The history of degenerate (bipartite) extremal graph problems
Zoltán Füredi, Miklós Simonovits
本文是对极值图论的一个综述，主要讨论了其中一个被排除图是二部图的情况。一方面，我们给出了一个介绍这一领域，也描述了许多重要的结果，方法，问题，和建设。
This paper is a survey on Extremal Graph Theory, primarily focusing on the case when one of the excluded graphs is bipartite. On one hand we give an introduction to this field and also describe many important results, methods, problems, and constructions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A note on "Extremal graphs with bounded vertex bipartiteness number"
本文给出了\cite{MK} Maria R.定理的两个反例，凯瑟琳·T M.，贝尔纳多·S M.，有界顶点二分数的极值图，线性代数应用493（2016）28-36。并给出了修正定理和证明。
Extremal values of degree-based entropies of bipartite graphs
我们刻画了最小化（基于第一度）熵的二部图，在所有给定大小的二部图，或给定大小和（上界）的顺序。这些极图是完全二部图或几乎完全二部图。这里我们利用了二部图的一个等价表示，即通过Young tableaux，这使得比较相关图的熵更容易。我们的结论是，极值图的一般特征是一个困难的问题，由于其与数论的联系，但他们很容易找到特定值的顺序$n$和大小$m$。我们也给出了一个直接的参数来刻画图的熵最大化给定的顺序和大小。我们指出，我们的一些想法扩展到其他度为基础的拓扑指数以及。
The extremal function for bipartite linklessly embeddable graphs
一个图在$3$ -空间中的嵌入是无链的，如果对于每两个不相交的圈，存在一个嵌入球包含其中一个圈并且与另一个圈不相交.我们证明了$n\ge5$顶点上的每个二部无链接可嵌入（简单）图最多有$3n-10$边，除非它与完全二部图$K_{3,n-3}$同构。
Extremal $ABS$ Spectral Radius in Bicyclic and Bipartite Unicyclic Graphs
本文研究了双环图和二分单环图中ABS谱半径的极值问题，确定了最大和次大谱半径的图结构。
Bipartite Extremal Numbers of Trees
该研究针对二部图类限制的树极值数问题，通过构造下界、提出上界猜想，利用k-极小性加权变体证明了多类树的上界，关联了固定二分划与普通极值数，还探讨了类似Zarankiewicz函数的有向二部极值函数。
The extremal function for partial bipartite tilings
对于一个固定的二部图H和给定的数c，0<c<1，我们确定了一个阈值T_H（c），它保证了任何一个n-顶点图的边密度至少为T_H（c），它包含H的$(1-o(1))c/v(H) n$顶点不相交的拷贝。在证明中，我们使用了Komlos~ \bcolor{[Combinatorica 20 (2000), 203-218} ]开发的一种技术的变体
Extremal Hypergraphs for Ryser's Conjecture: Connectedness of Line Graphs of Bipartite Graphs
本文考虑一个拓扑排序的自然极值图论问题，它涉及图的独立复形的（拓扑）连通性在维数方面的最小化。我们观察到二部图$G$的线图的独立复形$\mathcal{I}(G)$的连通性的下界$\frac{\dim(\mathcal{I}(G))}{2} - 2$是紧的。在我们的主要定理中，我们描述了极值的例子。我们的证明是基于这种特征的拓扑机械。我们研究这个问题的动机来自于Ryser的一个经典猜想。Ryser猜想指出任何$r$ -部$r$ -一致超图的顶点覆盖的大小至多为最大匹配的大小的$(r - 1)$ -倍.对于$r = 2$，这个猜想只是柯尼希定理。Aharoni也用一个漂亮的拓扑论证证明了$r = 3$。在另一篇论文中，我们描述了Ryser猜想的$3$ -一致情形的极值例子（即，Aharoni定理），特别是解决了Lovász关于Ryser-极值$3$ -图的一个老猜想.我们在本文中的主要结果将为我们提供有价值的结构信息的表征。它的证明是基于Ryser-极值$3$ -一致超图的连接图正是我们所研究的二部图这一观察。
