Ramsey numbers of degenerate graphs
一个图是$d$ -退化的，如果它的所有子图都有一个度至多为$d$的顶点.本文证明了存在一个常数$c$，使得对所有自然数$d$和$r$，每个色数$r$与$|V(H)| \ge 2^{d^22^{cr}}$的$d$ -退化图$H$最多有$2^{d2^{cr}} |V(H)|$ .这解决了Burr和Erdens在1973年提出的一个猜想。
2016-12-01 math.CO
A note on strong edge-colorings of 2-degenerate graphs
本文证明了每个最大度为$Δ$的2-退化图存在使用至多$8Δ-4$种颜色的强边着色。
2024-03-27 math.CO
Acyclic Edge colorings of 2-degenerate graphs
图的$acyclic$边染色是不存在双色圈的正常边染色。图的\emph{acyclic chromatic index}是使得存在使用k种颜色的非循环边染色的最小数k，并且用$a'(G)$表示。一个图称为2- $degenerate$，如果它的任一导出子图的顶点的度不超过2。2- $degenerate graphs$的类适当地包含$series$ - $parallel graphs$、$outerplanar graphs$、\emph{non-regular subcubic graphs}、\emph{planar graphs of girth at least 6}和\emph{circle graphs of girth at least 5}作为子类。Alon，Sudakov和Zaks（以及更早的Fiamcik）提出了图的最大度为$a'(G)\le Δ+2$的概念，其中$Δ=Δ(G)$表示图的最大度.我们证明了2- $degenerate$图的猜想：事实上，我们证明了一个更强的界。证明了如果$G$是一个2-退化图，其最大度为$Δ$，则$a'(G)\le Δ+ 1$ .
2008-10-20 math.CO
On the geometric thickness of 2-degenerate graphs
一个图是2-退化的，如果每个子图包含一个度至多为2的顶点。我们证明了每个2-退化图都可以用直线画出，使得图分解为4个平面森林。因此，2-退化图的几何荫度和几何厚度至多为4。另一方面，我们表明，有2-退化图，不承认任何直线画的边集分解成2平面图。也就是说，有2-退化图的几何厚度，因此几何荫度，至少为3。这回答了Eppstein提出的两个问题[将厚度与几何厚度分开。在走向几何图形的理论，第342卷。数学，AMS，2004年]。
2023-02-28 cs.CG math.CO
Degenerate Vertex Cuts in Sparse Graphs
Ulm University（乌尔姆大学）
该研究证明了稀疏图中存在特定条件下的最小k-退化割，给出了无k-退化割图的大小下界及连通图的边数限制。
2026-01-05 math.CO
Spectral extremal problems for degenerate graphs
本文研究退化图族的谱极值问题，利用图的覆盖与独立覆盖建立谱稳定性结果，证明了一般性定理以刻画谱极值图，并揭示了极值图与谱极值图之间的相关性。
2025-07-16 math.CO
Degenerate Matchings and Edge Colorings
图$G$中的一个匹配$M$是$r$ -退化的，如果由与$M$中的一条边关联的顶点集导出的$G$的子图是$r$ -退化的. Goddard、Hedetniemi、Hedetniemi和Laskar（图中的广义子图限制匹配，离散数学293（2005）129-138）引入了非循环匹配的概念，这与$1$ -退化匹配相一致。解决他们提出的一个问题，我们描述了一个有效的算法来确定一个$r$退化匹配在一个给定的弦图的最大尺寸。此外，我们研究了图的$r$ -色指数，得到了它的上界，并讨论了极图。
2017-02-08 math.CO
Maximum 4-degenerate subgraph of a planar graph
