On mapping class groups and their TQFT representations
Louis Funar
该论文聚焦映射类群研究，重点综述拓扑量子场论衍生的有限维表示相关内容。
本文旨在综述映射类群的若干方面，重点关注拓扑量子场论中产生的有限维表示。
The aim of this paper is to survey some aspects of mapping class groups with focus on their finite dimensional representations arising in topological quantum field theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On TQFT representations of mapping class groups with boundary
本文研究了边界与$SU(2)$规范群（或等价于量子群$U_q(\Sl(2))$）相关联的曲面的TQFT映射类群表示。我们证明了，在一个素单位根，这些表示都是不可约的。我们还研究了辫群表示的量子参数的超越值，在那里我们表明，每个映射类群的图像是Zapriki密集。
TQFT computations and experiments
利用一个新的程序计算了映射类群的Witten-Reshetikhin-Turaev表示。特别是我们区分一些突变的纤维结。该程序可从http://www.geometrie.ch/TQFT下载
On the TQFT representations of the mapping class groups
我们证明了在亏格大于2且理论的水平r不等于2，3，4，6的条件下，由SU（2）-TQFT中产生的表示构成的映射类群的象是无限的.特别地，当亏格至少为3且r大于12时，映射类群与Dehn扭的r次幂的正规化子的商是无限的。
Density of the SO(3) TQFT representation of mapping class groups
本文证明了：对于奇素数r > 3和整数g > 1，在SO（3）Witten-Chern-Simons理论给出的r阶单位根上的射影表示中，亏格g的曲面的映射类群的像是稠密的.
Integral bases for TQFT modules and unimodular representations of mapping class groups
我们构造了亏格1和亏格2中曲面的SO（3）-TQFT-模在素阶单位根上的整基，并证明了相应的映射类群表示在代数整数环上保持幺模Hermitian形式.对于更高亏格的曲面，埃尔米特形式有时必须是非幺模的。在亏格为3且p=5的情况下，我们仍然给出一个显式基。
Duality and mapping tori in Heegaard Floer homology
我们表明，图TQFT Heegaard弗洛尔同调满足一个强版本的Atiyah的对偶公理的TQFT。作为应用，我们在$HF^+$上计算了四维映射环面的Heegaard Floer混合不变量.
The non semi-simple TQFT of the sphere with four punctures
在这项工作中，我们计算的表示与$4$穿刺所产生的非半单TQFT（由Blanchet-Costantino-Geer-Patureau构造）的球的映射类群。我们证明它是忠实的。最后，我们比较了一般的穿孔球与辫群的量子表示。
Irreducible factors of modular representations of mapping class groups arising in Integral TQFT
我们找到了由Witten-Reshetikhin-Turaev SO（3）-TQFT的积分形式在p阶单位根诱导的曲面的映射类群的正特征的模表示的长度至多为2的分解序列，其中p是奇素数.不可约因子的维数由Verlinder型公式给出。
Maslov index, Lagrangians, Mapping Class Groups and TQFT
给定定向曲面σ的映射类f和σ的第一同调中的拉格朗日量λ，我们定义一个整数n_{lambda}（f）.我们使用n_{lambda}（f）（mod 4）来描述Sigma的映射类群的一个泛中心扩张，作为该扩张的一个指数为4的子群，该扩张是由曲面的同调中拉格朗日子空间的三重数的Maslov指数构成的.我们对这个子组给出了两种描述。一个是拓扑使用手术，另一个是同源的，并建立在工作的Turaev和工作的沃克。一些应用TQFT进行了讨论。它们是基于这样一个事实，即我们的建设允许一个精确地描述如何出现在绞理论的方法TQFT表示的映射类群的相位因子依赖于表面上的拉格朗日的选择。
Mapping Class Group Representations From Non-Semisimple TQFTs