The extremal number of the subdivisions of the complete bipartite graph
对于图$F$，$F$的$k$ -细分，记为$F^k$，是通过用长度为$k$的内部顶点不相交路替换$F$的边而获得的图。在本文中，我们证明了$\mathrm{ex}(n,K_{s,t}^k)=O(n^{1+\frac{s-1}{sk}})$，这是紧的$t$充分大。这解决了Conlon-Janzer-Lee的一个猜想，并改进了Conlon-Janzer-Lee和Jiang-Qiu的大量工作。
Extremal graphs for odd-ballooning of bipartite graphs
本文确定了当t≥5时二部图的奇气球图的Turán数的范围，并推导出星图、路径和偶圈的奇气球图的Turán数。
Extremal bipartite independence number and balanced coloring
本文研究二分图极值问题，得到两个算法性的最优（差2倍内）结果：大平均度二分图的平衡独立集大小下界，以及最大度有界平衡二分图的平衡着色划分数上界，分别改进了已有定理。
Extremal Degree Irregularity Bounds for Albertson and Sigma Indices in Trees and Bipartite Graphs
本文研究了树和双图中Albertson和Sigma指数的极值界限，推导了不规则性度量的显式公式和上界，通过度数序列的不等式推进了对双图极值不规则性行为的理解。
Spectral extremal problems for degenerate graphs
本文研究退化图族的谱极值问题，利用图的覆盖与独立覆盖建立谱稳定性结果，证明了一般性定理以刻画谱极值图，并揭示了极值图与谱极值图之间的相关性。
On the extremal graphs for degenerate subsets, dynamic monopolies, and partial incentives
著名的下界$α(G)\geq \sum_{u\in V(G)}\frac{1}{d_G(u)+1}$的独立数$α(G)$的图$G$由于Caro和魏是已知的紧当且仅当$G$的组件是团，并已推广了几次的背景下，大退化子集和小动态垄断。我们刻画了由于Ackerman，Ben-Zwi和Wolfovitz的推广的极值图。此外，我们给出了一个简单的证明有关的部分激励由于Cordasco，Gargano，Rescigno，和Vaccaro的界限，并描绘了相应的极值图。
Maxima of the $Q$-index of non-bipartite graphs: forbidden short odd cycles
设$G$是一个不含长度至多为$2k+1$的奇圈的非二部图.本文确定了$G$的最大$Q$ -指数，如果它的阶是固定的，并且相应的极图是唯一的。此外，在给定$G$的长度的条件下，还证明了$G$的最大$Q$ -指标和唯一极图.
Extremal eigenvalues of outerplanar graphs
本文研究外平面图的极值特征值，通过刻画极大二部外平面图的结构，完全确定了阶数至少55的二部外平面图的最大谱半径和一般外平面图的最小最小特征值。
The Connected Bipartite Turán Problem for Long Cycles and Paths
本文针对Caro等人提出的连通二部图极值边数问题，精确确定了不含特定长度路径的连通二部图的极值边数与结构，还建立了不含长环的2-连通二部图的精确结构，并应用结果简洁证明了经典定理。
Random bipartite posets and extremal problems
以前，Erdenses，Kierstead和Trotter研究了随机高度~ $2$偏序集的维数.他们的研究主要有两个目标：（1）~分析Füredi-Kahn上界在最大度方面的相对紧密性;（2）~开发用于估计$n$点上随机标记偏序集的期望维数的机器。由于这些原因，他们的大部分精力都集中在$0<p\le 1/2$这个案例上。虽然给出了范围$1/2\le p <1$的界限，但当$p$接近~ $1$时，原始论文中结果的相对准确度恶化。受两个极值问题的启发，这些极值问题涉及迫使偏序集包含一个大的标准例子的条件，我们被迫重新讨论这个问题，但现在主要强调$1/2\le p<1$的范围。我们的锐化分析表明，随着$p$接近~ $1$，维数的期望值先增加后减少，回答了原论文中提出的一个否定问题。一路上，我们应用Talagrand和Janson不等式，建立与拉丁矩形和欧拉乘积函数的联系，并在两个极值问题上取得进展。
