Monotone drawings of planar graphs
Janos Pach, Geza Toth
设G是一个平面图，其边用x-单调曲线表示，且任意一对曲线相交偶数次。我们表明，G可以重画在这样一种方式，顶点的x坐标保持不变，边缘成为非交叉直线段。
Let G be a graph drawn in the plane so that its edges are represented by x-monotone curves, any pair of which cross an even number of times. We show that G can be redrawn in such a way that the x-coordinates of the vertices remain unchanged and the edges become non-crossing straight-line segments.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Extending simple monotone drawings
该研究扩展了简单单调绘制，证明了Levi扩展引理的变种，并指出扩展圆柱形单调伪段排列的决策问题为NP难。
Crossing numbers and combinatorial characterization of monotone drawings of $K_n$
在1958年，希尔证明了$K_n$图中的最小交叉数正好是$Z(n) = \frac{1}{4} \lfloor\frac{n}{2}\rfloor \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor$。推广了Ábrego等人关于两页书图的结果，我们证明了对于边由$x$ -单调曲线表示的平面图的这个猜想。事实上，我们的证明表明，该猜想仍然是正确的$x$ -单调图纸的$K_n$，其中邻边可能会交叉一个偶数的时间，而不是交叉数，我们计数的边缘对交叉一个奇数的时间。我们进一步讨论了这一结果的推广到shellable图纸，介绍了由Ábrego等人的概念。我们还给出了几个类的$x$ -单调图纸的完全图使用一个小的禁用配置的组合特征。对于可壳图的一个类似的局部刻画，我们将Carathéodory定理推广到完全图的简单图。
Drawings of Planar Graphs with Few Slopes and Segments
研究了具有较少线段和斜率的可平面图的直线图。所有的树都得到了最优结果。得到了外平面图、2-树和平面3-树的紧界。证明了$n$顶点上的3连通平面图有一个至多有${5/2}n$段和至多有$2n$斜率的平面图.本文证明了每一个三次3连通平面图都有一个平面图，它有三个斜率（和三个外表面的弯曲）。在一个配套文件中，也考虑了非可平面图的几个斜率的绘图。
Deciding monotonicity of simple drawings of the complete graph
研究判定完全图\(K_n\)简单画法单调性的问题，核心方法是提出时间复杂度\(O(n^5)\)的算法，主要贡献是能判定其与\(x\) - 单调画法是弱同构还是强同构。
The maximum number of edges of bipartite 1-planar graphs with 1-disk drawings
本文解决了具有1-圆盘OX绘图的二分1-平面图的最大边数问题，证明其上界为2|V(G)|+|X|-6，并证明该界是紧的。
Competitively Constructed Planar Graphs
该研究提出两类构造平面图的类造者-破者博弈（边绘制博弈、圆填充博弈），给出平面图可被构造的必要条件，并证明两类博弈存在差异。
Every Collinear Set in a Planar Graph Is Free
证明了如果一个可平面图$G$有一个平面直线图，其中$S$的顶点的子集共线，那么对于任何一组点，$X$，在有$|X|=|S|$的平面中，都有一个$G$的平面直线图，其中$S$中的顶点映射到$X$中的点.这解决了Ravsky和Verbitsky在2008年提出的一个公开问题。在他们的术语中，我们证明了每一个共线集都是自由的。这一结果在图形绘制中有应用，包括解缠、列平面性、泛点子集和部分同时绘制。
Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices
请考虑以下问题：给定一个平面图$G$，使$G$有一个平面直线图且其顶点$p$共线的最大数目是多少？这个问题存在于几个图形绘制问题的核心，包括通用点子集，解开和列平面性。以下结果是已知的：每个$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Ω(\sqrt{n})$共线顶点;对于每个$n$，有一个$n$ -顶点平面图，其每个平面直线图与$O(n^σ)$共线顶点，其中$σ<0.986$ ;每个树宽至多为2的$n$ -顶点平面图有一个平面直线图与$Θ(n)$共线顶点。我们将线性边界推广到树宽至多为3的平面图和三连通三次平面图。这（部分）回答了Ravsky和Verbitsky提出的两个开放问题[WG 2011：295- 306]。类似的结果是不可能的所有有界树宽平面图或所有有界度平面图。对于树宽至多为3的平面图，我们的结果也意味着上述所有其他绘图问题的渐近紧界。
Saturated $2$-planar drawings with few edges
该研究针对饱和2-平面图的最小边数问题，分别在两条边最多交叉一次和可多次交叉的条件下，推导得出n-1的下界和⌊2n/3⌋的紧界，补充了k>0时饱和k-平面图边数的相关结论。
On the geodesic midrange crossing constant
研究密集图绘制的交叉数，证明在连续设定下，均匀分布顶点的测地绘制中，固定距离阈值内连接对点可最小化交叉数，并在平面凸域内证明直线绘制的类比结果。
