Set
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
针对稳定半线性椭圆方程，建立了与非线性性无关的 ε-正则性准则，并基于稳定性势的积分可积性给出了奇异集的 Hausdorff 维数上界，在二维情形证明了最优的 Hessian 估计。
2026-08-26 math.AP
Microlocal analysis of generalized functions: pseudodifferential techniques and propagation of singularities
通过将经典的微椭圆性概念适当地推广到具有慢尺度广义符号的伪微分算子，刻画了Colombeau广义函数的微局部正则性.因此，我们得到一个替代的，但等价的，确定广义波前集，这是类似于原来的定义的波前集分布通过交叉特征集。然后将新方法应用于（伪）微分方程广义解的正则性理论，推广了分布解的一般非特征正则性结果，并考虑了齐次一阶双曲型方程广义奇点的传播.
2004-02-20 math.AP
Acceleration of Propagation in a chemotaxis-growth system with slowly decaying initial data
本文研究了一类具有Logistic源的抛物-椭圆趋化系统的空间传播动力学，该系统退化为著名的不具有趋化性的Fisher-KPP方程.已知对于快速衰减的初始函数，该系统具有有限的扩展速度。对于慢衰减的初始函数，当Logistic阻尼较强时，系统将发生加速传播，且趋化性不影响慢衰减初始函数所决定的传播模式，即系统具有与经典Fisher-KPP方程相同的加速传播的上界和下界.证明我们结果的主要新思想是构造辅助方程，以克服趋化性导致的比较原理的缺乏。
2021-08-20 math.AP
Compressible Navier-Stokes equations with ripped density
本文证明了在体积（体积）粘性系数足够大的条件下，二维可压缩Navier-斯托克斯方程速度场解的Sobolev正则性的全时传播性.初始速度可以任意大，初始密度只需有界即可。特别地，可以将集合的特征函数视为初始密度。在理想气体的情况下，给出了方程解的唯一性。作为我们结果的副产品，我们给出了一个严格的理由收敛到非齐次不可压Navier-斯托克斯方程时，体积粘度趋于无穷大。在三维情况下，证明了类似的结果，在一些标度不变的速度场的小条件。
2021-03-02 math.AP
Constant scalar curvature equation and the regularity of its weak solution
本文研究Kähler流形上的常数数量曲率方程（CSCK）及其弱解.首先定义了CSCK在$L^\infty$ Kähler度量下的弱解的概念.主要结果是证明这样的弱解（具有一致的$L^\infty$界）是光滑的.作为一个应用程序，这部分回答了陈关于$K$ -能量极小的规律性的猜想。新的技术成分是Kähler流形上拉普拉斯方程$Δ_g u=f$的$W^{2, 2}$正则性结果，其中度量只有$L^\infty$系数。众所周知，对于$a^{ij}\in L^\infty$的形式为$a^{ij}\partial^2_{ij}u=f$的一致椭圆方程，在没有关于$a^{ij}$的局部振荡的某些小性假设的情况下，这种$W^{2, 2}$正则性（对于任何$p>1$的$W^{2, p}$正则性）通常失效（除了二维）。我们观察到Kähler条件对于获得紧致流形上只有$L^\infty$椭圆系数的椭圆方程的$W^{2, 2}$正则性起着至关重要的作用。
2017-05-03 math.AP math.DG
A global second order Sobolev regularity for $p$-Laplacian type equations with variable coefficients in bounded domains
设$Ω\subset R^n$是一个有界凸域，其上有$n\ge2$ .设$A$是一致椭圆的，当$n\ge 3$为$W^{1,n}$，当$n=2$为$q>2$时为$W^{1,q}$.对于$1<p<\infty$，我们建立了非齐次$p$-Laplace型方程\begin{equation} -\mathrm{div}\big(\langle A Du,Du\rangle ^{\frac{p-2}2} A Du\big)=f \quad\rm{in }\ Ω\mbox{ with Dirichlet/Neumann $0$-boundary.} \end{equation}的整体二阶正则性估计$$\|D[|Du|^{p-2} Du]\|_{L^2(Ω)}+\|D[ |\sqrt{A}Du|^{p-2} A Du]\|_{L^2(Ω)} \le C \|f\|_{L^2(Ω)} $$.对于某些边界弱二阶可微且满足小性假设的有界Lipschitz区域，也得到了类似的结果.
