Continuants and convergence of certain continued fractions
Daniel Duverney, Iekata Shiokawa
我们给出了一个简明的介绍理论的连续性和展示Perron如何使用他们在他的证明Tietze定理的收敛性的无限半正则连分数，以及研究的收敛性的纯周期连分数。
We give a concise introduction to the theory of continuants and show how Perron used them in his proof of Tietze theorem on the convergence of infinite semi-regular continued fractions, as well as for the study of the convergence of purely periodic continued fractions.
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继续探索
Extremal values of semi-regular continuants and codings of interval exchange transformations
给定一个正整数$a_1<\cdots<a_k$的集合$A$和一个划分$P: n_1+\cdots+n_k=n$，求正则和半正则连分数$x_i\in A$的极值算子，其中每个$a_i$恰好在$x_1,\ldots,x_n$中出现$n_i$次。1983年，G. Ramharter给出了一个明确的描述极值安排的定期连续分数和最小化安排的半定期连续分数，并表明，在每种情况下，安排是唯一的逆转和独立的实际值的整数$a_i$。然而，一个明确的确定的最大化安排的半正规连续变得更加困难。Ramharter解释说，在其他三种情况下，最大化的安排是唯一的，直到逆转，只取决于分区$P$，而不是对$a_i$的值。他进一步验证了二进制$A$的情况下的猜想。本文用$|A|=3$证明了Ramharter关于集合$A$的猜想，并给出了唯一极大化排列的算法构造.我们还表明，Ramharter的猜想失败的集合与$|A|\geq 4$，作为最大化的安排是在一般情况下既不唯一，也不独立的数字值在$A$。其中心思想是极值排列满足一个强组合条件，这也可以在有序集上的无限序列的上下文中陈述。我们表明，对于双无限二进制字，这个条件符合马尔可夫性质，发现A.A.马尔可夫在1879年在他的研究极小的二元二次型。我们进一步表明，这种相同的组合条件是基本属性，它描述了轨道结构的自然编码的点下的对称$k$ -区间交换变换。
$q$-deformed rationals and $q$-continued fractions
引入了$q$ -变形有理数和$q$ -变形连分数的概念.一个$q$变形有理数是由一个多边形的三角剖分编码，可以递归计算。该递推公式类似于高斯二项式系数的$q$变形Pascal恒等式，但用Farey图代替了杨辉三角形.定义$q$ -有理数的多项式的系数是与三角剖分对偶的图的最大不可分解表示的子表示。给出了Farey图的全正性、$q$ -变形、矩阵表示和$q$ -连续等性质，以及与有理纽结的Jones多项式的关系.
A note on the reinforcement of the Bourgain-Kontorovich's theorem
Zaremba猜想（1971）指出，每个正整数$d$都可以表示为分母（续）本文证明了对于一个字母表$\frac{b}{d}=[d_1,d_2,...,d_{k}],$，使得其部分列元属于$\A\subseteq\N.$的无限连分数的Hausdorff维数$δ_{\A}$，满足Zaremba猜想的数$d,$与字母表$\A,$在$\N.$中有正比例关系.这一结果改进了我们以前对相应的Bourgain-Kontorovich定理的加强.
