Book drawings of complete bipartite graphs
一本有k页的“书”由一条直线（“书脊”）和k个半平面（“书页”）组成，这样每一页的边界就是书脊。如果在一本有k页的书上画一个图，使得顶点位于书脊上，并且每条边都包含在一页中，则结果是k页的书图（或简单地说是k页的图）。图G的页码是最小的k，使得G允许k-页嵌入（即，没有边交叉的k-页绘图）。图G的k页交叉数nu_k（G）是图G的k页图中交叉的最小数目。研究了完全二部图的页数和k-页交叉数。我们求出了几个完全二部图的精确页数，并利用这些页数求出了K_{k+1,n}（3<=k<=6）的精确k-页交叉数.我们还证明了一般渐近估计lim_{k->oo} lim_{n->oo} nu_k（K_{k+1,n}）/（2n^2/k^2）=1.最后，我们给出了nu_k（K_{m,n}）的一般上界，并将这些上界与K_{m,n}和K_n的k-平面交叉数联系起来.
2012-10-10 math.CO
Triple crossing numbers of graphs
本文引入了图的三重交叉数，它是交叉数的一种变化，是图在所有图中只有三重交叉的最小交叉点数。对于可平面图，它被定义为零，除非一个图只允许有三重交叉，否则它是无限的。本文确定了包括所有完全图在内的所有完全多部图的三重交叉数。
2012-01-13 math.CO
On the geodesic midrange crossing constant
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究密集图绘制的交叉数，证明在连续设定下，均匀分布顶点的测地绘制中，固定距离阈值内连接对点可最小化交叉数，并在平面凸域内证明直线绘制的类比结果。
2026-11-04 math.CO
$k$-Sets and Rectilinear Crossings in Complete Uniform Hypergraphs
本文研究了完全$d$ -一致超图$K_{2d}^d$的$d$ -维直线图. Anshu等人[Computational Geometry：Theory and Applications，2017]利用Gale变换和Ham-Sandwich定理证明了在这样的$K_{2d}^d$的图中存在$Ω\left(2^d\right)$交叉的超边对。我们通过证明在$K_{2d}^d$的$d$维直线图中存在超边的$Ω\left(2^d \sqrt{ d}\right)$交叉对来改进这个下界.我们还证明了以下结果。1.当$K_{2d}^d$的$d$维直线图的$2d$顶点不在$\mathbb{R}^d$中的凸位置上，或形成一个$d$维凸多面体的顶点时，在$d$维直线图中存在$Ω\left(2^d {d^{3/2}}\right)$交叉超边对，该凸多面体是$t$ -相邻的，但不是$(t+1)$ -相邻的，对于某个与$d$无关的常数$t\geq1$. 2.当$K_{2d}^d$的$d$维直线图的$2d$顶点构成$d$维凸多面体的顶点时，$d$维直线图中存在$Ω\left(2^d {d^{5/2}}\right)$交叉的超边对，该凸多面体是$(\lfloor{d/2}\rfloor-t')$ -邻接的，其中某个常数$t' \geq 0$与$d$无关.
2019-10-28 math.CO
An upper bound for the crossing number of augmented cubes
图$G$的{ \it good drawing}是这样的图，其中边是非自相交的，并且每两条边最多有一个公共点，该公共点是公共端顶点或交叉点。图$G$的{ \it交叉数}是在平面中$G$的良好绘图中边的最小成对交叉数。由S.A. Choudum和V. Sunitha提出的互连网络是一种重要的互连网络，具有良好的拓扑性质和应用。本文得到了$AQ_n$小于$26/324^{n}-(2n^2+7/2n-6)2^{n-2}$的交叉数的上界。
2012-10-23 math.CO
The Maximum of the Maximum Rectilinear Crossing Numbers of d-regular Graphs of Order n
本文将已知的关于圈图（C_n）和完全图（K_n）的最大直交数的结果推广到一般d-正则图类R_{n,d}.给出了n阶d-正则图S_{n,d}的广义星图，其中n + d = 1mod 2，并证明了它们的最大直线交叉数最大化.引入了S_{n,d}的星形图n = d = 0 mod 2，我们猜想，这种图最大化最大的直线交叉数，太。我们提供了一个更简单的证明两个结果最初证明了毛茸茸和Kleitman作为部分结果在这个猜想的方向。
2008-12-10 math.CO
Bounding the tripartite-circle crossing number of complete tripartite graphs
本文研究了三部图在三个不相交圆上的三部图-圆绘制问题，给出了完全三部图$K_{m,n,p}$最小交叉数的上下界，并证明平衡受限3圆绘制并非最优。
2023-06-29 math.CO
