Square Property, Equitable Partitions, and Product-like Graphs
图$G$的边集满足无弦正方形上的限制条件的等价关系在笛卡尔图积和图丛理论中起着至关重要的作用。我们在这里表明，这样的关系在一个自然的方式诱导公平分区的顶点集的$G$，这反过来又引起商图，可以有一个丰富的产品结构，即使$G$本身是素数。
2013-09-02 cs.DM math.CO
Matroid Partition Property and the Secretary Problem
元素集合$E$上的拟阵$\mathcal{M}$具有$α$ -划分性质，对于某些$α>0$，如果有可能（随机）在上构造一个划分拟阵$\mathcal{P}$ $\mathcal{M}$的元素（的子集），使得$\mathcal{P}$的每个独立集合在$\mathcal{M}$中是独立的，并且对于任何权重函数$w:E\to\mathbb{R}_{\geq 0}$，拟阵秘书问题在$\mathcal{P}$上的最优值的期望值至少是在$\mathcal{M}$上的最优值的$α$ -分数。我们证明了完全二元拟阵${\cal B}_d$在$\mathbb{F}_2^d$上不满足$α$ -划分性质，对于任何常数$α>0$（独立于$d$）。此外，我们驳斥了最近的猜想Bérczi，Schwarcz和山口显示相同的拟阵是PDMATHAMV-着色，但不能减少到一个$α2^d/d$ -着色分区拟阵的任何$α$是次线性的PDMATHAMU。
2021-11-24 cs.DM cs.DS math.CO
Pythagorean Partition-Regularity and Ordered Triple Systems with the Sum Property
有没有可能用许多颜色来给自然数上色，这样就没有毕达哥拉斯三元组是单色的？这个问题甚至对两种颜色都是开放的。一个自然的策略是证明一些小的非二部三元系不能被实现为一个毕达哥拉斯三元系族。考虑部分三元系（PTS）就足够了，因此考虑Fano平面，最小的非二部PTS是很自然的。我们表明，毕达哥拉斯三元组不包含任何法诺平面。事实上，我们的主要结果是，一个更大的家庭的“有序”三元系（即那些有一定的“和性质”）不包含任何Steiner三元系（STS）。
2008-09-20 math.CO math.NT
Correlation Decay and the Absence of Zeros Property of Partition Functions
缺乏（复杂的）零属性是Barvinok \cite{barvinok2017combinatorics}开发的插值方法的核心，用于设计各种图计数和计算分拆函数问题的确定性近似算法。早期的解决同样问题的方法包括基于相关衰减特性的方法。值得注意的是，这两种方法所适用的图的类别有时重合或几乎重合。在本文中，我们表明，这不仅仅是一个巧合。我们建立了如果插值方法对满足自约性的图族是有效的，那么这个图族在距离$ω(\log n)$上表现出一种形式的相关衰减性质，即渐近强空间混合（SSM），其中$n$是图的节点数.这特别适用于顺从图，例如是格的有限子集的图。我们的证明是基于相关的分拆函数的一个特定的图形多项式表示。这种表示是插值方法本身所基于的多项式时间算法设计的核心。我们猜想，我们的结果适用于所有的，而不仅仅是顺从的图。
2020-12-01 cs.DS math.CO math.PR
Monomial Complete Intersections, The Weak Lefschetz Property and Plane Partitions
我们刻画了满足弱Lefschetz性质（WLP）的三个变量的单项式完全交作为基场特征的函数。我们的结果提出了一个令人惊讶的，仍然combinatorially模糊的，与枚举的平面分区。事实证明，有理素数p除以包含在给定边a，b，c的任意盒子内的平面划分的数量M（a，b，c），正是那些合适的单项式完全相交（明确地构造为a，b，c的双射函数）不具有特征p的WLP的有理素数。我们想知道组合交换代数和划分理论之间的这种联系有多强大。我们提出了第一个结果，在这个方向上，通过推导，使用我们的代数技术的WLP，一些明确的信息，合理的素数划分M（a，b，c）。
2010-09-06 math.AC math.CO math.NT
A polynomiality property for Littlewood-Richardson coefficients
我们给出了Littlewood-Richardson系数c_{λμ} ^v的多项式性质。在矢量分拆函数的腔室复合体的锥上，系数由λ、μ和ν的多项式给出。我们给出了多项式次数的界，它取决于分区λ、μ和ν的最大允许部分数。我们首先将Littlewood-Richardson系数表示为向量分拆函数。然后，我们定义了一个超平面安排从斯坦伯格的公式，在其区域的Littlewood-Richardson系数由多项式给出，并将这种安排的室复杂的分拆函数。作为一个简单的推论，我们得到了c_{NλNμ} ^{Nν}由N中的多项式给出的一个新的证明，这部分地建立了King，Tollu和Toumazet关于c_{NλNμ} ^{Nν}是N中具有非负有理系数的多项式的猜想.
