From Directed Steiner Tree to Directed Polymatroid Steiner Tree in Planar Graphs
在有向斯坦纳树（DST）问题中，输入是有向边加权图$G=(V,E)$、根顶点$r$和$k$终端的集合$S \subseteq V$。我们的目标是找到一个最小成本的子图，连接$r$到每个终端。DST允许准多项式时间的$O(\log^2 k/\log \log k)$ -近似，以及多项式时间的任何固定$ε> 0$的$O(k^ε)$ -近似。解决多项式时间多对数逼近的存在性问题是逼近算法中的一个主要问题。在最近的工作中，Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]通过Thorup的最短路径分离定理获得了平面有向图中DST的简单而优雅的多项式时间$O(\log k)$ -近似。我们建立在他们的工作，并取得了一些新的成果DST和相关问题。- 我们通过对Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]中递归的解释，开发了一种用于平面有向图中有根问题的树嵌入技术。利用这一点，我们得到多项式时间的多对数近似的群Steiner树，覆盖Steiner树，和多拟阵Steiner树问题的平面有向图。所有这些问题即使在树中也很难近似到$Ω(\log^2 n/\log \log n)$的因子内。- 我们证明了DST的自然割LP松弛在平面图中具有$O(\log^2 k)$的完整性间隙。这与一般图形成对比，其中已知该LP的完整性间隙为$Ω(k)$，并且对于某些固定的$δ> 0$为$Ω(…
2024-07-02 cs.DS
A near-linear time minimum Steiner cut algorithm for planar graphs
本文研究了具有非负边权的无向平面图的最小Steiner割问题。这个问题涉及到寻找图的最小割，该最小割将顶点（终端）的指定子集$X$分成两部分。这个问题是理论上的兴趣，因为它推广了两个经典的优化问题，最小$s$ - $t$削减和最小削减，并具有实际意义，因为它的应用程序计算Steiner（子集）TSP的下限。我们的算法具有运行时间$O(n\log{n}\log{k})$，其中$k$是终端的数量。
2019-12-31 cs.DS
PTAS for Steiner Tree on Map Graphs
我们研究Steiner树问题的地图图，这大大推广平面图，因为它们允许任意大的集团。我们得到了一个PTAS的Steiner树映射图，这是建立在平面边缘加权的情况下Borradaile等人的结果。Steiner树映射图的问题可以被铸造作为一个特殊的情况下，平面节点加权Steiner树问题，其中只有2.4-近似是已知的。我们证明并使用压缩分解定理的平面节点加权的情况下。这容易地将找到平面节点加权Steiner树的PTAS的问题减少到找到一个树，即，包含接近最佳解的常数因子近似。最后，我们针点的地方，已知的技术，用于构建这样的节点加权实例失败，进一步的进展需要新的想法。
2019-12-02 cs.DS
Directed Steiner Tree and the Lasserre Hierarchy
有向斯坦纳树问题的目标是在有向图G=（V，E）中找到一棵最小代价树，该树将所有终端X连接到给定的根r。众所周知，模对数因子足以考虑节点以L <= log |X|水平排列的非循环图。不幸的是，天然LP制剂已经有5个水平的|X| ^（1/2）完整性缺口。我们证明了对于每个L，该LP的O（L）轮Lasserre加强具有完整性间隙O（Llog |X|）.这提供了多项式时间|X| ^{n}近似和O（n^{log |X|）时间的O（log^3 |X|）近似，匹配由Charikar等人的贪心算法获得的最佳已知近似保证。
2012-06-11 cs.DS
Approximation algorithms for node-weighted prize-collecting Steiner tree problems on planar graphs
我们研究的获奖版本的节点加权Steiner树问题（NWPCST）限制到平面图。给出了一种新的平面NWPCST的原-对偶保拉格朗日乘子（LMP）3-近似算法。然后，我们展示了（$2.88 + ε$）近似建立一个新的最佳近似保证平面NWPCST。这是通过将我们的LMP算法与阈值舍入技术相结合，并利用Berman和Yaroslavtsev的2.4近似来实现的。我们还给出了一个原始-对偶4-近似算法的更一般的森林版本，使用Hajiaghay和Jain介绍的技术。
2016-01-11 cs.DS
Approximation Schemes for Steiner Forest on Planar Graphs and Graphs of Bounded Treewidth
我们给出了平面图上Steiner森林问题的第一多项式时间近似方案（PTAS），更一般地说，在有界亏格的图上。作为第一步，我们将展示如何建立一个施泰纳森林的图。这个过程的关键是一个称为奖品收集聚类的聚类过程，它将输入实例分解为更容易处理的单独的子实例;此外，不同子实例中的终端彼此相距甚远。每个子实例都有一个相对便宜的Steiner树连接它的所有终端，并且子实例可以（几乎）单独求解。另一个构建块是有界树宽图上的Steiner森林的PTAS。令人惊讶的是，斯坦纳森林是NP-困难的，即使在树宽为3的图。因此，我们的有界树宽图的PTAS需要一个非平凡的组合的近似参数和动态规划的树分解。我们进一步表明，斯坦纳森林可以解决在多项式时间的串并行图（图的树宽最多为2）的动态规划和最小割计算的一种新的组合，完成我们彻底的复杂性研究斯坦纳森林的范围内有界树宽图，平面图，有界亏格图。
2009-11-26 cs.DS
Surviving in Directed Graphs: A Polylogarithmic Approximation for Two-Connected Directed Steiner Tree
本文研究了有向图2-连通有向Steiner树（2-DST）上的可生存网络设计问题：给定一个$n$ -顶点加权有向图，一个根$r$，和一组$h$终端$S$，找到一个最小代价子图$H$，它有两条从$r$到任何$t\in S$的边/顶点不相交路径. 2-DST是经典的有向Steiner树问题（DST）的自然推广，其中我们有一个额外的要求，即网络必须容忍一个故障。没有非平凡的近似是已知的2-DST。这是Feldman等人留下的一个悬而未决的问题，[SODA'09; JCSS]，然后由Cheriyan等人[SODA'12; TALG]和Laekhanukit SODA'14]进行了研究。然而，除了$D$的特殊情况-浅实例[Laekhanukit，ICALP'16]之外，没有已知的阳性结果。我们提出了一个$O(D^3\log D\cdot h^{2/D}\cdot \log n)$近似算法的2-DST运行在时间$O(n^{O(D)})$，任何$D\in[\log_2h]$。这意味着对于任何常数$ε>0$的多项式时间$O(h^ε\log n)$近似，以及以准多项式时间运行的多对数近似。我们注意到，这基本上是最有名的，即使是经典的DST，后者的问题是$O(\log^{2-ε}n)$ -很难近似[Halperin和Krauthgamer，STOC'03]。作为副产品，我们获得了一个对$2$ -连通有…