Improvement on the crossing number of crossing-critical graphs
图$G$的交叉数是平面中所有$G$图上的最小边交叉数。一个图$G$是$k$ -交叉临界的，如果它的交叉数至少是$k$，但如果我们删除$G$的任何边，它的交叉数下降到$k$以下。有一些$k$交叉-临界图的示例，这些图不包含具有精确$k$交叉的图形。1993年，Richter和Richassen证明了如果$G$是$k$ -交叉临界的，那么它的交叉数至多是$2.5k+16$。我们改进了这个界限到$2k+6\sqrt{k}+44$。
2020-09-19 math.CO
Drawings of complete graphs in the projective plane
希尔猜想指出，完全图$K_n$在平面（相当于球面）中的交叉数$\text{cr}(K_n)$是$\frac{1}{4}\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\lfloor\frac{n-3}{2}\rfloor=n^4/64 + O(n^3)$。月球证明，预期的交叉点的数目在一个球面图中，其中的点是随机分布和加入测地线正是$n^4/64+O(n^3)$，从而匹配渐近的固定值的$\text{cr}(K_n)$。用$\text{cr}_P(G)$表示图$G$在射影平面上的交叉数。最近，Elkies证明了$K_n$的自然定义的随机射影平面图中的期望交叉数是$(n^4/8π^2)+O(n^3)$。在类比的关系月亮的结果希尔猜想，埃尔基问，如果$\lim_{n\to\infty} \text{cr}_P(K_n)/n^4=1/8π^2$。我们在射影平面上构造$K_n$的绘图，证明这一点是错误的。
2021-03-18 math.CO
Drawing complete multipartite graphs on the plane with restrictions on crossings
引入了NIC-可平面图的概念，给出了NIC-平面完全k部图的充分刻画。
2013-11-08 cs.DM math.CO
Improved lower bounds on book crossing numbers of complete graphs
一本“有k页的书”由一条直线（“书脊”）和k个半平面（“书页”）组成，这样每一页的边界就是书脊。如果在一本有k页的书上画一个图，使得顶点位于书脊上，并且每条边都包含在一页中，则结果是k页的书图（或简单地说是k页的图）。图G的k-页交叉数nu_k（G）是图G的k-页图中交叉的最小数目。本文研究了完全图K_n的k-页交叉数。我们利用半定规划技术给出了nu_k（K_n）的改进的下界.我们还利用一个极大可满足性的重新表述来计算nu_k（K_n）的精确值。最后，我们研究了已知的在k页中绘制K_n的最佳构造，计算了由此产生的交叉数，并根据本文报道的新结果讨论了这个上界。
2012-07-24 math.CO
Bounding the number of non-duplicates of the $q$-side in simple drawings of $K_{p,q}$
数字$Z(n):=\lfloor n/2\rfloor\lfloor (n-1)/2\rfloor$是$K_{2,n}$的简单平面图形中的最小交叉数，其中2侧的两个顶点具有相同的顺时针旋转。对于$K_{p,q}$的简单绘图的$q$ -侧上的两个顶点$u,v$，令$\operatorname{cr}_D(u,v)$表示与$u$关联的边与与$v$关联的边的交叉总数。我们表明，在任何简单的绘图$D$的$K_{p,q}$在一个表面$Σ$的$q$ -侧的$K_{p,q}$有$\operatorname{cr}_D(u,v)<Z(p)$的顶点对的数量是有界的$p$和$Σ$的函数。作为结果，我们还表明，对于一个固定的整数$p$和表面$Σ$，存在一个有限的一组图纸$\mathcal{D}(p,Σ)$的完全二部图，使每个$q$，交叉最小的$K_{p,q}$的图纸可以通过“复制顶点”在一些图纸从$\mathcal D(p,Σ)$。
2021-08-23 math.CO
Towards Crossing-Free Hamiltonian Cycles in Simple Drawings of Complete Graphs
本文将完全图简单绘制中无交叉哈密顿圈的经典猜想加强为任意两顶点间存在无交叉哈密顿路径，并证明其对强 c-monotone 绘制和柱面绘制等类别成立，同时梳理各类简单绘制在弱同构下的包含关系。
2024-03-04 cs.CG math.CO
Convex drawings of the complete graph: topology meets geometry
