Local Bounded Commuting Projection Operators for Discrete Gradgrad Complexes
本文针对二维和三维 gradgrad 复形的离散子复形，提出局部有界交换投影的构造方法，并将 de Rham 情形推广至其他离散复形，为相关有限元理论及新复形设计提供依据。
2023-04-23 cs.NA math.NA
Nonstandard finite element de Rham complexes on cubical meshes
University of Arizona（亚利桑那大学）；University of Oslo（奥斯陆大学）
本文提出两种操作构建非标准收敛方法，通过DoF转移和serendipity操作生成Hermite、Adini及trimmed-Adini元素，提供更强正则性问题的非匹配收敛方法并满足离散Korn不等式。
2018-04-12 cs.NA math.NA
H1-conforming finite element cochain complexes and commuting quasi-interpolation operators on cartesian meshes
基于H 1-内积，给出了任意维笛卡尔网格上的有限元上链复形。给出了外导数在H1中的H1-协调有限元空间。我们使用一个张量积的建设，以获得L2-稳定的投影到这些空间的交换与外导数。将有限元复形推广到任意阶的一族。
2020-10-01 cs.NA math.NA
Serendipity discrete complexes with enhanced regularity
本文提出一种抽象构造，用于生成具有增强正则性的偶然离散复形，并据此设计出新的 rot-rot 与 Stokes 复形版本。
2024-07-17 cs.NA math.NA
Higher-order finite element de Rham complexes on sparse grids
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学科学学院）
本文首次在稀疏网格上构造高阶有限元 de Rham 复形，结合 Alpert 多小波与积分对应物，建立可交换插值、误差界、正合性及稳定离散势，并通过 curl-curl 和 Maxwell 特征值实验验证其有效性。
2026-09-24 cs.NA math.NA
Finite Element Complexes in Two Dimensions
本文系统构造了二维多种光滑度的有限元复形，基于非重叠分解和 Bernstein 基，并利用 BGG 框架推导弹性与 divdiv 复形，为首次系统性工作。
2024-07-21 cs.NA math.NA
ReLU$^k$ Neural de Rham Complexes
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Applied Mathematics and Computational Science, CEMSE Division, King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学CEMSE学院应用数学与计算科学）
研究构建由固定神经元浅层ReLU$^k$神经网络生成的有限维德拉姆子复形，引入神经微分形式空间，在特定假设下证明其正合性并给出线性独立条件，数值实验验证了稳定离散化及收敛率等。
2026-07-27 cs.NA math.NA
Bounded commuting projections for multipatch spaces with non-matching interfaces
本文针对具有非匹配界面的二维多片空间，构造了在任意 L^p 范数下局部且稳定的 de Rham 序列交换投影算子，并通过 broken-FEEC 方法保证全局相容性与交换性。
2023-05-29 cs.NA math.DG math.NA
An exterior calculus framework for polytopal methods
本研究提出首个微分形式多面体复形，结合离散德拉姆与虚拟单元法思路构建通用多面体网格上的离散德拉姆复形，证明其交换性、多项式一致性及上同调同构性，构造比有限元法更精简。
2025-01-18 cs.NA math.NA
On Bogovski\uı and regularized Poincaré integral operators for de Rham complexes on Lipschitz domains
研究正则化Poincaré路径积分及其伴随算子（推广Bogovski\uı积分算子）在微分形式上的性质，证明其为-1阶伪微分算子，并应用于Lipschitz域上de Rham复形的正则性和上同调表示。
2009-03-30 cs.NA math.AP math.NA
Towards finite element exterior calculus on manifolds: commuting projections, geometric variational crimes, and approximation errors
本文综述流形上有限元外微积分的误差分析，提出一致有界交换投影、几何变分犯罪估计及基于修正插值的逼近误差界，为固有有限元方法提供理论框架。
2023-12-31 cs.NA math.NA
Cohomology of Finite Element Stokes Complexes on Alfeld Splits
