The goal for the Directed Steiner Tree problem is to find a minimum cost tree in a directed graph G=(V,E) that connects all terminals X to a given root r. It is well known that modulo a logarithmic factor it suffices to consider acyclic graphs where the nodes are arranged in L <= log |X| levels. Unfortunately the natural LP formulation has a |X|^(1/2) integrality gap already for 5 levels. We show that for every L, the O(L)-round Lasserre Strengthening of this LP has integrality gap O(L log |X|). This provides a polynomial time |X|^{epsilon}-approximation and a O(log^3 |X|) approximation in O(n^{log |X|) time, matching the best known approximation guarantee obtained by a greedy algorithm of Charikar et al.
Integrality Gaps and Approximation Algorithms for Dispersers and Bipartite Expanders
我们研究的问题，近似的质量分散。一个$([N],[M])$上的二分图$G$是$(ρN,(1-δ)M)$ -分散器，如果对于任意一个$ρN$的子集$S\subseteq [N]$，其邻集$Γ(S)$至少包含$(1-δ)M$不同的顶点.我们的主要结果是强大的完整性差距的Lasserre层次和近似算法的分散。\begin{enumerate} \item For any $α>0$, $δ>0$, and a random bipartite graph $G$ with left degree $D=O(\log N)$, we prove that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether $G$ is an $(N^α,(1-δ)M)$-disperser or not an $(N^{1-α},δM)$-disperser. \item For any $ρ>0$, we prove that there exist infinitely many constants $d$ such that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether a random bipartite graph $G$ with right degree $d$ is a $(ρN, (1-…
On Strong Graph Partitions and Universal Steiner Trees
研究了无向图的泛Steiner树的构造问题。给定图$G$和根节点$r$，我们寻找最小{ \em stretch}的单个生成树$T$，其中$T$的stretch被定义为在所有终端集$X$上，连接$X$到$r$的$T$的最小子树$T_X$的成本与连接$X$到$r$的最优Steiner树在$G$中的成本的最大比率。通用Steiner树（UST）对于数据聚合问题是重要的，其中对于终端的每个输入实例从头开始计算Steiner树是昂贵的，例如在低能量传感器网络应用中。本文给出了一般图的多项式时间\ust构造方法，该方法构造了具有$2^{O(\sqrt{\log n})}$ -拉伸的图.我们还给出了一个多项式时间的$\polylog(n)$ -拉伸图的构造。我们的算法的一个基本组成部分是一个层次的图形分区，其中每个保证小强直径为每个集群和有界邻域交叉点为每个节点。我们表现出密切的联系之间的问题，构建USTS和建设这样的图分区。我们的一般图的分区层次结构的建设是基于一个迭代的集群合并过程，而一个未成年人的自由图是基于分离器定理，这样的图和解决方案的集群聚合问题，可能是独立的利益，即使是一般的图形。据我们所知，这是第一个一般图的子多项式拉伸（$o(n^ε)$ for any $ε> 0$）UST构造，也是第一个无子图的多项式拉伸UST构造。
NPA Hierarchy for Quantum Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk（波兰科学院数学研究所）；QMATH, University of Copenhagen（哥本哈根大学 QMATH 中心）；IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）；Department of Algebra, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院代数系）
