Geometry of slow-fast Hamiltonian systems and Painlevé equations
本文的第一部分介绍了描述光滑流形上的快慢哈密顿系统所需要的一些几何工具。我们从光滑辛流形$(B,λ)$上的正则（即常秩）Poisson流形$(M,ω)$的光滑Poisson丛$p: M\to B$开始，丛的叶理与$M$上Poisson结构产生的辛叶理重合.这定义了一个奇异的辛结构$Ω_{\varepsilon}=$ $ω+ \varepsilon^{-1}p^*λ$上的$M$为任何积极的小$\varepsilon$，其中$p^*λ$是一个提升的2-形式$λ$上的$M$。给定$M$上的一个光滑哈密顿量$H$，我们得到一个慢-快哈密顿系统w.r.t. $Ω_{\varepsilon}$。我们定义了这个系统的慢流形$SM$。假设$SM$是一个光滑子流形，我们在$SM$上定义了一个慢Hamilton流。本文的第二部分讨论了$p$对$SM$的约束的奇异性及其与附近系统描述的关系。如果$\dim M = 4,$ $\dim B = 2$和Hamilton函数$H$是通用的，那么系统在折叠型奇点附近的行为在主近似中由方程Painlevé-I描述，但是如果奇点是尖点，那么相关方程是Painlevé-II。对于具有一个半自由度的特殊类型的哈密顿系统，这一事实早由R. Haberman发现。
2015-11-26 math.DS
The 1:1 resonance in Hamiltonian systems
在原点具有椭圆平衡的两自由度哈密顿系统的特征在于线性化的频率。以频率为参数，当频率通过共振时，系统发生分岔。对于大多数共振k：l，这些分叉是很好理解的，但对于半简单情况1：1和1：-1，这些分叉不是很好理解的。一个二自由度的哈密顿系统可以通过一个可积近似来近似到任意阶。这是因为哈密顿系统的规范形由于规范形对称性而具有附加积分。后者与频率之比密切相关。因此我们研究了$S^1$ --对称系统。我们希望解决的问题是关于这样一个系统的余维在1：1共振相对于左右等价，其中的权利行动是$S^1$ -等变。其结果是一个余维五展开的中心奇点。展开参数中的两个是模量，其余的非模态参数是在该系统的线性展开中发现的参数。
2017-04-10 math.DS
On change of slow variables at crossing the separatrices
该研究针对单自由度哈密顿系统在未扰系统分界线附近的一般扰动问题，推导给出了系统穿越分界线演化时慢变量变化的渐近公式。
2023-06-09 math.DS
Lagrangian tori near resonances of near-integrable Hamiltonian systems
在本文中，我们研究家庭的拉格朗日环面出现在附近的共振的近可积哈密顿系统。这样的族在“可积”极限$\varepsilon\to 0$中消失。这些环面上的动力学在谐振相位的方向上振荡，并且相对于其他（非谐振）相位旋转。我们还表明，如果共振的多重性等于一，一般这些环面占据一组大的相对措施的共振域的意义上说，剩余的“混沌”集的相对措施是为了$\sqrt\varepsilon$。因此，对于小$\varepsilon > 0$，在单个共振的$\sqrt\varepsilon$邻域中的随机初始条件以比“混沌”集合中大得多的概率发生在该集合内（并且因此产生准周期运动）。我们提出了数值模拟的结果，并讨论了这种环面的作用空间的投影形式。
2013-11-01 math.DS
Parabolic resonances and instabilities in near-integrable two degrees of freedom Hamiltonian flows
当具有抛物不动点的可积二自由度哈密顿系统受扰动时，会发生抛物共振。证明了它的出现对于近可积t.d.o.的单参数族（余维1现象）是一般的。系统.数值实验表明，抛物共振附近的运动表现出一种新的混沌行为，其中包括在某些方向上的不稳定性和长的捕获时间。此外，在简并情况下，在{ \it平坦抛物共振}附近，出现大尺度不稳定性。从大气研究中产生的模型显示出平坦的抛物共振。这为粒子以{ \it小}（即与大气相关的）初速度从赤道附近向高纬度地区的传输提供了一种简单的机制。一个修改的模型，它允许发展的大气射流展开的简并，但痕迹的平坦的不稳定性清楚地观察到。
1996-06-24 math.DS
Splitting of separatrices in the resonances of nearly integrable Hamiltonian Systems of one and a half degrees of freedom
本文考虑一般的几乎可积的一个半自由度解析哈密顿系统，它是关于角状态变量的三角多项式。在这些系统的共振一般出现双曲周期轨道。我们研究了它们的指数小的不变流形的可能横截交，并给出了分裂测度的一个渐近公式。我们看到它的渐近一阶是$K \varepsilon^β \text{e}^{-a/\varepsilon}$的形式，我们确定的常数$K,β,a$的系统功能。我们将所得结果与经典的Melnikov理论进行了比较，结果表明，在近可积系统的共振态中，Melnikov理论不能正确地预言公式中的常数$K$和$β$.