2003-08-16 math.CO math.RT
An improved upper bound on the diameters of subset partition graphs
1992年Kalai和Kleitman证明了凸多面体直径的第一个次指数上界。Eisenbrand等人证明了这一界限对连通层族成立，这是一种分析多面体直径的新方法。最近，Todd将多面体的Kalai-Kleitman界改进为$(n-d)^{1+\log_2d}$。本文证明了满足连通层族的连通性性质的子集划分图的直径的一个类似的上界。
2014-12-18 math.CO math.OC
Chain Decompositions of $q,t$-Catalan Numbers via Local Chains
$q,t$ -Catalan数$\mathrm{Cat}_n(q,t)$通过dinv和外部区域统计来枚举包含在$n\times n$三角形中的整数分区。论文[LLL 18（Lee，Li，Loehr，SIAM J. Discrete Math.32（2018））]提出了一种基于将所有整数划分的集合分解为无限链来理解对称性$\mathrm{Cat}_n(q,t)=\mathrm{Cat}_n(t,q)$的新方法。每个这样的全局链$\mathcal{C}_μ$都有一个相反的链$\mathcal{C}_{μ^*}$ ;这些链结合起来，得到一个新的$\mathrm{Cat}_n(q,t)$小片段，它在$q$和$t$中是对称的。在这里，我们通过开发一种新的通用方法来推进[LLL 18]的议程，该方法用于从称为本地链的较小元素构建全局链$\mathcal{C}_μ$。我们定义了一个局部的相反的性质，本地链，这意味着所需的相反的性质的全球链。与相应的全局属性相比，此局部属性在特定情况下更容易验证。我们应用这种机制来构建所有的全球链的分区赤字最多$11$。这证明了对于所有$n$，$\mathrm{Cat}_n(q,t)$中次数至少为$\binom{n}{2}-11$的项在$q$和$t$中是对称的。
2020-03-09 math.CO
Aldous property for full-flag Johnson graphs
Nanyang Technological University（南洋理工大学）
研究证明全标志乔纳森图的谱间隙与施雷耶商相同，验证了两个猜想并揭示了其阿劳斯型谱间隙现象。
2026-03-11 math.CO
On Barnette's Conjecture and $H^{+-}$ property
Barnette的一个猜想指出，每个3-连通三次二部平面图都有一个Hamilton圈，这等价于每个简单的偶数平面三角剖分允许其顶点集划分为两个子集，使得每个子集都导出一棵树。设$G$是一个简单的偶平面三角剖分，并假定${V_1, V_2, V_3}$是$G$的顶点集的3-着色.令$B_{i}$，$i = 1, 2, 3$，是度至少为6的$V_i$中所有顶点的集合。证明了如果诱导图$G[B_1 \cup B_2]$和$G[B_1 \cup B_3]$是无圈的，则满足以下性质：[6pt]（1）对于每条路径$abc$，有可能将$G$的顶点集划分为两个子集，使得每个子集都导出一棵树，其中一个子集包含边$ab$并避免顶点$c$，[6pt]（2）对于每条具有顶点$a$的路径$abc$，$G$的顶点集有可能划分成两个子集，使每个诱导树，其中一个包含路径$abc$。
2012-08-21 math.CO
Non-crossing linked partitions and multiplication of free random variables
材料给出了一个新的组合证明的乘法性质的S-变换。特别是，它的逆的系数的几个属性连接到非交叉链接分区和平面树。
2009-01-26 math.CO math.OA
Tree-Partitions with Small Bounded Degree Trees
