关于埃及分数的表示

计算埃及分数

Counting Egyptian fractions

对于任何整数$N \geq 1$，令$\mathfrak{E}_N$是所有使用小于或等于$N$的子的埃及分数的集合。我们给出了$\mathfrak{E}_N$的基数的上、下界，证明了对于任意固定整数$k\geq 3$和充分大的$N$，$$ \frac{N}{\log N} \prod_{j = 3}^{k} \log_j N<\log(\#\mathfrak{E}_N) < 0.421\, N, $$是$$ \frac{N}{\log N} \prod_{j = 3}^{k} \log_j N<\log(\#\mathfrak{E}_N) < 0.421\, N, $$，其中$\log_j x$表示$x$的$j$次重对数.

2019-07-17math.NT

少数素数的埃及分数

Egyptian fractions for few primes

本文研究分母素因子受限的埃及分数方程，评估贪心算法的界有效性，并提出改进算法生成低秩解和特定素数集上的解，给出计算结果与性能讨论。

2025-07-04math.NT

二元埃及分数的中值定理

Mean Value Theorems for Binary Egyptian Fractions

本文建立了丢番图方程$\frac{a}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$在$a$固定而$n$变化和$a$和$n$都变化的情况下解的个数的两个中值定理.

2011-07-30math.NT

埃及分数和素数幂除子

Egyptian Fractions and Prime Power Divisors

从不同的埃及分数方程，我们得到了推广的主要pseudoperfect数和Giuga数，我们称之为素数幂psuedoperfect数和素数幂Giuga数。我们证明了在OEIS中的Amarnath Murthy序列是素数幂拟完全数序列的子序列。给出了一个数是素幂伪完全数或素幂Giuga数的充分素分解条件。素因子分解的条件自然产生了一个推广的费马素数，我们称之为扩展的费马素数。

2018-04-03math.NT

更密集埃及分数

Denser Egyptian Fractions

埃及分数是不同单位分数（正整数的倒数）的总和。我们发现，每一个有理数埃及的分数表示的条款的数量是相同的数量级的最大分母，提高了结果从早期的文件，以最好的形式。我们还以最好的可能形式解决了相关的问题，即M_t（r）可以小到什么程度，使得存在r的一个埃及分式表示，它正好有t项，且其分解子至多都是M_t（r）。我们还考虑了以下问题所提出的鄂尔多斯和格雷厄姆：一组整数，不能是最大分母的埃及分数表示1是无限的-什么是它的增长顺序？那些不能是第二大（第三大等）的整数怎么办？这样的代表性的分母？在后一种情况下，我们证明了只有1000个整数不能是第二大（第三大等）。这种表示的分母;而在前一种情况下，我们证明了不能成为这种表示的最大分母的整数集的密度为零，并建立了其增长顺序。这两个结果扩展到任何正有理数的表示。

1998-11-18math.NT

二重闭序列的分母埃及分式

Egyptian Fractions with Denominators from Sequences Closed Under Doubling

解决了孙志伟的一个猜想，证明了每一个有理数都可以表示为不同的单位分数之和，其分解子是实际数。同样的方法也适用于允许的乘法器，这些乘法器在乘以2时是封闭的，并且包含每个正整数的倍数，包括恶数、恶数、哈代-拉马努金数、乔丹-波利亚数和二进制数。

2021-09-24math.NT

埃及分数的欠逼近

Underapproximation by Egyptian fractions

正整数的增序列$(x_i)_{i=1}^n$是$θ\in (0,1]$的$n$ -项埃及欠逼近，如果$\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < θ$ .贪婪算法构造$θ$的$n$ -项欠近似。对于某些但不是所有数$θ$，贪婪算法给出了所有$n$的唯一最佳$n$ -项欠逼近。构造了一个无穷有理数集，对于这个无穷有理数集，贪婪欠逼近是最好的，并且还研究了对于这个无穷有理数集，贪婪算法不是最好的。

2022-02-03math.NT

关于带素分母的三进制埃及分数

On ternary Egyptian fractions with prime denominator

给定一个正整数$n$，我们让$A_k(n)$是正整数$a$的个数，使得对于某些$m_1,m_2,\ldots,m_k\in {\mathbb N}$，$\frac{a}{n}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\cdots+\frac{1}{m_k}$。我们证明了$x(\log x)^3\ll \sum_{p\le x} A_3(p)\ll x(\log x)^5$是$x\rightarrow\infty$。

2019-09-19math.NT

关于埃及分数数的一个注记

A note on the number of Egyptian fractions

改进估计的Croot，多布斯，Friedlander，Hetzel和Pappalardi，我们表明，对于所有的$k \geq 2$，整数$1 \leq a \leq n$的数量，使方程$a/n = 1/m_1 + \dotsc + 1/m_k$有一个解决方案，在正整数$m_1, \dotsc, m_k$是有界以上的$n^{1 - 1/2^{k-2} + o(1)}$作为$n$走向无穷大。证据是基本的。