On an extremal problem in the class of 1-planar graphs
一个图$G=(V,E)$称为1-平面的，如果它允许在平面中绘图，使得每条边至多交叉一次。本文研究了在分集中顶点数为规定的二分$1$ -可平面图。已知二分1-可平面图至多有$3n-8$条边，其中$n$表示图的阶。我们表明，最大尺寸的二部$1$ -可平面图，几乎平衡的没有显着较少的边缘比这个上界所示，而同样是不平衡的。我们证明了一个部集远小于另一个部集的二部$1$ -可平面图的最大可能尺寸趋向于$2n$而不是$3n$ .特别是，我们证明了，如果较小的部分集的大小是次线性的$n$，然后$|E|=(2+o(1))n$，而不是真的，否则。
Extremal digraphs on Meyniel-type condition for hamiltonian cycles in balanced bipartite digraphs
本文研究了平衡二分有向图中哈密顿圈的Meyniel型条件，刻画了满足度条件 $d(u)+d(v)\ge 3a$ 的极值有向图的两类结构，并证明了在条件放宽至 $3a-1$ 时图可迹，且下界紧。
The bipartite Turan number and spectral extremum for linear forests
图$H$的二部图兰数，记为$ex(m,n; H)$，是任何二部图$G=(X,Y; E)$中不包含$H$作为子图的$|X|=m$和$|Y|=n$的最大边数。本文对任意$\ell$和适当大的$n$确定了$ex(m,n; F_{\ell})$，并与$m$和$\ell$进行了比较，其中$F_\ell$是由$\ell$顶点不相交路径组成的线性森林.此外，还对极图进行了刻画。此外，这些结果被用来获得不包含$F_{\ell}$作为子图的二部图的最大谱半径，并刻画了所有达到最大谱半径的极图。
Random algebraic construction of extremal graphs
本文给出了不含给定完全二部子图的大型图的一个有动机的构造。关键的见解是，代数结构产生非常不光滑的概率分布。
Extremal Numbers for 2 to 1 Directed Hypergraphs with Two Edges Part II: The Degenerate Cases
设一个2到1有向超图是一个3-一致超图，其中每条边都有两个尾点和一个头点。对于任何这样的有向超图F，设F的第n个极值数是任何n个顶点上的有向超图在不包含F的副本的情况下所能拥有的最大边数。实际上有两个版本的有向超图模型为这个问题：标准版本，其中每个顶点的三元组被允许有多达所有三个可能的有向边和定向版本，其中每个三元组可以有最多一个有向边。本文确定了四种不同的有向超图的标准极数和定向极数。每个图都有两条边，在七个有两条边的（非平凡的）2到1图中，只有这四个图的极值数是n的二次数。另外三个有向两边超图的标准极数和定向极数已在另一篇文章中给出。
Non-degenerate Hypergraphs with Exponentially Many Extremal Constructions
对于任意整数$t \ge 0$，记点集$\{1,2,\ldots, 5+t\}$上的具有超边的超图为$F_5^t$，超边数为$\{123,124\} \cup \{34k : 5 \le k \le 5+t\}$。我们对每个$t\ge 0$和充分大的$n$确定了$\mathrm{ex}(n,F_5^t)$，并刻画了极$F_5^t$ -free超图.特别地，如果$n$满足一定的可除性条件，那么极$F_5^t$ -free超图就是平衡的完全三部超图，在划分的三个部分$(V_1,V_2,V_3)$中的每一部分都有额外的超边;每个部分$V_i$跨越一个$(|V_i|,3,2,t)$ -设计.这推广了Frankl和Füredi关于$F_5:=F_5^0$的Turán数的早期工作。我们的结果推广了Erdens和Simonovits关于某些固定图的极值结构的理论。特别是，超图$F_5^{6t}$，对于$t\geq 1$，是超图的第一个例子，具有指数许多极值结构和正的图兰密度。
Turán number of bipartite graphs with no $K_{t,t}$
图$H$的极值数，记为$\mbox{ex}(n,H)$，是指不包含$H$的图在$n$顶点上的最大边数。著名的Kavavári-Sós-Turán定理说，对于一个部分大小为$t\leq s$的完全二部图，极值数是$\mbox{ex}(K_{s,t})=O(n^{2-1/t})$。我们还知道，如果$s>(t-1)!$，则这个界是尖锐的。本文证明了：如果$H$是一个二部图，使得它的一个部分的所有顶点的度至多为$t$，但$H$不包含$K_{t,t}$的副本，则$\mbox{ex}(n,H)=o(n^{2-1/t})$ .这验证了Conlon，Janzer和Lee的一个猜想。