本文研究了图的树划分问题，证明了在树宽为$k$、最大度为$Δ$的图中，不仅存在部分大小为$O(kΔ)$的树划分，还能保证底层树的最大度为$O(Δ)$且顶点数为$O(|V(G)|/k)$。
2023-07-28 math.CO
Partitions of an Eulerian Digraph into Circuits
本文研究连通欧拉有向图的消去性质，通过碎片堆理论给出替代证明，将马丁多项式与交图色多项式关联，并应用于推导Harary-Sachs定理。
2025-02-27 math.CO
Planar binary trees, noncrossing partitions and the operator-valued S-transform
本文通过平面二叉树与非交叉划分的双射，在算子值框架下重新证明了Voiculescu S-变换的扭曲乘性性质。
2024-10-20 math.CO math.PR
Perfect matching cuts partitioning a graph into complementary subgraphs
在划分成互补子图（Comp-Sub）中，我们给出了一个图$G=(V,E)$和一个边集性质$Π$，并问对于某个图$H$，$G$是否可以分解成两个图$H$和它的补图$\overline{H}$，使得边割$[V(H),V(\overline{H})]$满足性质$Π$ .出于以前的工作，我们认为Comp-Sub（$Π$）时，属性$Π=\mathcal{PM}$指定的边缘切割的分解是一个完美的匹配。证明了当图$G$是$\{C_{k\geq 7}, \overline{C}_{k\geq 7} \}$ -free时，Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）是GI-难的.另一方面，我们证明了Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）在$hole$ -free图和$P_5$ -free图上是多项式时间可解的.此外，我们提出了弦，距离遗传和扩展的$P_4$ -载货图的Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）的特征。
2022-10-13 cs.DS math.CO
On combinatorial problem concerning partitions of a box into boxes
我们考虑将R^n中的n维盒子划分成有限个内部两两不相交的盒子。研究了具有性质（W_n）的集合X \subseteq（0，\infty）：对任意n维盒P和P的任意划分，如果每个组成盒都有一条边长属于X，则P的一条边长属于X.证明了集合X \subseteq（0，\infty）具有性质（W_n）当且仅当X关于运算x+y和x+y+z-2 min（x，y，z）是闭的.
2006-11-28 math.CO math.MG
Monochromatic trees in random graphs
Bal和DeBiasio [Partitioning random graphs into monochromatic components，Electron. J. Combin. 24（2017），Paper 1.18]提出了一个关于图$G$的下列Ramsey型性质的阈值的猜想：$G$的边集的每个$k$ -着色产生$k$成对顶点不相交的单色树，该树划分$G$的整个顶点集。我们确定阈值为两种颜色的这个属性。
2017-10-30 math.CO
Hook length property of $d$-complete posets via $q$-integrals
$d$ -完全偏序集的钩长公式表明，它们的$P$ -划分生成函数由钩长的乘积给出。利用$q$ -积分给出了钩长公式的一个新证明。证明是通过由两个步骤组成的个案分析来完成的。首先，我们表示的$P$ -分区生成函数的每一种情况下，作为一个$q$ -积分，然后我们评估的$q$ -积分。用部分分式展开恒等式计算了几个$q$ -积分，并用计算机验证了其它几个积分.