一个图$G$是$k$ -退化的，如果它可以通过随后的去除度为$k$或更小的顶点而转化为一个空图.我们证明了每一个具有平均度$d \ge 2$的连通可平面图都有一个4-退化的诱导子图，它至少包含它的$(38-d)/36$的顶点.这表明，每一个$n$阶的可平面图都有一个阶数大于$8/9 \cdot n$的4-退化诱导子图.我们还考虑了这个问题的一个局部变化，并表明，在每一个可平面图至少有7个顶点，删除一个合适的顶点，使我们能够随后删除至少6个顶点的程度四或更少。
2013-10-03 cs.DM math.CO
Strong edge-coloring of 2-degenerate graphs
图$G$的强边染色是指每个色类都是诱导匹配的边染色，强色指数$χ_s'(G)$是$G$的强边染色所需的最少颜色数.一个图是$2$ -退化的，如果每个子图的最小度至多为$2$ . Choi，Kim，Kostochka，and Raspaud（2016）证明了$χ_s'(G) \leq 5Δ+1$，如果$G$是具有最大度$Δ$的$2$ -退化图。在本文中，我们将其改进为$χ_s'(G)\le 5Δ-Δ^{1/2-ε}+2$时，$Δ>4^{1/(2ε)}$的任何$0<ε<1/2$。
2023-01-30 math.CO
Codes defined by forms of degree 2 on quadric and non-degenerate hermitian varieties in $\mathbb{P}^{4}(\mathbb{F}_q)$}
本文研究了G. Lachaud关于$\mathcal{X} \subset {\mathbb{P}}^4(\mathbb{F}_q)$是秩为（$\mathcal{X}$）= 3，4，5的二次曲面或非退化埃尔米特簇.我们给出了$\mathcal{X}$的二次截面的点数%$# \mathcal{X}_{Z(\mathcal{Q})}(\mathbb{F}_{q})$的一些界，这些界是最好的，并且表明定义在非退化二次曲面上的码优于定义在退化二次曲面上的码。我们还展示了最小重量码字的几何结构，并估计了这些码的第二重量。对于非退化厄米簇$\mathcal{X}$，我们列出了前五个权重和相应的码字。文章最后以两个结论结束。一个是关于非奇异厄米簇$\mathcal{X} \subset {\mathbb{P}}^4(\mathbb{F}_q)$上$h$阶泛函码的最小距离。关于非奇异厄米簇$\mathcal{X} \subset {\mathbb{P}}^N(\mathbb{F}_q)$上二阶泛函码前五个权码字分布的第二个猜想。
2006-12-09 math.AG math.CO
Recovering of the Grassmann graph from the subgraph of non-degenerate subspaces
University of Warmia and Mazury（瓦尔米亚-马祖里大学）
本文研究了如何通过非退化子空间的子图恢复格拉斯曼图，并在特定条件下证明了其可恢复性。
2026-01-07 math.CO
A Note on Large Degenerate Induced Subgraphs in Sparse Graphs
Department of Mathematics, Simon Fraser University（西蒙菲莎大学数学系）
本文研究图的最大d-退化诱导子图阶数问题，证明了k-退化图上的改进下界，还推导了有界亏格图的对应下界，推广了平面图退化子图的相关结论。
2025-11-18 math.CO
Weak degeneracy of planar graphs without 4- and 6-cycles
一个图是$k$ -退化的，如果每个子图$H$都有一个顶点$v$，其顶点为$d_{H}(v) \leq k$ .退化图类在图着色理论中占有重要地位。证明了每个$k$ -退化图都是$(k + 1)$ -可选的和$(k + 1)$ -DP-可着色的. Bernshteyn和Lee定义了$k$ -退化图的一个推广，称为\emph{weakly $k$-degenerate} .弱退化度加1是许多图着色参数的上界，如选择数、DP-色数和DP-着色数。本文给出了不含$4$ -圈和$6$ -圈的平面图是弱$2$ -退化图的两个充分条件，这意味着任何这样的图都是$3$-DP-可着色的和近二部图，其中如果图的顶点集可以划分为独立集和无圈集，则图是近二部图.