Continued fractions and orderings on the Markov numbers
马尔可夫数是出现在丢番图方程（$x^2+y^2+z^2=3xyz$，称为马尔可夫方程）的解三元组中的整数。一个经典的主题在数论中，这些数字涉及到许多领域的数学，如组合数学，双曲几何，逼近论和集群代数。从0到1的有理数到马尔可夫数之间存在一个自然映射。在本文中，我们证明了马丁·艾格纳的书，马尔可夫定理和100年的唯一性猜想，这决定了基于其相应的理性的马尔可夫数的子集的顺序中看到的两个命题。证明依赖于马尔可夫数和连续多项式之间的关系，这起源于弗罗贝纽斯1913年的论文。
Cluster algebras and continued fractions
建立了作为集合基数的等价物的连分数的组合实现。这些集合是某些图的完美匹配的集合，蛇图，自然出现在簇代数理论中。对于连分数$[a_1,a_2,\ldots,a_n]$，我们关联一个蛇图$\mathcal{G}[a_1,a_2,\ldots,a_n]$，使得连分数是$\mathcal{G}[a_1,a_2,\ldots,a_n]$和$\mathcal{G}[a_2,\ldots,a_n]$的完美匹配数的商。我们还证明了蛇图是具有连分数的双射图。然后，我们在两个方向上应用这种连接之间的集群代数和连分数。首先，我们利用蛇图演算的结果得到了连分数的连续式的新恒等式。然后，我们将连分数的机制应用到簇代数上，得到了簇代数中元素的同分函数作为Laurent多项式在初始变量上的连分数的显式直接公式.在此基础上，利用经典的无穷周期连分数的方法，我们还研究了簇代数中元素的幂级数的渐近性质。
On a continued fraction expansion of the special function and an explicit expression of the continued fraction convergents
本文定义了“指数积分$E_{1}(x)$在无穷远处的一个连分数展开式”，它类似于实数的正则连分数展开式，并证明了这种展开式给出了相同的连分数.此外，我们给出了有理函数的具体表示，这些表示是通过截断连分数得到的。
Multiples of long period small element continued fractions to short period large elements continued fractions
我们构造了一类二次无理数，它的周期$n\geq2$的连分数具有“小”的偏导数，对于这类二次无理数，某些整数倍具有周期$1$，$2$或$4$的连分数具有“大”的偏导数.然后我们证明了新的连分数的周期中的数是原连分数的周期中的数的简单函数。我们给出了某些连分数的推广，并证明了由推广得到的多项式与切比雪夫多项式和斐波那契多项式有关。然后，我们表明，这些多项式中的一些有双曲根分布。
On new identities connecting Ramanujan-Göllnitz-Gordon continued fraction and Ramanujan's continued fraction of order four
本文利用q级数和theta函数理论，建立连接拉马努金-戈尔尼茨-戈登连续分数与四阶拉马努金连续分数的新恒等式，并利用拉马努金的_1ψ_1求和公式获得Lambert级数恒等式。
Continued fraction expansions of the generating functions of Bernoulli and related numbers
给出了Bernoulli数、Cauchy数、欧拉数、调和数及其广义或相关数的生成函数的连分数展开式.特别是，我们专注于这些连分数扩展的收敛性的明确形式。讨论了这种连分数的线性分式变换。我们显示了更多的连分数扩展为不同的号码和类型，特别是柯西数。
Some conjectural continued fractions
本文给出了几个用各种算法求出的代数连分数。
Irrationality exponents of semi-regular continued fractions
本文证明了正则连分数无理性指数的计算公式对满足一定条件的半正则连分数仍然有效。
Multidimensional continued fraction and rational approximation
将经典连分式推广到研究多重形式洛朗级数的有理逼近问题，称之为m-连分数.证明了m-连分数的逼近式收敛于多形式洛朗级数，并且是它的最佳有理逼近，反之，对于任何多形式洛朗级数引入了一种称为m-CF变换的算法来得到它的m-连分数展开式;此外，严格m-连分数是附加了某些条件的m-连分数，和多重形式洛朗级数是1-1对应的。结果表明，m-连分数可以用来研究多序列综合问题。
On the Divergence in the General Sense of $q$-Continued Fraction on the Unit Circle
我们表明，对于每个$q$ -连分数$G(q)$在某一类连分数，有一个不可数的点集上的单位圆在$G(q)$发散在一般意义上。这一类包括Rogers-Ramanujan连分数和三个Ramanujan-Selberg连分数。我们讨论的影响，我们的定理的一般收敛的其他$q$ -连分数，例如Göllnitz-Gordon连分数，在单位圆。
Inequalities for Continued Fractions, II
本文研究了连分数$G(m,λ)$作为$m$和$λ$的函数的单调性.特别地，我们得到了相对连分数的一个新的不等式.