2022-10-11math.NT

带奇乘数的埃及分数

Egyptian Fractions with odd denominators

研究了丢番图方程$\sum_{i=1}^k \frac{1}{x_i}=1,$的解的个数，特别是当$x_i$是不同的奇正整数时.在这种情况下，对于奇数$k$，解$S(k)$的个数为：具有一些正常数$c_1$和$c_2$的\[\exp \left( \exp \left( c_1\, \frac{k}{\log k}\right)\right) \leq S(k) \leq \exp \left( \exp \left(c_2\, k \right)\right) \]。这改进了早期的$S(k) \geq \exp \left( (1+o(1))\frac{\log 2}{2} k^2\right)$下限。

2016-06-07math.NT

关于二元埃及分数的例外集

On the exceptional set for binary Egyptian fractions

对于固定整数$a\ge3$，我们研究了二元丢番图方程$\frac{a}n=\frac1x+\frac1y$，特别是当方程在$x, y$中没有正整数解时，研究了$n\le N$的个数$E_a(N)$.本文建立了当$N$趋于无穷大时的渐近公式$$E_a(N)\sim C(a) \frac{N(\log\log N)^{2^{m-1}-1}}{(\log N)^{1-1/2^m}}$$，这大大改进了文献中的最佳结果.这个证明依赖于对基本群结构的非常精细的分析。

2011-11-10math.NT

埃罗什与格雷厄姆关于埃及分数的问题

A question of Erdős and Graham on Egyptian fractions

研究了埃罗什与格雷厄姆关于埃及分数的问题，证明了固定正有理数x的表示方式数随n的增长呈指数级增长。

2025-12-17math.COmath.NT

二元埃及分式的中值定理II

Mean value theorems for binary Egyptian fractions II

在这篇文章中，我们继续我们的调查丢番图方程$\frac{a}n=\frac1x+\frac1y$，特别是它的解决方案$R(n;a)$固定$a$的数量。证明了二阶矩$(R(n;a))^2$的几个中值定理，并由此导出$\log R(n;a)$满足一个具有均值$\log 3\log\log n$和方差$(log 3)^2\log\log n$的高斯分布，这是经典的Erd \H os和Kac定理的一个类似.最后，这些结果都表明，$R(n;a)$的行为类似于除数函数$d(n^2)$在各个方面。

2011-09-11math.NT

用两个埃及分数之和表示有理数的均值

Mean Value from Representation of Rational Number as Sum of Two Egyptian Fractions

对于给定的正整数$n$和$a$，令$R(n;\,a)$表示丢番图方程$$ {a\over n}={1\over x}+{1\over y}. $$的正整数解$(x,\,y)$的个数。C. Vaughan证明了对于$4\leq N$和$a\leq 2N$，存在一个渐近公式$$ S(N;\,a)={3\over π^2a}\prod_{p|a}{p-1\over p+1}\cdot N(\log^2N+c_1(a) \log N+c_0(a))+Δ(N;\,a). $$.本文给出了$c_0(a)$的一个更显式的表达式，它具有更好的误差项.

2011-09-05math.NT

关于埃及分数最终贪心最佳下逼近的研究

On eventually greedy best underapproximations by Egyptian fractions

本文证明 Erdős 和 Graham 关于埃及分数最佳下逼近可由贪心方式构造的猜想不成立，并解决了 Bloom 网站上的第 206 号 Erdős 问题。

2024-09-26math.CAmath.COmath.NT

关于埃及分数

On Egyptian fractions

我们发现一个三元多项式的值在非负整数满足Erdens-Straus猜想。虽然这些值不包括完满平方，但它允许我们证明存在任意长的连续数序列满足Erdens-Straus猜想。我们猜想这个多项式的值包括$4q+5$形式的所有素数，它被检查到$10^{14}$。给出了求Erdens-Straus分解的一个贪婪型算法，并证明了该算法对一类广泛的数的收敛性.将该算法与上述多项式相结合，证明了所有自然数$n$，$2\le n\le 2\times 10^{14}$都满足Edmarts-Straus猜想。