2012-04-12 math.DS
Drift of slow variables in slow-fast Hamiltonian systems
研究了具有多个快慢自由度的快慢哈密顿系统中慢变量的漂移。对于具有冻结的慢变量的快子系统的任何周期轨迹，我们定义一个动作。对于一族周期轨道，作用量是慢变量的标量函数，并且可以被认为是产生一些慢动力学的哈密顿函数。这些动力学依赖于周期轨道族。假设具有冻结慢变量的快系统具有由两个横向异宿轨线连接的双曲周期轨线，证明了对于由作用哈密顿量生成的慢轨线的有限序列组成的任何路径，存在其慢分量遮蔽路径的整个系统的轨线.
2007-10-15 math-ph math.DS math.MP
Analytic invariants for the $1:-1$ resonance
与解析哈密顿向量场在$\mathbb{C}^4$有一个平衡点满足一个非半简单的$1:-1$共振，我们构造了两个普适常数是不变的局部解析辛坐标的变化。当哈密顿量可积时，这些不变量消失。我们还证明了这些不变量之一不消失的开放和密集的集合。
2013-04-29 math.DS
Surviving Lower Dimensional Invariant Tori of a Resonant Torus with any Number of Resonances
Universität Zürich（苏黎世大学）
本文为可积解析哈密顿量提供充分条件，确保在任意足够小的解析扰动下，与未扰动系统的不变共振环面相关的低维不变环面仍然存在。
2021-09-21 math.DS
Dynamics of the dominant Hamiltonian, with applications to Arnold diffusion
近可积哈密顿系统的不稳定性发生在共振附近。这些系统的共振附近的动力学很好地近似为相关的平均系统，称为慢系统。每个谐振由基（整数向量的集合）定义。我们介绍了一类共振，其基础可以分为两个分开的群体，并称之为主导。我们证明了相关的慢系统可以很好地近似的一个子系统，由一组，无论是在向量场和弱KAM理论的意义。证明Arnold扩散的一个关键因素是理解几乎可积系统的不变（Aubry）集的结构。作为一个重要的应用，我们构造了一般的几乎可积系统的扩散路径，使得沿着这条路径的不变（Aubry）集具有类似于扭曲映射的Aubry-Mather集的结构的“简单”结构.这是证明任意度数凸汉密尔顿的阿诺德扩散的关键因素
2015-01-23 math.DS
A remark on the onset of resonance overlap
本文通过两个简单哈密顿系统，在参数平面薄区域内用经典微扰理论严格证明了全局不稳定性和符号动力学的存在，从而为 Chirikov 共振重叠准则提供了理论支持。
2023-08-29 math.DS
Bifurcations and Monodromy of the Axially Symmetric 1:1:-2 Resonance
本文研究三自由度可积哈密顿系统在1：1：-2共振椭圆平衡点附近的情形。可积性源于沿二次部分的周期运动的平均和关于垂直轴的强制旋转对称。引入一个失谐参数，我们发现一个丰富的分支图，包含三个抛物线的哈密顿Hopf分支加入在原点。我们描述了所得到的分歧3-torus丛的单值性作为失谐参数的变化，使系统通过1：1：-2共振。
2020-04-21 math.DS
Homological Resonances for Hamiltonian Diffeomorphisms and Reeb Flows
我们表明，每当一个哈密尔顿仿射或Reeb流具有有限数量的周期轨道，这些轨道的平均指数必须满足共振关系，只要周围的流形满足一些自然的要求。在Reeb流的情况下，这导致了平均欧拉示性数的简单表达式（纯粹根据平均指数）。这些是基础接触结构的不变量，它们能够区分一些同伦但非同构的切触结构。
2009-07-10 math.DS math.SG
Hamiltonian theory of the crossing of the $2 Q_x -2 Q_y=0$ nonlinear coupling resonance
在最近的一篇论文中，哈密顿系统的绝热理论被成功地应用于研究线性耦合共振$Q_x-Q_y=0$的交叉。详细解释了共振交叉过程中发生的著名现象，如发射度交换及其对过程绝热性的依赖。在本文中，我们考虑的交叉共振的非线性耦合$2 Q_x -2 Q_y = 0$使用相同的理论框架。我们使用一个哈密顿模型，其中的非线性耦合共振被激发和相应的动力学进行了详细的研究，特别是在相空间拓扑结构及其演变，鉴于特征的发射度交换现象进行分析。然后使用辛映射的理论结果进行测试。由于这种方法，缩放法的普遍利益的应用程序派生。
2022-08-24 math.DS physics.acc-ph