2019-02-15 math.CA math.CO
Clique-Stable Set separation in perfect graphs with no balanced skew-partitions
受Yannakakis关于完美图的顶点填充多面体问题的启发，本文研究了完美图的一个非遗传子类的顶点稳定集分离问题。G的割（B，W）（V（G）的二分划）分离团K和稳定集S，如果$K\subseteq B$和$S\subseteq W$ .一个团稳定集分离子是一个割族，使得对于每个团K，以及对于每个与K不相交的稳定集S，在这个族中存在一个分离K和S的割。给定一个图类，问题是要知道是否每一个图类允许一个C-稳定集分离器只包含多项式许多削减。它对所有图的类是开放的，也对完美图是开放的，这是Yannakakis的原始问题。本文研究了不具有平衡斜划分的完美图，平衡斜划分是在强完美图定理的证明中引入的。最近，Chudnovsky，Trotignon，Trunck和Vuskovic证明了禁止这种不友好的分解允许使用2-连接和补2-连接递归分解Berge图，直到达到基本图，并且他们发现了一种有效的组合算法来着色这些图。利用2-join在这一性质上的良好行为，我们应用他们的分解结果证明了没有平衡斜划分的完美图允许二次大小的Cx-Stable集分离子.然后我们推广了这个结果，并证明了强Erdos-Hajnal性质在这类图中成立，这意味着每个这样的图都有一个线性大小的biclique或补biclique。这个性质并不适用于所有的完美图（Fox 2006），而且当强Erdos-Hajnal性质在一个遗传类的…
2016-02-15 cs.DM math.CO
Unfriendly or weakly unfriendly partitions of graphs
对于每个无限基数$κ$和每个图$G=(V,E)$，我们说一个划分$π:V\rightarrow \left\{ 0,1\right\} $是$κ$ -不友好的，如果对于每个$x\in V$，$\left| \left\{ y\in V\mid \left\{ x,y\right\} \in E\text{ and }π(y)\neq π(x)\right\} \right| $是$\geq \left| \left\{ y\in V\mid \left\{ x,y\right\} \in E\text{ and }π(y)=π(x)\right\} \right| $或$\geq κ$ ; $π$是不友好的，如果第一个属性对每个$x\in V$为真。S. Shelah和E.C.米尔纳，但目前还不知道，如果可数图没有不友好的分区存在。我们证明了，对于每个整数$n$，每个图的无限小度有一个$ω_{n}$ -不友好的分区。我们还证明了以下性质是等价的：（i）每个图都有$ω$ -不友好划分;（ii）每个可数图都有不友好划分;（iii）每个不含无限最小度的非空导出子图的可数图都有不友好划分（实际上考虑更小的一类图就足够了）。
2014-02-01 math.CO
Hereditary properties of partitions, ordered graphs and ordered hypergraphs
本文利用Klazar-Marcus-Tardos方法证明了：如果划分P的一个遗传性质具有超指数速度，则对每个k-置换pi，P包含[2k]的部分为{i，pi（i）+ k}的划分，其中1 <= i <= k.我们还证明了一个类似的跳跃，从指数阶乘，在可能的速度单调性能的有序图，和遗传特性的有序图不包含大的完整的，或完整的二分有序图。我们的结果推广了Stanley-Wilf关于避免固定排列的n-排列数的猜想，该猜想最近被Klazar和Marcus和Tardos的组合结果所证明.我们的主要结果如下从一个推广到有序超图的马库斯和塔尔多斯定理。
2007-02-13 math.CO
Some weak indivisibility results in ultrahomogeneous metric spaces
研究了整数和有理Urysohn度量空间的一个划分性质弱不可分性的有效性。我们还比较弱不可分的另一个分区属性，称为年龄不可分性，并提供了一个例子，可数超齐次度量空间可能是年龄不可分的，但不是弱不可分的。
2014-01-06 math.CO math.MG
Covering arrays on graphs: qualitative independence graphs and extremal set partition theory