Unbent collections of non-planar $s$-grid-drawing
研究图在非平面$s$-网格绘图中每条边至少在一个绘图中无弯曲的集合，证明两个绘图总是足够（平面绘图有时需要三个），并推广到$s\geq 3$。
Non-crossing Monotone Paths and Binary Trees in Edge-ordered Complete Geometric Graphs
一个边序图是一个边全序的图。边序图中的一条路$P=v_1v_2\ldots v_k$，如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) > (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为增路;如果对所有的$i = 1,\ldots,k-2$都是$(v_iv_{i+1}) < (v_{i+1}v_{i+2})$，则称为减路。我们说$P$是单调的，如果它是增加或减少。边序图中的根树$T$称为单调树，如果从根到叶子的每条路都是递增的，或者从根到叶子的每条路都是递减的。让$G$是一个图。在$G$的直线绘图$D$中，其顶点被绘制为平面中的不同点，其边缘是直线段。设$\overlineα(G)$是最大整数，使得在任何边标号下$G$ %的每个边序直线图包含长度为$\overlineα(G)$的单调非交叉路径。设$\overlineτ(G)$是最大整数，使得$G$ %的每个边序直线图在任何边标号下都包含大小为$\overlineτ(G)$的单调非交叉完全二叉树。在本文中，我们表明，$\overline α(K_n) = Ω(\log\log n)$，$\overline α(K_n) = O(\log n)$，$\overline τ(K_n) = Ω(\log\log \log n)$和$\overline τ(K_n) = O(\sqrt{n \log n})$。
Compatible Spanning Trees in Simple Drawings of $K_n$
对于完全图$K_n$的简单绘图$D$，如果两个（平面）子绘图的并集是平面的，则它们是兼容的。设$\mathcal{T}_D$是$D$上所有平面生成树的集合，$\mathcal{F}(\mathcal{T}_D)$是相容图，其中$\mathcal{T}_D$中的每个元素都有一个顶点，且两个顶点相邻当且仅当对应的树是相容的。我们表明，一方面，$\mathcal{F}(\mathcal{T}_D)$是连接的，如果$D$是一个圆柱形，单调，或强c-单调绘图。另一方面，我们证明了由恒星、双星和孪星诱导的$\mathcal{F}(\mathcal{T}_D)$的子图也是连通的。在所有情况下，对应的相容性图的直径在$n$中至多是线性的。
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
Note on Min-k-Planar Drawings of Graphs
本文研究图的 min-k-平面绘制中一般绘制与简单绘制的差异，证明存在具有 min-2-平面绘制或避免相邻边交叉的 min-3-平面绘制的图，但对任意大的固定 k 均不存在简单 min-k-平面绘制。
Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph
给定一个图$G$和它的边的子集$F \subseteq E(G)$，是否存在一个$G$的图，其中$F$的所有边都没有交叉？我们表明，这个问题可以解决在多项式时间使用Hanani-Tutte风格的方法。如果我们要求$G$的绘制是直线，并且允许沿着$F$的每条边最多有一个交叉，那么这个问题就像实数的存在理论一样困难。
On the Area Requirements of Planar Straight-Line Orthogonal Drawings of Ternary Trees
本文研究了三叉树平面直线正交图的面积要求。证明了在次二次区域内，每一棵三元树都允许这样的绘图。此外，我们提出了上界，实验评估的结果，和猜想的面积要求的平面直线正交图纸的完整的三元树。最后，给出了完全三叉树任意平面直线正交图最小边长的多项式下界。
Morphing Schnyder drawings of planar triangulations
我们考虑同一个三角剖分图的两个平面图之间保持直线平面性的变形问题。SODA 2013中的一篇论文给出了一个由$O(n^2)$步骤组成的变形，其中每个步骤都是线性变形，以匀速直线移动每个$n$顶点。然而，他们的方法模仿边缘收缩，因此中间图形的网格大小没有限制，并且变形对于可视化目的来说并不好。使用施奈德嵌入，我们能够变形在$O(n^2)$线性变形步骤和改进的网格大小为$O(n)\times O(n)$的一个显着的一类图纸的三角剖分，即类加权施奈德图纸。变形在视觉上是有吸引力的。我们的方法涉及到实现基本的“翻转”操作的施耐德伍兹作为线性变形。
Simple Topological Drawings of $k$-Planar Graphs
每个有限图都有一个\emph{simple (topological) drawing}，即每对边至多相交于一点的图。然而，结合其他限制，简单的图纸并不普遍存在。例如，\emph{$k$-planar graphs}是可以被绘制成使得每条边最多具有$k$交叉（即，它们承认\emph{$k$-plane drawing}）。对于$k\le 3$，每个$k$ -平面图都有一个$k$-平面简单图.但对于$k\ge 4$，存在不允许$k$-平面简单图的$k$-平面图.对Schaefer提出的一个问题，我们证明了存在一个函数$f : \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$，使得对所有的$k\in\mathbb{N}$，每个$k$ -平面图都有一个$f(k)$ -平面简单图.注意，函数$f$仅依赖于$k$，并且与图的大小无关。此外，我们还提出了一个算法，证明了每个$4$ -平面图都有一个$8$ -平面简单图.