Necessary and sufficient conditions for convergence of integer continued fractions
连分数理论的基础是，每一个正整数系数的无限连分数收敛;然而，确切地说，不知道哪些整数系数（不一定是正的）的连分数收敛。在这里，我们提出了一个简单的测试，确定是否一个整数连分数收敛或发散。此外，对于收敛的连分数，检验指定极限是有理的还是无理的。将整数连分数可视化的一个有吸引力的方法是将它们建模为Farey图上的路径，Farey图是嵌入在双曲平面中的图，其通过理想三角形诱导双曲平面的镶嵌。通过这种连分数的几何表示，我们的收敛性测试可以以一种特别优雅的方式进行解释，从而更深入地了解连分数收敛的本质。
Proper symmetries of 3-dimensional continued fractions
本文证明了代数连分数在$4$维上具有恰当回文对称性的一个判据。作为连分数的多维推广，我们考虑Klein多面体。
Transcendental $p$-adic continued fractions
建立了$p$ -进连分数的一个新的超越准则，称之为Ruban连分数.利用这个结果，我们给出了部分分式的绝对值有界的$p$ -adic超鲁班连分数.这是Baker结果的$p$ -adic类比。本文还证明了鲁班连分数的Lagrange定理的$p$ -adic类比是不成立的.
Corrections to "On continued fractions of given period"
更正带来的一篇文章弗里森对连分数的一个给定的时期。
Generalization of Ramanujan's Continued Fractions for Even Order
该研究借助拉马努金连分数恒等式推导偶数阶广义连分数，建立theta函数恒等式，以76阶连分数为例得到分拆理论恒等式等，推广了拉马努金连分数。
Generalized Continued Logarithms and Related Continued Fractions
我们继续研究由比尔戈恩和J. Borwein等研究介绍的算法。al..在提供了一个概述的类型I和类型II推广的二进制连续矩阵介绍Borwein等。例如，我们专注于一个新的推广到任意整数基$b$。我们证明了所有的III型连续图都是收敛的，并且所有的有理数都有有限型III型连续图。与简单连分数一样，我们证明了对于几乎每个实数，连续对数项都遵循一个特定的分布。我们还将Khinchine常数从简单连分数推广到连分数，并证明了这些对数Khinchine常数具有初等封闭形式。最后，我们证明了简单连分数是我们的连续图的极限情况，并简要地考虑了我们如何推广过去的连续图。
Transformation formulas of finite sums into continued fractions
本文陈述并证明了三个将形式有限和变换为形式连分数的一般公式，并应用它们推广了Hone和Varona给出的连分数中的某些展开式.
Lagrange's Theorem for continued fractions on the Heisenberg group
我们证明了一个类似的拉格朗日定理的连分数的海森堡群：最终周期性的连分数扩展的点是那些满足特定类型的二次型，反之亦然。
Linear fractional transformations and non-linear leaping convergents of some continued fractions
对$α_0 = \left[a_0, a_1, \ldots\right]$为无限连分数，$σ$为线性分式变换，研究了$σ(α_0)$的连分数展开及其收敛性.本文给出了$σ(α_0)$的连分式展开式，它适用于四类一般的连分数，当$\left|\det σ\right| = 2$ .我们还发现了$σ(α_0)$的收敛性之间的非线性递归关系，这使我们能够突出$α_0$和$σ(α_0)$的收敛性之间的关系。最后，我们将所得结果应用于一些特殊的、研究得很好的连分数，如Hurwitzian连分数和Tasoevian连分数，首次研究了由非线性函数提供步长的跳跃收敛性.