2012-04-30math.NT

论《算盘书》中埃及分数的例子

On the examples of Egyptian fractions in Liber Abaci

本文系统梳理了斐波那契在《算盘书》中将任意分数展开为单位分数之和的七类算法与数值例子，并用现代数学符号精确重构其计算过程，同时分析了手稿流传中可能引入的错误。

2025-02-08math.HOmath.NT

加权实埃及数

Weighted real Egyptian numbers

设$\mathcal A = (A_1,\ldots, A_n)$是正实数的非空有限集序列，$\mathcal{B} = (B_1,\ldots, B_n)$是正实数的无限离散集序列.具有分子$\mathcal{A}$和分母$\mathcal{B}$的加权实数埃及数是实数$c$，其可以以\[ c = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{b_i} \]的形式表示，其中$a_i \in A_i$和$b_i \in B_i$用于$i \in \{1,\ldots, n\}$。本文将Sierpinski关于埃及分数的经典结果推广到加权实埃及数集合上。

2017-09-12math.NT

埃及分数数量的一个下界

A lower bound for the number of Egyptian fractions

本文证明了埃及分数表示数量的显式下界，改进了Bleicher和Erdős的结果，并提供了计算精确值的方法和数值表格。

2025-09-12math.NT

具有素数分母的三元埃及分数

Ternary Egyptian fractions with prime denominator

本文研究了素数分母三元埃及分数的计数问题，通过改进求和上界，将Luca和Pappalardi在2019年提出的上界从$x(\log x)^5$优化至$x(\log x)^3(\log \log x)^2$。

2022-06-13math.COmath.NT

关于埃及分数之和

On sums of Egyptian fractions

本文利用 Vital 恒等式及其同名算法，研究埃及分数倒数和，证明互素正整数 $n/d$ 可分别由有限集族和无限集族的整数倒数划分表示。

2024-12-03math.NT

有理数的表示与闵科夫斯基维数

Representations of rational numbers and Minkowski dimension

Shenzhen Technology University（深圳理工大学）；Hangzhou Institute for Advanced Study, UCAS（中国科学院大学杭州高等研究院）；Central South University（中南大学）

本文研究了有理数的三种展开形式，并通过建立闵科夫斯基维数揭示其几何特性，同时应用于递减序列的和集分析。

2025-12-24math.CAmath.NT

幂和的$p$ -adic阶、Erdös-Moser方程和Bernoulli数

The $p$-adic Order of Power Sums, the Erdös-Moser Equation, and Bernoulli Numbers

Erdös-Moser方程是60多年前提出的一个丢番图方程，至今仍未得到解决。在本文中，我们认为这个问题的整除的权力和某些埃及分数方程。因此，我们表明，解决方案必须满足强整除性和限制性埃及分数方程。我们的研究使我们的结果伯努利数，并使我们能够激励莫泽的原始方法的问题。

2014-01-01math.NT

通过最优控制最终贪心最优的有理数埃及下逼近

Eventually greedy best Egyptian underapproximations of rational numbers via optimal control

University of Zagreb（萨格勒布大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）

该研究将埃及下逼近问题转化为最优控制问题，证明正有理数存在最终贪心最优埃及下逼近，还构造了具有唯一此类逼近的无理数，解答了Erdős、Graham及Nathanson的相关问题。

2026-08-05math.CAmath.COmath.NT

埃及分数限制

Egyptian Fractions with Restrictions

令$T_o(k)$表示$\sum_{i=1}^k\frac 1{x_i}=1$在奇数$1<x_1<x_2<...<x_k$中的解的数目。很明显，$T_o(2k)=0$。对于不同素数$p_1, p_2,..., p_t$，令$S(p_1, p_2,..., p_t)=\{p_1^{α_1}...p_t^{α_t}\mid α_i\in \mathbb{N}_0, i=1,2,..., t}$。令$T_k(p_1,..., p_t)$为具有$1<x_1<x_2<...<x_{k}$和$x_i\in S(p_1, p_2,..., p_t)$的解$\sum_{i=1}^{k}\frac 1{x_i}=1$的数目。显然，如果对于某个$k$有$T_k(p_1,..., p_t)\not= 0$，则$S(p_1, p_2,..., p_t)$中所有元素$s_j>1$的逆和大于1。本文研究了$T_o(k)$和$T_k(p_1,..., p_t)$。我们的三个结果是：1）对所有$k\ge 4$有$T_o(2k+1)\ge (\sqrt 2)^{(k+1)(k-4)}$; 2）如果$S(p_1, p_2,..., p_t)$中所有元素$s_j>1$的倒数和大于1，则对无限多个$k$有$T_k(p_1,..., p_t)\not= 0$，这些$k$的集合是无穷多个算术级数的并集; 3）存在两个常数$k…

2011-08-31math.NT

埃及分数逼近与弱贪心算法

Approximation by Egyptian Fractions and the Weak Greedy Algorithm

本文提出弱贪心逼近算法（WGAA），研究用埃及分数表示 θ 的序列构造条件，证明对任意非递减且趋于无穷的 (a_n) 存在满足逼近误差约束的 θ 与 (b_n)，并分析唯一性及具体序列应用。