2016-11-05 cs.DS
A simple Path-based LP Relaxation for Directed Steiner Tree
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Bocconi University（博科尼大学）
本文提出了一种基于路径的简单LP松弛方法，用于解决有向Steiner树问题，实现了O(l log k)的整数规划间隙，并提供了更简洁的证明方法。
2026-03-03 cs.DS
On Directed Steiner Trees with Multiple Roots
我们引入了一个新的Steiner型有向图问题\textsc{$q$-Root Steiner Tree}。这里给出一个有向图$G=(V,A)$和它的两个顶点子集，$R$的大小为$q$和$T$，任务是找到$G$的最小大小子图，该子图包含从$R$的每个顶点到$T$的每个顶点的路径。$q=1$的这个问题的特殊情况是众所周知的\textsc{Directed Steiner Tree}问题，而$T=R$的特殊情况是\textsc{Strongly Connected Steiner Subgraph}问题。我们首先证明了对于任何$q \ge 2$，问题关于$|T|$是W[1]-困难的.然后，我们将自己限制为具有$R \subseteq T$的实例。推广Feldman和Ruhl的方法[SIAM J. COMPUT. 2006]，我们提出了一个算法，这种限制与运行时间$O(2^{2q+4|T|}\cdot n^{2q+O(1)})$，即，对于任何恒定的$q$，该限制是关于$|T|$的FPT。我们进一步表明，我们可以，而不会显着影响可实现的运行时间，放松限制，只需要在解决方案中有一个顶点$v$和路径从每个顶点的$R$ $v$和从$v$到每个顶点的$T$。最后，我们使用Chitnis等人的方法。[SODA 2014]证明了限制版本可以在平面图中在$O(2^{O(q \log q+|T|\log q…
2016-04-18 cs.DS
Network Sparsification for Steiner Problems on Planar and Bounded-Genus Graphs
我们提出了多项式时间算法，稀疏平面和有界属图，同时保持最佳或接近最佳的解决方案，施泰纳问题。我们的主要贡献是一个多项式时间的算法，给定一个未加权图$G$嵌入表面的属$g$和指定的面$f$有界的一个简单的周期长度$k$，发现一组$F \subseteq E(G)$的大小多项式在$g$和$k$包含一个最佳的Steiner树的任何一组终端是一个子集的$f$的顶点。我们应用这个一般定理证明了：* 给定嵌入在亏格$g$的曲面上的一个未赋权图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，我们可以在多项式时间内找到一个集合$F \subseteq E(G)$，它包含$S$的一个最优Steiner树$T$，并且在$g$和$|E(T)|$中具有大小多项式; * 一个类似的结果对于终端对集合$S$的一个最优Steiner森林也成立;* 给定一个未加权平面图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，可以在多项式时间内找到一个集$F \subseteq E(G)$，它包含一个分离$S$的最优（边）多路割$C$，并且在$|C|$中具有大小多项式。在参数化复杂性的语言中，这些结果意味着平面和有界亏格图（分别由树和森林的大小参数化）上的Steiner树和Steiner森林以及平面图（由割集的大小参数化）上的（边）多路割的第一多项式核。此外，我们得到了我们的主要贡献的加权变体。
2017-07-11 cs.DS
Nearly ETH-Tight Algorithms for Planar Steiner Tree with Terminals on Few Faces
平面斯坦纳树问题是最基本的NP完全问题之一，因为它模拟了许多网络设计问题。回想一下，这个问题的一个例子由一个具有边权重的图和一个顶点子集（通常称为终端）组成;目标是找到一个连接所有终端的最小总权重的图的子树。Erickson等人的开创性论文[Math.Oper.结果：1987]考虑了底层图形是平面的并且所有端子可以被$k$面的边界覆盖的情况。Erickson等人表明，该问题可以通过使用$n^{O(k)}$时间和$n^{O(k)}$空间的算法来解决，其中$n$表示输入图的顶点数。在过去的30年里，尽管进行了多次努力，但该算法没有显著改进。在这项工作中，我们给出了一个算法的平面Steiner树的运行时间$2^{O(k)} n^{O(\sqrt{k})}$只使用多项式空间。此外，我们表明，我们的算法的运行时间几乎是紧的：我们证明了没有$f(k)n^{o(\sqrt{k})}$算法的平面斯坦纳树的任何可计算的功能$f$，除非指数时间假设失败。
2018-11-16 cs.DS
Polylogarithmic Approximation Algorithm for k-Connected Directed Steiner Tree on Quasi-Bipartite Graphs
在k-连通有向斯坦纳树问题（k-DST）中，我们给出一个有向图G=（V，E），其边（或顶点）代价为r，根顶点r，一组q个终端T，连通性要求k>0;目标是找到G的最小代价子图H，使得H有k条从根r到每个终端t的内部不相交路径。k-DST问题是经典的有向Steiner树问题（DST）在容错环境下的自然推广，在容错环境下，即使去掉k-1条边或顶点，要求解子图对每个终端t都有一条r，t-路。尽管这是一个经典问题，但关于这个问题的正结果并不多，特别是对于k >= 3的情况。在本文中，我们将提出一个O（log k log q）-近似算法的k-DST时，输入图是准二部，即，当没有边连接两个非终端顶点时。据我们所知，我们的算法是唯一已知的非平凡的近似算法的k-DST，k >= 3，在多项式时间内运行的最优解的结构无关。此外，我们的算法是紧的每个常数k，由于硬度的结果继承了集合覆盖问题。
2019-11-20 cs.DS