Proper cyclic symmetries of multidimensional continued fractions
本文证明了任意维回文连分数的存在性。此外，还证明了在$n = 4$情形下代数连分数具有适当循环回文对称性的准则。Klein多面体被认为是连分数的多维推广。
On symmetries of 3-dimensional algebraic continued fractions
本文详细地证明了代数连分数在$4$维上具有恰当回文对称性的一个判据。给出了代数连分数在$4$维上具有适当循环回文对称性的判据的新证明。作为连分数的多维推广，我们考虑Klein多面体。
Combinatorial properties of multidimensional continued fractions
数学对象组合性质的研究是一个非常重要的研究领域，连分数在这个意义上得到了深入的研究。然而，多维连分数，这是一个推广所产生的算法，由于雅可比，已很少在这个意义上的研究，到现在为止。在本文中，我们提出了一个组合解释的收敛性的多维连分数计数的一些特殊的平铺，推广了一些结果，为经典的连分数。
Properties of reciprocity formulas for the Rogers-Ramanujan continued fractions
拉马努金记录了四个Roger-Ramanujan连分数的倒易公式。两个互反公式也分别与拉马努金-格尔尼茨-戈登连分数和罗杰-拉马努金连分数的13级类似物有关。我们表明，所有八个互惠公式都与一对二次方程。第一个方程的解推广了黄金分割率，并用于设置第二个方程中的系数值;第二个方程的解给出了一对连分数的值。我们的系数的二次方程得到的重要公式Ramanujan，检查模式之间的关系的连分数和它的参数，并使用互易公式，以获得密切的近似值的连分数。我们突出的模式，在表达式中的某些明确的价值观的罗杰斯-拉马努金连分数的黄金分割率表示。我们将结果推广到Ramanujan三次连分数和Ramanujan-Selberg连分数的倒易公式。
Transcendence with Rosen continued fractions
给出了Rosen连分数的第一个超越性结果。半个多世纪前引入的这些分数用特定的代数数来扩展实数。
Real Numbers With Polynomial Continued Fraction Expansions
在本文中，我们将展示如何应用各种技术和定理（包括平歇尔定理，欧拉公式的推广，使无穷级数和连分数相等，相应变换的推广，使无穷乘积和连分数相等，扩展和压缩的连分数和鲍尔-缪尔变换），以获得无限的家庭，等价的多项式连分数，其中每个连分数具有相同的极限。例如，这允许我们为著名的常数如$π$和$e$、$ζ{(k)}$（对于每个正整数$k\geq 2$）、各种以整数参数求值的特殊函数和各种代数数构造多项式连分数的无限族。我们还提出了几个问题的性质的一组实数有一个多项式连分数的扩展。
The Hurwitz continued fraction expansion as applied to real numbers
Hurwitz（1887）为复数定义了一种连分数算法，这种算法在许多方面比经典的连分数算法在复平面上的更“自然”的扩展更好。虽然Hurwitz复连分数算法不能“简化”为另一个复连分数算法，但实际上情况是不同的。本文阐明了Hurwitz算法对实数的限制与经典的连分数算法之间的关系。作为应用，我们重新证明了Choudhuri和Dani（2015）的主要结果。
Palindromes and periodic continued fractions
本文对连分数几何作了较详细的论述。我们特别感兴趣的情况下，二次无理数，并使用所描述的技术来证明一个标准的连分数的二次surd有一个对称的周期。
Linear recurrence sequences and periodicity of multidimensional continued fractions
多维连分数是对经典连分数的推广，其目的是通过整数序列来提供代数无理数的周期表示。然而，不存在任何算法，提供了一个周期性的多维连分数时，代数无理数作为输入。本文利用线性递归序列给出了Jacobi-Perron算法周期性的一个刻画。特别地，我们证明了多维连分式的部分幂级数是周期的当且仅当幂级数的分子和子是线性递归序列，推广了经典连分数的类似结果.
Polynomial Continued Fractions for Algebraic Numbers
本文证明任何实三次代数数可展开为多项式系数的连分数，并提及若干推广。
Continued Fractions
本文对连分数作了一般性的介绍，并特别考虑了函数域的情形。这些笔记是为北京航空航天大学今年的暑期班准备的。
Elementary Continued Fractions for Linear Combinations of Zeta and L Values
我们展示了如何获得无穷多个连分数的某些Z-线性组合的zeta和L值。这些方法完全是初等的。
Convergence conditions for $p$--adic continued fractions
连分数已被几位作者引入$p$ --进数$\mathbb{Q}_p$领域。然而，由于所有提出的算法都不能复制$\mathbb{R}$中连分数的所有性质，因此仍然缺少一个标准的定义。特别是，一个类似的拉格朗日定理尚未证明任何企图推广连分数在$\mathbb{Q}_p$。因此，研究$p$的新算法--进连分数的定义是值得的。新方法需要满足的主要条件是连分数在$\mathbb Q_p$中的收敛性。本文研究了$\mathbb{Q}_p$中连分数的收敛条件。这些结果允许定义许多新的家庭的连分数的收敛性得到保证。然后，我们提供了一些新的算法，利用新的收敛条件，我们证明，其中之一终止于有限数量的步骤时，输入是合理的，因为它发生在真正的连分数。