2023-03-23 math.CO
On the computational complexity of degenerate unit distance representations of graphs
有些图允许以这样一种（自然的）方式在欧几里德k空间中绘图，即边被表示为单位长度的线段。这样的绘图将被称为k维单位距离表示。当两个非邻顶点画在同一点上时，我们说这个表示是退化的。图的维数（欧几里德维数）被定义为给定图具有非退化k维单位距离表示（具有非邻顶点映射到距离不为1的点的性质）所需的最小整数k。证明了判定一个输入图是否同态于一个维数k ≥ 2的图（其中欧几里德维数k ≥ 2）是NP-难问题。
2010-01-06 math.CO
Generalized degeneracy, dynamic monopolies and maximum degenerate subgraphs
一个图$G$称为$k$ -退化图，如果$G$的任何子图含有度至多为$k$的顶点.设$κ$是$G$顶点集上的任意非负函数。我们首先定义了一个$κ$ -退化图。接下来我们给出一个判定图是否是$κ$ -退化图的有效算法。我们在图中重新讨论动态垄断的概念。后一个概念用于制定和分析社交网络中的疾病或意见等影响力的传播。我们认为动态垄断（不一定是积极的），但积分阈值分配。我们得到了动态垄断和广义退化之间的一个充分必要的关系。作为上述结果的应用，我们考虑了任意图中$κ$ -退化（或$k$ -退化）诱导子图的最大尺寸的确定问题.本文给出了一般$κ$ -退化诱导子图和正则图的最大尺寸的上、下界.我们所有的界限都是建设性的。
2012-05-13 cs.DM math.CO
The history of degenerate (bipartite) extremal graph problems
本文是对极值图论的一个综述，主要讨论了其中一个被排除图是二部图的情况。一方面，我们给出了一个介绍这一领域，也描述了许多重要的结果，方法，问题，和建设。
2013-06-29 math.CO
Induced 2-degenerate Subgraphs of Triangle-free Planar Graphs
一个图是$k$ -退化的，如果每个子图的最小度至多为$k$ .给出了无三角形平面图中最大诱导2-退化子图的大小的下界。用$α_2(G)$表示图$G$的最大导出2-退化子图的大小.证明了如果$G$是一个连通的无三角形平面图，其顶点为$n$，边为$m$，则$α_2(G) \geq \frac{6n - m - 1}{5}$ .根据欧拉公式，这意味着$α_2(G) \geq \frac{4}{5}n$。我们还证明了，如果$G$是一个三角形自由平面图的$n$顶点，最多$n_3$顶点的度最多为3，那么$α_2(G) \geq \frac{7}{8}n - 18 n_3$。
2018-02-19 cs.DM math.CO
Spectrally degenerate graphs: Hereditary case
众所周知，最大度为D的树的谱半径不能超过2 sqrt {D-1}。对于任意可平面图，其谱半径不能超过sqrt{8D}+10，并且更一般地，对于所有d-退化图，其相应的上界是sqrt{4dD}，类似的上界也成立。接着，我们称图G是谱d-退化的，如果G的每个子图H的谱半径至多为sqrt{d.Delta（H）}.本文证明了每个谱d-退化图G都含有一个度至多为4dlog_2（D/d）的顶点（若D ≥ 2d），从而得到了上述结果的一个粗略的逆.它表明，在这个上界对D的依赖不能被消除，只要对d的依赖是次指数。证明了判定图是否谱d-退化的问题是余NP-完全的。
2012-05-05 cs.DM math.CO
Hat Guessing Numbers of Degenerate Graphs
最近，Farnik提出了图$G$的帽子猜测数$\text{HG}(G)$是否可以作为其退化度$d$的函数有界的问题，Bosek，Dudek，Farnik，Grytczuk和Mazur证明了$\text{HG}(G)\ge 2^d$是可能的.我们证明了对所有的$d\ge 1$，存在一个$d$ -退化图$G$，其中$\text{HG}(G) \ge 2^{2^{d-1}}$ .我们还给出了一个新的一般方法来获得上界的$\text{HG}(G)$。关于$\text{HG}(G)$作为$d$的函数是否有界的问题仍然没有解决。
2020-03-10 math.CO
On the extremal graphs for degenerate subsets, dynamic monopolies, and partial incentives
著名的下界$α(G)\geq \sum_{u\in V(G)}\frac{1}{d_G(u)+1}$的独立数$α(G)$的图$G$由于Caro和魏是已知的紧当且仅当$G$的组件是团，并已推广了几次的背景下，大退化子集和小动态垄断。我们刻画了由于Ackerman，Ben-Zwi和Wolfovitz的推广的极值图。此外，我们给出了一个简单的证明有关的部分激励由于Cordasco，Gargano，Rescigno，和Vaccaro的界限，并描绘了相应的极值图。