Approximating Directed Steiner Problems via Tree Embedding
在k-边连通有向Steiner树（k-DST）问题中，给定一个n阶有向图G，G的边代价为r，根点为r，终端数为h，k为整数。目标是找到G的一个最小代价子图H，它通过k条边不相交的r，t-路将r连接到每个终端t。这个问题包括作为特殊情况的著名的有向斯坦纳树（DST）问题（情况k = 1）和组斯坦纳树（GST）问题。尽管已经在文献中多次研究和提及，例如，由Feldman等人[SODA'09，JCSS'12]、Cheriyan等人[SODA'12，TALG'14]和Laekhanukit [SODA'14]，即使在输入图是有向非循环的并且具有恒定层数的特殊情况下，也没有已知的用于k >= 2的k-DST的非平凡近似算法。如果输入图不是无环的，即使对于k= 2和|T| = 2的非常严格的特殊情况，k-DST的复杂性状态也是未知的。在本文中，我们取得了进展，发展一个非平凡的近似算法的k-DST。本文提出了一个求解具有D层的有向无环图（DAG）上k-DST的O（Dk ^{D-1} logn）-近似算法，该算法可以推广到“一般图”上k-DST的特殊情况，即当实例具有D-浅最优解时，对于每个终端t，存在k条边不相交的r，t-路径，每条路径的长度至多为D。对于k= 1（DST）的情况，我们的算法产生了O（D log h）的近似比，因此意味着在准多项式时间内运行的DST的O（log^3 h）-近似算法…
2016-02-29 cs.DS
Linear-Delay Enumeration for Minimal Steiner Problems
Kimelfeld和Sagiv [Kimelfeld和Sagiv，PODS 2006]，[Kimelfeld和Sagiv，Inf.Syst.2008]指出了枚举$K$片段的问题在数据图上的关键字搜索中非常重要。在图论术语中，该问题对应于在（有向）图中枚举最小Steiner树。在本文中，我们提出了一个线性延迟和多项式空间算法枚举所有的最小Steiner树，改进以前的结果[Kimelfeld和Sagiv，Inf.Syst.2008]。我们的枚举算法可以扩展到其他Steiner问题，如最小Steiner森林，最小终端Steiner树，最小定向Steiner树。作为最小Steiner树计数问题的另一个变体，我们研究了最小导出Steiner子图的计数问题。提出了无爪图上最小导出Steiner子图的多项式延迟指数空间计数算法。相反，这些易于处理的结果，我们表明，问题的枚举最小组Steiner树至少是硬的超图的最小横向枚举问题。
2022-05-12 cs.DS
Quasi-Polynomial Algorithms for Submodular Tree Orienteering and Other Directed Network Design Problems
我们考虑以下有向图上的一般网络设计问题。输入是非对称度量$(V,c)$、根$r^{*}\in V$、单调子模函数$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}_+$和预算$B$。我们的目标是找到一个$r^{*}$ -根树形$T$的成本最多$B$，最大化$f(T)$。我们的主要结果是这个问题的一个简单的拟多项式时间$O(\frac{\log k}{\log\log k})$ -近似算法，其中$k\le |V|$是最优解的顶点数。据我们所知，这是这个问题的第一个非平凡近似比。由此得到了有向（多拟阵）Steiner树的一个拟多项式时间的$O(\frac{\log^2 k}{\log\log k})$ -近似算法.我们还扩展了我们的主要结果设置额外的长度界限的顶点，从而导致改进的$O(\frac{\log^2 k}{\log\log k})$近似算法的单源批量购买和优先级施泰纳树问题。对于通常的有向Steiner树问题，我们的结果与以前的最佳近似比[GLL 19]相匹配。我们的算法具有确定性和更快的优点：运行时是$\exp(O(\log n\, \log^{1+ε} k))$。对于多拟阵Steiner树和单源批量购买，我们的结果提高了对数因子的先验近似比。对于有向优先Steiner树，我们的结果似乎是第一个非平凡的近似比。我们所有的近似比是紧（常数因子）的准多项式算法。
2019-04-01 cs.DS
Network Design Problems with Bounded Distances via Shallow-Light Steiner Trees
在边长度和代价不相关的有向图$G$中，\emph{network design problem with bounded distances}要求代价最小的生成子图满足所有节点对的长度约束。我们给出了这个问题的双准则$(2+\varepsilon,O(n^{0.5+\varepsilon}))$ -逼近。这改进了当前最好的已知线性近似边界，代价是违反距离边界至多~ $2+\varepsilon$的因子。在证明这一结果的过程中，\emph{directed shallow-light Steiner trees}的相关问题作为子问题出现。在有向图的上下文中，这个问题的近似是难以捉摸的。我们提出了一个$(1+\varepsilon,O(|R|^{\varepsilon}))$ -ap-proximation，其中$R$是终端，从而给出了第一个非平凡的结果。最后，我们将展示如何应用我们的结果，以获得一个$(α+\varepsilon,O(n^{0.5+\varepsilon}))$近似\emph{light-weight directed $α$-spanners}。对于这一点，没有非平凡的近似算法之前已经知道。所有运行时间取决于$n$和$\varepsilon$，并且对于任何固定的$\varepsilon>0$，在$n$中是多项式。
2014-09-23 cs.DS
$O(\log^2k/\log\log{k})$-Approximation Algorithm for Directed Steiner Tree: A Tight Quasi-Polynomial-Time Algorithm
