Egyptian Fractions
Thomas F. Bloom, Christian Elsholtz
任何有理数都可以写成不同单位分数的和。在这份调查文件中，我们回顾了许多有趣的问题，这样的“埃及分数”分解，以及最近的进展。
Any rational number can be written as the sum of distinct unit fractions. In this survey paper we review some of the many interesting questions concerning such 'Egyptian fraction' decompositions, and recent progress concerning them.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Egyptian fractions on groups
本研究将直线上埃及分数集合结构的相关结果推广至拓扑群的子集，拓展了埃及分数理论的适用范围。
Egyptian fractions meet the Sierpinski triangle
该研究探索了埃及分数与分形这两个看似不同的数学概念间的新联系，通过研究古埃及数学中有理数分解为不同单位分数之和的方法及相关算术运算，发现了这类表示中涌现的分形结构。
Dense Egyptian Fractions
每一个正有理数都可以表示为埃及分数（不同正整数的倒数之和），其中包含任意多个项和任意大的因子。然而，这样的表示通常使用直到最大演示器的正整数的非常稀疏的子集。我们表明，对于每一个积极的理性存在埃及分数的最大分母是在最多N和其乘数形成一个积极的比例的整数到N，足够大的N;此外，比例是在一个小的因素最好的可能。
An algorithm for Egyptian fraction representations with restricted denominators
本文提出了一种算法，利用给定正整数有限多重集作为分母，寻找给定有理数的所有单位分数表示，解决了传统算法分母过大且无法限制分母的问题，特别适合计算具有预设最大分母的密集埃及分数表示。
Counting Egyptian fractions
对于任何整数$N \geq 1$，令$\mathfrak{E}_N$是所有使用小于或等于$N$的子的埃及分数的集合。我们给出了$\mathfrak{E}_N$的基数的上、下界，证明了对于任意固定整数$k\geq 3$和充分大的$N$，$$ \frac{N}{\log N} \prod_{j = 3}^{k} \log_j N<\log(\#\mathfrak{E}_N) < 0.421\, N, $$是$$ \frac{N}{\log N} \prod_{j = 3}^{k} \log_j N<\log(\#\mathfrak{E}_N) < 0.421\, N, $$，其中$\log_j x$表示$x$的$j$次重对数.
Egyptian fractions for few primes
本文研究分母素因子受限的埃及分数方程，评估贪心算法的界有效性，并提出改进算法生成低秩解和特定素数集上的解，给出计算结果与性能讨论。
Mean Value Theorems for Binary Egyptian Fractions
本文建立了丢番图方程$\frac{a}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$在$a$固定而$n$变化和$a$和$n$都变化的情况下解的个数的两个中值定理.
Egyptian Fractions and Prime Power Divisors
从不同的埃及分数方程，我们得到了推广的主要pseudoperfect数和Giuga数，我们称之为素数幂psuedoperfect数和素数幂Giuga数。我们证明了在OEIS中的Amarnath Murthy序列是素数幂拟完全数序列的子序列。给出了一个数是素幂伪完全数或素幂Giuga数的充分素分解条件。素因子分解的条件自然产生了一个推广的费马素数，我们称之为扩展的费马素数。
Denser Egyptian Fractions
埃及分数是不同单位分数（正整数的倒数）的总和。我们发现，每一个有理数埃及的分数表示的条款的数量是相同的数量级的最大分母，提高了结果从早期的文件，以最好的形式。我们还以最好的可能形式解决了相关的问题，即M_t（r）可以小到什么程度，使得存在r的一个埃及分式表示，它正好有t项，且其分解子至多都是M_t（r）。我们还考虑了以下问题所提出的鄂尔多斯和格雷厄姆：一组整数，不能是最大分母的埃及分数表示1是无限的-什么是它的增长顺序？那些不能是第二大（第三大等）的整数怎么办？这样的代表性的分母？在后一种情况下，我们证明了只有1000个整数不能是第二大（第三大等）。这种表示的分母;而在前一种情况下，我们证明了不能成为这种表示的最大分母的整数集的密度为零，并建立了其增长顺序。这两个结果扩展到任何正有理数的表示。
Egyptian Fractions with Denominators from Sequences Closed Under Doubling
解决了孙志伟的一个猜想，证明了每一个有理数都可以表示为不同的单位分数之和，其分解子是实际数。同样的方法也适用于允许的乘法器，这些乘法器在乘以2时是封闭的，并且包含每个正整数的倍数，包括恶数、恶数、哈代-拉马努金数、乔丹-波利亚数和二进制数。
