Locally countable graphs of second projective class not generated by countably many projective functions
IITP RAS（俄罗斯科学院信息处理技术问题研究所）
针对Rettich和Serafin的问题，构造了一个集合论模型，其中存在一个实数子集上的局部可数$\varPi^1_2$图，该图不能由可数多个射影（或实序数可定义，ROD）函数生成；并证明在Solovay模型中，实数上的$\varSigma^1_2$等可构造性图不能由可数多个ROD函数生成。
2026-06-13 math.LO
Countable Support Iteration Revisited
只要P是一个适当的可定义的强制添加一个真正的，可数支持迭代的P有所有的保存性质，它可能有，在一个广泛的语法识别类的性质。
2001-06-25 math.LO
The Countable Reals
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、力学与物理研究所）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
本文构造了一个拓扑，在其中戴德金实数是可数的。通过参数化实现，利用非对角化的实数序列，使戴德金实数成为内部可数的。尽管该拓扑是直觉主义的，但许多分析内容仍得以保留。
2026-04-01 math.LO
OD elements of countable OD sets in the Solovay model
在Solovay模型中，每一个可数的实数集合的序可定义的集合只包含序可定义的元素。
2016-03-15 math.LO
Dense families of countable sets below $c$
我们证明了连续统是一致的，并且对于连续统之下的每个不可数基数$κ$，存在实数的子集$T$和$T$的可数子集的族$A$，使得（1）$T$和$A$都具有基数$κ$，（2）对于每个$a\in A$，都有$|\bar{a}\cap T|=κ$，（3）对于$T$的每个不可数子集都包含$A$的某些元素，因此（i）存在一个几乎不相交的实数子集族，其大小和色数为$κ$，（ii）存在一个局部紧的，具有势谱$\{ω,κ\}$的局部可数$T_2$空间
2010-03-12 math.GN math.LO
Borel chromatic numbers of locally countable $F_σ$ graphs and forcing with superperfect trees
在这项工作中，我们研究了不可数Borel色数，由Geschke（2011）定义为连续体的基数特征，低复杂度图。证明了在加$\aleph_2$ Laver实数得到的模型中，具有紧致全不连通的点集的局部可数图的强形式的Borel色数是由该模型的连续统所限定的.由此，我们回答了Geschke和第二作者（2022）的一个问题，以及Fisher，Friedman和Khomskii（2014）关于实数线子集的正则性的另一个问题。
2022-09-08 math.CO math.LO
The Largest Countable Inductive Set is a Mouse Set
设kappa是使得L_{alpha}（R）是可容许的最小序数α。设A是实数x的集合，使得x在L_α（R）中是序数可定义的，其中α <κ.众所周知（假设确定性）A是实数的最大可数归纳集。设T是下列理论：ZFC - Replacement +“存在$ω$ Woodin基数，它们在序数中是共尾的. T的一致性强度弱于ZFC +“存在ω Woodin基数”理论，但强于ZFC +“存在n个Woodin基数”理论，对每个n.设M是理论T的正则最小内模型。本文证明了A等于M中的实数集。因为M是一个“鼠标”，我们说A是一个“鼠标集”。“作为应用，我们使用我们对A的刻画来给出马丁定理的内模型理论证明，即A等于实数的集合，对于某个n，该实数是Sigma^*_n。
1996-09-16 math.LO
Maximal Chains of Isomorphic Subgraphs of Countable Ultrahomogeneous Graphs
对于可数超齐次图G，设P（G）表示G的同构于G的子图的域的集合。刻画了包含序集P（G）U中极大链的序型：（I）当G是Rado图或Henson图H_n，且n>2时，具有最小非孤立实的紧集的序型;（II）最小非孤立的实的紧致无处稠密集的序型，如果G是尺寸为ν的μ不交完全图的并，其中μν=ω。
2013-05-30 math.CO math.LO
Upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable model of set theory
证明了集合论可数传递模型的类属多重宇宙中关于向上闭包与合并的几个定理。每一个这样的模型$W$都通过添加一个科恩实数而具有力迫扩张$W[c]$和$W[d]$，这不能在任何进一步的扩展中合并，但是一些非平凡的力迫概念具有它们的所有扩展可合并。递增链$W[G_0]\subseteq W[G_1]\subseteq\cdots$有上界$W[H]$当且仅当在$W$中强迫有一致有界本质尺寸。每个链$W\subseteq W[c_0]\subseteq W[c_1]\subseteq\cdots$的扩展添加科恩实数是有界的$W[d]$上的某些$W$ -一般科恩实$d$。