在有向Steiner树（DST）问题中，我们给出了一个$n$ -顶点有向边赋权图，一个根$r$和一个$k$终端节点的集合.我们的目标是找到一个最小成本的树形图，包含一个有向路径从$r$到每个终端。我们提出了一个$O(\log^2 k/\log\log{k})$ -近似算法的DST运行在准多项式时间。通过调整Halperin和Krauthgamer的硬度结果中的参数，给出了这类拟多项式时间算法的$Ω(\log^2{k}/\log\log{k})$的匹配下界.这是自Charikar等人的经典准多项式时间$O(\log^3 k)$近似算法以来对DST问题的第一次改进。（由于先前工作中的错误，该论文错误地声称$O(\log^2k)$近似。）我们的方法基于两个主要成分。首先，我们推导出一个近似保持约简的标签一致子树（LCST）问题。LCST实例具有准多项式大小和对数高度。我们注意到，相比之下，Zelikovsky的高度减少定理在所有以前的工作DST实现了减少到一个树的实例相关组施泰纳树（GST）的问题类似的高度，但失去了对数因子的近似比。我们的第二个成分是LP舍入算法近似解决LCST实例，这是由Rothvovich开发的框架的启发。我们考虑LCST的适当LP松弛的Sherali-Adams提升。我们的舍入算法从根到叶一级一级地进行，每次舍入和调节标签变量的适当子集。一个足够小的（即，多对数）…
2018-11-07 cs.DS
Parameterized Complexity of Directed Steiner Tree on Sparse Graphs
我们研究了经典{ \sc Steiner Tree}问题在各类有向稀疏图上的有向变体的参数化复杂性。虽然{ \sc Steiner树}的参数化复杂性由终端的数量参数化是很好的理解，不知道很多关于在解决方案树中的非终端的数量的参数化。对于这种参数化，已知的是有向和无向版本在一般图上都是W[2]-困难的，因此不太可能是固定参数的易处理FPT。无向{ \sc Steiner Tree}问题在限制于稀疏图类（如平面图）时变为FPT，但用于显示此结果的技术在有向平面图上失败。在这篇文章中，我们精确地绘制了{ \sc Directed Steiner Tree}（DST）在稀疏图上的易处理边界，该图由解树中的非终端数参数化。具体来说，我们证明了这个问题是固定参数的图不包括拓扑子听话，但成为W[2]-硬退化2的图。另一方面，我们表明，如果子图诱导的终端被要求是非循环的，那么这个问题成为FPT的有界退化图。我们进一步表明，我们的算法实现了最佳的运行时间依赖于解决方案的大小和退化的输入图，在标准的复杂性理论假设。利用DST的思想，我们还得到了稀疏无向图上{ \sc支配集}的改进算法。这些算法是渐进最优的。
2012-10-01 cs.DM cs.DS
A Polylogarithmic Approximation for Directed Steiner Forest in Planar Digraphs
本文针对平面有向图中的有向Steiner森林问题，利用junction tree技术和有根有向网络设计的最新成果，提出了一个$O(\log^6 k)$近似算法，显著改善了该问题在一般图中的近似难度。
2024-10-22 cs.DS
Hardness of Online Directed Steiner Network
University of Michigan（密歇根大学）；Microsoft Research（微软研究院）
该研究证明了在线有向斯坦纳网络问题具有指数级竞争比下界，通过代数编码理论建立信息论难度，表明不确定性本身排除了多对数竞争力的在线算法。
2026-09-22 cs.DS
A deterministic polynomial kernel for Odd Cycle Transversal and Vertex Multiway Cut in planar graphs
我们表明，奇循环transmittance和顶点多路切割承认确定性多项式核时，限制到平面图和参数化的解决方案的大小。这就回答了索拉布的一个问题。在获得这些结果的过程中，我们提供了一个高效的稀疏化例程，其风格类似于用于平面图中施泰纳树问题的稀疏化例程（FOCS 2014）。它与以前的工作不同，因为它保留了低成本子图的存在，这些子图不一定是原始平面图中的Steiner树，而是在添加位于公共面上的顶点对之间的所有边后变成Steiner树的结构。我们还展示了顶点多路切割和顶点平面化问题之间的联系，其中多项式核的存在仍然是一个重要的开放问题。
2018-12-12 cs.DS
Steiner Transitive-Closure Spanners of d-Dimensional Posets
给定一个有向图G和一个整数k >= 1，G的一个k-传递闭包图（k-TC图）是一个有向图H，它具有（1）与G相同的传递闭包和（2）至多为k的直径.在某些应用中，为了获得小直径而添加到图中的捷径路径可以使用Steiner顶点，即不在原始图G中的顶点。由此产生的闭包称为Steiner传递闭包（Steiner TC闭包）。出于应用程序的属性重建和访问控制层次结构，我们专注于施泰纳TC-speries的有向无环图，或者等价地，偏序集。在这些应用中，目标是找到偏序集G的稀疏Steiner k-TC-ε，对于给定的k和G。本文主要研究偏序集的维数与其稀疏SteinerT_C_m的大小之间的关系。偏序集G的维数是使得G可以通过保序嵌入嵌入到d维有向超网格中的最小d。本文给出了d维有向超网格的Steiner 2-TC-空间的大小的一个几乎紧的下界。这意味着单调函数和低Lipschitz常数函数的局部重构的复杂性的较好的下界。下界的证明构造了Steiner 2-TC-Boundary问题的线性规划松弛的对偶解。我们还表明，可以有效地构建一个施泰纳2-TC-的，大小匹配的下界，任何低维偏序集。最后，我们给出了d维偏序集的Steiner k-TC-空间的大小的下界，这表明由于De Santis等人，无法得到显著改善。
2010-11-28 cs.DM cs.DS
Reorganizing topologies of Steiner trees to accelerate their elimination
我们描述了一种技术，通过交换相邻的斯坦纳点的邻居来重组斯坦纳树的拓扑结构。我们解释了如何使用系统的方法来构建树，从而拓扑结构，以找到正确的拓扑结构后，节点已经交换。在$d$ -空间中的Euclidean Steiner树问题的精确算法常用的枚举方案中插入拓扑重组，提供了一种不同于通常方法的改进方法.作为一个例子，我们展示了如何拓扑重组可以用来动态地改变探索通常的分支和定界树时，两个施泰纳点在优化过程中发生碰撞。我们还把我们的注意力转向错误的使用预优化下界在原来的算法，并给出一个例子来确认其使用是不正确的。为了提供正确的解决方案的数值结果，我们使用平面等边点来快速计算这个下限，即使在高于2的维度。最后，我们描述了平面孪生树，相同的树产生不同的拓扑结构，其推广到更高的维度可以打开一个新的方式建设斯坦纳树。
2018-03-12 cs.DS
Approximating Spanners and Directed Steiner Forest: Upper and Lower Bounds