本文主要研究覆盖数组的推广，覆盖数组在图上的推广。Z_k^n中的两个向量v，w是定性独立的，如果对Z_k x Z_k中的所有序偶（a，b），向量中存在位置i，其中（a，b）=（v_i，w_i）。覆盖数组是一个具有任何一对行是定性独立的性质的数组。图的覆盖数组是指图的每个顶点都有一行的数组，且具有这样的性质：对应于邻顶点的任意两行是定性独立的。在覆盖数组中添加图结构使得使用图论的方法来研究这些设计成为可能。在这篇论文中，我们定义了一类图，称为定性独立图。一个图有给定参数的覆盖阵列，当且仅当存在从该图到一个特定的定性独立图的同态。定性独立图中的团与覆盖数组有关，独立集与相交划分系统有关。已知最优二元覆盖阵列的确切大小可以使用Sperner定理和Erdos-Ko-Rado定理来确定。由于一般覆盖阵列的行对应于集合划分，我们给出了Sperner定理和Erdos-Ko-Rado定理在集合划分系统中的推广。我们还考虑了一般定性独立图的一个子图，称为一致定性独立图。我们给出了这些图中的几个图的谱，并猜想它们是一个关联图。我们还给出了一个新的覆盖阵列的结构，它产生了许多新的最佳覆盖阵列的大小的上界。
2007-01-19 math.CO
Minimal obstructions for a matrix partition problem in chordal graphs
如果$M$是$\{ 0, 1, \ast \}$上的$m \times m$矩阵，则图$G$的$M$ -分区是分区$(V_1, \dots V_m)$，使得如果$M_{ij} = 1$（$M_{ij} = 0$），则$V_i$与$V_j$完全相邻（不相邻），并且如果$M_{ij} = \ast$，则在$V_i$和$V_j$之间没有进一步的限制。具有$M$ -划分是一种遗传性质，因此它可以用一组最小障碍（具有不具有$M$ -划分的性质的最小禁止诱导子图）来表征。已知对于$3 \times 3$矩阵$M$ over $\{ 0, 1, \ast \}$，除了两个矩阵$M_1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \ast & \ast \\ \ast & 0 & 1 \\ \ast & 1 & 0 \end{array} \right)$和$M_2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \ast & \ast \\ \ast & 0 & 1 \\ \ast & 1 & 1 \end{array} \right)$之外，对于判定图是否允许$M$ -划分的问题，存在许多弦极小障碍.对于这两个矩阵，弦的最小障碍的无限族是已知的（对于两个矩阵是相同的族），但是最小障碍的完全集合不是。在这项工作中，我们提出了完整的家庭弦最小障碍$M_1$。
2020-04-02 cs.DM math.CO
Partitioning a graph into defensive k-alliances
图中的防御性$k$ -联盟是一个顶点集合$S$，它具有这样的性质：$S$中的每个顶点在$S$中的邻居至少比它在$S$之外的邻居多$k$。一个防御性的$k$ -联盟$S$称为全局的，如果它形成一个支配集。在本文中，我们研究的问题划分的顶点集的图（全球）防御$k$ -联盟。图$Γ=(V,E)$的（全局）防御$k$ -联盟划分数（$ψ_{k}^{gd}(Γ)$）$ψ_k^{d}(Γ)$定义为$V$的一个划分中使得每个集合是（全局）防御$k$ -联盟的最大集合数.我们得到了$ψ_k^{d}(Γ)$和$ψ_{k}^{gd}(Γ)$关于图的阶数、大小、最大度、最小度、代数连通度和等周数的紧界.此外，我们还研究了存在于$Γ_1\times Γ_2$划分成（全球）防御性$(k_1+k_2)$ -联盟和$Γ_i$划分成（全球）防御性$k_i$ -联盟，$i\in \{1,2\}$之间的密切关系。
2010-07-28 math.CO
Permutation groups, partition lattices and block structures
本文研究置换群、划分格与块结构的性质，探讨具有OB和PB性质的群及其在wreath积中的嵌入问题。
2025-10-19 math.CO math.GR math.ST
Tree-partitions of graphs with given pathwidth
School of Mathematics, Monash University（莫纳什大学数学学院）
本文证明具有有界路径宽和有界最大度的图存在有界宽的树划分，且底层树具有有界路径宽，并给出下界表明该路径宽界在常数因子内最优。
2026-05-27 cs.DM math.CO
On 2-colored graphs and partitions of boxes
