本专著结合 KAM 理论、Nash-Moser 迭代和伪微分演算，利用初始数据自然结构，在参数 $α\in (1,2)$ 下证明了广义 SQG 方程全局无奇点的拟周期斑块解的存在性，为拟线性偏微分方程全局动力学研究提供了新框架。
摘要：
本专著探讨了数学流体动力学中的一个重要问题：为某些拟线性演化方程构造稳定的长期解。我们实施了一套精细的方案，在不依赖外部参数的情况下构建全局拟周期解。我们利用初始数据的自然结构来生成稳定的解族，而非依赖人工外部参数。这种方法为研究拟线性偏微分方程的全局解提供了一个更稳健的框架。本书结合了 KAM 理论、Nash-Moser 迭代格式和伪微分演算的技术，并提供了超越特定 SQG 背景的工具，这些工具可能对其他演化方程有用。具体而言，我们在圆盘解的邻域内，针对参数范围 $α\in (1,2)$，证明了广义表面准地转方程（SQG）的拟周期斑块解的存在性。这些解在时间上是全局存在的，且不会产生奇点，从而解决了关于地球物理流体模型行为的一个重要问题。这项工作为标准微扰方法失效的数学挑战性领域中的全局动力学提供了新见解。本文开发的技术为数学物理中的其他演化方程提供了潜在应用，使其成为偏微分方程、流体动力学及相关领域研究人员的宝贵资源。
英文摘要：
This monograph addresses an important problem in mathematical fluid dynamics: constructing stable, long-term solutions to certain quasilinear evolution equations. We implement an elaborate scheme for building global quasiperiodic solutions without relying on external parameters. Instead of relying on artificial external parameters, we exploit the natural structure of initial data to generate families of stable solutions. This approach offers a more robust framework for studying global solutions of quasilinear PDEs.
The book combines techniques from KAM theory, a Nash-Moser iteration scheme, and pseudo-differential calculus, and provides tools that extend beyond the specific SQG context and may prove useful for other evolution equations.
Specifically, we establish the existence of quasiperiodic patch solutions for the generalized Surface Quasi-Geostrophic equation (SQG) across the parameter range $α\in (1,2)$, in a neighborhood of the disk solution. These solutions exist globally in time without developing singularities, addressing an important question about the behavior of geophysical fluid models. This work provides new insights into global dynamics in a mathematically challenging regime where standard perturbative methods are insufficient. The techniques developed here offer potential applications to other evolution equations in mathematical physics, making this a valuable resource for researchers in partial differential equations, fluid dynamics, and related fields.
Inviscid and fast rotation limit for dispersive generalized SQG equations
Indian Institute of Technology Jodhpur（印度理工学院乔德普尔分校）；Malviya National Institute of Technology Jaipur（马拉维亚国家技术学院斋浦尔）；National Institute of Technology Warangal（瓦朗加尔国家技术学院）
Remarks on well-posedness of the generalized surface quasi-geostrophic equation
本文研究了速度场表示为$u=K\astω$的广义表面准地转方程的Cauchy问题，其中$u=K\astω$是未知函数，$K(x)=\frac{x^\perp}{|x|^{2+2α}}, 0\leα\le \frac12.$当$α=0$为二维Euler方程时，它是二维Euler方程.当为$α=\frac 12$时，它对应于无粘SQG。证明了如果对某些$0<α_0\le\frac12$，广义SQG的光滑解的存在区间为$[0,T]$，则在相同的初始数据下，具有接近于$α_0$的$α$的广义SQG的存在区间将保持在$[0,T]$上.作为副产品，我们的结果意味着，与[Kiselev et al 2016]中提出的奇异性相比，用$α>0$构造广义SQG的柯西问题的光滑解的可能奇异性将是微妙的。为了证明我们的主要结果，我们将讨论这两个解之间的差别，同时讨论奇异积分的逼近。本文给出了PDMATHAMT关于奇异积分和交换子估计的一些新的一致估计。
Self-similar spirals for the generalized surface quasi-geostrophic equations
本文构造了广义表面准地转方程（gSQG）的一大类非平凡（非径向）自相似解。据我们所知，这是第一个严格的建设任何自相似的解决方案，这些方程。解是螺旋型的，局部可积的，并且可能有混合符号。此外，它们与Scott和Dritschel [R. K. Scott，D. G.德里切尔，Journal of Fluid Mechanics，863：R2，2019]在SQG补丁设置中。
