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重尾平衡Fokker-Planck方程的分数阶扩散：任意维度下的à la Koch谱方法

Fractional diffusion for Fokker-Planck equation with heavy tail equilibrium: an à la Koch spectral method in any dimension

Dahmane Dechicha, Marjolaine Puel

备注：
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发表信息：
Asymptotic Analysis, vol. 136, no. 2, pp. 79-132, 2024
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AI总结：

本文将一维谱方法推广至任意维度d≥1，构造具重尾平衡态的Fokker-Planck算子特征解，获含分数阶拉普拉斯算子的动力学Fokker-Planck方程分数阶扩散极限。

摘要：

本文将[Dechicha和Puel，2023]提出的谱方法推广至任意维度d≥1，以构造具有重尾平衡态（形式为(1+|v|²)^(-β/2)，β∈]d,d+4[）的Fokker-Planck算子的特征解。一维方法受H. Koch关于非线性KdV方程的工作[Koch，Nonlinearity，2015]启发。本文策略与一维相同，但工具不同，因一维基于常微分方程方法。作为构造的直接结果，我们得到动力学Fokker-Planck方程的分数阶扩散极限，对应正确密度ρ:=∫_{ℝ^d}f dv，含分数阶拉普拉斯算子κ(-Δ_x)^((β-d+2)/6)及正扩散系数κ。

英文摘要：

In this paper, we extend the spectral method developed [Dechicha and Puel, 2023] to any dimension $d\geqslant 1$, in order to construct an eigen-solution for the Fokker-Planck operator with heavy tail equilibria, of the form $(1+|v|^2)^{-\fracβ{2}}$, in the range $β\in ]d,d+4[$. The method developed in dimension 1 was inspired by the work of H. Koch on nonlinear KdV equation [Koch, Nonlinearity, 2015]. The strategy in this paper is the same as in dimension 1 but the tools are different, since dimension 1 was based on ODE methods. As a direct consequence of our construction, we obtain the fractional diffusion limit for the kinetic Fokker-Planck equation, for the correct density $ρ:= \int_{\mathbb{R}^d} f \mathrm{d}v$, with a fractional Laplacian $κ(-Δ_x)^{\frac{β-d+2}{6}}$ and a positive diffusion coefficient $κ$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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