2022-07-13 math.AP
Sobolev estimates for singular-degenerate quasilinear equations beyond the $A_2$ class
针对系数可退化或奇异的拟线性椭圆方程，在系数振荡小性假设下建立加权 Sobolev 估计，方法基于微扰和新的 Lipschitz 估计。
2023-05-12 math.AP
On global solutions to semilinear elliptic equations related to the one-phase free boundary problem
出于它的关系模型的火焰传播，我们研究全球Lipschitz解决方案的$Δu=f(u)$在$\mathbb{R}^n$，其中$f$是光滑的，非负的，支持的间隔$[0,1]$。在这种情况下，任何“吹”的解决方案$u$将收敛到一个整体解决方案的经典的一个阶段自由边界问题的Alt-Caffarelli。在类比的著名定理的Savin的Allen-Cahn方程，我们在这里研究的一维对称性的解决方案$u$是能量极小。我们的主要结果建立，在尺寸$n<6$，如果$u$是轴对称的和稳定的，那么它是一维的。
2018-11-07 math.AP
Existence, uniqueness, and numerical solutions of the nonlinear periodic Westervelt equation
University of Klagenfurt（克拉根福大学）；Austrian Institute of Technology GmbH（奥地利技术研究院有限公司）
本文研究非线性周期韦斯特维尔方程的存在性、唯一性及数值解，通过多谐波方法和有限元法探讨非线性声波传播特性，以提升超声成像质量。
2026-01-04 math.AP
Traveling waves for a Fisher-type reaction-diffusion equation with a flux in divergence form
抛物算子的传播速度分析经常考虑其行波移动的最小速度。此值取决于所考虑的解决方案概念。本文研究了一类广义的具有散度型流动的Fisher型反应扩散方程。我们使用规则流，它可能不满足标准的椭圆条件，但没有其他类型的奇点。我们表明，经典行波移动的速度范围是一个区间无界的权利。与经典例子相反，下确界可能达不到。当流动是椭圆或超椭圆时，达到最小的传播速度。通过对经典情况下的一阶边值问题的扩展进行分析，将经典的行波速度阈值补充为另一个值。这个奇异的最小速度可以证明为椭圆或超椭圆流中经典最小速度的粘性极限。我们构建了一个奇异的配置文件之间的最小奇异速度和经典行波移动的速度为每个速度。在附加的假设下，构造的轮廓可以被证明是有界变差函数框架中的起始方程的行波。我们还表明，饱和前验证兰金-Hugoniot条件可以出现严格较低的速度，即使在有界变差函数的框架。
2022-07-13 math.AP
Global Uniqueness of Steady Transonic Shocks in Two-Dimensional Compressible Euler Flows
我们证明，对于二维定常完全可压缩欧拉系统，在给定均匀即将到来的超声速流动的情况下，存在以下三种基本流动模式在下游亚音速流的适当条件下，在分段$C^1$光滑函数类中，涉及跨音速激波的气体动力学中的（特解）都是唯一的：$(\rmnum{1})$是指激波阵面通过固定点后，有限或无限长直管中的正向跨音速激波; $(\rmnum{2})$是指无限长楔形体上的斜向跨音速激波; $(\rmnum{3})$一种扁平马赫构型，包括一个超音速激波、两个跨音速激波和一个接触间断，在固定了四个间断的相交点之后。这些特解是在分段常数的假设下构造的，它们在数学气体动力学的研究中起着重要的作用。我们的结果表明，分段常数的假设可以用一些更弱的假设来代替下游亚音速流动，这足以唯一地确定这些特解。在数学上，这些结果是关于椭圆-双曲混合型拟线性方程组的自由边界问题在有界或无界平面区域上解的唯一性结果，而不作任何小的假设。证明依赖于压力$p$和流动角正切$w=v/u$的椭圆方程组，该方程组是通过在拉格朗日坐标系中分解欧拉方程组获得的，以及一种新开发的用于估算不依赖于自由边界的$L^{\infty}$的方法，该方法结合了椭圆型方程的最大值原理和对（可能是弯曲的）激波阵面应用的激波极线的仔细分析。
