New results on the energy of integral circulant graphs
循环图是并行分布计算中一类重要的互连网络。积分循环图在量子自旋网络的建模中扮演着重要的角色，它支持完美的态转移。整数循环图$\ICG_n (D)$具有顶点集$Z_n = \{0, 1, 2, ..., n - 1\}$，并且如果$\gcd(a-b,n)\in D$，则顶点$a$和$b$相邻，其中$D \subseteq \{d : d \mid n,\ 1\leq d<n\}$。这些图是高度对称的，具有积分谱和一些连接化学图论和数论的显著性质。图的能量最早由Gutman定义为图的邻接矩阵的特征值的绝对值之和。近年来，对具有相等能量的非共谱图对和族的研究有了很大的发展。在[R。B. Bapat，S. Pati，\textit{Energy of a graph is never an odd integer}，Bull. Kerala Math.Assoc.1（2004）129- 132.]，我们刻画了模4整循环图的能量。此外，我们还建立了整循环图能量的一般封闭表达式，推广了[A. Ili ' c，\textit{The energy of unitary Cayley graphs}，Linear Algebra Appl.431（2009），1881- 1889.]。最后，我们提出了一些开放的问题，并在整循环图的$n$顶点，如果$n$是偶数的图中，具有最小能量的极图的特征。
2011-09-10 math.CO
On the clique number of integral circulant graphs
gcd-图的概念是由Klotz和Sander提出的，它是酉凯莱图的推广。gcd-图$X_n (d_1,...,d_k)$具有顶点$0,1,...,n-1$，并且两个顶点$x$和$y$相邻当且仅当$\gcd(x-y,n)\in D = \{d_1,d_2,...,d_k\}$。这些图与用So刻画的具有整特征值的循环图完全相同。本文研究了整循环图的团数，并讨论了\cite{klotz07}中提出的团数整除图$X_n (D)$顶点数的猜想.我们完全解决了具有恰好一个和两个因子的整循环图的团数问题。对于$k \geqslant 3$，我们构造了一族反例，证明了该猜想的错误。
2011-04-06 math.CO
Integral circulant graphs of prime power order with maximal energy
图的能量是图的邻接矩阵的特征值的模之和。我们研究整循环图（也称为gcd图）的能量，它可以用它们的顶点数n和n的因子集D来表征，使得它们具有顶点集Zn和边集{{a，b}：a，b in Zn; gcd（a-b，n）in D}。利用凸优化的工具，研究了素数幂阶ps的整循环图和变因子集D之间的最大能量问题。我们的主要结果表明，这个最大能量近似位于s（p - 1）p^（s-1）和这个值的两倍之间。我们构造合适的因子集的能量在于这个区间。我们还刻画了素数幂阶的超能整循环图，并展示了它们的因子集的一个有趣的拓扑性质。
2011-12-14 math.CO
Quantum State Transfer on a Class of Circulant Graphs
研究了非整数循环图上量子态转移的存在性。我们发现，在没有外部动态控制的情况下，基于某些具有$2^k$ $\left(k\in\mathbb{Z}\right)$顶点的循环图的量子网络上的连续时间量子行走表现出相当好的状态转移。我们推广了一些以前已知的结果相当好的状态转移循环图，这样我们重新发现所有积分循环图上的$2^k$顶点表现出完美的状态转移。
2019-01-07 math.CO
Non-isomorphic $d$-integral circulant graphs
本文研究代数次数为 $d$ 的循环图，确定最小阶 $C(d)$，给出同构类数量的界以证明极小图不唯一，并在 $p,d$ 均为素数时求出 $|\mathcal{F}_{p,d}|$。
2025-07-23 math.CO
Circulant Digraphs Integral over Number Fields
数域K是有理数域Q的有限扩张。一个在K上积分的循环有向图的所有特征值都是K的代数整数。本文给出了数域K上循环有向图为整数的充分和必要条件。我们解决了[XM]中的猜想3.3，并发现它是肯定的。
2012-01-04 math.CO math.NT
Graph Energy Maximisation for Integral Circulant Graphs of Order $n = p^2q^3$
Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
研究了阶数为n=p²q³的积分循环图的图能量，通过素数指数的精确克罗内克分解，推导出首个闭合形式多项式公式，证明Dstar是唯一能量最大化者。
