广义SQG方程的适定性与极限行为
On wellposedness and limiting behavior of generalized SQG equations
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中文总结 AI 辅助
本文研究二维广义SQG方程，证明当参数β接近β₀时，光滑解的存在区间保持一致，并发展了守恒律估计和一致有界的交换子估计，揭示了方程的适定性与极限行为。
中文摘要 AI 辅助
我们考虑 $\u211d^2$ 中的二维广义表面准地转方程，其形式为 $\u2202_t \u03b8 + u \u22c5 \u2207 \u03b8 = 0$，$u = -\u2207^{\u22a5} \u039b^{\u03b2-2} \u03b8$，其中 $\u03b2 \u2208 [1,2)$。当 $\u03b2 = 1$ 时，该方程即为SQG方程；当 $\u03b2 > 1$ 时，它定义了一族更奇异的活性标量方程。我们证明，若广义SQG方程在某个 $\u03b2_0 \u2208 [1,2)$ 下光滑解的存在区间为 $[0,T]$，则对于与 $\u03b2_0$ 足够接近的 $\u03b2$，广义SQG方程在相同初始数据下的存在区间也包含 $[0,T]$。为证明这些结果，我们针对广义SQG方程周围通量修正的守恒律发展了估计。此外，我们还证明了若干新的交换子估计，其界在 $\u03b2 \to 1$ 时一致有界，这些估计可能具有独立的研究价值。
英文摘要
We consider the two-dimensional generalized surface quasi-geostrophic equations in $\mathbb{R}^2$, given by \[\partial_t θ+u\cdot \nabla θ=0,\quad u=-\nabla^{\perp}Λ^{β-2}θ,\,β\in [1,2).\] When $β=1$, the equation defines the SQG equation and for $β>1$, it defines a family of more singular active scalar equations. We prove that if the interval of existence of the smooth solution to the generalized SQG equations for some $β_0\in[1,2)$ is $[0,T]$, then with the same initial data, the interval of existence of the generalized SQG equations for $β$ close to $β_0$ also contains $[0,T]$. To prove these results, we develop estimates for a conservation law with flux modified around the generalized SQG equations. Furthermore, we also prove some new commutator estimates with bounds uniformly bounded as $β\to 1$ that may be of independent interest.
发表机构
- Indian Institute of Technology Jodhpur（印度焦浦尔理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