本文引入并发展了球面上完全图$K_n$的凸图理论。$K_n$的绘图$D$是凸的，如果对于$K_n$的每个3-循环$T$，存在由$D[T]$界定的闭合圆盘$Δ_T$，使得对于$D[u]$和$D[v]$都在$Δ_T$中的任何两个顶点$u,v$，整个边$D[uv]$也包含在$Δ_T$中。作为这个角度的一个应用程序，我们认为图纸包含一个非凸$K_5$，其扩展到图纸的$K_7$的限制。对于每一个这样的绘图，我们使用凸性来产生一个具有更少交叉的新绘图。这是局部考虑为次优性提供充分条件的第一个例子。特别地，我们不将交叉点的数量{与任何已知图中的交叉点的数量}进行比较。这一结果揭示了Aichholzer的计算机证明（个人通信）表明，对于$n\le 12$，每一个最佳的图纸$K_n$是凸的。凸面图纸的特点是不包括$K_5$五张图纸中的两张。凸图的两种精化是h-凸图和f-凸图。后者已经由Aichholzer等人（Deciding monotonicity of good drawings of the完全图，Proc.~ XVI西班牙计算几何会议（EGC 2015），2015），并独立地，当前文章的作者（列维引理，$K_n$的伪线性绘图，和空三角形，\rbr{J. Graph Theory DOI: 10.1002/jgt.22167)}，等同于伪线性绘图。此外，h-凸图等价于伪球面图，如Arroyo…
2017-12-18 math.CO
Treewidth, Circle Graphs and Circular Drawings
圆图是圆的一组弦的交图。描述了树宽较大的圈图的不可避免诱导子图。这包括与“通常嫌疑人”相去甚远的例子。我们的结果表明树宽和Hadwiger数与圈图类线性相关，并且当且仅当一个顶点子闭类的秩宽有界时，具有大树宽的顶点子闭类的不可避免诱导子图是通常的怀疑对象.使用同样的工具，我们还研究了图$G$的树宽，它有一个圆形图，其交叉图在某种程度上是良好的。在这种情况下，我们表明，如果交叉图是$K_t$ -小自由，那么$G$树宽最多$12t-23$和没有$K_{2,4t}$ -拓扑子。另一方面，我们证明了有任意大的Hadwiger数的图具有圆形图，其交叉图是$2$ -退化的。
2022-12-22 math.CO
Graphs with at most one crossing
图$G$的交叉数是在$G$的所有可能图上的最小交叉数。本文给出了交叉数为1的图的一个结构刻画。
2019-04-26 math.CO
Drawing disconnected graphs on the Klein bottle
证明了在克莱因瓶上必须分别画两个不相交的图，以使整个图的交叉数最小.
2008-11-04 math.CO
3--symmetric and 3--decomposable drawings of $K_n$ (extended version)
即使是对$K_n$的绝大多数交叉最小几何图形的最肤浅的一瞥，也会揭示出两个难以忽视的特征。首先，所有这样的图看起来都是3重对称的（或简单地{ \em 3对称}）。第二，它们都是{ \em 3-可分解的}，也就是说，存在包围绘图的三角形$T$，以及底层点集$P$的平衡划分$A, B, C$，使得$P$到$T$的侧上的正交投影在一侧上显示$B$和$C$之间的$A$，在另一侧上显示$A$和$C$之间的$B$，以及位于第三侧的$A$和$B$之间的$C$。事实上，我们推测所有的最佳图纸是3-可分解的，并有3-对称的最佳结构，所有$n$倍数为3。本文证明了$K_n$的任意3-可分解几何图至少有$0.380029\binom{n}{4}+Θ(n^3)$交叉。另一方面，我们产生3-对称和3-可分解的图纸，提高了{ \em一般}上界的直线交叉数的$K_n$ $0.380488\binom{n}{4}+Θ(n^3)$。我们还给出了明确的3-对称和3-可分解的结构$n<100$，至少是那些以前已知的。
2008-05-08 math.CO
Crossing numbers of complete tripartite and balanced complete multipartite graphs
图G的交叉数cr（G）是指图G的非退化平面图中交叉的最小数目。图G的直线交叉数cr '（G）是图G的直线非退化平面图（边为直线段）中交叉的最小数目。Zarankiewicz在1952年证明了cr '（K_{n_1,n_2}）\le Z（n_1，n_2）：= n_1/2*（n_1-1）/2*n_2/2*（n_2-1）/2.本文对完全三部图K_{n_1,n_2,n_3}定义了一个类似的界A（n_1，n_2，n_3），并证明了cr '（K_{n_1,n_2,n_3}）\le A（{n_1，n_2，n_3}）.当n足够大时，我们还证明了0.973 A（n，n，n）\le cr '（K_{n,n,n}）和0.666 A（n，n，n）\le cr（K_{n,n,n}），并通过使用旗代数建立了更紧的直线下界.一个完全多部图是平衡的，如果所有的部集具有相同的基数。研究了平衡完全r-部图的交叉数的渐近性质。Richter和Killassen在1997年证明了cr（K_{n,n}）的n \to \infty的极限在K_{n,n}图的最大交叉数上存在，并且最多为1/4。定义z（r）=3（r^2-r）/8（r^2+r-3），证明了对于一个固定的r和平衡的完全r-部图，z（r）是图中交叉数除以最大交叉数的上界的一个上界.