Bipartite Turán problem on cographs
研究cograph的双图Turán问题，确定极值cograph的结构和线性系数，分类K_{3,3}-free极值cograph并开发枚举算法。
Sharp spectral Moon--Moser-type theorems in the linear range via feasible graph parameters
研究在不同线性范围内平衡二分图和近平衡二分图的哈密顿性与可迹性相关的尖锐谱阈值，基于可行图参数确定非哈密顿和非可迹图的谱半径极值，得出Moon - Moser型极值定理及谱结果。
Extremal anti-forcing numbers of perfect matchings of graphs
图$G$的完美匹配$M$的反强制数是指除去不属于$M$的边以使$M$成为图的唯一完美匹配的最小边数。$G$的所有完美匹配的反强迫数的集合是$G$的反强迫谱。本文刻画了最小反强迫数为1的平面初等二部图。我们证明了图的最大反强迫数至多是它的圈数。特别地，我们刻画了最大反强迫数达到上界的图，这类极图是一类平面二部图。最后，我们确定了偶多边形链在线性时间内的反强迫谱。
Making a K_4-free graph bipartite
证明了任意n阶无K_4图G都可以通过删除至多n^2/9条边而成为二部图。此外，唯一需要删除那么多边的极值图是部分大小为n/3的完全3部图。这证明了P. Erdos的一个古老猜想。
Extremal results for graphs with binding number strictly less than $1/r$
本文研究了绑定数严格小于1/r的图的极值问题，确定了在给定阶数下最大化图大小或谱半径的极值图。
Some exact results for non-degenerate generalized Turán problems
广义Turán数$\mathrm{ex}(n,H,F)$是无$F$-点$n$图中$H$的最大拷贝数.我们考虑$χ(H)<χ(F)$ .当极图是完全$(χ(F)-1)$ -部图时，关于$\mathrm{ex}(n,H,F)$有几个精确的结果.利用其它类型的极图，我们得到了多个精确结果。
More on the extremal number of subdivisions
给定一个图$H$，极值数$\mathrm{ex}(n,H)$是无$H$图中$n$顶点上的最大边数.本文在二部图的极值数的若干问题上取得了进展。首先，我们将二部图$K_{s,t}$的剖分写成$K'_{s,t}$，证明了$\mathrm{ex}(n, K'_{s,t}) = O(n^{3/2 - \frac{1}{2s}})$。这证明了康，金和刘猜想，并紧到$t$足够大的$s$方面的隐含常数。其次，对于任意整数$s, k \geq 1$，我们证明了对于一个特定的图$L$，$\mathrm{ex}(n, L) = Θ(n^{1 + \frac{s}{sk+1}})$依赖于$s$和$k$，回答了Kang，Kim和Liu的另一个问题。这个结果涉及到Erdens和Simonovits的一个古老的猜想，它断言每个有理数$r \in (1,2)$都是可实现的，在这个意义上，对于某些适当的图$H$，$\mathrm{ex}(n,H) = Θ(n^r)$，给出了无穷多个新的可实现指数，并暗示$1 + 1/k$是所有$k \geq 1$的可实现指数的极限点。对于图$H$的$k$ -剖分，写作$H^k$，这个结果也意味着对于任何二分图$H$和任何$k$，存在$δ> 0$使得$\mathrm{ex}(n,H^{k-1}) = O(n^{1 + 1/k - δ})$，部分地解决了Conlon和Lee的一个问题…
A sharp spectral extremal result for general non-bipartite graphs
本文确定了对于一般非二分图的谱极值问题中最大常数c(r)的精确值，解决了极值图集包含关系的条件。
Improved bounds on the extremal function of hypergraphs
模式避免的一个基本问题是描述极值函数及其推广的渐近行为。证明了一类二部图的图极值函数的渐近性与矩阵极值函数的渐近性之间的等价性。利用等价性证明了图的极值函数的几个新的界。本文提出了一种利用多维矩阵的极值函数来确定超图的极值函数界的新方法，将长为$k$的$d$ -置换超图的极值函数界从$O(n^{d-1})$改进为$2^{O(k)}n^{d-1}$ .