2018-04-06 math.CO
Strong chromatic index of k-degenerate graphs
图$G$的{ \em强边染色}是每一个色类都是诱导匹配的真边染色.图$G$的{ \em强色指数} $\chiup_{s}'(G)$是图$G$的强边染色的最小颜色数.本文改进了D{ \k e}bski \etal [Strong chromatic index of sparse graphs，arXiv：1301.1992v1]的一个结果，证明了$k$ -退化图$G$的强色指数至多为$(4k-2) \cdot Δ(G) - 2k^{2} + 1$ .作为直接结果，$2$ -退化图$G$的强色指数至多为$6Δ(G) - 7$，这改进了Chang和Narayanan的上界$10Δ(G) - 10$ [Strong chromatic index of 2-degenerate graphs，J. Graph Theory 73（2013）（2）119- 126]。对于$2$ -退化图的一个特殊子类，我们得到了一个较好的上界，即如果$G$是一个图，使得它的所有$3^{+}$ -顶点诱导一个森林，则$\chiup_{s}'(G) \leq 4 Δ(G) -3$ ;作为推论，每个极小$2$ -连通图$G$至多有$4 Δ(G) - 3$强色指数.而且，本文中的所有结果在某种意义上都是最佳可能的。
2015-08-26 cs.DM math.CO
A Non-Degenerate Perturbation of the Assignment Polytope and its Application to Graph Matching
我们考虑在分配多面体上极大化一个连续凸函数。这些问题出现在图匹配（图同构的优化版本）和二次指派问题中。在最大化多面体上的凸函数的典型情况下，该问题可以通过使用诸如Tuy方法或Falk-Hoffman方法的单纯算法来解决，但是这些算法要求基础多面体是非退化的，这不是分配多面体的情况。在本说明中，我们将展示如何使用一个简单的扰动方案来创建一个“代理问题”，这是非退化和组合等价的原始问题。我们进一步提供了一个明确的代理问题，是非退化和组合等价的图匹配问题，当后者是作为一个凸最大化问题的建设。通过构建一个代理问题，已知先验的非退化和组合等价的图匹配，我们解决了一个“开放的问题”解决图匹配通过凸最大化首先提出的Maciel。
2014-12-08 math.CO math.OC
Some exact results for non-degenerate generalized Turán problems
广义Turán数$\mathrm{ex}(n,H,F)$是无$F$-点$n$图中$H$的最大拷贝数.我们考虑$χ(H)<χ(F)$ .当极图是完全$(χ(F)-1)$ -部图时，关于$\mathrm{ex}(n,H,F)$有几个精确的结果.利用其它类型的极图，我们得到了多个精确结果。
2022-09-07 math.CO
Upper Bounds on the Acyclic Chromatic Index of Degenerate Graphs
本研究针对退化图的无环色指数上界问题，证明3-退化图的无环色指数不超过Δ+5，推进了Fiamčík猜想的相关研究，并给出k≥4时k-退化图的无环色指数上界。
2023-05-03 cs.DM math.CO
Packing degenerate graphs
给定$D$和$γ>0$，只要$c>0$足够小而$n$足够大，如果$\mathcal{G}$是一族$D$ -退化图，其单个阶数至多为$n$，最大度至多为$\tfrac{cn}{\log n}$，总边数至多为$(1-γ)\binom{n}{2}$，则$\mathcal{G}$打包成完全图$K_{n}$。我们的证明收益通过分析一个自然的随机贪婪包装算法。这个版本的手稿纠正了出版版本中出现的一个小错误[Adv Math，354（2019），106739]。
2022-04-16 math.CO
The graphs of non-degenerate linear codes
考虑$n$维向量空间的$k$维子空间的Grassmann图及其由非退化线性$[n,k]_q$码构成的子图$Γ(n,k)_q$.我们假设$1<k<n-1$。众所周知，Grassmann图的每一个自同构都是由对应的向量空间的半线性自同构或对偶向量空间的半线性同构导出的，第二种可能性只有当$n=2k$ .我们的结果如下：如果$q\ge 3$或$k\ne 2$，则$Γ(n,k)_{q}$到格拉斯曼图的子图的每个同构可以唯一地扩展到格拉斯曼图的自同构;在$q=k=2$的情况下，存在格拉斯曼图的子图同构于$Γ(n,k)_{q}$，并且使得这些子图与$Γ(n,k)_{q}$之间的同构不能扩展到格拉斯曼图的自同构。
2022-09-29 math.CO