2014-10-02 math.CO
Bad drawings of small complete graphs
我们表明，对于$K_5$（分别为~ $K_{3,3}$）存在具有$i$独立交叉的绘图，并且没有一对独立边交叉超过一次，前提是$i$与$1\le i\le 15$（分别为~ $1\le i\le 17$）。相反，使用删除的产品上同调，我们表明，对于$K_5$和$K_{3,3}$，如果$A$是任何一组独立的边缘对，和$A$有奇数基数，那么有一个绘图在平面上的每个元素在$A$交叉奇数次，而每对独立的边缘不在$A$交叉偶数次。对于$K_6$，我们表明，有一个图纸与$i$独立的交叉，没有一对独立的边缘交叉超过一次，当且仅当$3\le i\le 40$。
2019-03-14 math.CO
A Note on the Maximum Rectilinear Crossing Number of Spiders
图$G$的最大直线交叉数是在平面上$G$的好的直线图中交叉的最大数目。在一个好的图形中，任何两条边最多相交于一个点（算上端点），没有三条边有一个公共的内点，并且边的内部不包含顶点。蜘蛛是$K_{1,k}$的一个亚类。我们提供了蜘蛛的最大直线交叉数的上界和下界。虽然关于无限图族的最大直线交叉数的结果不多，但我们的方法可以用来找到$K_{1,k}$的精确最大直线交叉数，其中每条边精确细分一次。这是计算任意树的最大直线交叉数的第一步。
2021-08-20 math.CO
Crossing Number of 3-Plane Drawings
本文利用密度公式研究3-平面绘制的交叉数，证明每个3-平面绘制至多有5.5(n-2)个交叉点且界是紧的，从而将3-平面图的交叉数上界从6.6n改进为5.5n。
2025-03-11 cs.CG math.CO
The complexity of computing the cylindrical and the $t$-circle crossing number of a graph
一个图的平面图是{ \em柱面}，如果存在两个包含图的所有顶点的同心圆，并且没有边与任何这些圆相交（除了在其端点处）。图形\(G\)的{ \em圆柱交叉数}是\(G\)圆柱图形中的最小交叉数。在他有影响力的调查的变种的定义交叉数的一个图，谢弗列出的复杂性计算的圆柱交叉数的一个图作为一个开放的问题。在本文中，我们解决了这个问题，表明这个问题是NP完全的。此外，我们还证明了圆柱交叉数的自然推广，即\(t\) -{ \em圆交叉数}的类似结果。
2017-08-06 math.CO
Crossing numbers and combinatorial characterization of monotone drawings of $K_n$
在1958年，希尔证明了$K_n$图中的最小交叉数正好是$Z(n) = \frac{1}{4} \lfloor\frac{n}{2}\rfloor \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor$。推广了Ábrego等人关于两页书图的结果，我们证明了对于边由$x$ -单调曲线表示的平面图的这个猜想。事实上，我们的证明表明，该猜想仍然是正确的$x$ -单调图纸的$K_n$，其中邻边可能会交叉一个偶数的时间，而不是交叉数，我们计数的边缘对交叉一个奇数的时间。我们进一步讨论了这一结果的推广到shellable图纸，介绍了由Ábrego等人的概念。我们还给出了几个类的$x$ -单调图纸的完全图使用一个小的禁用配置的组合特征。对于可壳图的一个类似的局部刻画，我们将Carathéodory定理推广到完全图的简单图。
2014-08-09 cs.DM math.CO
On 3-decomposable geometric drawings of $K_n$
所有已知的$K_n$的最佳直线图的点集共享一个明确无误的聚类属性，即所谓的{ \em 3-可分解性}。人们普遍认为$K_n$的所有最优直线图的基本点集都是3-可分解的。本文给出了3-可分解$n$ --点集的最小$(\le k)$--集个数的一个下界.作为直接推论，我们得到了$K_n$的任意直线图$\dd$与其基础3-可分解点集的交叉数$\rcr(\dd)$的一个下界，即$\rcr(\dd) > {2/27}(15-π^{2})\binom{n}{4}+Θ(n^{3}) \approx 0.380029\binom{n}{4} + Θ(n^3)$ .在3-可分解性的假设下，这将$K_n$的直线交叉数$\rcr(K_n)$的最佳已知下限和上限之间的差距缩小了40%以上。
2007-12-27 math.CO
A Hanani-Tutte Theorem for Cycles
本文提出环的 Hanani–Tutte 型判定准则，证明任意两环交叉数均为偶数即可平面化，并推广至任意曲面且与已有基本定理等价。
2024-06-12 math.CO