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part I)
本文提出基于图顶点旋转的代数方法，解决图的平面性测试与拓扑绘制问题，为非平面图绘制、最大平面子图识别等图论问题提供数学模型。
Drawing complete multipartite graphs on the plane with restrictions on crossings
引入了NIC-可平面图的概念，给出了NIC-平面完全k部图的充分刻画。
Bar 1-Visibility Drawings of 1-Planar Graphs
图$G$的条1可见性绘图是$G$的绘图，其中每个顶点被绘制为称为条的水平线段，每个边缘被绘制为垂直线段，其中表示边缘的垂直线段必须连接表示端顶点的水平线段，并且对应于边缘的垂直线段与最多一个不是边缘的端点的条相交。如果$G$具有条形图1可见性图形，则图形$G$为条形图1可见。一个图$G$是1-平面的，如果$G$在一个二维平面中有一个绘图，使得一条边至多与另一条边相交。本文给出了求对角网格图和极大外1-平面图的条1-可见图的线性时间算法。我们还证明了递归四边形1-平面图和伪双轮1-平面图是棒1-可见图。
Drawing planar graphs of bounded degree with few slopes
我们解决了Dujmović，Eppstein，Suderman和Wood的一个问题，证明存在一个函数$f$，其性质是每个具有最大度$d$的可平面图$G$都允许使用最多$f(d)$不同的斜率绘制不相交的直线边。如果我们允许边由具有{ \em one}弯曲的多边形路径表示，那么2d斜率就足够了。允许每条边有{ \em两}个弯曲，每个具有最大度$d\ge 3$的可平面图都可以使用最多$\lceil d/2\rceil$不同斜率的线段来绘制。只有一个例外：由八面体的边形成的图是4-正则的，但它需要3个斜率。这些界限无法改善。
Well-Formed Separator Sequences, with an Application to Hypergraph Drawing
给定一个超图$H$，平面支撑问题是问是否存在一个平面图$G$与$H$在同一顶点集上，使得每个超边导出$G$的一个连通子图.平面支持的动机是在图形绘制和数据可视化的应用程序。我们发现，平面支持是固定参数听话时，参数化的超边的数量在输入超图和外平面数寻求平面图。为此，我们开发了新的结构结果$r$ -outerplanar三角磁盘，表明他们承认序列的分离器的结构特性，使数据减少。这使我们能够获得一个平面支撑的问题核，从而显示其固定参数的易处理性。
Edge-Minimum Saturated k-Planar Drawings
对于平面中无环（多）图的绘图类$\mathcal{D}$，当向$D$添加任何边导致$D' \notin \mathcal{D}$时，绘图$D \in \mathcal{D}$是\emph{saturated}-这类似于Turán（1941）和Erdés，Hajnal和Moon（1964）引入的图类中的饱和图。我们专注于$k$ -平面图，即，在平面中绘制的图形，其中每个边在最多的$k$时间交叉，以及所有$k$ -平面图的类$\mathcal{D}$，服从一些限制，如没有交叉的入射边，没有一对边交叉超过一次，或没有边交叉本身。虽然饱和的$k$ -平面图纸是几个以前的作品的重点，如何稀疏这些可以是不好理解的紧边界。我们建立了一个通用的框架，以确定所有的$n$ -顶点饱和$k$ -在许多自然类的平面图纸之间的最小数量的边缘。例如，当事件交叉、多交叉和自交叉都被允许时，稀疏$n$ -顶点饱和$k$ -平面绘图对于任何$k \geq 4$都具有$\frac{2}{k - (k \bmod 2)} (n-1)$边，而如果所有这些都被禁止，稀疏的这样的绘图对于任何$k \geq 6$都具有$\frac{2(k+1)}{k(k-1)}(n-1)$边。
The Minimum Bends in a Polyline Drawing with Fixed Vertex Locations
我们考虑嵌入平面图在$R^2$的顶点映射到点和边映射到折线。我们把这样的嵌入作为一个平面图，并问有多少弯曲需要形成这样的一个任意平面图。人们早就知道，即使当顶点位置完全固定时，平面图也允许边弯曲总共$O(n^2)$次的连续绘图。我们的研究结果表明，这个数量的弯曲是最佳的。特别是，我们表明，$Ω(n^2)$总弯曲需要形成一个固定的顶点位置的任何一组几乎所有的平面图上绘制。这一结果推广了以往已知的仅适用于凸点集的下界，并解决了两个公开问题。