Underapproximation by Egyptian fractions
正整数的增序列$(x_i)_{i=1}^n$是$θ\in (0,1]$的$n$ -项埃及欠逼近，如果$\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < θ$ .贪婪算法构造$θ$的$n$ -项欠近似。对于某些但不是所有数$θ$，贪婪算法给出了所有$n$的唯一最佳$n$ -项欠逼近。构造了一个无穷有理数集，对于这个无穷有理数集，贪婪欠逼近是最好的，并且还研究了对于这个无穷有理数集，贪婪算法不是最好的。
On ternary Egyptian fractions with prime denominator
给定一个正整数$n$，我们让$A_k(n)$是正整数$a$的个数，使得对于某些$m_1,m_2,\ldots,m_k\in {\mathbb N}$，$\frac{a}{n}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\cdots+\frac{1}{m_k}$。我们证明了$x(\log x)^3\ll \sum_{p\le x} A_3(p)\ll x(\log x)^5$是$x\rightarrow\infty$。
A note on the number of Egyptian fractions
改进估计的Croot，多布斯，Friedlander，Hetzel和Pappalardi，我们表明，对于所有的$k \geq 2$，整数$1 \leq a \leq n$的数量，使方程$a/n = 1/m_1 + \dotsc + 1/m_k$有一个解决方案，在正整数$m_1, \dotsc, m_k$是有界以上的$n^{1 - 1/2^{k-2} + o(1)}$作为$n$走向无穷大。证据是基本的。
Approximating 1 from below using $n$ Egyptian fractions
我们使用$n$埃及分数的和从下面找到最接近1的近似值。
On representations by Egyptian fractions
我们给出了一个尖锐的上界的条目的表示的有理数作为埃及分数的总和。
Egyptian Fractions with odd denominators
研究了丢番图方程$\sum_{i=1}^k \frac{1}{x_i}=1,$的解的个数，特别是当$x_i$是不同的奇正整数时.在这种情况下，对于奇数$k$，解$S(k)$的个数为：具有一些正常数$c_1$和$c_2$的\[\exp \left( \exp \left( c_1\, \frac{k}{\log k}\right)\right) \leq S(k) \leq \exp \left( \exp \left(c_2\, k \right)\right) \]。这改进了早期的$S(k) \geq \exp \left( (1+o(1))\frac{\log 2}{2} k^2\right)$下限。
On the exceptional set for binary Egyptian fractions
对于固定整数$a\ge3$，我们研究了二元丢番图方程$\frac{a}n=\frac1x+\frac1y$，特别是当方程在$x, y$中没有正整数解时，研究了$n\le N$的个数$E_a(N)$.本文建立了当$N$趋于无穷大时的渐近公式$$E_a(N)\sim C(a) \frac{N(\log\log N)^{2^{m-1}-1}}{(\log N)^{1-1/2^m}}$$，这大大改进了文献中的最佳结果.这个证明依赖于对基本群结构的非常精细的分析。
Mean value theorems for binary Egyptian fractions II
在这篇文章中，我们继续我们的调查丢番图方程$\frac{a}n=\frac1x+\frac1y$，特别是它的解决方案$R(n;a)$固定$a$的数量。证明了二阶矩$(R(n;a))^2$的几个中值定理，并由此导出$\log R(n;a)$满足一个具有均值$\log 3\log\log n$和方差$(log 3)^2\log\log n$的高斯分布，这是经典的Erd \H os和Kac定理的一个类似.最后，这些结果都表明，$R(n;a)$的行为类似于除数函数$d(n^2)$在各个方面。
Mean Value from Representation of Rational Number as Sum of Two Egyptian Fractions
对于给定的正整数$n$和$a$，令$R(n;\,a)$表示丢番图方程$$ {a\over n}={1\over x}+{1\over y}. $$的正整数解$(x,\,y)$的个数。C. Vaughan证明了对于$4\leq N$和$a\leq 2N$，存在一个渐近公式$$ S(N;\,a)={3\over π^2a}\prod_{p|a}{p-1\over p+1}\cdot N(\log^2N+c_1(a) \log N+c_0(a))+Δ(N;\,a). $$.本文给出了$c_0(a)$的一个更显式的表达式，它具有更好的误差项.