在[arXiv：1912.02063]中，我们构建了三维拓扑量子场论（TQFT），不一定使用半简单的模范畴。在这里，我们研究射影表示表示的映射类群的表面定义的这些TQFT，我们表示的行动，通过一组发电机的代数数据的基本模块类别$\mathcal{C}$。这使我们能够证明从[arXiv：1912.02063]的非半单TQFT导出的射影表示等价于Lyubashenko在[arXiv：hep-th/9405167]中通过生成元和关系得到的那些表示。最后，我们证明，当$\mathcal{C}$是$\mathfrak{sl}_2$小量子群的有限维表示范畴时，所有Dehn扭曲对没有标记点的曲面的作用具有无限阶。
Action of $\mathrm{M}(0,2n)$ on some kernel spaces coming from $\mathrm{SU}(2)$-TQFT
对偶数$n$，研究了当所有穿孔都被同一个整数$N \geq 1$着色时，由$\mathrm{SU}(2)$ -TQFT产生的$n$ -穿孔球的映射类群的表示.证明了Andersen，Masbaum和Ueno的猜想对所有$N \geq 2$的$4$ -穿刺球成立.在$n \geq 6$穿刺的情况下，我们证明了它的伪Anosovs满足同调条件，即他们应采取行动的某些特征空间的$\frac{n}{2}$倍分支覆盖McMullen考虑的同调的非平凡拉伸因子。主要思想是考虑核空间，这是从skein模块到$\mathrm{SU}(2)$ -TQFT的自然映射的核。我们的主要定理确定，作为表示映射类组，某些这些核空间的同源本征空间认为麦克马伦。我们关于AMU猜想的结果是通过对量子表象取适当的极限而得到的，在这种极限表象中，这样的核空间可以作为极限表象的子空间出现。
Pants complex, TQFT and hyperbolic geometry
本文通过量子交数与几何交数的关系，探讨了TQFT、Teichmüller空间和双曲几何之间的联系，并提供了双曲纤维流形体积的线性界限。
Some asymptotics of TQFT via skein theory
对于每个定向表面$Σ$的亏格$g$，我们研究了一个极限的量子表示的映射类群产生的TQFT从考夫曼括号。我们确定这些表示在Fell拓扑中收敛到$\boH(Σ)$上的映射类群的表示，$\boH(Σ)$是$SL(2,\C)$表示簇上的正则函数空间，其厄米特结构来自SU（2）表示簇的辛结构。作为推论，我们给出了量子表象的渐近忠实性的一个新证明。
Integral TQFT for a one-holed torus
本文给出了由积分TQFT产生的亏格为一的具有一个边界分支的曲面的映射类群的表示的新的显式公式。我们的公式允许一个计算的H-adic扩展的TQFT矩阵相关联的映射类在一个简单的方式。截断h-adic展开给出了表示的近似表示为有限群。作为一种特殊情况，我们研究了有限域上的诱导表示，并将它们等价地标识为同构。本文的关键技术成分是积分TQFT模的新的基，这些基关于Hopf对是正交的。我们构造了任意亏格上的这些正交基，并简要地描述了它们的一些其它应用。
Asymptotic aspects of the Teichmüller TQFT
我们计算来自Teichmüller TQFT [AK 1]的结不变量。具体地说，我们计算了结$6_1$的补的结不变量，无论是在原来的[AK 1]和新的Teichmüller TQFT [AK 2]的单顶点H-三角剖分$(S^3,6_1)$。我们表明，这两个配方给出了等价的答案。此外，我们应用了一个正式的固定相分析，并得出了Andersen- Kashaev体积猜想，如[AK 1，Conj.1]所述。此外，我们计算的第一个例子的纽结补在新的配方表明，新的配方是等价于原来的一个在所有的特殊情况下考虑。最后，我们提供了一个明确的同构之间的Teichmüller TQFT表示的映射类群的一次穿孔环面和表示的映射类群上的施瓦茨类函数的空间上的实直线。
A Hermitian TQFT from a non-semisimple category of quantum sl(2)-modules
我们赋予展开量子sl（2）的一个非半单模范畴一个厄米特结构。我们还证明了在arXiv：1202.3553中使用这个范畴构造的TQFT是Hermitian的。这就产生了不定酉矩阵群中的映射类群的射影表示。
Higher Rank TQFT Representations of SL(2,Z) are Reducible
本文给出了由量子SU（N）（N>2）导出的映射类群的TQFT表示的一般可分解性的例子。表示的一个一般分解是由对称性引起的，该对称性通过它们的共轭交换SU（N）表示标签。给定奇偶校验的相应被加数通常仍可简化为许多其它分量。具体地说，当单位根的阶为素数r=2 mod 3时，我们给出了从量子PSU（3）得到的SL（2，Z）表示中不可约直和项的显式基.我们证明了这个被加数同构于相应的PSU（2）表示。
3-Dimensional TQFTs From Non-Semisimple Modular Categories
我们使用修改后的迹重新正规化Lyubashenko的封闭3-流形不变量来自扭曲非退化有限幺模带类别。我们的构造产生了新的拓扑不变量，在可因子分解的额外假设下，我们将其升级为2+1-TQFT。所得到的函子提供了Lyubashenko的映射类群表示的monoidal扩展，如arXiv：2010.14852中所讨论的。这个一般框架包含了来自准霍普夫代数的表示论的非半单模范畴的重要例子，这些例子在以前的非半单TQFT构造中被忽略了。