最近发现，加性空间的存在与（子图，其中所有距离都保持到加法拉伸），（其中需求对的距离精确保持的子图），以及成对的空间（其中需求对的距离保持到乘法或加法延伸的子图）[Abboud-Godwin SODA '16，Godwin-Williams SODA '16]。我们研究这些问题从优化的角度来看，而不是研究极值的存在情况下，我们给出了一个实例，并要求找到sparsify可能的bandwidth/bandwidth。我们给出了一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的距离和两两的空间（对于任意常数$ε> 0$）。这是两个问题的第一个非平凡上限，这两个问题都像标签覆盖一样难以近似。我们还证明了标签覆盖硬度近似添加剂spiritual，即使是添加剂1拉伸（其中人们可能会期望一个多对数近似，因为相关的乘法2-$O(\log n)$问题承认一个$O(\log n)$ -近似）和添加剂多对数拉伸（其中相关的乘法$O(1)$问题有一个$O(1)$ -近似）的情况下。有趣的是，我们在近似算法中使用的技术超出了基于距离的问题，纯连接网络设计问题。特别是，我们的技术使我们能够给出一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的有向斯坦纳森林问题（对于任意常数$ε> 0$）时，所有的边缘都有统一的成本，提高了以前的最佳$O(n^{2/3 + ε})$ -近似由于伯曼等人。[ICALP '11]（适用于一…
2016-07-20 cs.DS
On subexponential running times for approximating directed Steiner tree and related problems
This paper concerns proving almost tight (super-polynomial) running times, for achieving desired approximation ratios for various problems. To illustrate, the question we study, let us consider the Set-Cover problem with n elements and m sets. Now we specify our goal to approximate Set-Cover to a factor of (1-d)ln n, for a given parameter 0<d<1. What is the best possible running time for achieving such approximation? This question was answered implicitly in the work of Moshkovitz [Theory of Computing, 2015]: Assuming both the Projection Games Conjecture (PGC) and the Exponential-Time Hypothesi…
2018-11-02 cs.DS
Diameter constrained Steiner tree and related problems
在有向图的情况下，我们给出了一个动态规划方法来求解直径受限的Steiner树的最小代价。然后，我们展示了一个简单的减少，从无向版本的有向版本，实现类似的复杂性，即FPT的终端顶点数的算法。通过对Steiner树的最小度和大小施加约束，定义了约束Steiner树的其他自然变体，并证明了这些问题中的一些多项式时间约简.据我们所知，这些相当简单的简化在我们工作之前的文献中并不存在。
2021-10-19 cs.DM cs.DS
The Steiner Path Aggregation Problem
针对Steiner路径聚合问题，提出高效算法，实现至多2log_{4/3}k次颜色切换的解，该界在常数因子下为最优通用界。
2025-10-01 cs.DS
Resolving the Steiner Point Removal Problem in Planar Graphs via Shortcut Partitions
本文应用平面图的捷径划分概念解决了Steiner点移除（SPR）问题，通过构造保留终端间最短路径距离至常数因子的minor，肯定地解决了一个长期存在的开放问题。
2023-09-13 cs.CG cs.DS
Parameterized Approximation Schemes for Steiner Trees with Small Number of Steiner Vertices
Charles University（查理大学）
本文提出了一种针对具有少量Steiner顶点的Steiner树问题的高效参数化近似方案，并探讨了其在其他变种问题中的应用与限制。
2020-07-14 cs.CC cs.DS
Prize-collecting Network Design on Planar Graphs
在本文中，我们减少奖励收集Steiner TSP（PCTSP），奖励收集漫步（PCS），奖励收集Steiner树（PCST），奖励收集Steiner森林（PCSF）和更一般的子模块奖励收集Steiner森林（SPCSF）在平面图（和更一般的有界亏格图）上相同的问题有界树宽的图。更确切地说，我们显示任何$α$ -近似算法，这些问题的有界树宽图给出了一个$(α+ ε)$ -近似算法，这些问题的平面图（更一般的有界属图），任何常数$ε> 0$。由于PCS，PCTSP和PCST可以解决图的有界树宽使用动态规划，我们得到PTAS这些问题的平面图和有界亏格图。相比之下，我们表明PCSF是APX-难以近似串并联图，这是平面图的树宽最多为2。这个结果本身就很有趣，因为它给出了第一个可证明的奖品收集和非奖品收集（常规）版本的问题之间的硬度分离：常规斯坦纳森林已知是多项式可解的串并行图，并承认有界树宽图的PTAS。对于欧几里德PCSF，可以显示类似的硬度结果。这结束了普遍认为，奖金收集变种不应该增加任何新的困难的问题。
2010-06-22 cs.DM cs.DS
Planar Steiner Orientation is NP-complete
图论中的许多应用都是由路由或流问题引起的。在这些问题是施泰纳定向：给定一个混合图G（有向和无向边）和一组T的k个终端对在G中，是否有一个方向的无向边在G中，使有一个有向的道路，为每一个终端对在T？Arkin和Hassin [1]证明了这个问题是NP完全的，后来Pilipczuk和Wahlström [7]证明了这个问题是W [1]-hard的，用k参数化。另一方面，Cygan等人[3]提出了XP算法，Hassin和Megiddo [5]提出了无向边图的多项式时间算法。Chitnis和Feldmann [2]证明了亏格为1的图的W [1]-困难性。我们考虑了平面图的进一步限制，并证明了它的NP -完全性.