The Crossing Number of Seq-Shellable Drawings of Complete Graphs
Harary-Hill猜想指出，对于每个$n>0$，$n$上的完全图的顶点$K_n$，其所有可能的图的最小交叉数等于\begin{align*} H(n) := \frac{1}{4}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-3}{2}\Big\rfloor\text{.} \end{align*}。到目前为止，该猜想的下界只能对$K_n$与$n\leq 12$的任意图得到验证。近年来，对某些类型的图形，如$2$ -page-book，$x$ -monotone，$x$ -bounded，shellable和bishellable图形的猜想的验证取得了进展。到目前为止，双壳图类是Harary-Hill猜想已被证实的最广泛的类，因为它包含了所有前面提到的类。在这项工作中，我们介绍了类的seq-shellable图纸，并验证了Harary-Hill猜想这个新的类。我们证明了双壳性蕴涵了序列可壳性，并证明了$K_{11}$的一个不可双壳但可序列可壳的图类，因此可序列可壳的图类严格包含了可双壳的图类.
2018-03-20 cs.CG math.CO
On the Rectilinear Crossing Number of Complete Uniform Hypergraphs
本文考虑平面上画完全图的直线交叉数问题的一个推广形式。$d$ -一致超图的$d$ -维直线图中超边交叉对的最小数目称为超图的$d$ -维直线交叉数.对于$d$ -一致超图，其$n$-维直交数的下界是$\mathbb{R}^d$.在本文中，我们将这个下界改进为$Ω(2^d) {n \choose 2d}$。我们还考虑了$d$ -一致超图的所有顶点都位于$d$ -维矩曲线上的特殊情况。对于这类顶点为$n$的完全$d$ -一致超图，我们证明了两两交叉超边的个数为$Θ(\frac{4^d}{\sqrt{d}}) {n \choose 2d}$。
2016-02-25 math.CO
Testing Gap k-planarity is NP-complete
对于所有的$k \geq 1$，我们证明了决定一个图是否是$k$ -平面是NP-完全的，扩展了众所周知的事实，决定1-平面性是NP-完全的。此外，我们证明了这个判定问题的间隙版本是NP完全的。特别地，对于局部交叉数至多为$k\ge 1$或至少为$2k$的图，证明了判定局部交叉数至多为$k$或至少为$2k$是NP完全的.这个算法下界证明了对于任何固定的$k \ge 1$不存在$(2-ε)$ -近似算法。此外，我们还分析了局部交叉数（每条边的最大交叉数）和交叉数（交叉总数）之间的竞争关系。我们给出了关于不存在同时近似最小化图的局部交叉数和交叉数的绘图的结果。
2020-05-15 math.CO
Shellable drawings and the cylindrical crossing number of $K_n$
Harary-Hill猜想指出，在平面上的完全图$ K_n $的任何图中的交叉数至少是$Z(n):=\frac{1}{4}\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor \frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor$。本文解决了{ \em可壳图}的Harary-Hill猜想。我们说$ K_n $的绘图$D$是{ \em $ s $ -shellable}，如果存在顶点的子集$ S = \{v_1,v_2,\ldots,v_ s\}$和$D$的区域$R$，具有以下性质：对于所有$1 \leq i < j \leq s$，如果$D_{ij}$是通过移除$v_1,v_2,\ldots v_{i-1},v_{j+1},\ldots,v_{s}$从$D$获得的绘图，则$v_i$和$v_j$在包含$R$的$D_{ij}$的区域的边界上。对于$ s\geq n/2 $，我们证明了$ K_n $的任何$ s $可壳图的交叉数至少是长约束值Z（n）.此外，我们证明了所有的圆柱形，$ x $有界，单调，2页图纸$ K_n $是$ s $壳的一些$ s\geq n/2 $，因此他们都至少有…
2013-10-11 cs.CG math.CO
On the Maximum Number of Crossings in Star-Simple Drawings of $K_n$ with No Empty Lens
图的星型简单图是相邻边不相交的图。相反，对两个独立边之间的交叉数没有限制。当允许空透镜时（由2-循环界定的两条边引起的排列中的面），两条独立的边可以在星形简单图中任意多次交叉。我们考虑没有空透镜的$K_n$的星型简单图。在这种情况下，我们证明了上界的$3((n-4)!)$的最大数目的交叉之间的任何一对边缘。因此，交叉的总数是有限的，并且上界为$n!$。