Approximation pathologies for certain continued fractions
我们将提供一个家庭的连分数，有没有对应的动态和近似对，导致一个异常，在其相应的空间的雅格对。
On Ramanujan's cubic continued fraction and explicit evaluations of theta-functions
研究了Ramanujan三次连分数和θ函数的显式求值
The Convergence Behavior of $q$-Continued Fractions on the Unit Circle
在以前的论文中，我们证明了存在一个不可数的一组点的单位圆上的Rogers-Ramanujan连分数不收敛到一个有限值。在本文中，我们将这一结果推广到更广泛的一类$q$ -连分数，一类包括Rogers-Ramanujan连分数和三个Ramanujan-Selberg连分数。我们表明，对于每个$q$ -连分数，$G(q)$，在这个类中，有一个不可数的点集，$Y_{G}$，在单位圆，使如果$y \in Y_{G}$，然后$G(y)$不收敛到一个有限值。我们讨论的影响，我们的定理收敛的其他$q$ -连分数，例如Göllnitz-戈登连分数，在单位圆。
Transcendence criteria for multidimensional continued fractions
本文针对 Jacobi 引入的多维连分数建立超越性判据，证明某些 Liouville 型和拟周期多维连分数是超越的，并通过周期多维连分数产生的三次无理数高度上界完成拟周期情形的证明。
Some Identities of Ramanujan's q-Continued Fractions of Order Fourteen and Twenty-Eight, and Vanishing Coefficients
本文从Ramanujan的一般连分数恒等式推导出十四阶和二十八阶连分数，建立theta函数恒等式，并推导色分区恒等式及消失系数结果。
On Minkowski diagonal continued fraction
研究了实$α$的Minkowski对角连分数函数$μ_α(t)$的一些性质.
A Theorem on Divergence in the General Sense for Continued Fractions
如果一个连分数的奇数部分和偶数部分收敛到不同的值，则该连分数在一般意义上可能收敛，也可能不收敛。我们证明了一个定理，解决了广泛的一类这样的连分数的一般收敛性问题。我们应用这一定理的两个一般类的$q$连分数表明，如果$G(q)$是这些连分数和$|q|>1$之一，那么$G(q)$收敛或不收敛在一般意义上。我们还表明，如果奇数和偶数部分的连分数$K_{n=1}^{\infty}a_{n}/1$收敛到不同的值，那么$\lim_{n \to \infty}|a_{n}| = \infty$。
Continued Fractions and Factoring
勒让德发现，连分数展开$\sqrt N$具有奇数周期直接导致一个明确的表示$N$作为两个平方和。类似地，这里示出了具有偶数周期的$\sqrt N$的连分数展开直接产生复合$N$的因子。Shanks的基础设施的方法，然后重新审视，并通过$\sqrt N$的连分数展开的因式分解的应用程序的一些后果。
Continued fraction expansions for complex numbers - a general approach
本文介绍了研究复数的连分数展开式的一般框架，并建立了相应的收敛序列的收敛性的一些结果。对于$\mathbb C$的离散子环中具有部分同元的连分数展开式，证明了经典Lagrange定理的一个类似定理，即二次根号是具有最终周期连分数展开式的数.对Eisenstein整数环上一类带部分幂元的连分数算法的收敛性证明了其收敛因子的绝对值的单调性和指数增长性。
Generalized Identities of Certain Continued Fractions
在这篇文章中，我们将发现关于连分数的一些新的广义恒等式。我们将把结果与斐波那契数和卢卡斯数联系起来。对于所有的证明，我们将使用归纳法。
On the Metrical Theory of a Generalized Continued Fraction Expansion
我们在前面的文章中引入了一种新的连分数展开式。对于这些展开式，我们给出了关于不完全连续项的概率公式。此外，我们还证明了与展开式相关的连分数变换的不变测度的存在性。
On absolutely normal and continued fraction normal numbers
给出了一个正规于所有整数基且连分数正规的实数的构造。其连分数展开式的前n位数的计算按照n^4次数学运算的顺序执行。该构造通过定义适当子区间的连续细化来实现，在极限下，对所有整数基的简单正态性和连分数正态性。主要困难是控制这些子区间的长度。为了实现这一目标，我们适应和结合已知的度量定理连分数和整数基础上的扩展。
Diophantine properties of continued fractions on the Heisenberg group