Irreducibility of some quantum representations of mapping class groups
本文证明了亏格为g的闭曲面的映射类群在素数阶单位根上的SU（2）TQFT表示是不可约的。文中还给出了一些可约表示的例子。
A TQFT associated to the LMO invariant of three-dimensional manifolds
我们构造了一个拓扑量子场论（在Atiyah意义下），它与三维流形的泛有限型不变量相关联，作为一个函子，从具有参数化边界的三维流形范畴，满足某些附加条件，到一个代数组合范畴.它是建立在一起的截断关于一个自然的分级，我们证明了这些TQFT是非退化和异常自由。TQFT诱导包含Torelli群的映射类群的子群${\cal L}_g$的（一系列）表示。N=1截断产生卡森-沃克-莱斯科普不变量的TQFT。
Non semi-simple TQFTs, Reidemeister torsion and Kashaev's invariants
基于量子sl（2）在一般复数单位根上的幂零最高权表示，构造并研究了一类新的TQFT.这扩展到协边（cobordisms）在（arXiv：1202.3553）中定义的非半简单不变量，包括链接的Kashaev不变量。在这里，模块化范畴框架不适用，我们使用“通用构造”。我们的TQFT提供了一个monoidal函子从一类表面和他们的cobordisms到类别的分次有限维向量空间和他们的度0-态射，并依赖于一个单位根的选择顺序为2 r。函子总是对称的monoidal，但对于偶数的r值，GrVect上的辫子必须是超对称的，因此我们的TQFT可以被认为是超TQFT。在r=2的特殊情况下，我们的构造产生了Reidemeister挠率的正则归一化的TQFT，并且我们通过（arXiv：1202.3553）中定义的非半单量子不变量重新证明了透镜空间的分类。我们证明了映射类群和Torelli群的表示，从我们的建设是潜在的更敏感的比那些从标准的Reshetikhin-Turaev函子，特别是我们证明了的Torelli群的边界对生成元的行动总是无限的顺序。
Abelian TQFTS and Schrödinger local systems
本文构造了 Heisenberg 群 Schrödinger 表示上的 3-配边作用，并证明其规范化可重现阿贝尔 TQFT，同时定义了映射类群的射影作用并证明其不可线性化。
Hennings TQFTs for Cobordisms Decorated With Cohomology Classes
本文从abelian群$G$和可分解ribbon Hopf $G$-双代数$H$出发，为带有上同调类装饰的连通framed配边构造了TQFT $J_H$，在平凡装饰下恢复Kerler-Lyubashenko TQFT特例，是迈向非半单装饰TQFT同调模型的第一步。
Invariants and TQFT's for cut cellular surfaces from finite 2-groups
在这篇简短的续篇中，我们回顾了切割细胞表面（CCS）的概念，它是一个有边界的表面，以指定的方式切割以在平面中表示，并且由0-，1-和2-细胞组成。我们获得不变量的CCS的下Pachner样移动的细胞结构，通过计数着色的1-和2-细胞与元素的有限2-组，受到一个“假平坦”的条件下，为每个2-细胞。这些不变量，扩展Yetter的不变量，这一类的表面，也描述了在TQFT设置。将前一篇文章中关于群的可换分数的一个结果推广到2-群的情形。
Non-Semisimple Quantum Invariants and TQFTs from Small and Unrolled Quantum Goups
我们证明了在奇数单位根上展开的量子群产生相对模范畴。这些是构造1+1+1-TQFT扩展CGP不变量的主要构建块，CGP不变量是用带状图和上同调类装饰的封闭3-流形的非半单量子不变量。当我们考虑零上同调类时，这些量子不变量与来自相应小量子群的重整化Hennings不变量一致。
Representations of Motion Groups of Links via Dimension Reduction of TQFTs
三个球面$\mathbb{S}^3$中连杆的运动群是辫子群的推广，辫子群是圆盘$\mathbb{D}^2$中点的运动群。运动组的表示可以用于对扩展对象（例如物理学中的闭弦）的统计建模。每个$1$ -扩展的$(3+1)$ -拓扑量子场论（TQFT）都将提供运动群的表示，但一般来说很难明确地计算这样的表示。在本文中，我们计算的运动群的$\mathbb{S}^3$广义轴的Dijkgraaf-Witten（DW）TQFT降维启发的表示。一个简洁的方式来说明我们的结果是作为一个扭曲的推广（猜想\ref{mainconjecture}）的一个猜想DW理论的降维从$(3+1)$到$(2+1)$：$\textrm{DW}^{3+1}_G \cong \oplus_{[g]\in [G]} \textrm{DW}^{2+1}_{C(g)}$，其中和运行在所有共轭类$[g]\in [G]$的$G$和$C(g)$的任何元素$g\in [g]$的中心化。我们证明了一个版本的猜想\ref{mainconjecture}的映射类群的闭流形和情况下的环面链标记的纯通量。
