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arXiv 2210.05945math.AC
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模不变量理论中的多项式不变量环

On polynomial invariant rings in modular invariant theory

Manoj Kummini, Mandira Mondal

备注：
13 pages
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AI总结：

该研究在模不变量理论框架下，给出有限p群作用下多项式不变量环的判定条件，在两种情形下验证了Shank-Wehlau-Broer猜想，并证明了相关希尔伯特理想为完全交的条件。

摘要：

设$\bk$是特征$p>0$的域，$V$是有限维$\bk$-向量空间，$G$是在$V$上进行$\bk$-线性作用的有限$p$-群。令$S = \text{Sym } V^*$。我们证明，$S^G$是多项式环当且仅当其奇点轨迹的维数小于$\text{rank}_\bk V^G$。为验证Shank-Wehlau-Broer猜想，我们证明在以下两种情形中，若$S^G$是$S$的直和项，则$S^G$是多项式环：1. $\bk = \bbF_p$且$\text{rank}_\bk V^G = 4$；或2. $|G| = p^3$。为证明上述结果，我们还证明：若$\text{rank}_\bk V^G \text{rank}_\bk V - 2$，则希尔伯特理想$\text{HilbertIdeal}_{G,S}$是完全交。

英文摘要：

Let $\Bbbk$ be a field of characteristic $p>0$, $V$ a finite-dimensional $\Bbbk$-vector-space, and $G$ a finite $p$-group acting $\Bbbk$-linearly on $V$. Let $S = \Sym V^*$. We show that $S^G$ is a polynomial ring if and only if the dimension of its singular locus is less than $\rank_\Bbbk V^G$. Confirming a conjecture of Shank-Wehlau-Broer, we show that if $S^G$ is a direct summand of $S$, then $S^G$ is a polynomial ring, in the following cases: \begin{enumerate} \item $\Bbbk = \bbF_p$ and $\rank_\Bbbk V^G = 4$; or \item $|G| = p^3$. \end{enumerate} In order to prove the above result, we also show that if $\rank_\Bbbk V^G \geq \rank_\Bbbk V - 2$, then the Hilbert ideal $\hilbertIdeal_{G,S}$ is a complete intersection.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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