Variable degeneracy of graphs with restricted structures
Bernshteyn和Lee定义了一个新的概念，弱简并，它比普通简并稍弱。证明了严格$f$ -退化断面是列表染色、$L$ -森林染色和DP-染色的共同推广.在本文中，我们考虑三类图，包括图2中没有任何配置的可平面图，图5中没有任何配置的环形图，以及没有相交$5$ -圈的可平面图。我们给出了每类图的结构结果，证明了每类图的结构对于弱$3$ -退化是可约的，并且证明了严格$f$ -退化断面的存在性。作为推论，这三类图都是弱$3$ -退化的，并且具有严格的$f$ -退化断面.则这三类图的DP-paint数最多为4，列表点荫度最多为2。这大大改进了[2-4，11-13，16-18，22，25，32，34]中的所有结果。此外，第一类和第三类图的Alon-Tarsi数最多为4。
2022-07-02 math.CO
Bootstrap Percolation on Degenerate Graphs
在本文中，我们专注于$r$ -邻居引导渗透，这是一个过程中的一个图，最初一组$A_0$的顶点被感染。随后，如果未感染的顶点至少与$r$感染的顶点相邻，则该未感染的顶点将被感染。调用$A_f$进程停止后被感染的顶点集。更正式地设置$A_t:=A_{t-1}\cup \{v\in V: |N(v)\cap A_{t-1}|\geq r\}$，其中$N(v)$是$v$的邻域。然后是$A_f=\bigcup_{t>0} A_t$。我们只处理有限图，用$n$表示顶点数。我们主要对最终集合$A_f$的大小感兴趣。我们提出了一个退化图的边界的最终感染集的大小定理。更精确地说，对于$d$ -退化图，如果$r>d$，我们通过$(1+\tfrac{d}{r-d})|A_0|$从上面绑定大小集$A_f$。
2016-05-23 math.CO
Total weight choosability of d-degenerate graphs
一个图$G$是$(k,k')$ -可选择的，如果以下成立：对于任何列表分配$L$，它分配给每个顶点$v$一个$k$实数的集合$L(v)$，并分配给每个边$e$一个$k'$实数的集合$L(e)$，有一个总加权$ϕ: V(G) \cup E(G) \to R$，使得$ϕ(z) \in L(z)$对于$z \in V \cup E$，和$\sum_{e \in E(u)}ϕ(e)+ϕ(u) \ne \sum_{e \in E(v)}ϕ(e)+ϕ(v)$对于每个边$uv$ .本文证明了以下结果：（1）如果$G$是连通的$d$ -退化图，且$k>d$是素数，且$G$是非二部图或具有两个与$d(u)+d(v) < k$不相邻的顶点$u,v$，则$G$是$(1,k)$ -可选择的。因此，每个没有孤立边的平面图都是$(1,7)$ -可选的，而除$K_2$之外的所有连通$2$ -退化非二部图都是$(1,3)$ -可选的. (2)如果$d+1$是素数，$v_1, v_2, \ldots, v_n$是$G$的顶点的排序，使得每个顶点$v_i$都有回度$d^-(v_i) \le d$，则存在通过将至多$d-d^-(v_i)$叶邻居添加到$v_i$（对于每个$i$）而从$G$获得的图$G'$，并且$G'$是$(1,2)$ -可选的. (3)如果$G$是$d$ -退化的，而$d+1$是素数，则$G$是$(d,…
2015-10-03 math.CO
Weak degeneracy of planar graphs and locally planar graphs
弱简并态是简并态的一种变体，它具有简并态的许多优良性质。特别地，如果图$G$是弱$d$ -退化的，则对于$G$的任何$(d + 1)$ -列表分配$L$，可以通过修改的贪婪着色算法构造$G$的$L$ -着色.已知围长为5的可平面图是3-可选图，局部可平面图是5-可选图.本文加强了这些结果，证明了围长为5的可平面图是弱2-退化的，局部可平面图是弱4-退化的.
2023-03-14 math.CO
Max-Cut in Degenerate $H$-Free Graphs
我们得到了$d$ -退化无$H$图的$\textsf{Max-Cut}$的几个下界.设$f(m,d,H)$表示无$H$的$d$ -退化图在$m$边上的最小$\textsf{Max-Cut}$.我们表明，$f(m,d,K_r)\ge \left(\frac{1}{2} + d^{-1+Ω(r^{-1})}\right)m$，推广最近的工作卡尔森，科拉和Trevisan。当$H$是圈、奇轮或边数不超过4的完全二部图时，我们也给出了$f(m,d,H)$的界.我们还证明了假设Alon，Bollabas，Krivelevich，and Sudakov（2003）的一个猜想，$f(m,d,K_r)$上有更强的界.我们猜想对每个$r\ge 3$都有$f(m,d,K_r)= \left( \frac{1}{2} + Θ_r(d^{-1/2}) \right)m$，并证明了这个猜想蕴涵着ABKS猜想.