2018-04-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Subexponential Parameterized Directed Steiner Network Problems on Planar Graphs: a Complete Classification
In the Directed Steiner Network problem, the input is a directed graph G, a subset T of k vertices of G called the terminals, and a demand graph D on T. The task is to find a subgraph H of G with the minimum number of edges such that for every edge (s,t) in D, the solution H contains a directed s to t path. In this paper we investigate how the complexity of the problem depends on the demand pattern when G is planar. Formally, if \mathcal{D} is a class of directed graphs closed under identification of vertices, then the \mathcal{D} -Steiner Network ( \mathcal{D} -SN) problem is the special case…
2022-08-11 cs.CC cs.DS
DAG Covers for Structured Graphs: The Steiner Point Effect
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Dartmouth College（达特茅斯学院）；Bar-Ilan University（巴伊兰大学）；POSTECH（浦项科技大学）；University of Michigan, Ann Arbor（密歇根大学安娜堡分校）；Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）
研究了Steiner DAG覆盖，针对平面有向图和低树宽图，提出具有特定伸缩因子和额外边数的DAG覆盖方法，揭示了Steiner与非Steiner覆盖之间的显著差异。
2026-08-31 cs.DS
The Power of Dynamic Distance Oracles: Efficient Dynamic Algorithms for the Steiner Tree
在本文中，我们研究了Steiner树问题的一个动态的终端集。我们考虑的模型，我们给出了一个$n$ -顶点图$G=(V,E,w)$与正实边权重，我们的目标是保持一棵树，这是一个很好的近似的最小斯坦纳树跨越终端集$S \subseteq V$，随着时间的推移而变化。应用于终端集的更改可以是终端添加（增量方案）、终端删除（减量方案），也可以是两者兼而有之（完全动态方案）。我们在这方面的任务是双重的。我们希望支持次线性$o(n)$时间的更新，并保持算法的近似因子尽可能小。我们表明，我们可以保持一个$(6+\varepsilon)$近似Steiner树的一般图在$\tilde{O}(\sqrt{n} \log D)$时间每终端添加或删除。这里，$D$表示由$G$引起的度量的拉伸。对于平面图，我们实现了相同的运行时间和$(2+\varepsilon)$的近似比。此外，我们展示了更快的算法，增量和减量的情况。最后，我们表明，如果我们允许更高的近似比，甚至更有效的算法是可能的。特别是，我们展示了平面图的多对数时间$(4+\varepsilon)$ -近似算法。我们的算法的主要组成部分之一是动态距离预言的顶点标记图，这是独立的利益。我们还改进和使用在线算法的Steiner树问题。
2016-06-24 cs.DS
A Polynomial Time Algorithm for Steiner Tree when Terminals Avoid a $K_4$-Minor
本文研究终端避开全分支含终端的$K_4$-子式的Steiner树问题，提出$O(n^4)$时间求解算法，推广了平面图单一面终端Steiner树的多项式时间结果。
2024-10-09 cs.DS
Parameterized inapproximability for Steiner Orientation by Gap Amplification
在$k$ -Steiner定向问题中，我们给出了一个混合图，即既有向边又有无向边，以及一组$k$终端对。我们的目标是找到一个方向的无向边缘，最大限度地增加终端对的数量，有一个从源到汇的路径。已知该问题在由k参数化时是W[1]-困难的，并且对于假设Gap-ETH的FPT算法难以近似到某个常数。另一方面，没有比$O(k)$更好的近似因子是已知的。我们表明，$k$ -施泰纳取向是不太可能承认一个近似算法与任何常数因子，即使在FPT运行时间。为了获得这一结果，我们通过基于散列的间隙放大技术构建了一个自还原，该技术甚至在FPT范式之外也很有用。准确地说，我们排除了FPT算法（假设FPT $\ne$ W[1]）的$(\log k)^{o(1)}$形式的任何近似因子，以及纯多项式时间算法（假设类W[1]不允许随机FPT算法）的$(\log n)^{o(1)}$形式的任何近似因子。此外，我们证明了$k$ -Steiner方向属于W[1]，这使得$k$ -Steiner方向的$(\log k)^{o(1)}$-逼近具有W[1]-完备性。这提供了一个自然逼近任务在参数化复杂性类中是完备的例子。最后，我们应用我们的技术的最大化版本的有向多切-最大$(k,p)$ -有向多切-在那里，我们给出了一个有向图，$k$终端对，和预算$p$。目标是通过去除$p$边缘来最大化分离的端子对的数量。我们提出了一个简单的证…
2020-02-10 cs.CC cs.DS
Online Directed Spanners and Steiner Forests
本文首次研究有向稀疏化子图和Steiner森林的在线算法，基于在线覆盖线性规划框架提出多个高效竞争算法，并给出问题特定的舍入方法。
2023-07-04 cs.DM cs.DS
Polynomial Integrality Gap of Flow LP for Directed Steiner Tree