证明了如果图G的边可以着色为蓝色或红色，且每个顶点都属于每种颜色的单色k-团，则G至少有4（k-1）个顶点。这证实了Bucic、Lidicky、Long和Wagner（arXiv：1805.11278[math.CO]）的一个猜想，从而解决了他们关于具有k-穿透性质的离散盒的划分问题的二维情况。我们还描述了平等的情况下，我们的结果。
2018-10-21 cs.DM math.CO
Flow-Partitionable Signed Graphs
相关聚类的NP-难问题是对一个有符号图进行划分，使得划分与图的签名之间的冲突最小化。本文研究了图签名，使最佳划分被有效地发现。我们定义了一类流可划分的符号图，它具有的属性，即标准的线性规划放松的基础上所谓的循环不等式是紧的。换句话说，流可划分的有符号图在最小多割的相关实例中满足精确的max-multiflow-min-multicut关系。在这项工作中，我们提出的特征流可分割的符号图的禁止未成年人。我们的初步结果包括两个无限类的禁止子，这是充分的，如果积极的子图是一个电路或一棵树。对于一般情况下，我们提出了另一个禁止未成年人，并指出一个连接到理想杂波理论中的开放问题。
2020-05-04 cs.DM math.CO
A symmetric Bloch-Okounkov theorem
所谓的移位对称函数在划分上的代数具有这样的性质，即对于所有元素，称为$q$ -括号的某个生成级数是拟模形式。更一般地说，如果一个分次代数$A$的功能分区有性质的$q$ -括号的每一个元素是一个准模形式相同的重量，我们称之为$A$准模代数。引入了一种新的拟模代数，它由部分大小和重数的对称多项式组成。
2021-03-16 math.AG math.CO math.NT
The stochastic block model has the overlap graph property for modularity
University of North Carolina, Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）；MIT Sloan School of Management（麻省理工学院斯隆管理学院）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文研究了随机块模型中基于模ularity的局部算法理论极限，证明了模ularity在该模型中具有重叠图性质，排除了基于模ularity的局部算法在恢复社区结构上的可行性，并展示了相关马尔可夫链的缓慢混合时间。
2026-05-11 cs.CC cs.DS math.CO
Mixed partition functions and exponentially bounded edge-connection rank
我们研究图参数，其相关的边连接矩阵具有指数有界的秩增长。我们的主要结果是一个明确的建设一大类图参数与此属性，我们称之为混合分拆函数。混合分拆函数可以被看作顶点模型的分拆函数的推广，如de la Harpe和Jones所介绍的[P.de la Harpe，V.F.R. Jones，Graph invariants related to statistical mechanical models：examples and problems，Journal of Combinatorial Theory，Series B 57（1993）207- 227]，它们与正交辛超群的不变量理论有关。此外，我们表明，一个单图的特征多项式的评价是混合分拆函数的例子，回答一个问题的德拉Harpe和琼斯。
2020-06-15 math-ph math.CO math.MP
Linearity Property of Unique Colourings in Random Graphs
本文推广了随机图中的无冲突与单射着色，提出唯一着色概念，利用顶点划分和概率方法证明所需最小颜色数随唯一性参数线性增长，并论证邻域无界性对线性性质的影响。
2023-11-20 math.CO math.PR
Spot-Based Generations for Meta-Fibonacci Sequences
对于许多元斐波那契序列，可以将序列划分为连续的区间（有时称为块），并且序列在每个块中的行为“相似”。这种划分提供了对序列性质的了解。到目前为止，对于任何给定的序列，只有特别的方法可用于识别此分区。我们应用一个新的概念-现场为基础的生成序列-推导出一个通用的方法来确定这个分区的一个大类的元斐波那契序列。这个类别包括康诺利和康威序列以及它们的许多行为良好的变体，甚至包括一些高度混沌的序列，如霍夫施塔特著名的Q序列。
2011-05-09 math.CO math.NT