2026-04-10 math.CO
The least eigenvalues of integral circulant graphs
本文研究整数循环图的最小特征值，确定了给定阶数下最小特征值的最小值及第二小值，并刻画了达到这些值的图的结构。
2023-11-15 math.CO
So's Conjecture for Integral Circulant Graphs of Order p^aq
School of Mathematics and Statistics, Weifang University（潍坊学院数学与统计学院）
本文证明了So猜想对p^a q阶整数循环图成立，通过谱计数测度处理重合特征值，并利用强归纳与连通分量分解恢复完整除数集。
2026-09-18 math.CO
The maximal energy of classes of integral circulant graphs
图的能量是其邻接矩阵的特征值的模之和。本文研究了整数循环图的能量问题，也称gcd图，它可以用它的顶点数$n$和$n$的因子集$\cal D$来刻画，使得它有顶点集$\mathbb{Z}_n$和边集${{a,b}: a,b\in\mathbb{Z}_n, \gcd(a-b,n)\in {\cal D}}$ .对于一个固定的素数幂$n=p^s$和一个固定的因子集大小$|{\cal D}| =r$，我们分析了所有匹配整循环图之间的最大能量。设$p^{a_1} < p^{a_2} < ... < p^{a_r}$为${\cal D}$的元素。结果表明，能量最大因子集的指数之间的差异$d_i=a_{i+1}-a_{i}$必须满足某些平衡条件：（i）所有$d_i$等于$q:=\frac{s-1}{r-1}$，或者最多出现两个差异$[q]$和$[q+1]$; %（对于某个$d$，取决于$r$和$s$）（ii）存在管理连续差异序列$d_1,...,d_{r-1}$的规则。对于$s$和$r$的特定选择，这些条件已经保证了最大能量，并且可以显式计算其值。
2012-05-21 math.CO
Perfect state transfer, integral circulants and join of graphs
我们提出了新的家庭图，表现出量子完美的状态转移。我们的构造是基于图上的连接算子，它的循环推广，以及图的笛卡尔积。我们建立在Bašić等人的结果\cite{bps09,bp09}和构造新的积分循环和正则图的完美状态转移。更具体地说，我们证明了积分循环$\textsc{ICG}_{n}(\{2,n/2^{b}\} \cup Q)$具有完美的状态转移，其中$b \in \{1,2\}$，$n$是16的倍数，$Q$是$n$的奇因子的子集。使用标准的图，我们还显示了一个家庭的双锥图，这是非周期的，但表现出完美的状态转移。这类图是通过简单地将空的两顶点图与一类特定的正则图进行连接而构造的。这回答了Godsil \cite{godsil08}提出的一个问题。
2009-09-04 math.CO quant-ph
Ramanujan Transforms and Maximum Energy of Odd-Total-Exponent Integral Circulants
School of Mathematics and Statistics, Weifang University（潍坊学院数学与统计学院）；Weifang, Shandong, China（中国山东潍坊）
该研究确定了阶为p^(2r)·q^(2s)+1的整循环图的最大能量，证明了Roldan棋盘除数集的猜想最大化性，得到了显式闭式能量公式，核心方法为加权素幂Ramanujan变换的半定奇偶性定理。
2026-11-02 math.CO
Some identities for enumerators of circulant graphs
我们建立了分析几个新的身份连接枚举不同类型的循环图的总理，两次总理和总理平方的订单。特别地，证明了素数阶无向自补循环数与无向循环数的半和等于同阶有向自补循环数.关键词：循环图;轮换指数;循环群;几乎加倍素数;坎宁安链;自补图;竞赛图;混合图
2001-04-12 math.CO math.NT
On Isospectral Integral Circulant Graphs
本文研究整数循环图的等谱同构问题，证明了在多数素数取值下及特定形式（如p^2q^n和p^2q^2）满足整数谱Adàm性质，推进了该开放问题的解决。
2023-10-17 math.CO math.NT math.SP
Integral homology lattices of matching and circulant complexes
Peking University（北京大学）；Tsinghua University（清华大学）