2020-08-25 cs.CG cs.DM math.CO
The crossing number of cubes with small order
图$G$的{ \it交叉数}是图$G$中边的最小成对交叉数。本文给出了阶数不超过4的超立方体的几种变形的交叉数的精确值，包括交叉立方体、局部扭曲立方体和莫比乌斯立方体。
2013-10-05 math.CO
Non-Homotopic Drawings of Multigraphs
University of Oxford（牛津大学）；University College London（伦敦大学学院）；Monash University（莫纳什大学）
研究平面中非同伦多重图的最大边数，通过组合论证将上界改进为指数级，并针对单调画法给出最优边界。
2026-06-16 math.CO
Crossing Minimization for 1-page and 2-page Drawings of Graphs with Bounded Treewidth
我们调查交叉最小化1页和2页的书籍图纸。我们表明，计算1页的交叉数是固定参数易于处理的交叉数，测试2页平面性是固定参数易于处理的树宽，计算2页的交叉数是固定参数易于处理的交叉数和输入图的树宽的总和。我们证明了这些结果通过Courcelle定理的固定参数的一元二阶逻辑有界树宽的图形表示的属性的易处理性。
2014-08-27 cs.DM cs.DS math.CO
Maximal 1-plane graphs with the maximum number of crossings
本文引入拟最优1-平面图的概念，证明了极大1-平面图达到最大交叉数当且仅当其为拟最优1-平面图，并展示了其在反驳相关交叉数上界中的应用。
2025-08-14 math.CO
Limiting crossing numbers for geodesic drawings on the sphere
我们介绍了一个模型的随机测地线图纸上的完全二部图$K_{n,n}$的单位球$\mathbb{S}^2$在$\mathbb{R}^3$，其中我们选择的顶点在每个二部类的$K_{n,n}$关于两个非退化的概率测度$\mathbb{S}^2$。最近已经证明，许多这样的措施给出的图，其交叉数接近Zarankiewicz数（$K_{n,n}$的交叉数）。在本文中，我们考虑与这种随机图纸的交叉图。我们证明了，对于任何概率测度，所得到的随机交图在图极限意义下形成收敛图序列。极限图子的边密度与这两个测度无关，只要它们是对足对称的。然而，它表明，三角形密度表现不同。我们研究了一个特定的随机模型，爆炸的对极图纸$D$的$K_{4,4}$，并表明，三角形密度在相应的交叉graphon依赖于包含在$D$的边缘的大圆之间的角度，可以达到任何值的间隔$\bigl(\frac{83}{12288}, \frac{128}{12288}\bigr)$。
2020-08-24 cs.CG math.CO
On a conjecture by Anthony Hill
在20世纪50年代，英国画家安东尼·希尔描述了平面上具有精确的$$H(n) = \tfrac{1}{4}\lfloor \tfrac{n}{2}\rfloor \, \lfloor \tfrac{n-1}{2}\rfloor \, \lfloor \tfrac{n-2}{2}\rfloor \,\lfloor \tfrac{n-3}{2}\rfloor$$交叉的完全图$K_n$的绘图。它成为一个猜想，这个数字是最小的可能，尽管认真的努力，猜想仍然是广泛开放的。布拉热克和科曼在1963年发现了另一种绘制具有相同交叉数的$K_n$的方法。在本说明中，我们第一次提供了一个非常一般的图纸结构，以达到相同的界限。令人惊讶的是，证明是非常短的，也可能有资格作为一个“书的证明”。特别是，它给出了一个非常简单的解释的现象发现的月球在1968年，一个随机集$n$点上的单位球$\SS^2$在$\RR^3$加入测地线产生的绘图，其交叉的数量渐近接近希尔值$H(n)$。
2020-09-07 math.CO
A slightly better bound on the crossing number in terms of the pair-crossing number
图$G$的交叉数${\mbox{cr}}(G)$是图的最小交叉数，对交叉数${\mbox{pcr}}(G)$是图$G$的所有图上交叉边对的最小数目。在本文中，我们表明，${\mbox{cr}}(G)=O({\mbox{pcr}}(G)^{3/2}\log{\mbox{pcr}}(G))$，这是一个改进的结果Matoušek，由一个对数因子。
2021-05-29 math.CO
Toward the Rectilinear Crossing Number of $K_n$: New Drawings, Upper Bounds, and Asymptotics