2015-11-03 math.LO
On countable cofinality and decomposition of definable thin orderings
证明了在某些情况下Borel偏序的可定义薄集（包括链）必然可数共尾.这包括以下几种情况：解析瘦集，Solovay模型中的ROD瘦集，以及假设$ω_1^{L[x]}<ω_1$对所有实数$x$的$Σ^1_2$瘦集。我们还证明了可定义的薄wellorderings承认分区成可定义的链中的Solovay模型。
2014-11-30 math.LO
Countable ranks at the first and second projective levels
秩（英语：rank）是描述集合论中的一个概念，它描述了波兰空间闭子集集合上的Cantor-Bendixson秩，$C[0,1]$中可微函数集合上的可微秩，如Kechris-Woodin秩，以及描述集合论和实分析中的许多其他秩。许多自然秩的复杂度是$Π^1_1$或$Σ^1_2$。我们建议理解的最小长度的行列在一个集合作为衡量其复杂性。因此，目的是了解这种等级可能有哪些长度。主要结果确定了可数秩在第一和第二射影水平上的长度的上确界。进一步证明了特定类的$Σ^1_2$集的可数秩的存在性.之间产生的联系$Σ^1_2$集与可数秩一方面和$Σ^1_2$博雷尔集另一方面导致一个猜想，统一了几个结果在描述集合论，如曼斯菲尔德-索洛维定理和最近的结果卡诺维和柳别茨基。
2022-07-18 math.LO
A Dedekind Finite Borel Set
本文在没有任何形式的选择公理的情况下证明了ZF模型中Borel集理论的三个定理。我们证明了如果B是一个G-delta-sigma集，则B是可数的或B包含一个完美子集。其次，我们证明了如果实直线是可数集的可数并，则存在不含完美子集的不可数F-sigma-delta集。最后，我们构造了一个ZF模型，其中我们有一个无限的Dedekind有限集的实数是F-西格玛-德尔塔。
2008-06-11 math.LO
Big Ramsey degrees and divisibility in classes of ultrametric spaces
给定一个可数的正实数集S，研究了S中距离为可数的超度量Urysohn空间的有限维Ramsey理论性质。
2007-10-11 math.CO math.LO
Generic Coding with Help and Amalgamation Failure
证明了若$M$是ZF的可数传递模型，且$a,b$不是$M$中的实数，则存在$M$上的$G$泛型使得$b \in L[a,G]$ .然后，我们给出了几个应用，如：如果$J$是ZFC的任意可数传递模型，而$M \not\subseteq J$是ZFC的另一个可数传递模型，且序数高度$α$相同，则存在$J$的强制扩张$N$，使得$M \cup N$不包含在ZFC的任意传递模型中，序数高度为$α$ .同样，假设$0^\#$存在，令$S$是$L$上的实数类属集，尽管$S$与$0^\#$上的图灵锥不相交，我们得到对于任何不可构造的实数$a$，$\{ a \oplus s : s \in S \}$在图灵度上是共尾的。
2021-04-06 math.LO
Completions of countable non-standard models of Q
本文研究了具有可数多个元素的有理数的非标准模型。这些都是序域，因此使用非标准柯西序列来完成它们是有意义的。本文的主要结果表明，这些完备化是实封闭的的，即每一个正数都是平方，每一个奇次多项式都有根.这样，我们给出了Hauschild定理的一个推论的直接证明。在本说明的前一个版本中，由于没有意识到这些结果，我们没有提到这一参考文献。我们感谢Matthias Aschenbrenner指出这一点和相关工作。我们还提供了一些信息的一套实部的有限元等完成-关于更有趣的结果沿着这一点，我们已经告知马蒂亚斯Aschenbrenner。实现这些结果的主要思想依赖于一种用一阶逻辑描述多项式实零点的方法。这是通过仔细使用这种多项式的符号变化来实现的。
2007-02-21 math.LO math.RA
Definable ${\mathsf E}_0$ classes at arbitrary projective levels
使用修改的不变的詹森强迫，我们定义了一个模型的ZFC，其中，对于一个给定的$n\ge3$，存在一个lightface $\varPi^1_n$集的reals，这是一个${\mathsf E}_0$等价类，因此是一个可数集，不包含任何OD元素，而每一个非空的可数$\varSigma^1_n$集的reals必然是可构造的，因此只包含OD reals。
2017-05-08 math.LO
Hurewicz sets of reals without perfect subsets
我们证明了即使对于不包含完美集的实数线的子集X，Hurewicz性质也不意味着性质S1（Gamma，Gamma），断言对于X的每个开伽玛覆盖的可数族，存在一个选择函数，其像是X的伽玛覆盖。这解决了Just、Miller、Scheepers和Szeptycki的问题。我们的主要结果还回答了Bartoszynski和Tsaban的一个问题，并暗示了对于C_p（X），Sakai的强可数扇紧性和Reznichenko性质的结合并不意味着Arhangelskii的α_2性质.
