arXiv 2302.080032023-02math.NT

Piltz除数问题中误差项的符号变化

Sign changes of the error term in the Piltz divisor problem

Siegfred Baluyot, Cruz Castillo

备注：: 29 pages. Deleted Theorem 1.3 (unconditional k=3 case) of the previous version because it is superseded by the previous work [2]. Updated the introduction. Added a new theorem, Theorem 1.8 of the current version. All other results unchanged

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AI总结：

本文研究Piltz除数问题误差项Δ_k(x)的符号变化，在Lindelöf假设或黎曼假设下证明其存在大量子区间使误差项保持较大，推广了k=2和k=3情形的已有结果。

摘要：

我们研究函数 $Δ_k(x):=\sum_{n\leq x} d_k(n) - \mbox{Res}_{s=1} ( ζ^k(s) x^s/s )$，其中 $k\geq 3$ 为整数，$d_k(n)$ 是 $k$ 重除数函数，$ζ(s)$ 是黎曼 zeta 函数。对于大参数 $X$，我们证明：如果 Lindelöf 假设成立，则在 $[X,2X]$ 中至少存在 $X^{\frac{1}{k(k-1)}-\varepsilon}$ 个互不相交的子区间，每个子区间长度为 $X^{1-\frac{1}{k}-\varepsilon}$，使得对该子区间中的所有 $x$ 都有 $|Δ_k(x)|\gg x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}}$。如果黎曼假设成立，则我们可以将子区间的长度改进为 $\gg X^{1-\frac{1}{k}} (\log X)^{-k^2-2}$。这些结果可视为 Heath-Brown 与 Tsang（研究 $k=2$ 情形）以及 Cao、Tanigawa 与 Zhai（研究 $k=3$ 情形）定理的高次类比。我们证明的第一个主要成分是 $Δ_k(x+h)-Δ_k(x)$ 二阶矩的界。我们利用 Selberg 的方法以及 Saffari 和 Vaughan 的一个一般引理证明了这个界。第二个主要成分是 $Δ_k(x)$ 四阶矩的界，我们通过将 Tsang 的方法与 Lester 的一种技术相结合得到该界。

英文摘要：

We study the function $Δ_k(x):=\sum_{n\leq x} d_k(n) - \mbox{Res}_{s=1} ( ζ^k(s) x^s/s )$, where $k\geq 3$ is an integer, $d_k(n)$ is the $k$-fold divisor function, and $ζ(s)$ is the Riemann zeta-function. For a large parameter $X$, we show that if the Lindelöf hypothesis is true, then there exist at least $X^{\frac{1}{k(k-1)}-\varepsilon}$ disjoint subintervals of $[X,2X]$, each of length $X^{1-\frac{1}{k}-\varepsilon}$, such that $|Δ_k(x)|\gg x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}}$ for all $x$ in the subinterval. If the Riemann hypothesis is true, then we can improve the length of the subintervals to $\gg X^{1-\frac{1}{k}} (\log X)^{-k^2-2}$. These results may be viewed as higher-degree analogues of theorems of Heath-Brown and Tsang, who studied the case $k=2$, and Cao, Tanigawa, and Zhai, who studied the case $k=3$. The first main ingredient of our proofs is a bound for the second moment of $Δ_k(x+h)-Δ_k(x)$. We prove this bound using a method of Selberg and a general lemma due to Saffari and Vaughan. The second main ingredient is a bound for the fourth moment of $Δ_k(x)$, which we obtain by combining a method of Tsang with a technique of Lester.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

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