Extremal Matchings and Height Functions
本文研究圆盘上平面二分图（plabic图）中几乎完美匹配的格结构，通过高度函数显式构造极值匹配，并证明所有边界条件均可由此获得。
On Meyniel extremal families of graphs
本文给出了Meyniel极图的新构造，它是一类具有最大渐近cop数的图。利用生成子图，证明了存在指数个数的具有指定度的新Meyniel极值族。使用一个线性规划超图的问题，我们探讨度的家庭，不是Meyniel极值。本文给出了点传递图的顶点数的一个已知的上界。我们发现了新的正则图的Meyniel极图族，这些图具有大色数和大直径，并探讨了Meyniel极图与二部图之间的联系.
Extremal minimal bipartite matching covered graphs
本文研究极小双色匹配覆盖图，证明了这类图可以通过两个无度为2的树的叶节点连接得到，并探讨了相关极小类别的特征及它们之间的关系。
Bipartite Turán problems for ordered graphs
如果可以删除$M$的某些行和列，并将某些1项变为0项，使得所得矩阵为$A$，则0 - 1矩阵$M$包含0 - 1矩阵$A$。由$ex(n,A)$表示的$A$的极值数是不包含$A$的$n\times n$大小的矩阵$M$中$1$ -条目的最大数。矩阵$A$是列- $t$ -部分的（或行- $t$ -部分的），如果它可以沿着列（或行）被切割成$t$子矩阵，使得这些子矩阵的每行（或列）最多包含一个$1$ -条目.我们证明了如果$A$是列- $t$ -partite，那么$ex(n,A)<n^{2-\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^{2}}+o(1)}$，如果$A$是列-和行- $t$ -partite，那么$ex(n,A)<n^{2-\frac{1}{t}+o(1)}$ .我们的证明结合了一个新的密度增量型参数与著名的依赖随机选择方法。关于0 - 1矩阵的极值数的结果转化为关于二部有序图的Turán数的结果。特别地，每行中至多具有$t$ 1个元素的0 - 1矩阵对应于在其顶点类之一中具有最大度$t$的二分有序图。Füredi（1991）和Alon，Krivelevich，Sudakov（2003）的一个著名结果是：如果$H$是一个二部图，在其中一个顶点类中有最大度$t$，则$ex(n,H)=O(n^{2-\frac{1}{t}})$ .本文的目的是建立关于有序图的极值数的类…
Extremal graphs for edge blow-up of lollipops
给定一个图$H$和一个整数$p$（$p\geq 2$），$H$的边爆破$H^{p+1}$是用一个$(p+1)$阶的团代替$H$中的每条边得到的图，其中团的新顶点都是不同的.匹配边爆破的Turán数首先由Erdens和Moon研究。最近，袁教授在大$p$的$H^{p+1}$的极图方面取得了一些实质性的进展。Yuan（2022）给出了当$p\geq 3$时所有二部图边爆破的Turán数的范围和当$p\geq χ(H) +1$时所有非二部图边爆破的精确Turán数，其中$χ(H)$是$H$的色数.棒棒糖$C_{k,\;\ell}$是通过将路径$P_{\ell+1}$附加到其顶点之一来从循环$C_k$获得的图。本文考虑了其余情形$p=2$和$p=3$的$C_{k,\;\ell}^{p+1}$的极图.
On the Extremal Energy of Complex Unit Gain Dumbbell Graphs
研究以哑铃图 $D_{r,s,\ell}$ 为底图的复单位增益图的极值能量问题，通过切换等价将谱约化为两个环增益的实部，并利用匹配多项式得到特征多项式的显式表达式，最终确定了所有情况下的最大能量条件以及除 $r,s,\ell$ 全奇数外的最小能量条件。
A Variation of the Erdős-Sós Conjecture in Bipartite Graphs
Erdens-Sós猜想指出，每一个平均度大于$k-2$的图包含所有$k$阶树作为子图。本文考虑上述猜想的一个变形：研究对于给定的整数$n\ge m$和$k\ge l$，不包含所有$(k,l)$ -二部树的$(n,m)$ -二部图的最大尺寸.特别地，我们确定了不包含所有$(n,m)$-二部树作为子图（或不包含所有$(k,2)$ -二部树作为子图）的$(n,m)$ -二部图的最大尺寸.此外，所有这些极值图的特征。
Exact results for generalized extremal problems forbidding an even cycle
我们确定了在一个无$C_{2s+2}$的$n$ -顶点图中，对于所有整数$s \ge 2$和足够大的$n$，$K_{s,s}$的最大拷贝数.此外，对于$s\in\{2,3\}$和任意整数$n$，我们还得到了无$n$ -点$C_{2s+2}$的二部图中长度为$2s$的圈的最大个数.