University of Oxford（牛津大学）；U.S. Naval Research Laboratory（美国海军研究实验室）
证明 Alfeld 剖分上分段多项式有限元 Stokes 复形的上同调与连续 Stokes 和 de Rham 复形的上同调同构，并构造具有同构上同调的最小协调有限元复形及其局部有界上链投影。
2026-05-29 cs.NA math.NA
Approximation properties of double complexes
University of Bergen（卑尔根大学）；NORCE Norwegian Research Center AS（挪威NORCE研究中心）；BI Norwegian Business School（挪威BI商业学院）
研究双复复形的近似性质，通过构建有界余链复形量化两种复形间的接近程度，并推导前后误差估计。
2026-04-15 cs.NA math.AP math.NA
Bounded Poincaré operators for twisted and BGG complexes
Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学系）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
该研究在有界Lipschitz区域上构造了扭复形与BGG复形的有界庞加莱算子，推导自de Rham版本，满足同伦恒等式且保持多项式类，丰富了相关复形的算子理论。
2023-11-16 cs.NA math.AP math.FA
A systematic construction of finite element commuting exact sequences
University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文系统地构造了有限元精确序列，并揭示了不同多面体元素的新精确序列家族。
2016-04-30 cs.NA math.NA
Distributional Hessian and divdiv complexes on triangulation and cohomology
本文在 2D 和 3D 三角剖分上构造了 Hessian 和 divdiv 复形的离散版本，推广了 Whitney 形式与 Regge 有限元，并证明其上同调同构于连续版本及带系数的 de Rham 上同调。
2023-11-27 cs.NA math.DG math.NA
Complexes from Complexes: Finite Element Complexes in Three Dimensions
本文基于BGG框架，通过约化与增广运算，系统构造三维有限元Hessian、弹性及divdiv复形，为PDE求解提供有效框架。
2025-02-27 cs.NA math.NA
Complexes of Discrete Distributional Differential Forms and their Homology Theory
University of Oslo（奥斯陆大学）
本文引入离散分布微分形式复形到有限元外算术中，推广了Braess和Schöberl的概念，并证明了有限元外算术复形的上同调群同构于de Rham上同调群。
2015-09-08 cs.NA math.NA
Bounded, Commuting, Discrete-trace Preserving Projections
Inria Paris（法国国家信息与自动化研究所巴黎分部）；Division of Applied Mathematics, Brown University（布朗大学应用数学系）
本文提出了一种有界、交换且保持迹的投影，用于三维de Rham复形，该投影在适当迹空间中保持函数/场的迹。投影在局部定义且在图范数下稳定，应用于构造稳定的分段多项式数据提升及离散与连续扩展的最优性结果。
2026-04-30 cs.NA math.NA
Orthogonal polynomials for the de Rham complex on the disk and cylinder
Imperial College London（帝国理工学院）
本文构建了捕捉圆盘和圆柱（周期性和有限性）de Rham复形结构的多项式基，通过旋转对称性保持边界条件，利用向量和矩阵正交多项式构造新的正交多项式，其梯度与旋度与Zernike多项式相关联。
2026-03-24 cs.NA math.NA
A discrete elasticity complex on three-dimensional Alfeld splits
在四面体的Alfeld分裂上构造协调有限元弹性复形。复体由向量场和对称张量场组成，分别通过线性化变形算子、线性化曲率算子和发散算子相互连接。该结构是基于一个代数机器，从de~Rham复合体和更平滑的有限元微分形式导出弹性复合体。
2020-09-16 cs.NA math.NA
Smoothed Projections over Weakly Lipschitz Domains
University of Oslo（奥斯陆大学）
本文发展了弱利普希茨域上的有限元外微分形式 calculus，构造了从 $L^p$ de Rham 复合体到有限元 de Rham 复合体的交换投影，扩展了有限元微分形式理论至非强利普希茨的多面体域。
2016-12-08 cs.NA math.NA
Complexes from complexes
