arXiv 2302.017472023-02math.NT

埃及分数逼近与弱贪心算法

Approximation by Egyptian Fractions and the Weak Greedy Algorithm

Hung Viet Chu

备注：: 14 pages, to appear in Indag. Math. (N.S.)

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AI总结：

本文提出弱贪心逼近算法（WGAA），研究用埃及分数表示 θ 的序列构造条件，证明对任意非递减且趋于无穷的 (a_n) 存在满足逼近误差约束的 θ 与 (b_n)，并分析唯一性及具体序列应用。

摘要：

设 $0 < θ\leqslant 1$。若正整数序列 $(b_n)_{n=1}^\infty$ 满足 $\sum_{n=1}^{\infty}1/b_n = θ$，则称其为 $θ$ 的弱贪心逼近。我们引入弱贪心逼近算法（WGAA），该算法对每个 $θ$ 生成两个正整数序列 $(a_n)$ 和 $(b_n)$，使得：a) $\sum_{n=1}^\infty 1/b_n = θ$；b) 对所有 $n\geqslant 1$，有 $1/a_{n+1} < θ- \sum_{i=1}^{n}1/b_i < 1/(a_{n+1}-1)$；c) 存在 $t\geqslant 1$ 使得 $b_n/a_n \leqslant t$ 无限次成立。随后我们研究给定的弱贪心逼近 $(b_n)$ 何时可由 WGAA 产生。进一步，我们证明对任意满足 $a_1\geqslant 2$ 且 $a_n\rightarrow\infty$ 的非递减序列 $(a_n)$，存在 $θ$ 和 $(b_n)$ 使得 a) 和 b) 成立；而 c) 是否也成立取决于序列 $(a_n)$。最后，我们讨论 $θ$ 和 $(b_n)$ 的唯一性问题，并将我们的框架应用于具体序列。

英文摘要：

Let $0 < θ\leqslant 1$. A sequence of positive integers $(b_n)_{n=1}^\infty$ is called a weak greedy approximation of $θ$ if $\sum_{n=1}^{\infty}1/b_n = θ$. We introduce the weak greedy approximation algorithm (WGAA), which, for each $θ$, produces two sequences of positive integers $(a_n)$ and $(b_n)$ such that a) $\sum_{n=1}^\infty 1/b_n = θ$; b) $1/a_{n+1} < θ- \sum_{i=1}^{n}1/b_i < 1/(a_{n+1}-1)$ for all $n\geqslant 1$; c) there exists $t\geqslant 1$ such that $b_n/a_n \leqslant t$ infinitely often. We then investigate when a given weak greedy approximation $(b_n)$ can be produced by the WGAA. Furthermore, we show that for any non-decreasing $(a_n)$ with $a_1\geqslant 2$ and $a_n\rightarrow\infty$, there exist $θ$ and $(b_n)$ such that a) and b) are satisfied; whether c) is also satisfied depends on the sequence $(a_n)$. Finally, we address the uniqueness of $θ$ and $(b_n)$ and apply our framework to specific sequences.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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