Spectral extremal graphs for edge blow-up of star forests
本文证明了当顶点数足够大时，在不含星林边膨胀副本的图中，具有最大谱半径的图即为星林边膨胀的极图。
Extremal results on stepwise transmission irregular graphs
连通图$G$的顶点$v$的传输${\rm Tr}_G(v)$是$G$中$v$与所有其他顶点之间的距离之和。如果$|{\rm Tr}_G(u) - {\rm Tr}_G(v)| =1$对每条边$uv \in E(G)$成立，则$G$是逐步传输不规则（STI）图。本文证明了STI图关于图的大小和不同度量性质的极值结果。在所有情况下都出现两个极值族，奇阶平衡完全二部图和所谓的奇帽圈。
Spectral extremal results with forbidding linear forests
图兰型极值问题要求最大化所有不包含固定子图的图的边数。类似地，谱Turán型极值问题要求最大化所有不含固定子图的图的谱半径。本文确定了所有不含线性森林作为子图的图的最大谱半径，并刻画了所有相应的极图。此外，还得到了不含$k\cdot P_3$的二部图的最大边数和谱半径，并刻画了所有极图。此外，还讨论了Tuán型极值问题与谱Turán型极值问题之间的一些关系.
A spectral extremal problem on non-bipartite triangle-free graphs
本文解决偶数边数下非二分无三角形图的谱极值问题，利用 Cauchy 交错定理与三角形计数引理，得到精确谱半径界并刻画三类极值图。
Spectral extremal results on edge blow-up of graphs
该研究确定了所有非二部图边膨胀的精确谱极值，给出了二部图边膨胀的渐近谱极值，推广了相关已有结果并得到了几类特殊图边膨胀的谱极值精确值。
Extremal Betti numbers of some classes of binomial edge ideals
设$G$是圈或完全二部图。证明了关于字典序的二项式边理想$J_{G}$和它的初始理想具有相同的极值贝蒂数.
Extremal numbers for odd cycles
本文描述了n阶无C_{2k+1}图的最大边数.除了n = 3 k-1，3 k，4k-2或4k-1之外，极图是唯一的。ex（n，C_{2k+1}）的值可以从Bondy、Woodall和Bollobas的著作中读出，但这里我们给出了一个新的简化证明。极图的完全判定也是新的。我们得到了经典的Simonovits定理中n_0（C_{2k+1}）的上界是4k，由此得到了唯一的极图是二部Turan图.
Resolution of Unmixed Bipartite Graphs
对于非混合二部图$G$，我们考虑了点覆盖格$\mathcal{L}_G$，并计算了$R/I(G)$在这个格上的深度、投射维数和极值Betti数.
