On ternary Egyptian fractions with prime denominator

一种具有限制分母的埃及分数表示算法

An algorithm for Egyptian fraction representations with restricted denominators

本文提出了一种算法，利用给定正整数有限多重集作为分母，寻找给定有理数的所有单位分数表示，解决了传统算法分母过大且无法限制分母的问题，特别适合计算具有预设最大分母的密集埃及分数表示。

Egyptian Fractions with Denominators from Sequences Closed Under Doubling

Resolving a conjecture of Zhi-Wei Sun, we prove that every rational number can be represented as a sum of distinct unit fractions whose denominators are practical numbers. The same method applies to allowed denominators that are closed under multiplication by two and include a multiple of every positive integer, including the odious numbers, evil numbers, Hardy-Ramanujan numbers, Jordan-Polya numbers, and fibbinary numbers.

密集埃及分数

Dense Egyptian Fractions

每一个正有理数都可以表示为埃及分数（不同正整数的倒数之和），其中包含任意多个项和任意大的因子。然而，这样的表示通常使用直到最大演示器的正整数的非常稀疏的子集。我们表明，对于每一个积极的理性存在埃及分数的最大分母是在最多N和其乘数形成一个积极的比例的整数到N，足够大的N;此外，比例是在一个小的因素最好的可能。

更密集埃及分数

Denser Egyptian Fractions

埃及分数是不同单位分数（正整数的倒数）的总和。我们发现，每一个有理数埃及的分数表示的条款的数量是相同的数量级的最大分母，提高了结果从早期的文件，以最好的形式。我们还以最好的可能形式解决了相关的问题，即M_t（r）可以小到什么程度，使得存在r的一个埃及分式表示，它正好有t项，且其分解子至多都是M_t（r）。我们还考虑了以下问题所提出的鄂尔多斯和格雷厄姆：一组整数，不能是最大分母的埃及分数表示1是无限的-什么是它的增长顺序？那些不能是第二大（第三大等）的整数怎么办？这样的代表性的分母？在后一种情况下，我们证明了只有1000个整数不能是第二大（第三大等）。这种表示的分母;而在前一种情况下，我们证明了不能成为这种表示的最大分母的整数集的密度为零，并建立了其增长顺序。这两个结果扩展到任何正有理数的表示。

带奇乘数的埃及分数

Egyptian Fractions with odd denominators

研究了丢番图方程$\sum_{i=1}^k \frac{1}{x_i}=1,$的解的个数，特别是当$x_i$是不同的奇正整数时.在这种情况下，对于奇数$k$，解$S(k)$的个数为：具有一些正常数$c_1$和$c_2$的\[\exp \left( \exp \left( c_1\, \frac{k}{\log k}\right)\right) \leq S(k) \leq \exp \left( \exp \left(c_2\, k \right)\right) \]。这改进了早期的$S(k) \geq \exp \left( (1+o(1))\frac{\log 2}{2} k^2\right)$下限。

Counting Egyptian fractions

For any integer $N \geq 1$, let $\mathfrak{E}_N$ be the set of all Egyptian fractions employing denominators less than or equal to $N$. We give upper and lower bounds for the cardinality of $\mathfrak{E}_N$, proving that $$ \frac{N}{\log N} \prod_{j = 3}^{k} \log_j N<\log(\#\mathfrak{E}_N) < 0.421\, N, $$ for any fixed integer $k\geq 3$ and every sufficiently large $N$, where $\log_j x$ denotes the $j$-th iterated logarithm of $x$.