arXiv 2303.077802023-03math.APnlin.CDphysics.flu-dyn

分数阶三维Navier-Stokes方程中的相变

Phase transitions in the fractional three-dimensional Navier-Stokes equations

Daniel W. Boutros, John D. Gibbon

备注：: 27 pages
DOI：: 10.1088/1361-6544/ad25be

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AI总结：

本文研究周期域上分数阶三维Navier-Stokes方程，识别出指数s的四个临界值，并证明在这些临界值处解的正则性、局部能量平衡和弱解时间平均层级等函数性质发生相变。

摘要：

周期域 $[0,\\,L]^{3}$ 上的分数阶Navier-Stokes方程与常规方程的区别在于将 $-νΔ\mathbf{u}$ 拉普拉斯项替换为 $ν_{s}A^{s}\mathbf{u}$，其中 $A= - Δ$ 是Stokes算子，$ν_{s} = νL^{2(s-1)}$ 是粘性参数。已经确定了指数 $s\geq 0$ 的四个临界值，在这些临界值处分数阶Navier-Stokes方程解的函数性质发生变化。这些值为：$s=\frac{1}{3}$；$s=\frac{3}{4}$；$s=\frac{5}{6}$ 和 $s=\frac{5}{4}$。特别是：i) 对于 $s > \frac{1}{3}$，我们证明了Prodi-Serrin正则性准则之一的类似物；ii) 对于 $s \geq \frac{3}{4}$，我们找到了局部能量平衡方程；iii) 对于 $s > \frac{5}{6}$，我们找到了弱解时间平均的无穷层级。对于 $s > \frac{1}{3}$ 的Prodi-Serrin准则类似物的存在表明，在 $0 < s < \frac{1}{3}$ 范围内使用具有正则时段的Hölder连续解的凸积分构造具有尖锐性。

英文摘要：

The fractional Navier-Stokes equations on a periodic domain $[0,\,L]^{3}$ differ from their conventional counterpart by the replacement of the $-νΔ\mathbf{u}$ Laplacian term by $ν_{s}A^{s}\mathbf{u}$, where $A= - Δ$ is the Stokes operator and $ν_{s} = νL^{2(s-1)}$ is the viscosity parameter. Four critical values of the exponent $s\geq 0$ have been identified where functional properties of solutions of the fractional Navier-Stokes equations change. These values are: $s=\frac{1}{3}$; $s=\frac{3}{4}$; $s=\frac{5}{6}$ and $s=\frac{5}{4}$. In particular: i) for $s > \frac{1}{3}$ we prove an analogue of one of the Prodi-Serrin regularity criteria; ii) for $s \geq \frac{3}{4}$ we find an equation of local energy balance and; iii) for $s > \frac{5}{6}$ we find an infinite hierarchy of weak solution time averages. The existence of our analogue of the Prodi-Serrin criterion for $s > \frac{1}{3}$ suggests the sharpness of the construction using convex integration of Hölder continuous solutions with epochs of regularity in the range $0 < s < \frac{1}{3}$.

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