Instability of high dimensional Hamiltonian Systems: Multiple resonances do not impede diffusion
我们考虑由形式为$$H(I,ϕ,p,q,t;ε) = h(I) + \sum_{j = 1}^n \pm(\frac{1}{2} p_j^2 + V_j(q_j)) + εQ(I,ϕ,p,q,t;ε)$$的哈密尔顿算子给出的模型，其中$I,ϕ$是d维作用和角度，$p,q$是n维实共轭变量，$t$是角度。这些都是更高维的类似物，在中心和双曲方向，在以前的论文中研究的模型由athors。所有这些模型都存在大间隙问题。我们证明了，对于足够小的$ε$，在正则性和显式非退化条件下的模型，有轨道的作用变量$I$执行相当任意的范围内的大小为O（1）。该域包括共振线，因此在$d$维KAM环面之间存在大的间隙。证明方法严格遵循[DLS（= Delshams，Llave and Seara）2006]的策略。当中心方向的维数$d$大于1时，出现的主要新现象是多重共振的存在。我们表明，由于这些多个共振发生在余维大于一个在行动空间$I$的集合，他们可以轮廓。这对应于物理学文献中称为共振扩散的机制。然而，本文与[DLS 2006]有很大不同。在证明的技术细节上，我们利用了散射映射理论[DLS 2008]，这在撰写上述论文时是不可用的。我们已经更详细地分析了施加在共振上的条件。更准确地说，我们发现，有一个简单的条件Melnikov潜力，使我们能够得出结论，共振交叉。特别地，该条件不依赖于共振。因此，即使将结果…
2013-06-19 math.DS
On two-frequency quasi-periodic perturbations of systems close to two-dimensional Hamiltonian ones with a double limit cycle
研究了当相应的受扰自治系统具有双极限环时，双频拟周期扰动对接近于任意非线性二维Hamilton系统的影响问题.它的解对于非线性振动的同步理论和动力系统的分岔理论都有重要意义。在未扰动系统的固有频率与准周期扰动频率可互换的情况下，发生共振。平均系统的推导，使人们有可能确定的结构的共振区，也就是说，描述的行为的解决方案在附近的个人共振水平。这些系统的研究允许确定可能的分叉时产生的共振水平偏离未扰动系统的水平，这会产生一个双极限环在扰动自治系统。将所得理论结果应用于研究一个双频拟周期扰动的双曲型方程，并通过数值计算加以说明。
2020-11-22 math.DS
Energy transfer in a fast-slow Hamiltonian system
我们考虑一个有限区域的弱相互作用的测地线流的负曲率流形上的晶格，我们表明，当重新调整的相互作用和适当的时间，能量的流动演变根据非线性扩散方程。这是在弱耦合系统的情况下，从哈密顿微观动力学推导宏观方程的第一步。
2011-04-10 math-ph math.DS math.MP
Averaging and passage through resonances in two-frequency systems near separatrices
平均方法是动力系统扰动理论中一个经典的有力工具。应用平均方法有两个主要障碍，共振和分离线。在本文中，我们得到了现实的渐近估计，证明使用平均方法在一般情况下，这两个障碍是目前在同一时间，通过一个分界线的时间周期扰动的单频哈密顿系统。作为一种普遍现象，共振在分离面处积累。哈密顿量取决于一个参数，该参数对于受扰系统缓慢变化（因此具有2.5个自由度的慢-快哈密顿系统包括在我们的类中）。我们的结果也可以应用到一般的两个频率的可积系统附近的分离线的扰动，因为它们可以减少到一个频率系统的周期扰动。
2022-02-11 math.DS
Higher order corrections to adiabatic invariants of generalized slow-fast Hamiltonian systems
基于全局平均方法，在具有$\mathbb{S}^1 -$对称性的参数相关相空间上，提出了一种构造广义慢-快哈密顿系统近似首次积分的无坐标方法.导出了近似二阶首次积分的显式整体公式。作为例子，我们分析的情况下，二次的快速变量（特别是弹性摆），和带电粒子在缓慢变化的磁场。
2013-05-17 math-ph math.DS math.MP
Hamiltonian reduction of Vlasov-Maxwell to a dark slow manifold