该研究确定匹配复形整同调格的指数、循环复形的整二面体同调模等，解决相关同调分类与提升问题，为同调理论提供关键结果。
2026-10-16 math.AT math.CO
Maximal diameter of integral circulant graphs
本文研究整循环图 $ICG_n(D)$ 的最大直径，证明其由素因数结构决定的 $r(n)$ 或 $r(n)+1$ 界可达，并刻画给定 $t\le k$ 时的全部极值图。
2023-07-18 cs.DM math.CO
Pretty Good State Transfer on Circulant Graphs
设$G$是具有邻接矩阵$A$的图。$G$相对于$A$的转移矩阵由$H(t):=\exp{\left(-itA\right)},\;t\in\Rl$定义。图$G$被称为允许在一对顶点$u$和$v$之间有很好的状态转移，如果存在一个实数序列$\{t_k\}$和一个单位模的复数$γ$使得$\lim\limits_{k\rightarrow\infty} H(t_k) e_u=γe_v.$我们发现在$n$顶点上的一个循环中有很好的状态转移当且仅当$n$是2的幂并且它发生在每对顶点之间。此外，我们期待在更一般的循环图相当好的状态转移。我们证明，工会（边不相交）的积分循环图的循环，每个$2^k$ $(k\geq 3)$顶点，承认相当不错的状态转移。这种联盟的补充也承认相当好的状态转移。这使我们能够找到一些非循环图承认相当好的状态转移。在圈的补数中，我们还发现了一类不具有良好状态转移的图。
2016-07-13 math.CO
On congruence in Z^n and the dimension of a multidimensional circulant
从同余概念的推广到$Z^n$，我们定义了一族正则有向图或称为多维循环图的图，它们是阿贝尔群的Cayley（di）图。本文主要研究整矩阵的Smith标准形与整矩阵的（di）图的维数，即整矩阵所能产生的群的最小秩之间的关系。特别地，对于那些2步多维循环图，即循环群的Cayley（di）图，给出了它们的充分刻画.此外，利用Lawrence的一个推论证明了顶点数相等的$n$循环数的乘积$p>2$（$p$为素数）具有维数$n$ .
2012-09-22 math.CO math.GR
Closed and asymptotic formulas for energy of some circulant graphs
我们考虑循环图G（r，N），其中顶点是模N的整数，0的邻居是{-r，.，-r} 1,1,..., r}。G（r，N）的能量是N*r项的三角和。对于较低的r值，我们显式地计算这个和。我们还研究了G（r，N）在大N时能量的渐近性。已知线性增长系数的积分公式，我们得到了一个新的r项有限三角和形式的表达式。作为一个应用，我们证明了当r小于或等于4时，族G（r，N）中存在有限个超能量图.另一方面，对于每个r>4，至多存在有限个G（r，N）形式的非超能图。最后，我们证明了图G（r，2 r +1）在所有度为2 r的正则图中能量最小.
2016-03-03 math.CO
A few $c_2$ invariants of circulant graphs
$c_2$不变量是Schnetz提出的算术图不变量，由Brown和Schnetz为了更好地理解费曼积分而发展。本文研究的是一个特殊的情况，即图是一个去掉一个顶点的4-正则循环图;称这样的图为循环图的分解。在循环图$C_n(1,3)$和$C_{2k+2}(1,k)$分解的情况下，计算了素数$2$的$c_2$不变量.对于任何素数$p$和前两个循环图族以及其他循环图族$C_n(1,4)$、$C_n(1,5)$、$C_n(1,6)$、$C_n(2,3)$、$C_n(2,4)$、$C_n(2,5)$和$C_n(3,4)$，同样的技术给出分解的$c_2$不变量作为递归方程的有限系统的解。
2015-12-30 math-ph math.CO math.MP
HS-integral and Eisenstein integral normal mixed Cayley graphs
一个混合图称为HS- \emph{integral}，如果它的第二类Hermitian-邻接矩阵的特征值是整数.一个混合图称为\emph{Eisenstein integral}，如果它的（0，1）-邻接矩阵的特征值是Eisenstein整数.我们刻画了对于任意有限群$Γ$，正规混合Cayley图$\text{Cay}(Γ, S)$是HS-积分的集合$S$.进一步证明了正规混合凯莱图是HS-积分的当且仅当它是艾森斯坦积分。本文推广了[M.卡迪亚湾Bhattacharjya.阿贝尔群上混合Cayley图的HS-积分和Eisenstein积分线性代数应用645：68-90，2022]。
2023-02-16 math.CO
HS-integral and Eisenstein integral mixed Cayley graphs over abelian groups