On Egyptian fractions
我们发现一个三元多项式的值在非负整数满足Erdens-Straus猜想。虽然这些值不包括完满平方，但它允许我们证明存在任意长的连续数序列满足Erdens-Straus猜想。我们猜想这个多项式的值包括$4q+5$形式的所有素数，它被检查到$10^{14}$。给出了求Erdens-Straus分解的一个贪婪型算法，并证明了该算法对一类广泛的数的收敛性.将该算法与上述多项式相结合，证明了所有自然数$n$，$2\le n\le 2\times 10^{14}$都满足Edmarts-Straus猜想。
Weighted real Egyptian numbers
设$\mathcal A = (A_1,\ldots, A_n)$是正实数的非空有限集序列，$\mathcal{B} = (B_1,\ldots, B_n)$是正实数的无限离散集序列.具有分子$\mathcal{A}$和分母$\mathcal{B}$的加权实数埃及数是实数$c$，其可以以\[ c = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i} \]的形式表示，其中$a_i \in A_i$和$b_i \in B_i$用于$i \in \{1,\ldots, n\}$。本文将Sierpinski关于埃及分数的经典结果推广到加权实埃及数集合上。
A lower bound for the number of Egyptian fractions
本文证明了埃及分数表示数量的显式下界，改进了Bleicher和Erdős的结果，并提供了计算精确值的方法和数值表格。
A question of Erdős and Graham on Egyptian fractions
研究了埃罗什与格雷厄姆关于埃及分数的问题，证明了固定正有理数x的表示方式数随n的增长呈指数级增长。
On the examples of Egyptian fractions in Liber Abaci
本文系统梳理了斐波那契在《算盘书》中将任意分数展开为单位分数之和的七类算法与数值例子，并用现代数学符号精确重构其计算过程，同时分析了手稿流传中可能引入的错误。
On eventually greedy best underapproximations by Egyptian fractions
本文证明 Erdős 和 Graham 关于埃及分数最佳下逼近可由贪心方式构造的猜想不成立，并解决了 Bloom 网站上的第 206 号 Erdős 问题。
On sums of Egyptian fractions
本文利用 Vital 恒等式及其同名算法，研究埃及分数倒数和，证明互素正整数 $n/d$ 可分别由有限集族和无限集族的整数倒数划分表示。
The $p$-adic Order of Power Sums, the Erdös-Moser Equation, and Bernoulli Numbers
Erdös-Moser方程是60多年前提出的一个丢番图方程，至今仍未得到解决。在本文中，我们认为这个问题的整除的权力和某些埃及分数方程。因此，我们表明，解决方案必须满足强整除性和限制性埃及分数方程。我们的研究使我们的结果伯努利数，并使我们能够激励莫泽的原始方法的问题。
Ternary Egyptian fractions with prime denominator
本文研究了素数分母三元埃及分数的计数问题，通过改进求和上界，将Luca和Pappalardi在2019年提出的上界从$x(\log x)^5$优化至$x(\log x)^3(\log \log x)^2$。
Egyptian Fractions with Restrictions
令$T_o(k)$表示$\sum_{i=1}^k\frac 1{x_i}=1$在奇数$1<x_1<x_2<...<x_k$中的解的数目。很明显，$T_o(2k)=0$。对于不同素数$p_1, p_2,..., p_t$，令$S(p_1, p_2,..., p_t)=\{p_1^{α_1}...p_t^{α_t}\mid α_i\in \mathbb{N}_0, i=1,2,..., t}$。令$T_k(p_1,..., p_t)$为具有$1<x_1<x_2<...<x_{k}$和$x_i\in S(p_1, p_2,..., p_t)$的解$\sum_{i=1}^{k}\frac 1{x_i}=1$的数目。显然，如果对于某个$k$有$T_k(p_1,..., p_t)\not= 0$，则$S(p_1, p_2,..., p_t)$中所有元素$s_j>1$的逆和大于1。本文研究了$T_o(k)$和$T_k(p_1,..., p_t)$。我们的三个结果是：1）对所有$k\ge 4$有$T_o(2k+1)\ge (\sqrt 2)^{(k+1)(k-4)}$; 2）如果$S(p_1, p_2,..., p_t)$中所有元素$s_j>1$的倒数和大于1，则对无限多个$k$有$T_k(p_1,..., p_t)\not= 0$，这些$k$的集合是无穷多个算术级数的并集; 3）存在两个常数$k…