我们证明了无碰撞Vlasov-Maxwell系统的非相对论标度意味着在无限维Vlasov-Maxwell相空间中存在形式不变的慢流形。限制在慢流形上的弗拉索夫-麦克斯韦动力学将弗拉索夫-泊松模型和弗拉索夫-达尔文模型恢复为低阶近似，并提供更一般的弗拉索夫-达尔文模型的高阶修正。在微扰论中，慢流形可以被解释为所有阶次的形式弗拉索夫-麦克斯韦解的集合，这些解不激发光波，因此是“暗的”。我们提供了一个启发式的下限的时间间隔，弗拉索夫-麦克斯韦的解决方案初始化最佳附近的慢流形保持黑暗。我们还展示了慢流形上的动力学如何自然地继承了底层系统的哈密顿结构。在以一种简单的形式表示这种结构之后，我们用它来识别对弗拉索夫-达尔文模型的明显的哈密顿修正。高阶项的推导归结为计算系统哈密顿量限制在慢流形上的修正。
2021-06-30 math-ph math.DS math.MP
Energy separation in oscillatory Hamiltonian systems without any non-resonance condition
我们考虑多尺度哈密顿系统，其中具有几个高频率的谐振子耦合到一个慢系统。结果表明，对于任意N>1，振荡能量在很长时间内几乎保持不变eps^{-N}，其中eps^{-1}是最小高频的大小.结果是频率均匀的，并且不需要非谐振条件。
2012-10-04 math-ph math.CA math.DS
Second-order fast-slow dynamics of non-ergodic Hamiltonian systems: Thermodynamic interpretation and simulation
研究了一类具有势$U_\varepsilon$的快慢Hamilton系统，该系统描述了快慢自由度之间的非遍历相互作用.参数$\varepsilon$表示快自由度和慢自由度的典型时标比。已知对于$\varepsilon\to0$，哈密顿系统收敛到均匀化哈密顿系统。我们研究的情况下，$\varepsilon$是小，但积极的。首先，我们严格推导出二阶修正的均匀（慢）自由度。它们可以被分解成明确给出的在零附近快速振荡的项和跟踪校正的平均运动的项，这些项被给出为非齐次线性微分方程组的解。然后，从热力学的角度分析了快自由度扩展到二阶时的能量。特别是，我们定义和扩展到第二阶的温度，熵和外力，并表明，他们满足领先的顺序，以及平均到第二阶，热力学能量关系类似于热力学第一和第二定律。最后，我们分析了一个特定的快慢哈密顿系统的慢自由度的二阶渐近展开从数值的角度来看。他们的近似质量为短期和长期的时间框架和他们的总计算时间进行比较与原来的快-慢哈密顿系统的解决方案的类似的精度。
2021-11-12 math-ph math.CA math.DS
Stability islands in domains of separatrix crossings in slow-fast Hamiltonian systems
我们考虑一个二维的。一种哈密顿系统，其中一个自由度对应于快运动，另一个自由度对应于慢运动。慢变量和快变量的时间导数之比为$0<\eps \ll 1$阶。在慢变量的冻结值处，在快变量的相平面上存在分界线，并且在相空间中存在相点在快变量的平面上的投影在慢变量的演化过程中反复穿过分界线的区域（分界线交叉的域）。在一定的对称性条件下，我们证明了在分界线交点区域存在许多（$1/\eps$阶）稳定的周期轨线。这些轨迹中的每一个都被稳定性岛包围，其测量从下面通过阶数$\eps$的值来估计。因此，稳定性岛的总测量由独立于$\eps$的值从下面估计。证明是基于相应的庞加莱映射的渐近公式的分析。
2006-11-16 math.DS nlin.CD
Second-order asymptotic expansion and thermodynamic interpretation of a fast-slow Hamiltonian system
这篇文章包括一个简短的调查选定的平均和降维技术的确定性快慢系统。这一调查包括，除其他外，经典的技术，如WKB近似或平均方法，以及现代技术，如通用形式主义。本文的主要部分结合了这些技术的一些想法，并解决了导出一个简化系统的慢自由度（DOF）的快慢哈密顿系统的问题。在第一部分中，我们利用弱收敛技巧和双尺度收敛，得到了快-慢系统的平均演化到二阶的渐近展开。在第二部分中，我们确定可以解释为系统的温度和熵的量，并使用第一部分的结果将这些量扩展到二阶。这些结果为不同尺度下快慢系统的热力学解释提供了新的见解。
2022-11-18 math-ph math.CA math.DS
Analysis of double-resonance crossing in adiabatic trapping phenomena for quasi-integrable area-preserving maps with time-dependent exciters
针对含时激励的Hamilton系统与保面积映射，本文分析双共振条件下的绝热共振穿越及相空间结构，拓展周期扰动系统的俘获与输运研究，并服务于加速器束流分裂应用。