2023-05-30math.NT

埃及分数最佳二项下逼近的一个阈值

A Threshold for the Best Two-term Underapproximation by Egyptian Fractions

本文研究埃及分数贪心展开的二项与逐步下逼近，确定 $Υ(p,q)\leqslant 3$ 为最佳二项下逼近阈值，并刻画逐步项等于更优下逼近的条件。

2024-01-20math.NT

Erdős-Straus猜想的取整连分数方法：反例的启发式有限性

A Ceiling Continued Fraction Approach to the Erdős-Straus Conjecture: Heuristic finiteness of counterexamples

提出取整连分数（FCT）框架构造Erdős-Straus猜想的三项埃及分数表示，利用移位整数p+i的除数结构而非同余技巧，推导出失败概率的超多项式上界，结合Borel-Cantelli引理启发式证明反例有限，并在10^17、10^52和10^131附近的10^9个素数上验证无反例。

2026-10-16math.NT

连分数表示中的保位乘法

Digit Preserving Multiplication in Continued Fraction Representations

置换数是一个数，它是它的数字的某种置换的整数倍。一个著名的例子是9801，因为它是它的反转1089的整数倍。在本文中，我们考虑在一个完全不同的设置：连分数的重数问题。我们提出的问题时，简单连分数表示的有理数是一个整数倍的置换，其部分同分之一（或数字，我们将称之为）。我们开发了一些一般性的结果，并将其应用于寻找新的例子。在这样做的时候，我们试图分类所有的2，3，和4位数的连分数permulple的基本permulple类型，我们发现沿途。我们还生成新的例子，从旧的条件，保证数字串串联产生其他permutiples。

2017-02-15math.NT

Cuntz代数${\cal O}_{\infty}$的连分数展开和置换表示

Continued fraction expansions and permutative representations of the Cuntz algebra ${\cal O}_{\infty}$

我们证明了无理数的简单连分数展开与Cuntz代数${\cal O}_{\infty}$的不可约置换表示之间的对应关系。关于对应性，证明了实数关于模变换的等价于表示的酉表示的等价。此外，我们表明，二次无理数与不可约置换表示的${\cal O}_{\infty}$与一个周期。

2009-01-15math.NTmath.OA

广义算子熵的连分数表示

Continued fraction representations of the generalized operator entropy

由于矩阵的有理指数的出现，使得直接计算广义算子熵变得困难。本文的主要目的是克服这些困难，并提出一种实用有效的方法，这种计算使用其表示的矩阵连分数。在文章的最后，我们导出了Bregman算子散度的一个连分数展开式.最后给出了一些数值例子来说明理论结果。

2022-10-13cs.NAmath.NAmath.NT

慢连分数与$\mathcal{O}_N$的置换表示

Slow continued fractions and permutative representations of $\mathcal{O}_N$

Cuntz代数$\mathcal{O}_N$的表示是由Giovanni Panti引入的慢连分数算法相关的区间动力系统构造的。利用实数上的模群作用刻画了它们的不可约分解公式，推广了Kawamura，Hayashi和Lascu的结果.此外，一定的对称性，这样的区间动力系统被解释为协变表示的$C^*$ -动力系统的“触发器”自同构的$\mathcal{O}_2$。

2019-09-16math.DSmath.NTmath.OA

与Rogers-Ramanujan连分数相关的三参数模函数族的Eta商表示

Eta-Quotient Representations for a Three Parameter Family of Modular Functions Associated with the Rogers-Ramanujan Continued Fraction

University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）

本文构造了与Rogers-Ramanujan连分数相关的三参数模函数族，推导其递归eta商表示，并应用于剖分公式，特别是用于获得受限奇数差分拆的5-剖分公式。

2026-09-14math.COmath.NT

以某些连分数表示为特征的$SL_2(\mathbb{Z})$的子群

Subgroups of $SL_2(\mathbb{Z})$ characterized by certain continued fraction representations

对于正整数$u$和$v$，记为$L_u=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ u & 1 \end{bmatrix}$和$R_v=\begin{bmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。设$S_{u,v}$是由$L_u$和$R_v$生成的幺半群，$G_{u,v}$是由$L_u$和$R_v$生成的群。在本文中，我们扩大了一个表征矩阵$M=\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}$在$S_{k,k}$和$G_{k,k}$时，$k\geq 2$由Esbelin和Gutan $S_{u,v}$时，$u,v\geq 2$和$G_{u,v}$时，$u,v\geq 3$。我们给出了一个简单的算法的方法来确定$M$是在$G_{u,v}$使用递归函数和短连分数表示的$b/d$。

2020-01-28math.GRmath.NT