Orbifold Kähler Groups related to Mapping Class groups
构造了$\mathbb C$上点稳定曲线模堆的轨道折叠紧化，并利用量子表示研究了它们的基本群.这使得能够构造有趣的凯勒群，并解决大多数候选人的反例，以Shafarevich猜想在1998年提出的全纯凸性由Bogomolov和Katzarkov，使用TQFT表示的映射类群。
Central extensions of mapping class groups of surfaces from stated skein algebras
通过陈述编织代数构造曲面映射类群的射影表示，并计算其对应的中心扩张，证明纯二维且不依赖TQFT。
On mapping class group quotients by powers of Dehn twists and their representations
本文的目的是综述关于映射类群的Dehn扭幂映射的有限维表示的一些已知结果，并提出一些未解决的问题。人们可以构造它们的有限个等价物，从Zebraki稠密像的表示到半单李群中。我们表明，在亏格2，斐波那契TQFT表示实际上是一个特殊化的琼斯表示。最后，我们解释了一种方法，长期和穆迪提供了大家庭的映射类群表示。
On exotic modular tensor categories
证明了每一个$(2+1)$都是一个用$(G,λ)$对标记的Chern-Simons-Witten（CSW）理论，其中$G$是紧李群，$λ\in H^4(BG;Z)$是上同调类.我们研究了两个由Jones的子因子理论构造的TQFT，它们被认为是这个猜想的反例：一个是$E_6$子因子的偶数扇区的量子双，另一个是Haagerup子因子的偶数扇区的量子双.我们不能从数学上证明这两个TQFT确实是反例，因为CSW TQFT虽然在物理上被定义，但还没有为每对$(G,λ)$在数学上构造。数学构造的情况包括：1。$G$是一个有限群--Dijkgraaf-Witten TQFT; 2. $G$是环面$T^n$ ; 3. $G$是一个连通的半单李群--Reshetikhin-Turaev TQFT。我们证明了这两个TQFT不属于数学构造的TQFT或它们的直积。这两个TQFT都是Turaev-Viro型的：球面张量范畴的量子双。我们进一步证明了这两个TQFT都不是一个辫状融合范畴的量子偶，并给出了这两个TQFT都不是上述TQFT的轨道或陪集的证据。此外，半$E_6$ TQFT的辫子群的表示可以用于构建通用的拓扑量子计算机，Haagerup情况也是如此。
Homological Construction of Quantum Representations of Mapping Class Groups
我们提供了一个同调模型的一个家庭的量子表示的映射类群所产生的非半单TQFT（拓扑量子场论）。我们的方法给出了一个新的几何角度来看，这些表示，它收集到一个理论的两个最有前途的建设调查线性的映射类群。更精确地说，如果$\varSigma_{g,1}$是一个具有$1$边界分支的亏格$g$的曲面，我们考虑了它的映射类群$\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$对它的位形空间$\mathrm{Conf}_n(\varSigma_{g,1})$的同调的一个（交叉）作用，它的曲面辫子群$π_1(\mathrm{Conf}_n(\varSigma_{g,1}))$的Heisenberg商$\mathbb{H}_g$中有扭曲系数.我们表明，这个行动交织行动的量子群的$\mathfrak{sl}_2$，我们定义的纯同调手段。对于$\mathbb{H}_g$的有限维线性表示（取决于单位根$ζ$），我们调整构造以获得$\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$的投影表示。最后，我们确定，由一个明确的同构，一个子表示的$\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$，这是等价的量子表示所产生的非半单TQFT与量子$\mathfrak{sl}_2$在$ζ$。在这个过程中，我们为$\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$和量子$\mathf…
Topological Quantum Field Theory and the Nielsen-Thurston classification of M(0,4)