2020-04-24 cs.DM math.CO
Equitable tree-$O(d)$-coloring of $d$-degenerate graphs
图的均匀树- $k$ -着色是指图的$k$颜色上的顶点着色，使得每个颜色类都包含一个森林，并且任意两个颜色类的大小最多相差1。这种着色最早于2013年提出，可以用于在考虑安全性的情况下将通信网络的结构分解问题公式化。在2015年，Esperet，Lemoine和Maffray证明了每个$d$ -退化图允许每个$k\geq 3^{d-1}$的公平树- $k$ -染色。受此结果的启发，我们试图将它们的指数界降低到线性界。精确地说，我们证明了每个$d$ -退化图$G$对每个$k\geq αd$都有一个公平树- $k$ -着色，只要$|G|\geq βΔ(G)$，其中$(α,β)\in \{(8,56), (9,26), (10,18), (11,15), (12,13), (13,12), (14,11), (15,10), (17,9), (20,8), (27,7), (52,6)\}$ .
2019-08-14 cs.DM math.CO
Weak degeneracy of graphs
受图着色贪婪算法研究的启发，我们引入了一个新的图参数，我们称之为弱退化度。根据定义，每个$d$ -退化图也是弱$d$ -退化图.另一方面，如果$G$是弱$d$ -退化的，则是$χ(G) \leq d + 1$（而且，对于$G$的列表色数甚至DP-色数也有相同的界）。图着色理论中的几个上界可以用弱退化来表述。例如，我们证明了平面图是弱$4$ -退化的，这就意味着平面图是$5$ -列表可着色的。我们还证明了Brooks弱退化定理的一个版本：连通图$G$的最大程度$d \geq 3$是弱$(d-1)$ -退化，除非$G \cong K_{d + 1}$。(By相反，所有$d$ -正则图都有退化$d$。）我们实际上证明了一个更强的结果，即对于每一个$d \geq 3$，有$ε> 0$，使得如果$G$是一个弱退化至少$d$的图，那么要么$G$包含一个$(d+1)$ -团，要么$G$的最大平均度至少是$d + ε$。最后，我们证明了最大度$d$和围长至少$5$或有界色数的图是弱$(d - Ω(\sqrt{d}))$ -退化的，这是最好的可能的隐含常数的值。
2022-11-24 math.CO
Kempe changes in degenerate graphs
我们考虑图的$n$顶点上的$k$ -染色的Kempe变换.如果图是$(k-1)$ -退化的，则它的所有$k$ -着色直到Kempe变化都是等价的。然而，从证明中产生的两个$k$着色之间的序列在顶点数上可以是指数的。一个有趣的开放性问题是它是否可以变成多项式。我们证明了这是可能的，在更强的假设下，图的树宽最多$k-1$。也就是说，任何两个$k$ -着色等价于$O(kn^2)$ Kempe变化。我们调查其他限制（列表着色，有界最大平均度，度界）。作为主要结果，我们得到了：给定一个具有最大度$Δ$的$n$ -顶点图，除非$Δ= 3$和某个连通分支是一个3-棱柱，否则$Δ$ -着色直到$O(n^2)$ Kempe变换都是等价的.
2021-12-04 cs.DM math.CO
The perturbation threshold of degenerate graphs
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
该研究确定了退化图在随机图中的存在阈值，证明了在特定条件下，随机图与原图的并集几乎必然包含目标退化图的副本。
2026-02-25 math.CO
Ramsey numbers for 1-degenerate 3-graphs
London School of Economics（伦敦政治经济学院）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；University of Chile（智利大学）
构造一个3一致1-退化超图，其2-色拉姆齐数为Ω(n^{3/2}/log n)，从而否证超图Burr-Erdős猜想的所有剩余开放情形。
2026-05-29 math.CO
The Slow-coloring Game on Sparse Graphs: $k$-Degenerate, Planar, and Outerplanar
\emph{slow-coloring game}由Lister和Painter在图形$G$上播放。最初，$G$的所有顶点都未着色。在每一轮中，Lister标记未着色顶点的非空集合$M$，而Painter为$G$中独立的$M$子集着色。游戏结束时，所有的顶点着色。游戏的分数是由Lister标记的所有集合的大小之和。Painter的目标是最小化得分，而Lister试图最大化it. We提供的策略Painter对各类图，其顶点可以划分成一个有界数量的集合诱导森林，包括$k$ -退化，非循环$k$ -着色，平面，和outerplanar图。例如，我们表明，在一个$n$顶点图$G$，画家可以保持得分最多$\frac{3k+4}4n$时$G$是$k$ -退化，$3.9857n$时$G$是无环$5$ -可着色，$3n$时$G$是平面的哈密尔顿对偶，$\frac{8n+3m}5$时$G$是$4$ -可着色与$m$边缘（因此$3.4n$时$G$是平面的），$\frac73n$时$G$是outerplanar。