本文讨论了由微分方程中的各种问题所产生的微分复形的导出及其性质，并在连续介质力学、相对论和其他领域中得到应用。我们提出了一个系统的程序，从众所周知的微分复杂，如德拉姆复杂，推导出新的复合物，并推导出新的复合物的性质从旧的。我们与输出复形的上同调的输入复形，并表明，新的复杂的封闭范围，因此，满足霍奇分解，庞加莱型不等式，适定的Hodge-Laplacian边值问题，经常分解，一般Lipschitz域上的紧性。
2021-01-26 cs.NA math.AP math.NA
Pressure-robust optimally convergent H(div) finite element method without the commuting diagram property for the steady Oseen equations
School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University（山东师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Qilu University of Technology (Shandong Academy of Sciences)（齐鲁工业大学（山东省科学院）数学与统计学院）
本文提出一种压力鲁棒的H(div)有限元方法，用于稳态Oseen方程，通过涡量稳定化实现最优收敛，无需交换图性质。
2025-11-27 cs.NA math.NA
Smoothed Projections and Mixed Boundary Conditions
UCSD（加州大学圣地亚哥分校）
本文引入混合边界条件到有限元外微积分中，构造了从Sobolev de Rham复形到有限元de Rham复形的平滑投影，保持均匀边界条件并具有统一界。
2017-10-18 cs.NA math.AP math.NA
Differential complexes and numerical stability
本文阐述微分复形在偏微分方程数值方法设计中的关键作用，强调离散微分复形对实现稳定离散化的重要性，并指出该几何视角为创新方法提供统一理解及攻克难题的潜力。
2002-12-01 cs.NA math.NA
A posteriori error estimates for finite element exterior calculus: The de Rham complex
University of Kentucky（肯塔基大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
针对de Rham复形中的Hodge-Laplace问题，提出基于残差的后验误差估计，统一处理各种Hodge-Laplace问题，并考虑调和形式及其近似的影响。
2012-12-18 cs.NA math.NA
The Hodge Laplacian on Axisymmetric Domains and its Discretization
本文利用加权函数空间中的傅里叶有限元方法，研究了轴对称区域上具有一般数据的抽象Hodge Laplacian的混合形式。封闭的Hilbert复形和交换投影仪通过最近推出的一般轴对称问题的有限元空间的家庭使用。为了得到离散混合公式的稳定性结果和误差估计，我们构造了可应用于低正则性函数的交换投影。
2020-06-19 cs.NA math.NA
Finite element spaces by Whitney k-forms on cubical meshes
本研究提出了n维实数空间中立方体网格上基于Whitney k-形式的有限元空间，以此实现HΛ^k问题的相容离散化，构造出离散de Rham复形与交换图。
2024-12-10 cs.NA math.NA
Locally-verifiable sufficient conditions for exactness of the hierarchical B-spline discrete de Rham complex in $\mathbb{R}^n$
给定一个域$Ω\subset \mathbb{R}^n$，在研究定义在$Ω$上的电磁学和流体力学问题时，微分形式的de Rham复形会自然出现，它的离散化有助于为这类问题建立稳定的数值方法。为了构造这种稳定的方法，一个关键的要求是确保离散子复形与连续复形上同调等价。当$Ω$是超立方体时，我们要求离散子复形是精确的。针对这类$Ω$，我们从理论上分析了由分级B样条微分形式构造的离散de Rham复形，即，离散微分形式是平滑样条，并且支持自适应细化这些特性是实现精确和有效的数值模拟的关键。我们提供了本地可验证的充分条件，确保离散样条复杂的是准确的。数值试验支持的理论结果，讨论的例子包括复杂的，满足我们规定的条件，以及那些违反这些条件。
2022-09-03 cs.NA math.AT math.DG
Harmonic potentials in the de Rham complex
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik（马普等离子体物理研究所）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文提出了一种基于curl-curl问题的构造方法，用于在具有隧道的域中求解切向调和场的向量势，通过非均匀边界条件和同调群理论，实现了离散调和场的精确参数化。