Scheinerman和Wilf（1994）指出：“确定完全图K_n的直交数是图嵌入研究中的一个重要公开问题。“K_n的直线图是平面上n个顶点的排列，每对顶点都由一条线段边连接。我们假设没有三个顶点是共线的，并且没有三条边相交于一个点，除非该点是所有三条边的端点。K_n的直线交叉数是在K_n的所有直线图上可达到的最少边交叉数。对于每个n，我们构造一个直线图K_n，具有最少的边交叉和最好的渐近已知的日期。此外，我们还给出了K_n的几种具有良好渐近性的可供选择的无穷图族.最后，我们提到了一些新老问题。
2000-09-28 cs.CG cs.DM math.CO
Monotone drawings of planar graphs
设G是一个平面图，其边用x-单调曲线表示，且任意一对曲线相交偶数次。我们表明，G可以重画在这样一种方式，顶点的x坐标保持不变，边缘成为非交叉直线段。
2011-01-05 math.CO
Book crossing numbers of the complete graph and small local convex crossing numbers
本研究改进了完全图$K_n$在$k\neq 14$时的$k$页书交叉数下界，确定了$2 < n/k \neq 3$时的书交叉数，并给出局部交叉数$\neq 4$的凸图最大边数。
2024-05-17 math.CO
Generalizations of the Crossing Lemma
本文回顾了交叉数领域最重要的不等式Crossing Lemma的若干推广与应用。
2025-09-17 math.CO
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
The crossing number of folded hypercubes
图$G$的{ \it交叉数}是图$G$中边的最小成对交叉数。{ \it $n$ -维折叠超立方体} $FQ_n$是由$n$ -维超立方体通过添加所有互补边而获得的图。本文给出了$FQ_n$交叉数的上、下界.
2011-01-18 math.CO
On the crossing number of K_13
由于K_{12}的交叉数现在已知为150，所以众所周知，简单计数参数和用于K_{2n+1}的交叉数的Kleitman奇偶定理与K_{13}的特定绘图相结合，以表明K_{13}的交叉数是{217，219，221，223，225}中的数之一。我们证明了交叉数不是217。
2013-07-12 math.CO
An Ongoing Project to Improve the Rectilinear and the Pseudolinear Crossing Constants
平面上的图形是{ \it pseudolinear}，如果图形的边可以扩展为形成伪线排列的双无限曲线，即任何一对边恰好交叉一次。特殊情况是{ \it rectangular}图形，其中图形的边绘制为直线段。图的直线（伪线性）交叉数是图的任何直线（伪线性）图中交叉的边对的最小数目。在本文中，我们描述了一个正在进行的项目，不断获得更好的渐近上界的直线和伪线性交叉数的完全图$K_n$。
2020-07-15 cs.CG math.CO
Extending drawings of complete graphs into arrangements of pseudocircles
受几何学在证明$K_n$的“伪线性”图的Harary-Hill猜想中的成功应用的启发，我们引入了图的“伪球面”图。图$G$的球面图是单位球面$\mathbb{S}^2$中的图，其中$G$的顶点表示为点-在大圆上没有三个-并且$G$的边是连接顶点对的$\mathbb{S}^2$中最短的弧。这样的绘图有三个性质：（1）每条边$e$都包含在一条简单的闭合曲线$γ_e$中，使得$γ_e$中仅有的顶点是$e$的端点;（2）如果$e\ne f$，则$γ_e\capγ_f$恰好有两个交叉点;（3）如果$e\ne f$，则$e$与$γ_f$相交至多一次，或者在$e$的交叉点或者在$e$的端点。我们使用性质（1）-（3）来定义$G$的伪球面图。我们的主要结果是，对于完全图，性质（1）-（3）等价于相同的三个性质，只是把（2）中的“恰好两个交叉点”替换为“至多两个交叉点”。证明需要一个结果的几何横向理论安排的pseudocircles。这是证明使用的令人惊讶的结果，没有特殊的弧（连贯的螺旋）在安排简单的封闭曲线的特点，任何两个曲线的安排有最多两个交叉点的事实。我们的研究提供了必要的想法，展示了一个图纸的$K_{10}$，没有扩展到一个安排的pseudocircles和图纸的$K_9$，并扩展到一个安排的pseudocircles，但没有这样的扩展有所有对pseudocircles交叉两次。
2021-04-19 cs.CG math.CO
On the k-planar local crossing number