1-Fan-Bundle-Planar Drawings of Graphs
边捆绑是一个重要的概念，大量用于图形可视化的目的。为了使与其他建立的近平面模型在图形绘制的比较，我们制定了一个新的边捆绑模型，这是最近推出的扇平面图的启发。特别地，我们将捆绑限制到边缘的结束段。与1-平面性类似，我们称我们的模型为1-fan-bundle-planarity，因为我们允许每个bundle最多一次交叉。对于这两个变种，我们允许一个或更自然，每个边缘的两个端部段的一部分束，我们提出的边缘密度的结果，并考虑各种识别问题，不仅为一般的图形，但也为外部和2层的变种。最后，我们提出了一系列具有挑战性的问题。
Efficient Enumeration of Drawings and Combinatorial Structures for Maximal Planar Graphs
本文通过枚举极大平面图的规范定向，并借助其与规范序、Schnyder 木及两类经典图画的双射关系，实现了 $O(n)$ 时间、空间和延迟的高效枚举算法。
Balanced Schnyder woods for planar triangulations: an experimental study with applications to graph drawing and graph separators
在这项工作中，我们考虑平衡的平面图，这是Schnyder木材的每种颜色在每个顶点的传入边的数量是尽可能平衡。我们提供了一个简单的线性时间启发式，导致在实践中获得良好的平衡施奈德伍兹。作为测试应用程序，我们考虑两个重要的算法问题：计算的Schnyder图纸和小周期分离器。虽然不能提供理论上的保证，我们的实验结果（广泛收集的平面图）表明，使用平衡的施奈德木材导致施奈德图纸的布局质量的提高，并提供了一个有效的工具，计算短和平衡的周期分离器。
Estimating the number of disjoint edges in simple topological graphs via cylindrical drawings
在底面为水平的圆柱上画的拓扑图是\emph{angularly monotone}，如果每条垂直线与每条边至多相交一次。设$c(n)$表示使得完全图在$n$顶点上的每个简单角单调图至少包含$c$两两不相交边的最大数$c$.我们证明了对于每个简单完全拓扑图$G$，存在$Δ$，$0<Δ<n$，使得$G$至少包含$\max \{\frac nΔ, c(Δ)\}$两不相交的边.将我们的结果与Tóth的一个结果相结合，得到了Suk所证明的关于简单完全拓扑图中最大成对不相交边数的$Ω(n^\frac 13)$的最佳下界的另一个证明.我们的证明是基于Ruiz-Vargas的一个结果。
On the Planar Edge-Length Ratio of Planar Graphs
图的直线图的边长比是图中最长边和最短边的长度之比。平面图的平面边长比是该图的任意平面直线图的最小边长比。本文研究了平面图的平面边长比。证明了存在平面边长比在$Ω(n)$中的$n$ -顶点平面图，这个界是紧的。我们还证明了几类平面图的平面边长比的上界，包括系列平行图和二部平面图。
Graph drawings with one bend and few slopes
我们考虑绘图的图形在平面中的边缘表示的多边形路径与最多一个弯曲和这些路径的所有部分所使用的不同的斜率的数量是小的。我们证明了$\lceil\fracΔ{2}\rceil$边斜率满足最大度外平面图$Δ\geq 3$的外平面图的外平面图的绘制.这符合明显的下限。我们还表明，$\lceil\fracΔ{2}\rceil+1$边缘斜率足以绘制一般的图形，提高了以前的界的$Δ+1$。此外，我们改进了以前的上界的平面图和二分平面图的平面绘图所需的斜率的数量。
k-Planar and Fan-Crossing Drawings and Transductions of Embeddable Graphs
本文研究了图类通过FO转导定义与特定扇交叉图之间的关系，证明了某些图类无法通过转导定义，从而得出其无法为k-平面图。
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part II)
本文研究非平面图拓扑绘制中平面部分的提取问题，提出基于顶点旋转、Mac Lane 平面性准则及线性代数与结构数代数的多项式复杂度计算方法，将平面图识别转化为离散优化问题。