2026-08-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Simple curl-curl-conforming finite elements in two dimensions
我们构造了二维光滑有限元de Rham复形。这导致了三个卷曲-卷曲协调有限元族，其中两个包含两个现有族。最简单的三角形和矩形有限元分别只有6和8个自由度。数值实验表明，每一个家庭的收敛性和效率的元素解决quad-curl问题。
2021-09-06 cs.NA math.NA
Constrained and unconstrained stable discrete minimizations for p-robust local reconstructions in vertex patches in the de Rham complex
本文分析了四面体顶点面片上的约束与无约束最小化问题，证明 p 次分片多项式空间中的离散最小化解与无限维 Sobolev 空间中的解同样好且差异与 p 无关，关键贡献是处理了 H(curl) 框架，从而在单一设定下覆盖三维 De Rham 图，助力有限元方法的设计与误差估计。
2024-07-26 cs.NA math.AP math.NA
Analytical properties of polygonal Stokes and BGG Hessian complexes with application to Kirchhoff--Love plates
IMAG, Univ. Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）；School of Mathematics, Monash University（莫纳什大学数学学院）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
针对多边形网格上的Kirchhoff--Love板问题，提出基于BGG构造的离散Hessian复形任意阶方法，建立一致性与Poincaré不等式，证明其强制性与k+1阶收敛，数值实验验证理论。
2026-09-10 cs.NA math.NA
Poincare-Friedrichs Type Constants for Operators Involving grad, curl, and div: Theory and Numerical Experiments
我们给出了拉普拉斯和麦克斯韦常数的一些理论和计算结果。除了经典的de Rham复形，我们还利用Hilbert复形的广义泛函分析概念研究了弹性复形和与双调和方程和广义相对论有关的复形。考虑任意拓扑的混合边界条件和有界Lipschitz域。我们的数值方面通过二维和三维de Rham复形的例子来展示，这不仅证实了我们的理论发现，而且还表明了一些有趣的猜想。
2020-01-12 cs.NA math.AP math.FA
Rust Implementation of Finite Element Exterior Calculus on Coordinate-Free Simplicial Complexes
本论文开发了一个基于有限元外微积分的Rust库，用于在任意维无坐标单纯复形上求解Hodge-Laplace问题，采用Regge度量与一阶Whitney基函数，并通过收敛性研究部分验证。
2025-06-18 cs.NA math.AP math.AT
Partially discontinuous nodal finite elements for $H(\mathrm{curl})$ and $H(\mathrm{div})$
本文研究了$H(\mathrm{curl})$和$H(\mathrm{div})$在二维和三维空间中的部分不连续节点有限元离散化问题，在某些方向上具有不连续性的向量值拉格朗日有限元。这些空间可以实现为连续和不连续Lagrange元的组合，并适合于de~Rham复形。我们构造了条件良好的节点基。
2022-03-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A broken FEEC framework for electromagnetic problems on mapped multipatch domains
本文提出了映射多面体域上偏微分方程的保结构逼近框架，将经典的有限元外演算（FEEC）理论推广到离散的de Rham序列，完全不连续地穿过贴片接口。遵循[http：//dx.doi.org/10.1090/mcom/3079，arXiv：2109.02553]中开发的符合/不符合Galerkin（CONGA）方案，我们的方法基于：（i）用稳定的可换投影算子识别相容离散de Rham序列，（ii）放松面片之间的连续性约束，（iii）构造映射回相容子空间的相容投影，允许在断开的序列上定义离散的微分。该框架结合了符合FEEC离散化（例如，交换投影，离散对偶和Hodge-Helmholtz分解）的数据局部性和实现简单的内部惩罚方法的不连续Galerkin离散化的优点。我们将其应用到几个初始和边值问题，以及电磁学中出现的本征值问题。在每种情况下，我们的配方被证明是良好的，由于适当的稳定跨越接口的跳跃，解决方案是非常强大的稳定参数。最后，我们描述了一个建设使用张量积样条映射的Carnival补丁，我们详细介绍了相关的矩阵运算符。我们的数值实验证实了这种离散框架的准确性和稳定性，它们使我们能够验证预期的结构保持特性，如发散或谐波约束，尊重浮点精度。
2022-10-07 cs.NA math.NA physics.comp-ph