2010-04-12 math.AP
The fractional Calderón problem: low regularity and stability
分数阶薛定谔方程的Calderón问题在\cite{GSU}的工作中被引入，在部分数据的情况下也给出了整体唯一性结果。本文从两个方面改进了这个结果。首先，我们证明了一个定量的唯一性结果，表明该反问题在适当的先验界下具有对数稳定性。其次，我们证明了这些结果对标度不变的$L^p$或负序索伯列夫空间中的势是有效的。一个关键点是分数阶方程的解的定量逼近性质，通过结合仔细传播的小分析的Caffarelli-Silvestre扩展和对偶参数。
2019-05-12 math.AP
Comparison principles and Lipschitz regularity for some nonlinear degenerate elliptic equations
建立了完全非线性共形不变退化椭圆型方程连续黏性解的内部Lipschitz正则性。作为我们的方法的一个副产品，我们还证明了一个弱形式的强比较原理，我们称之为接触点的传播原理，为运营商的形式$\nabla^2 ψ+ L(x,ψ,\nabla ψ)$这是非递减的$ψ$。
2016-12-30 math.AP math.DG
Monotone methods for semilinear parabolic and elliptic equations on graphs
本文研究了图上具有Kpp型或Allen-Cahn型强迫项的图Laplacian抛物问题解的灭绝性和传播性。为此，我们建立了图上抛物和椭圆问题的（强）最大值原理和上下解方法。通过构造适当的上下解，研究了平衡解的稳定性。此外，我们给出了一个例子和数值实验来证明我们的主要结果之一。
2022-10-15 math.AP math.CO
Propagation of chaos for the Keller-Segel equation over bounded domains
本文严格证明了抛物-椭圆型Keller-Segel方程在有界凸区域上的混沌传播。所考虑的边界条件是无通量条件。作为中间步骤，我们建立了相关的随机方程的适定性以及有界弱解的Keller-Segel方程的适定性。
2018-09-24 math.AP math.DS math.PR
Weighted maximal regularity estimates and solvability of non-smooth elliptic systems I
我们开发了新的可解性方法的散度型的二阶，实和复杂的，Lipschitz图上的椭圆系统，与$L_2$边界数据。系数$A$可取决于所有变量，但假定为接近于系数$A_0$，所述系数$A_0$在由Dahlberg定义的Carleson意义$\|A-A_0\|_C$中独立于横向于边界的坐标。在$\|A-A_0\|_C$的有限性下，我们得到了一些{ \em a priori}估计和边界性态结果.我们的方法产生充分的弱解，其梯度有$L_2$估计的非切向极大函数或平方函数，通过整表示上的余法梯度，奇异算子值内核的完整表征。同时，弱解的非切向极大函数在$L_2$中受其梯度的平方函数控制。这种估计是新的系统在这样的一般性，甚至为真正的非对称方程在3维或更高。证明{ \em a priori}适定性的存在性，也是一个新的事实。作为推论，我们得到了Dirichlet，Neumann和Dirichlet正则性问题在$\|A-A_0\|_C$的小性下的适定性和在$A_0$的适定性，改进了以前关于实对称方程的结果.我们的方法建立在一个一阶系统的代数约简的基础上，该系统首先由两位作者和A. McIntosh为了利用谓词演算解决Kato猜想的相关问题，而主要的分析工具$A$是一种算子演算，证明了加权极大正则性估计。
2010-09-15 math.AP math.CA