我们证明了对于任意固定的整数$n \geq 2$，四点球面映射类的Nielsen-Thurston分类是由量子SU（n）表示决定的.在Pseudo-Anosov情形下，我们还证明了拉伸因子是（非酉）SU（2）-TQFT表示矩阵特征值的极限。因此，在足够大的水平，伪Anosov映射类表示为无限阶矩阵。
Fermionic Finite-Group Gauge Theories and Interacting Symmetric/Crystalline Orders via Cobordisms
我们制定了一个家庭的自旋拓扑量子场理论（自旋TQFTs）作为玻色子Dijkgraaf-Witten TQFTs的费米推广。它们是通过测量$G$ -等变可逆自旋TQFT，或者用物理学的语言，测量具有有限群$G$对称性的相互作用的费米子对称性保护拓扑态（SPT）而获得的。我们使用的事实，后者是分类庞特里亚金分类到自旋bordism群的分类空间$BG$。我们还考虑了无取向的类似物，即$G$ -等变可逆钉$^\pm$ -TQFT（费米子时间反演-SPT）及其测量。我们计算这些群体的各种例子的阿贝尔$G$使用亚当斯谱序列和描述所有相应的TQFT通过一定的bordism不变量的尺寸3，4，和其他。这给出了自旋TQFT的配分函数的显式公式与可能的扩展操作插入封闭流形。结果还提供了明确的分类与有限阿贝尔群对称性的费米子QFT的't Hooft异常在一维以下。我们构造了新的反常边界非限定自旋TQFT（表面费米拓扑序）。我们探索SPT和SET（对称性丰富的拓扑有序）的状态，和晶体的SPT保护的空间群（如平移$\mathbb{Z}$）或点群（如反射，反转或旋转$C_m$）对称性，通过层堆叠结构。
On finite group global and gauged $q$-form symmetries in TQFT
本研究提出将有限群整体及规范$q$-形式对称性纳入$d$维TQFT公理结构的方法，以带边流形的相对上同调类定义规范场，支持自洽切割粘合，将原有$d=3$、$q=0,1$的方法推广至任意维度和$q$值。
Limits of the quantum SO(3) representations for the one-holed torus
对于$N \geq 2$，我们研究了由SO（3）-TQFT产生的单洞环面的映射类群的N维表示序列$(ρ_p^{(c_p)})$，并证明了Andersen，Masbaum和Ueno的猜想\cite{1}对这些表示成立.这是通过证明，在一定的基础上，直到重新缩放，这些表示的矩阵收敛为$p$趋于无穷大。此外，极限描述了$SL_{2}(\mathbb{Z})$对全次数$N-1$的两个变量的齐次多项式空间的作用。
A representation theoretic characterization of simple closed curves on a surface
本文给出了闭曲面的基本群$π_1(S)$的一系列有限维表示，其中所有的简单闭曲线都以有穷级作用，而每一条非简单闭曲线最终都以无限阶作用.作为结果，我们得到一个表示理论的算法，它决定是否一个给定的元素的$π_1(S)$是自由同伦的简单闭曲线。这些表示的建设相结合的想法，从TQFT表示的映射类群与有效版本的LERF表面组。
Asymptotics aspects of Teichmüller TQFT for generalized FAMED semi-geometric triangulations
本文研究了Teichmüller TQFT中广义FAMED半几何三角化在半经典极限下的渐近行为，证明了分部函数的指数衰减及Jones函数的衰减率由Neumann-Zagier潜在函数控制，并验证了Andersen-Kashaev体积猜想。
An analytic family of representations for the mapping class group of punctured surfaces
我们使用量子不变量来定义一个解析家庭的表示的映射类群的穿孔表面。这些表示依赖于|A| <= 1的复数A，并作用于无限维希尔伯特空间。当A是实数或虚数时，它们是酉的;当|A| <1时，它们是有界的;当|A| = 1且A不是单位根时，它们是稠密定义的。当A是不同于1，-1，i，-i的单位根时，表示是有限维的，并且同构于众所周知的TQFT量子表示的“Hom”版本。区间[-1，0]上的酉表示解析地插值于两个自然的几何酉表示之间，即Goldman研究的SU（2）-特征簇表示和由多曲线上的映射类群的作用引起的多曲线表示.有限维表示解析地收敛到无限维表示。我们恢复了Marche和Narimannejad的收敛定理，以及Andersen，Freedman，Walker和Wang的渐近忠实性，即非中心映射类的图像在某个水平r之后总是非平凡的。当映射类是伪Anosov时，我们给出了水平r的一个简单的多项式估计。
SKK groups of manifolds and non-unitary invertible TQFTs
本文通过研究带切向结构流形的SKK群，解决了奇欧拉示性数流形存在性与短正合序列分裂性两个关键问题，并据此完成十重分类中1-5维非酉可逆拓扑量子场论的完整分类。
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