Representations of rational numbers and Minkowski dimension
本文研究了有理数的三种展开形式，并通过建立闵科夫斯基维数揭示其几何特性，同时应用于递减序列的和集分析。
Approximation by Egyptian Fractions and the Weak Greedy Algorithm
本文提出弱贪心逼近算法（WGAA），研究用埃及分数表示 θ 的序列构造条件，证明对任意非递减且趋于无穷的 (a_n) 存在满足逼近误差约束的 θ 与 (b_n)，并分析唯一性及具体序列应用。
Eventually greedy best Egyptian underapproximations of rational numbers via optimal control
该研究将埃及下逼近问题转化为最优控制问题，证明正有理数存在最终贪心最优埃及下逼近，还构造了具有唯一此类逼近的无理数，解答了Erdős、Graham及Nathanson的相关问题。
A Threshold for the Best Two-term Underapproximation by Egyptian Fractions
本文研究埃及分数贪心展开的二项与逐步下逼近，确定 $Υ(p,q)\leqslant 3$ 为最佳二项下逼近阈值，并刻画逐步项等于更优下逼近的条件。
Distribution of the sum of reciprocal parts for distinct parts partitions
本文研究了将$n$分拆为不同部分时倒数部分和的分布，证明当$n$趋于无穷大时，该统计量在其均值附近的分布类似于随机调和和。
Asymptotics for the partial fractions of the restricted partition generating function I
$p_N(n)$的生成函数，即将$n$划分为至多$N$部分的数目，可以被写为$N$因子的乘积。通过鞍点方法，我们发现了这个乘积的部分分式分解中系数的行为为$N \to \infty$，其中我们需要的鞍点与解析连续双对数的零点相关联。我们的主要结果否定了Rademacher的一个猜想。
Asymptotics for the partial fractions of the restricted partition generating function II
$p_N(n)$的生成函数，即将$n$划分为至多$N$部分的数目，可以被写为$N$因子的乘积。在第一部分中，我们利用鞍点方法研究了该乘积作为$N \to \infty$的部分分式分解中系数的性质，得到了主要项的渐近性质。在第二部分中，我们约束了误差项。这涉及到估计正弦的乘积和进一步的鞍点参数。所需的鞍点与解析连双对数的零点有关。
The median Genocchi numbers, Q-analogues and continued fractions
本文的目的是双重的。首先，我们回顾了最近发展的几何方法的中位数Genocchi数的组合。Genocchi数在此上下文中表现为退化旗形变种的欧拉示性数。其次，证明了退化旗簇的Poincar多项式的母函数可以写成简单连分数。作为应用，我们证明了Poincar ' e多项式与Han和Zeng提出的规范化中值Genocchi数的$q$ -形式一致.
Fibonacci numbers and the golden ratio
在这篇为纪念2016年斐波那契日而写的临时论文中，我们讨论了涉及斐波那契序列、黄金分割率、连分数和嵌套根式的著名关系，并展示了这些关系如何融入源于二次公式的更一般框架。
On the triplicity among infinite products, infinite series, and continued fractions; and its applications to divergent series
本文探讨了无限乘积、无限级数和连分数之间的三重性，并展示了如何利用这种关系计算发散级数的和。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。