2011-08-05 math.GN math.LO
Ramsey theory over partitions III: Strongly Luzin sets and partition relations
Todorcevic从强Luzin集得到的可数序数对的最强染色类型等价于大小为$\aleph_1$的实数的非贫乏集的存在性.在另一个方向，它表明，存在的强Luzin集和连贯的Souslin树是相容的可数分割的可数序数对的存在，使没有着色是强的。这澄清了画廊的着色断言之间的相互作用可以追溯到一百年前的Luzin和Sierpinski。
2022-04-16 math.LO
Every countable model of arithmetic or set theory has a pointwise-definable end extension
本文提出构造算术与集合论逐点可定义模型的新方法，证明每个可数 ZF 或 PA 模型都有逐点可定义的端扩张，并可实现 $V=L$ 等内模型理论。
2024-04-06 math.LO
A Sacks Real out of Nowhere
存在长度为$ω$的真可数支撑迭代，在有限阶段不添加新的实数，并在极限中添加Sacks实数。
2009-04-29 math.LO
A Countable, Dense, Dedekind-Complete Subset of $\mathbb{R}$ Constructed by Extending $\mathbb{Q}$ via Simultaneous Marking of Closed Intervals with Rational Endpoints
本文从基数的模型相对性出发，在 ZFC 与 Wang 的 Σ-模型中构造可数、稠密且 Dedekind 完备的实数子集，以反思不可数性证明与 CH。
2025-06-09 math.LO
Uncountable Real Closed Fields with PA Integer Parts
D'Aquino，Knight和Starchenko将可数的具有整数部分的实封闭的域分类为Peano算术的非标准模型。我们排除了一些可能性，扩展他们的结果不可数和研究实闭包的$ω_1$样模型的PA。
2014-01-24 math.LO
The complexity of the reals in inner models of set theory
可构造实数集的通常定义是$Σ^1_2$。这个集合可以有一个更简单的定义，例如，如果它是可数的，或者如果每个实数都是可构造的。H.弗里德曼问，可构造的实数集是否可以是解析的，甚至是非平凡的波莱尔。K提出了一个相关的问题。Prikry：存在不可构造的可构造实数的完满集吗？本文的主要结果是对弗里德曼问题的否定回答。事实上，我们证明，如果$M$是一个内部模型的集合论和一套真正的$M$是分析，然后要么所有的真正是在$M$或其他$\aleph _1^M$是可数的。我们还将这一结果推广到更高层次的适当的大基数假设下的投影层次。关于Prikry的问题，我们表明，答案是否定的，如果“完美的”是由“超完美”，但它可以是积极的，如果“建设”是由“属于一些内部模型$M$“。
1995-01-02 math.LO
Big in Reverse Mathematics: the uncountability of the real numbers
研究实数集不可数性在高阶逆向数学中的等价定理，提出基于有限集并集的可数集新定义，证明其与黎曼积分、有界变差函数等基本性质等价，确立其为RM中的“大”系统。
2023-06-23 math.LO
Abelian group actions and hypersmooth equivalence relations
证明了标准Borel群的Borel作用同构于可数交换阿贝尔群的和，该交换群具有可数实数直线和实数圆的和，它诱导出超光滑的轨道等价关系，即，Borel可约化为实数序列的最终一致，并由此结果与局部紧阿贝尔群的结构理论一起导出波兰LCA群的Borel作用诱导出本质上超有限的轨道等价关系，推广了Gao和Jackson的一个结果，回答了Ding和Gao的一个问题.
2021-12-11 math.DS math.GN math.LO