给出了海森堡群上连分数的丢番图性质的几个结果，其中许多结果与实连分数的经典结果类似.特别是，我们展示了一个类似的欣钦定理，并convertizes也是最佳逼近的分母的一个常数因子。
On a particular hyperquadratic continued fraction in F(p) with p>2
给定一个奇素数p，刻画了系数在有限域F_p中的1/T中的幂级数在域F（p）中的一个连分数，其中T是形式不定式.这个连分数满足一个特殊类型的代数方程，其系数在F_p[T]中是明确给定的。我们观察到密切的联系与其他代数连分数研究三十年前米尔斯和罗宾斯。
On hyperquadratic continued fractions in power series fields over a finite field
本文的第一部分简要介绍了某些代数幂级数的连分数展开式。在最后一部分，作为一个例子，我们提出了一个家庭的代数连分数的程度4，包括一个玩具的例子，认为大约30年前在这方面的先驱工作。
A Lochs-Type Approach via Entropy in Comparing the Efficiency of Different Continued Fraction Algorithms
利用1964年Lochs定理的推广，研究了单位区间上数的几类连分数展开式的有效性。因此，我们的目标是通过描述一个数论展开式的位数决定另一个数论展开式的位数的速率来比较效率。研究了Chan连分式、$θ$ -展开、$N$ -连分数和Rény型连分数.在实现我们的目标的核心作用是发挥熵的绝对连续不变的概率测度的相关动力系统。
Bounds on the period of the continued fraction after a Möbius transformation
我们研究二次数的莫比乌斯变换（也称为线性分式变换）。我们构造明确的上限和下界的周期的连分数扩展的转换数作为一个函数的周期的连分数扩展的原始号码。我们提供的例子表明，界限是尖锐的。
Generalized Thue-Morse Continued Fractions
将Thue-Morse序列推广到$TM_m$序列，并给出了两个等价定义.这种推广导致了超越数，并有Queffélec定理的Thue-Morse连分数作为一个特殊情况。本文还证明了Adamczewski和Bugeaud关于回文连分数的定理在这种情况下不能应用。
Finiteness and periodicity of continued fractions over quadratic number fields
考虑二次数域$K$的整数环上的部分分式的连分数，证明了经典的Lagrange定理对这种连分数的推广.这些连分数的一个具体例子是Bernat引入的$β$ -连分数。作为我们定理的推论，我们证明了对任何二次Perron数$β$，元素在$\mathbb Q(β)$中的$β$ -连分数展开是有限的或最终周期的.对于作为整数的平方根的$β$也是如此。我们还证明了对于某些4阶二次Perron数$β$，$β$ -连分数表示二次域$\mathbb Q(β)$的所有元素，从而回答了Rosen和Bernat的问题.基于Mercat猜想的有效性，这些都是具有此特征的二次Perron数。
Continued fractions with odd partial quotients
考虑将有理数表示为连分数，与“奇”欧几里德算法相关联。本文证明了部分有理元和有界的有理数序列的极限分布函数的若干性质
A Generalized Family of Multidimensional Continued Fractions: TRIP Maps
大多数著名的多维连分数，包括Mönkemeyer映射和三角形映射，都是通过重复细分三角形来生成的。本文通过对这些三角形在每次剖分前后的顶点进行置换，构造了一族多维连分数。通过合成这类映射，我们得到了更大的一类多维连分数。这些算法包括Brun、Parry-Daniels和Güting。我们给标准时，多维连分数关联序列的唯一点，这使我们能够确定相应的多维连分数的周期性对应于对实数是三次无理数在同一个号码字段。
Continued fraction expansions of algebraic numbers
本文建立了两个代数数的连分数展开式的独立性。粗略地说，如果两个无理代数数的连分数展开式有相同的长子字，则这两个连分数展开式有相同的尾。如果两个展开式具有镜像对称的长子字，则这两个代数数都是二次的。应用上述结果，我们证明了一个类似于Roth定理的关于代数数逼近的定理.
The Möbius transformation of continued fractions with bounded upper and lower partial quotients
令$h$：$x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d} $为具有整数项的非退化莫比乌斯变换。利用$x$的连分式的上、下界得到了$h(x)$的连分式的一个上、下界，推广了Stambul \cite{S2}的一个结果.
Pell equation: A generalization of continued fraction and Chakravala algorithms using the LLL-algorithm
本文推广了求解佩尔方程的连分数和Chakravala算法，采用LLL算法处理秩2格，提出新方法。
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