一个混合图称为\emph{second kind hermitian integral}（或\emph{HS-integral}），如果它的第二类埃尔米特-邻接矩阵的特征值是整数.一个混合图称为\emph{Eisenstein integral}，如果它的（0，1）-邻接矩阵的特征值是Eisenstein整数.设$Γ$是一个阿贝尔群.我们刻画了混合Cayley图$\text{Cay}(Γ, S)$是HS-积分的集合$S$.证明了混合Cayley图是Eisenstein积分的充要条件是它是HS-积分的。
2021-12-31 math.CO
Splitting fields of mixed Cayley graphs over abelian groups
混合图$Γ$的分裂域$\mathbb{SF}(Γ)$是$\mathbb{Q}$的最小域扩张，它包含了$Γ$的Hermite邻接矩阵的所有特征值.扩张度$[\mathbb{SF}(Γ):\mathbb{Q}]$称为$Γ$的代数度。本文确定了阿贝尔群上混合Cayley图的分裂域和代数度。这推广了[K. Mönius，循环图谱的分裂域，J.代数594（15）（2022）154- 169]和[M.卡迪亚湾张文，张文，等.阿贝尔群上的混合Cayley图.电子学报，2000，21（1）：117 - 118. 28（4）（2021）\#P4.46]。
2022-03-24 math.CO math.NT
Integral mixed cayley graph over abelian group
一个混合图称为整图，如果它的埃尔米特邻接矩阵的所有特征值都是整数。设$Γ$是一个阿贝尔群. \textit{mixed Cayley graph} $Cay(Γ,S)$是顶点集$Γ$和边集$\{ (a,b): b-a\in S \}$上的混合图，其中$0\not\in S$ .利用符号集$S$刻画了阿贝尔群上的整数混合Cayley图$Cay(Γ,S)$.
2021-06-28 math.CO
Grover walks on unitary Cayley graphs and integral regular graphs
本文研究酉Cayley图与整正则图上的Grover游走，刻画了周期酉Cayley图，给出循环图完美态传输充要条件，证明仅4个酉Cayley图有完美态传输，还给出整正则图上Grover游走周期性的谱刻画。
2024-06-25 math.CO
Zero transfer on mixed graphs
School of Mathematics and Statistics, Qinghai Minzu University（青海民族大学数学与统计学院）；Qinghai Institute of Applied Mathematics（青海省应用数学研究所）；School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学系）
本文针对混合图研究量子行走的零转移现象，利用Hermitian邻接矩阵推导其充要条件，并将准则应用于有向循环图，得到不同阶数的相关结果。
2026-08-12 math.CO quant-ph
On uniquely colorable Cayley graphs
University of Niš（尼什大学）
该研究解决了Klotz和Sander提出的两个关于唯一可着色Cayley图的开放问题，构造了无限族唯一3-可着色整循环图并否定相关猜想，还建立通用代数构造证明非阿贝尔群上存在符合要求的唯一可着色Cayley图。
2026-09-04 math.CO
On integral mixed Cayley graphs over non-abelian finite groups admitting an abelian subgroup of index 2
本文将积分Cayley图的刻画从广义二面体群和广义双循环群推广到任意具有指数为2的阿贝尔子群的有限非阿贝尔群，并统一刻画了这类群上的积分混合Cayley图。
2023-06-23 math.CO
H-integral and Gaussian integral normal mixed Cayley graphs
如果一个混合图的Hermitian邻接矩阵的所有特征值都是整数，则称该混合图为\emph{H-integral} .如果一个混合图的（0，1）-邻接矩阵的所有特征值都是\emph{Gaussian integers}，则称该混合图为\emph{Gaussian integral} .对任意有限群$Γ$，刻画了正规混合Cayley图$\text{Cay}(Γ, S)$为H-整的集合$S$.进一步证明了正规混合Cayley图是H-积分的当且仅当它是Gaussian积分。
2023-02-16 math.CO math.RT