2018-09-15 math.CO
Weak Degeneracy of Planar Graphs
本文纠正了此前关于平面图弱退化性证明中的错误，并正确证明了平面图是弱4-退化的，从而加强了Thomassen关于平面图5-列表可着色的经典结论。
2025-06-04 math.CO
Non-degenerated groundstates in the antiferromagnetic Ising model on triangulations
三角剖分是将图嵌入到闭黎曼曲面中，使得每个面边界是图的3-圈。本文研究了三角剖分反铁磁伊辛模型的基态简并。我们证明了，对于每个固定的闭黎曼曲面S，有顶点增加序列的三角S与非退化的基态。特别是，我们展示了几何挫折系统的非退化基态。
2011-10-11 math.CO
Partitioning into degenerate graphs in linear time
设$G$是一个连通图，其最大度$Δ\geq 3$不同于$K_{Δ+ 1}$ .推广Brooks定理，Borodin，Kostochka和Toft证明了如果$p_1, \dots, p_s$是非负整数，使得$p_1 + \dots + p_s \geq Δ- s$，那么$G$允许顶点划分为部分$A_1, \dots, A_s$，使得对于$1 \leq i \leq s$，$G[A_i]$是$p_i$ -退化的.在这里，我们表明，这样的分区可以在线性时间内进行。这推广了Abu-Khzam，Feghali和Heggernes~ \cite{abu2020partitioning}的猜想的子情形，我们的结果完全解决了这个问题.
2023-03-22 cs.DS math.CO
Degenerate flag varieties: moment graphs and Schröder numbers
本文研究了退化的A型旗簇的几何性质和组合性质。这些变种被A型环的某个表示的自同构群所作用，该表示包含一个极大环面T。使用群作用，我们描述的时刻图，编码的零维和一维的T-轨道。我们还研究了退化旗簇的光滑和奇异轨迹。证明了光滑轨迹的欧拉示性数等于大Schröder数，Poincaré多项式由Schröder路径上对角步数的自然统计给出，作为应用，得到了大、小Schröder数及其q-类似数的一种新的组合描述.
2012-06-19 math.AG math.CO math.RT
Degeneracy: From Graphs to Matroids
Purdue University（普渡大学）；Syracuse University（雪城大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；Mississippi State University（密西西比州立大学）
本文将图的k-退化概念扩展到拟阵，定义极小k-退化拟阵并刻画其极端情况，同时扩展拟阵荫度界，证明k-退化拟阵荫度不超过k并给出更精确界。
2026-08-11 math.CO
Equitable $d$-degenerate choosability of graphs
设${\mathcal D}_d$是$d$ -退化图类，$L$是图$G$的列表赋值. $G$的一个着色使得每个顶点从它的列表中接收一种颜色，并且由一种颜色着色的顶点所诱导的子图是$d$ -退化图，称为$G$的$(L,{\mathcal D}_d)$ -着色.对于一个$k$ -统一列表分配$L$和$d\in\mathbb{N}_0$，如果存在$G$的$(L,{\mathcal D}_d)$ -着色使得任何颜色类的大小不超过$\left\lceil|V(G)|/k\right\rceil$，则图$G$是公平$(L,{\mathcal D}_d)$ -可着色的.公平$(L,{\mathcal D}_d)$着色是公平列表着色的推广，由Kostochka等人引入，和张氏提出的一个公平的树型列表。这样的模型在网络分解中可以是有用的，其中一些结构性质被施加在网络上。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法，对于一个给定的$(k,d)$ -分区的$G$与$t$ -统一列表分配$L$和$t\geq k$，返回其公平的$(L,\mathcal{D}_{d-1})$ -着色。此外，我们表明，3维网格是公平的$(L,\mathcal{D}_1)$着色的任何$t$ -均匀列表分配$L$其中$t\geq 3$。
2020-03-21 math.CO
Single-conflict colorings of degenerate graphs
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
退化图的单冲突着色问题通过证明在特定条件下，使用$O(\sqrt{d} \log n)$种颜色即可避免所有禁止颜色对。
2025-01-29 cs.DM math.CO
Open, Closed, and Non-Degenerate Embedding Dimensions of Neural Codes