Algorithmic methods of finite discrete structures. Topological graph drawing (part IV)
本章基于Ringel顶点旋转理论，利用诱导圈系统和虚顶点定位方法，以最大平面子图的拓扑绘制为基础，为非可分非平面图构建具有特定厚度的拓扑绘制。
Two-Planar Graphs Are Quasiplanar
证明了2-平面图都是拟平面图，即如果一个简单图在平面中允许一个图使得每条边至多相交两次，那么它也允许一个图使得没有三条边两两相交.我们进一步证明，准平面性是见证了一个简单的拓扑图，也就是说，任何两个边缘交叉最多一次，相邻的边缘不交叉。
Beyond Outerplanarity
研究凸位置绘图中外k-平面图和外k-拟平面图的性质，包括退化性、染色数、平衡分离器以及识别问题的拟多项式时间算法，并证明全外k-平面性可在线性时间内测试。
Upward Planar Morphs
证明了：给定$n$ -顶点有向图$G$的两个拓扑等价的向上平面直线图，它们之间总存在一个变形，使得该变形的所有中间图都是向上平面直线图.如果$G$是一个简化的平面$st$ -图，则这种变形包括$O(1)$变形步骤，如果$G$是一个平面$st$ -图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个简化的向上平面图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个一般的向上平面图，则包括$O(n^2)$变形步骤.此外，我们表明，$Ω(n)$变形步骤可能是必要的向上平面变形之间的两个拓扑等价的向上平面直线图纸的$n$顶点路径。
The Density of Fan-Planar Graphs
一个图的拓扑图是扇平面的，如果对于每个边$e$，与$e$交叉的边形成星形，并且没有$e$的端点被$e$及其交叉边包围。一个扇平面图是一个图承认这样的绘图。等价地，这可以由三种禁止模式来表示，其中一种是其中$e$被两个独立边缘交叉的配置，而另外两种是其中$e$被两个入射边缘以包围$e$的某个端点的方式交叉的配置。如果任意两条边至多有一个公共点，则拓扑图是简单的。Fan-planar图是由禁止交模式定义的拓扑图中的一个新成员，如平面图及其推广，Turán-图和Conway的thrackle猜想。因此，扇平面图是组合几何中的一个重要领域，在离散数学的各个领域都有应用。由于每一个$1$ -平面图都是扇平面图，每一个扇平面图都是$3$ -拟平面图，所以它们也完全适合于最近一系列关于图的绘制和组合嵌入的近平面图的工作.在本文中，我们证明了每一个扇平面图上的$n$顶点最多有$5n-10$的边缘，即使扇平面图可能有一个平方数的交叉。我们的界限，这是紧的每$n \geq 20$，表明如何很好地扇平面图适合在行与平面图（$3n-6$边缘）和$1$ -平面图（$4n-8$边缘）。由此，扇平面图形成了由禁止模式定义的最大的非平凡拓扑图类，其中$n$顶点上的最大边数是精确已知的。
A Dichotomy for 1-Planarity with Restricted Crossing Types Parameterized by Treewidth
本文针对受限交叉类型的1-可平面性识别问题，证明存在三类坏交叉类型构成二分边界，分别给出固定参数可解与NP难的复杂度结论，并将结果拓展到1-平面直线绘制场景。
Smallest Cubic Non-1-Planar Graphs
本文证明最小的三次非1-平面图有30个顶点，并借助SAT求解器与k-灵活性方法，避免了穷举四十亿个图的计算。
Expansion of gap-planar graphs
本文证明间隙平面图具有线性扩张，其浅次子图密度为O(rk)，并推广至拓扑次子图、覆盖平面图及任意曲面，应用于图着色。
Drawing graphs with vertices and edges in convex position
一个图有强凸维数$2$，如果它允许在平面上画直线，使得它的顶点在凸位置，它的边的中点也在凸位置. Halman，Onn和Rothblum证明了强凸维数$2$的图是平面的，因此至多有$3n-6$边。我们证明了所有这类图至多有$2n-3$边，同时给出了一类强凸维数非可平面图$2$ .我们还给出了强凸维数图$2$的最大边数的下界，并讨论了这类图的变体。我们应用我们的结果的问题，大凸独立集的平点集的Minkowski和，近年来一直感兴趣。
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