给定一个固定的正整数$k$，图$G$的平面局部交叉数$k$ -平面局部交叉数，记为$\text{LCR}_k(G)$，是使$G$能被分解成$k$子图的最小正整数$L$，每个子图都能在平面中画出，使得没有边交叉超过$L$次.在本文中，我们证明了在一定的自然限制下，比率$\text{LCR}_k(G)/\text{LCR}_1(G)$是$1/k^2$阶的，这类似于Pach等人最近关于$k$ -平面交叉数（定义为最小正整数$C$，对于该最小正整数$C$，存在$k$ -平面图的$G$，具有$C$总边交叉）的结果。作为推论，我们证明，在类似的限制下，人们可以得到一个$k$ -平面图的$G$与\emph{both}的总数量的边缘交叉以及最大次数的任何边缘交叉基本上匹配的最佳已知的界限。我们的证明依赖于交叉数不等式和几个概率工具，如测量的浓度和Lovász局部引理。
2018-04-06 math.CO
Crossings in Grid Drawings
证明了顶点集取自体积为N的d维网格的几何图的交叉数不等式，并给出了这些不等式在计算可画在这种网格上的非交叉几何图的数目方面的应用.特别地，我们证明了任意边数m ≥ 8 N且顶点数在体积为N的三维整数网格上的几何图都有Ω（（m^2/n）\log（m/n））交叉.在d维中，当d >= 4时，这个界限变成Ω（m^2/n）。我们为所有d提供匹配的上界。最后，对于d >= 4，上界意味着顶点在体积N的某个d维网格上的无交叉几何图的最大数目是n^Θ（n）。在3维空间中，改进平凡界，即2^Ω（n）下界和n^O（n）上界仍然是开放的。
2013-01-21 cs.CG math.CO
Drawing Tree-Based Phylogenetic Networks with Minimum Number of Crossings
在生物遗传学中，基于树的网络被用来模拟和可视化物种的进化历史，其中发生了网状事件，如水平基因转移。形式上，基于树的网络$N$由系统发生树$T$（有根、二元、叶标记树）和跨越$T$的边之间的所谓网状边组成。网络$N$通常通过用几种不同样式之一向下绘制$T$、平面和网状边缘来可视化。一个美学标准是最小化树边缘和网状边缘之间的交叉数量。这个优化问题还没有被研究过。我们表明，如果网状边缘绘制x-单调，问题是NP-完全的，但固定参数听话的网状边缘的数量。另一方面，如果将网格边缘画成“耳朵”状，则可以在二次时间内解决交叉最小化问题。
2020-08-20 cs.DM math.CO
The 2-page crossing number of $K_n$
大约在1958年，Hill描述了如何画出具有[Z（n）：=1/4 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-2}{2} % \rfloor \lfloor \frac{n-3}{2} \rfloor ]交叉的完全图$K_n$，并证明了$K_n$的交叉数$\crg (K_{n})$正好是Z（n）。这也被称为盖伊猜想，因为他后来推广了它。到本世纪末，发现了具有Z（n）交叉的$K_{n}$的基本不同的绘图。这些绘图是\emph{2-page book drawings}，即所有顶点都在$\ell$（脊柱）上的绘图，并且每个边缘都完全包含在$\ell$定义的两个半平面（页面）之一中。$K_{n} $的\emph{2-page crossing number}，用$ν_{2}(K_{n})$表示，是由$K_{n}% $的2页书籍绘图确定的最小交叉数。由于$\crg(K_{n}) \leν_{2}(K_{n})$和$ν_{2}(K_{n}) \le Z(n)$，希尔猜想的一个自然步骤是%（形式上）较弱的猜想$ν_{2}(K_{n}) = Z(n)$，由Vrt 'o推广。据我们所知，这个自然猜想是由Imrich Vrt 'o在2007年首次提出的。在本文之前，已知的$ν_2(K_n)$的结果…
2012-06-25 cs.CG math.CO
Unexpected behaviour of crossing sequences
图G的第n次交叉数记为cr_n（G），是指图G在亏格为n的可定向曲面上的一个图的最小交叉数.证明了对任意a>b>0，存在图G，使得cr_0（G）= a，cr_1（G）= b，cr_2（G）= 0.这为Archdeacon等人的一个猜想提供了支持，并解决了Salazar的一个问题。
2010-09-02 math.CO
Minimizing an Uncrossed Collection of Drawings
本文提出无交叉绘图集合概念，定义无交叉数和无交叉交叉数两个优化目标，并证明后者NP困难但存在FPT算法。
2025-09-22 cs.CG cs.DM math.CO
Note on Min-k-Planar Drawings of Graphs
本文研究图的 min-k-平面绘制中一般绘制与简单绘制的差异，证明存在具有 min-2-平面绘制或避免相邻边交叉的 min-3-平面绘制的图，但对任意大的固定 k 均不存在简单 min-k-平面绘制。
2024-09-30 cs.DM math.CO