本研究聚焦神经编码的开、闭与非退化嵌入维数，结合凸开集向日葵与刚性结构工具，构造出满足特定条件的编码，首次给出闭嵌入维数大于开嵌入维数且有限的编码实例。
2023-06-12 math.CO
Degenerate Turán problems for hereditary properties
设$H$是一个图，$t\geq s\geq 2$是整数.证明了如果$G$是一个$n$ -顶点图，且没有$H$的拷贝和$K_{s,t}$的诱导拷贝，则有$λ(G) = O\left(n^{1-1/s}\right)$，其中$λ(G)$是$G$的邻接矩阵的谱半径.我们的研究结果的动机Babai，Guiduli，和Nikiforov的结果边界的最大谱半径的图没有副本（不一定诱导）的$K_{s,t}$。
2017-01-26 math.CO
Lower bounds for independence and $k$-independence number of graphs using the concept of degenerate degrees
设$G$是一个图，$v$是$G$的任意顶点.定义了$v$的退化度，记为$ζ(v)$，其中最大值取于$G$中包含顶点$v$的所有子图.我们证明了任何图的退化度序列都可以通过一个有效的算法来确定。$G$中的$k$独立集是顶点的任意集合$S$，使得$Δ(G[S])\leq k$ .任何与$k$无关的集合的最大基数用$α_k(G)$表示.对于$k\in \{1, 2, 3\}$，我们证明了$α_{k-1}(G)\geq {\sum}_{v\in G} \min \{1, 1/(ζ(v)+(1/k))\}$ .利用廉价顶点的概念，我们加强了我们的独立数的界。由此得到的下界大大改进了著名的Caro-Wei界，也是某些图族的$α_1(G)$和$α_2(G)$的最佳界.我们发现，我们的独立数界的平等发生在一个大类的图。利用廉价集的概念设计了$α_k(G)$的廉价-贪婪算法，得到了我们的界.最后给出了$α_k(G)$的一个界，其中$G$是森林，$k$是任意非负整数.
2015-07-26 math.CO
Linear arboricity of degenerate graphs
本文研究 $k$-退化图的线性荫度，证明当最大度满足 $Δ(G)\ge 2k^2-k$ 时，其线性荫度恰好达到下界 $\lceilΔ(G)/2\rceil$。
2022-07-14 math.CO
Fractional DP-colorings of $d$-degenerate locally sparse graphs
University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文将分数DP染色的上界从二部图推广到d-退化无三角形图，通过局部稀疏排序得到一般性上界，并构造例子证明其渐近最优，同时改进了若干图类的分数DP色数界。
2026-09-14 math.CO
Coloring small locally sparse degenerate graphs and related problems
EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
研究证明了无三角形d-退化图色数为d+1的最小阶f(d)的上下界，并探讨了图着色问题中的新结果和开放问题。
2026-01-21 math.CO
Tight upper bound on the clique size in the square of 2-degenerate graphs
本研究针对2-退化图平方图的团数上界问题，证明存在常数$D_0$，当2-退化图的最大度$Δ(G)≥D_0$时，其平方图的团数$ω(G^2)≤\frac{5}{2}Δ(G)$，且该上界是紧的。
2023-11-06 math.CO
Birational maps, PBW degenerate flags and poset polytopes
本研究将射影空间与格拉斯曼流形间双有理映射的图闭包结果推广至PBW退化旗簇，分析其组合、代数与几何性质，验证了环面退化的普适性，并通过箭图表示刻画旗簇图闭包。
2024-07-10 math.AG math.CO math.RT
A linear upper bound on zero-sum Ramsey numbers of $d$-degenerate graphs in $\mathbb{Z}_p$
King’s College London（伦敦国王学院）
研究了 $d$-退化图在 $\mathbb{Z}_p$ 上的零和Ramsey数，证明其上界为 $n + (3+3d)p$，并推广了Colucci和D'Emidio关于1-退化图的结果。
2026-04-13 math.CO
Conflict-Free Cuts in Planar and 3-Degenerate Graphs with 1-Regular Conflicts
Department of Computer Science and Engineering, IIT Hyderabad（印度理工学院海德拉巴分校计算机科学与工程系）
研究了平面图和3-退化图中无冲突切割问题的复杂性，证明了当冲突图1-正则时，平面图中总存在无冲突切割，且决策问题NP难；同时证明了3-退化图中决策问题NP难，解决了相关复杂性问题。
2026-05-12 math.CO