Spectral radius and rainbow $k$-factors in a bipartite graph family
研究双色图族中存在彩虹k-因子的谱半径充分条件及极值图特性。
On the extremal number of subdivisions
极值图论的基石之一是Füredi的一个结果，后来被Alon、Krivelevich和Sudakov重新证明并给予了应有的重视，他说，如果$H$是一个二分图，一边有最大程度的$r$，那么就有一个常数$C$，使得每个有$n$顶点和$C n^{2 - 1/r}$边的图都包含一个$H$的副本。当$H$包含$K_{r,s}$的拷贝且$s$在$r$方面足够大时，该结果接近常数。我们猜想，这基本上是唯一的情况下，Füredi的结果可以是紧的，并证明了这一猜想的$r = 2$。更精确地说，我们证明了如果$H$是一个$C_4$ -free二部图，且在一边有最大度$2$，则存在正的常数$C$和$δ$，使得每个有$n$顶点和$C n^{3/2 - δ}$边的图都包含$H$的一个拷贝.这回答了1988年Erdés提出的一个问题。证明依赖于一个新的变体的依赖随机选择技术，这可能是独立的利益。
A new lower bound for doubly metric dimension and related extremal differences
本文提出基于最小击中集的新图不变量，证明其为双重度量维数的紧下界，并给出若干图类的精确值及极值差异。
Maxima of the $Q$-index of non-bipartite $C_{3}$-free graphs
极值图论中的一个经典结果，称为曼特尔定理，指出每个大小为$m>\lfloor \frac{n^{2}}{4}\rfloor$的$n$阶非二部图都包含一个三角形。林，宁，吴[组合。Comput. Zhai和Shu [Discrete Math.345（2022）112630]研究了固定大小$n.$的谱版本。本文中，我们证明了Mantel定理的$Q$ -谱版本。
Terminal-Pairability in Complete Bipartite Graphs with Non-Bipartite Demands
研究了基图是完全二部图，而需求图是同一顶点集上的多重图（不一定是二部图）时的终端可配对问题.在计算机科学中，这个问题被称为边不相交路径问题。我们改进了$Δ(D)$的最大值的下界，这仍然保证了需求图$D$在$K_{n,n}$中有实现。我们还解决了关于边数的极值问题，即，我们确定保证需求图在$K_{n,n}$中可实现的边的最大数目。
Some notes on the signed bad number in bipartite graphs
本文讨论了图的符号坏数和负判定数。我们在论文[Discrete Math. Algorithms Appl.1（2011），33- 41]和[Australas. J. Combin。41（2008），263--272]中提出的无三角形图的定义是不正确的，我们利用极值图论中的经典Mantel定理给出了无三角形图的更一般的界，并刻画了所有达到这些界的无三角形图.
Turan numbers for bipartite graphs plus an odd cycle
对于奇数$k$，令$\mathcal{C}_k = \{C_3,C_5,...,C_k\}$表示长度至多为$k$的所有奇循环的族，令$\mathcal{C}$表示所有奇循环的族。Erdens和Simonovits的\cite{ESi1}证明了：对于二部图的每一族$\mathcal{F}$，存在$k$使得$\ex{n}{\mathcal{F} \cup \mathcal{C}_k} \sim \ex{n}{\mathcal{F} \cup \mathcal{C}}$为$n \rightarrow \infty$ .这一猜想证明了Erdens和Simonovits时，$\mathcal{F} = \{C_4\}$，并为某些家庭的甚至周期在\cite{KSV}。本文利用Scott的稀疏正则引理给出了该猜想的一般性证明。我们的方法证明了完全二部图$K_{2,t}$和$K_{3,3}$的猜想：我们得到更强的，对于任何奇数$k \geq 5$，\[ \ex{n}{\mathcal{F} \cup \{C_k\}} \sim \ex{n}{\mathcal{F} \cup \mathcal{C}}\]，我们进一步表明，极图可以通过删除很少的边缘二部。相比之下，这个公式并不延伸到三角形的情况下$k = 3$ -我们给出了一个代数构造奇$t \geq 3$的$K_{2,t}$ -免费$C_3$ -免…
On extremal graphs with respect to the ABS index
本文研究了关于绝对谱指数的极值图问题，解决了具有特定顶点数、割顶点数和顶点连通度的图类的最大绝对谱指数问题。
On the extremal number of incidence graphs
本文通过将反射群方法发展为纯代数形式，推广了 Janzer–Sudakov 的渗流性质，得到了广义面关联图极值数的一般上界，并确认了 Conlon–Lee 的一个猜想。
Extremal Numbers of Hypergraph Suspensions of Even Cycles
本文将不含偶圈的二部图极值问题扩展至三元系统，证明了任意顶点链接中不含 $C_6$ 的三元组最大数量级为 $n^{7/3}$，并构造了边数为 $n^{4/3}$ 的无 $C_6$ 稠密二部图新族。
Det-extremal cubic graphs and the total domatic number
本文证明连通三次图是det-极值的当且仅当其全支配数为1，推广了McCuaig的刻画，并给出非二分情形的最小顶点数界及围长性质。
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