在有向Steiner树（DST）问题中，我们给出了一个$n$上的有向图$G=(V,E)$，其边代价为$c \in \mathbb{R}_{\geq 0}^E$，根顶点$r \in V$，以及$k$终端集$K \subseteq V \setminus \{r\}$.我们的目标是找到一个最小成本的$G$子图，其中包含从$r$到每个终端$t \in K$的路径。几十年来，DST一直是一个臭名昭著的问题，因为对于任何常数$ε> 0$，$O(k^ε)$的最佳多项式时间逼近比与$O\left(\frac{\log^2 k}{\log \log k}\right)$的最佳准多项式时间逼近比之间存在很大差距。为了理解这个缺口，我们研究了标准流LP松弛的完整性缺口的问题。我们发现LP具有$Ω(n^{0.0418})$的完整性缺口。先前，LP的完整性间隙仅已知为$Ω\left(\frac{\log^2n}{\log\log n}\right)$ [Halperin等人，SODA'03 \& SIAM J.~计算。]和$Ω(\sqrt{k})$ [Zosin-Khuller，SODA'02]在某些情况下与$\sqrt{k}=O\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right)$。我们的结果给出了这个标准LP的完整性间隙的第一个已知下界，该标准LP是$n$中的多项式，顶点数。…
2022-11-11 cs.DM cs.DS math.OC
Minimum Cut of Directed Planar Graphs in O(nloglogn) Time
本文给出了一个计算加权有向平面图的最小割（或等价地，最短圈）的$O(n \log \log n)$时间算法。这改进了以前最快的$O(n\log^3 n)$解决方案。有趣的是，虽然在无向平面图中，最小割和最小$st$ -割都有$O(n \log \log n)$解，但在有向平面图中，我们的结果使最小割比最小$st$ -割更快，目前需要$O(n \log n)$。
2016-11-12 cs.DS
Spanners in Planar Domains via Steiner Spanners and non-Steiner Tree Covers
本文研究平面域生成树的边数与伸缩率难题，通过引入 non-Steiner 树覆盖揭示伸缩率 2 附近的阈值现象，证明 stretch 2 需 $Ω(n\log n)$ 边而 $2+ε$ 仅需 $O(n)$ 边。
2024-04-07 cs.CG cs.DS
New Parameterized and Exact Exponential Time Algorithms for Strongly Connected Steiner Subgraph
Utrecht University（乌得勒支大学）；The University of Tokyo（东京大学）
本文提出了一种针对强连通Steiner子图问题的新算法，能够在给定树分解的情况下以$17^{\mathrm{tw}} n^{O(1)}$的时间复杂度解决，同时给出了一个精确指数时间算法和关于顶点覆盖参数化的核化研究。
2026-04-28 cs.DS
Embeddings of Planar Quasimetrics into Directed \ell_1$ and Polylogarithmic Approximation for Directed Sparsest-Cut
多商品流割间隙是影响分治算法性能的一个基本参数，在各种无向图中得到了广泛的研究. Linial、London和Rabinovich以及Aumann和Rabani已经证明，对于一般的$n$ -顶点图，它是由$O(\log n)$有界的，而Gupta-Newman-Rabinovich-Sinclair猜想断言，对于任何排除某些固定子图的图族，它是$O(1)$。我们证明了\emph{directed}平面图上的多商品流割间隙是$O(\log^3 n)$。这是超常数树宽有向图族的第一个\emph{sub-polynomial}界。我们注意到，对于一般的有向图，Chuzhoy和Khanna已经证明了间隙是$\widetildeΩ(n^{1/7})$，甚至对于有向无圈图也是如此。作为我们结果的直接结果，我们还获得了有向非二部稀疏割和有向平面图的有向多割问题的第一个多项式时间多对数近似算法，这扩展了Rao关于无向平面图的长期结果（具有稍弱的界）。在我们的结果的核心，我们调查低失真准度量嵌入到\emph{directed} $\ell_1$。更准确地说，我们构造了平面有向图的最短路拟度量空间的$O(\log^2 n)$ -Lipschitz拟划分，推广了度量嵌入理论中Lipschitz划分的概念。这种构造结合了双Lipschitz嵌入理论的思想，并使用工具在有向平面图上形成数据结构。
2021-11-15 cs.DS
Finding All Useless Arcs in Directed Planar Graphs
提出了一个简化有向平面图上流网络的线性时间算法：给定一个有向平面图上的$n$顶点，一个源顶点$s$和一个汇顶点$t$，我们的算法在线性时间内删除所有不参与任何简单$s,t$ -路的弧.该算法产生的输出图满足Weihe [FOCS'94 \& JCSS'97]的$O(n\log n)$ -时间算法计算有向平面图最大$s,t$ -流的前提条件。以前，由于没有预处理步骤，Weihe的算法不能在$O(n\log n)$时间内运行;所有前面的算法都在$\tildeΩ(n^2)$时间内运行[Misiolek-Chen，COCOON'05 \& IPL'06; Biedl，Brejov{á}和Vinar，MFCS'00]。因此，除了已知的$O(n\log n)$-时间算法[Borradaile-Klein，SODA'06 \& J.ACM'09; Erickson，SODA'10]之外，这提供了用于计算有向平面图中的最大$s,t$ -流的替代的$O(n\log n)$ -时间算法。我们的算法可以被看作是一个（真正的）线性时间$s,t$流稀疏有向平面图，它运行速度比任何最大$s,t$流算法（也可以被看作是一个稀疏）。所得到的图的简化结构可能是有用的，在未来的发展中的最大$s,t$流算法在有向和无向平面图。
2018-05-08 cs.DS
Length-Constrained Network Design in Planar Digraphs
Siebel School of Computing and Data Science, University of Illinois（伊利诺伊大学塞贝尔计算与数据科学学院）
研究平面图中长度受限的定向斯坦纳树和定向斯坦纳森林问题，给出多对数双标准近似算法，其近似比率与平面图中对应问题最佳已知比率匹配，长度约束有O(log k)违反，还得到批量购买问题的多对数近似。
2026-07-29 cs.DS
Tight Bounds for Planar Strongly Connected Steiner Subgraph with Fixed Number of Terminals (and Extensions)