2024-02-28 math.DS physics.acc-ph
Normal stability of slow manifolds in nearly-periodic Hamiltonian systems
M. Kruskal证明了每一个近周期动力系统都有一个形式上的$U(1)$对称性，这种对称性是由所谓的旋转速率产生的。我们证明，这样的系统也承认几乎不变流形的每一个命令，附近的快速振荡被抑制。我们研究了这些慢流形的非线性正常稳定性的近周期哈密顿系统勉强辛流形-流形配备封闭的，非退化的$2$ -形式，可以退化到领先的顺序。特别是，我们建立了一个充分条件的长期正常稳定性的基础上，著名的绝热不变量的二阶导数。我们利用这些结果研究了磁化带电粒子作为慢流形在近周期系统中嵌入引导中心动力学的问题。我们证明了一个先前的嵌入，和两个新的嵌入享有长期正常的稳定性，从而加强了这些模型的理论依据。
2021-04-05 math-ph math.DS math.MP
A study of the main resonances outside the geostationary ring
我们研究卫星和空间碎片在外部共振，即在地球静止轨道环以外的区域的动态。准确地说，我们重点研究了1：2，1：3，2：3共振，它们分别位于66 931.4 km，87 705.0 km，55 250.7 km处。其中一些共振已经在太空任务中得到了利用，如XMM-牛顿和积分。我们的研究主要是基于一个哈密顿方法，这使我们能够得到快速和可靠的信息，在共振区的动态。即使只考虑哈密顿量中的地球势的影响，也得到了有意义的结果。对于面积质量比高的物体（通常是空间碎片），哈密顿量还包括太阳辐射压力的影响。此外，我们还与笛卡尔变量的数值积分进行了比较，包括地球位势、太阳和月球的引力以及太阳辐射压。我们实现了一些简单的数学工具，使我们能够得到信息的条款是占主导地位的在一个给定的共振周围的哈密顿量的傅立叶级数展开，共振岛的振幅和平衡点的位置。我们还计算快速李雅普诺夫指标，它提供了一个制图的共振区域，产生的主要动力学特征与外部共振。我们应用这些技术来分析1：2，1：3，2：3共振;我们还考虑了具有大面积质量比的物体的情况，并提供了XMM-牛顿和积分给出的案例研究的应用程序。
2015-01-26 astro-ph.EP math.DS
Resonances in reflective Hamiltonian Monte Carlo
Astrophysics Group, Cavendish Laboratory（天体物理组，卡文迪许实验室）；Kavli Institute for Cosmology（卡文迪许宇宙研究所）；Engineering Laboratory, University of Cambridge（工程实验室，剑桥大学）；Institute of Astronomy, University of Cambridge（天文研究所，剑桥大学）
本文研究了高维空间中不精确反射哈密顿蒙特卡洛方法的混合问题，通过Sinkhorn分歧度量化分布非均匀性，揭示了混合失败的主要机制，并展示了粒子在球体和立方体中集体运动的相变行为，以及低维模型对高维问题的再现。
2025-04-16 cond-mat.stat-mech cs.LG math.DS
Resonances in long time integration of semi linear Hamiltonian PDEs
INRIA & ENS Cachan Bretagne（法国国家信息与自动化研究所与巴黎高等师范学校卡昂布列塔尼分校）；Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes（南特大学让·勒雷数学实验室）
研究半线性哈密顿PDE在Sobolev范数小初值下，辛方法数值离散中的共振问题，通过截断线性无界算子与经典分裂方法避免共振，并给出时间步长相关的截断界，利用新正规形证明长时间作用量守恒。
2009-04-09 cs.NA math.AP math.DS
Bifurcation sequences in the symmetric 1:1 Hamiltonian resonance
我们提出了一个一般性的审查的周期轨道的分歧序列的一般位置的家庭共振哈密顿规范形式具有几乎相等的未扰动频率，不变的$Z_2 \times Z_2$对称。这些经典系统的丰富的结构进行了研究与几何方法和奇异性理论方法的关系也突出。几何方法是最直接的方式来获得家庭的相空间动力学的一般图片所定义的控制参数的空间中的一个完整的子集符合对称性约束。它示出了如何找到一个能量动量映射描述的相空间结构的每个成员的家庭，一个灾难的地图，捕捉其全球功能和正式表达式的作用角变量。几个例子，主要是从天体动力学，作为应用程序。
2015-11-23 astro-ph.IM math-ph math.DS