(see给定顶点加权有向图$G=(V,E)$和$k$终端的集合$T=\{t_1, t_2, \ldots t_k\}$，SCSS问题的目标是找到最小权重的顶点集合$H\subseteq V$，使得$G[H]$包含每个$i\neq j$的$t_{i}\rightarrow t_j$路径。该问题是NP-难的，但Feldman和Ruhl [FOCS '99; SICOMP '06]给出了一个新的$n^{O(k)}$算法的SCSS问题，其中$n$是图中的顶点数和$k$是终端数。我们探讨如何更容易的问题变得平面有向图：-我们的主要算法的结果是一个$2^{O(k)}\cdot n^{O(\sqrt{k})}$算法的平面SCSS，这是一个改进的一个因素$O(\sqrt{k})$的指数在算法的费尔德曼和鲁尔。- 我们的主要硬度结果是我们的算法匹配的下限：我们表明，平面SCSS没有一个$f(k)\cdot n^{o(\sqrt{k})}$算法的任何可计算的功能$f$，除非指数时间假设（ETH）失败。下面的额外结果将我们的上下界放在上下文中：-在一般图中，我们不能希望在Feldman和Ruhl的$n^{O(k)}$算法上有如此巨大的改进：假设ETH，一般图中的SCSS没有任何可计算函数$f$的$f(k)\cdot n^{o(k/\log k)}$算法。- Feldman和Ruhl将他们的$n^{O(k…
2019-11-29 cs.CC cs.DS
Efficient Algorithms for Solving Hypergraphic Steiner Tree Relaxations in Quasi-Bipartite Instances
我们考虑准二部图中的Steiner树问题，其中没有两个Steiner顶点由边连接。对于这类实例，我们提出了一种有效的算法来精确求解所谓的有向分量松弛（DCR），这是一种特殊形式的超图LP松弛，有助于Byrka等人[BGRS 10]（STOC 2010）最近的突破性结果。我们的算法取决于一个有效的可计算的映射从极端点的双向切割松弛可行的解决方案（DCR）。因此，与[BGRS 10]一起，我们立即获得了准二分Steiner树实例的有效73/60近似。我们还提出了一个特别简单的（BCR）为基础的随机采样算法，实现了性能保证略优于77/60。
2012-02-22 cs.DM cs.DS
Discovering Interesting Cycles in Directed Graphs
图中的循环通常表示有趣的过程。例如，周期性交易模式可以表明贸易网络中的效率低下或经济依赖性，食物链中的周期可以识别生态系统中脆弱的依赖性，金融交易网络中的周期可以表明洗钱。识别这样有趣的循环，它也可以被限制为包含一组给定的查询节点，虽然没有广泛的研究，因此是一个相当重要的问题。本文介绍了图中有趣圈的发现问题。我们首先解决的问题，量化的程度，一个给定的周期是一个特定的分析师感兴趣。然后，我们发现，根据这个有趣的措施是相关的最长的周期和最大的平均重量周期问题（在无约束的设置）和最大的斯坦纳周期和最大的平均斯坦纳周期问题（在约束设置）的周期。复杂性分析表明，找到有趣的周期是NP-难的，是NP-难的近似在一个常数因子的无约束设置，并在一个因子多项式的输入大小的约束设置。后者的不可逼近性的结果意味着一个类似的结果，为最大Steiner循环和最大平均Steiner循环问题。出于这些硬度的结果，我们提出了一些有效的启发式算法。我们验证了所提出的方法的有效性，并证明了它们在两个现实世界的用例：食品网络和国际贸易网络数据集的实际效用。
2019-09-03 cs.CC cs.DS
Minimum multicuts and Steiner forests for Okamura-Seymour graphs
研究了无向平面图的最小多割问题，其中所有的终端顶点都在图的外表面的边界上。这被称为Okamura-Seymour实例。我们表明，对于这样的情况下，最小的多割问题可以减少到最小成本的Steiner森林问题的一个适当定义的对偶图。最小费用Steiner森林问题有一个2-近似算法。因此，对于Okamura-Seymour实例，最小多割问题具有2-近似算法。
2011-02-27 cs.DM cs.DS math.CO
Beyond Tree Embeddings -- a Deterministic Framework for Network Design with Deadlines or Delay
我们考虑网络设计问题的最后期限或延迟。这些模型的所有先前结果都是基于将图随机嵌入到树（HST）中，然后在此树上解决问题。我们表明，这是没有必要的。特别是，我们设计了一个确定性的框架，这些问题是不是基于嵌入。这使我们能够提供确定性的$\text{poly-log}(n)$竞争算法的Steiner树，广义Steiner树，节点加权Steiner树，（非均匀）设施的位置和定向Steiner树的最后期限或延迟（其中$n$是节点的数量）。我们的确定性算法也提供了改进的保证，比以前的一些随机结果。此外，我们展示了其中一些问题的$\text{poly-log}(n)$的下界，这意味着我们的框架是最佳的多对数的功率。我们的算法和技术显着不同，从这些问题的所有以前的考虑。
2020-04-16 cs.DS
A Polynomial Kernel for Planar Directed Feedback Vertex Set
本文解决了平面有向反馈顶点集问题的多项式核开放问题，提出确定性核算法，通过结构归约、平面偶图压缩和有向割论证，得到$O(k^{66}\log^2 k)$大小的核。
2026-11-04 cs.DS
On the Integrality Gap of Directed Steiner Tree LPs with Relatively Integral Solutions
针对有向斯坦纳树问题，提出一种基于流的线性规划松弛，在相对整数条件下证明其具有多对数整数性间隙，并给出随机多项式时间 $O(\log^3 k)$ 近似算法。
2025-10-10 cs.DM cs.DS
Shortcut Partitions in Minor-Free Graphs: Steiner Point Removal, Distance Oracles, Tree Covers, and More
本文突破了平面性限制，通过引入cop分解的确定性变体，首次为$K_r$-minor-free图构建了捷径划分，并据此实现了最优距离预言机和常数大小的树覆盖。
2023-07-31 cs.DS
Steiner Network Problems on Temporal Graphs
我们引入了一个时间Steiner网络问题，其中一个图，以及其边缘和/或顶点的变化在一组离散时间，作为输入，目标是找到一个最小的子图满足一组$k$时间敏感的连接需求。我们证明了这个问题，$k$ -时间Steiner网络（$k$-TSN），是NP-难近似的$k - ε$的一个因素，对每个固定的$k \geq 2$和$ε> 0$。这个界是紧的，证明了一个平凡的近似算法。从概念上讲，这表明，在传统的施泰纳问题的已知结果相比，时间维度增加了相当大的复杂性，即使当问题是离线的。我们还讨论了$k$ -TSN图的变化满足单调性的特殊情况。我们展示了从单调$k$ -TSN到优先级Steiner树和定向Steiner树等研究问题的近似保持减少，这意味着改进的近似算法。最后，$k$ -TSN和它的变种自然出现在计算生物学，以促进这样的应用，我们设计了一个整数线性规划的$k$ -TSN的网络流量的基础上。
2017-09-01 cs.CC cs.DS
The Steiner Shortest Path Tree Problem
针对最小化非终端节点数量的 Steiner 最短路径树（SSPT）问题，证明其 NP 困难性，并通过归约到均匀顶点加权有向 Steiner 树（UVDST），提出拟多项式及受限图下的多项式 polylog 近似算法。
2025-09-08 cs.DS
